Нахождение собственных векторов: Собственные числа и собственные векторы

Глава 8. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

В этой главе рассматриваются вопросы о собственных векторах и собственных значениях произвольной квадратной матрицы, симметрической матрицы и подобных матриц.

1. Основные понятия.

Определение. Вектор , называетсясобственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число, что

. При этом числоназываетсясобственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору.

Уравнение может быть записано в виде

.

Определение. Если — собственное значение матрицы, асоответствующий ему собственный вектор, тоназываютсобственной парой матрицы .

● Пример 1. Показать, что вектор является собственным вектором матрицы. Найти соответствующее ему собственное значение.

Решение.

Так как (), то- собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению.●

● Пример 2. Показать, что если — собственная пара матрицы, то- собственная пара матрицы.

Решение. Действительно,

, т.е. . Из последнего следует, что- собственная пара матрицы.●

● Пример 3. При каких ивекторявляется собственным вектором матрицы?

Решение. Найдем вектор ..

Если — собственный вектор матрицы , то, откуда. Из последнего имеемии.

Ответ: при и произвольномвекторсобственный вектор матрицы.

● Пример 4. Существует ли , при котором- собственный вектор матрицы? Если существует, указать соответствующую собственную пару.

Решение. Вычислим произведение

Если — собственная пара матрицы, то

.

Из последнего равенства имеем Откуда,,.

— собственная пара матрицы.●

2. Свойства собственных векторов.

1) Если — собственный вектор матрицы , а- соответствующее ему собственное значение, то при любомвектортакже является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому же собственному значению.

►Действительно, .◄

Замечание. Любой собственный вектор матрицы определяет целое направление собственных векторов этой матрицы с одним и тем же собственным значением.

2) Собственные векторы матрицы, соответствующие различным её собственным значениям, линейно независимы.

►Доказательство. Пусть и- собственные пары матрицы, где.

Предположим, что илинейно зависимые векторы.

Если илинейно зависимы, то хотя бы один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации другого (пусть).

Тогда , откуда следует, что. Так как, то.

Полученное противоречие доказывает утверждение.◄

3) Если илинейно независимые собственные векторы матрицы, соответствующие одному и тому же собственному значению, то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов() также является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому же собственному значению.

►Действительно, , что и требовалось доказать. ◄

4) Если матрица диагональная , то ее собственные значения совпадают с диагональными элементами этой матрицы (), а единичный векторявляется собственным вектором, соответствующим собственному значению.

►Действительно, ◄

3 Нахождение собственных значений и собственных векторов.

Собственные значения и собственные векторы матрицы удовлетворяют матричному уравнению.

Если собственный вектор матрицы , то однородная системаимеет нетривиальное решение, поэтому(порядок матрицыи. Последнее уравнение позволяет найти собственные значения матрицы.

Определение. Многочлен называютхарактеристическим многочленомматрицы.

Определение. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы .

Корни характеристического уравнения матрицы являются собственными значениями матрицы.

Характеристическое уравнение матрицы может быть записано в виде.

Определение. Множество всех собственных значений квадратной матрицы называется спектром этой матрицы.

Спектр матрицы -го порядка содержитсобственных значений матрицы, которые могут быть как действительными, так и комплексными, простыми так и кратными.

Для матрицы характеристическое уравнениеможет быть может быть преобразовано к виду .

, поэтому характеристическое уравнение матрицы имеет вид

. (8.1)

При этом

,(8.2)

.(8.3)

Уравнение является характеристическим уравнением матрицы.Это уравнение может быть представлено в виде

или

, (8.4)

где , аминоры определителя.

Если ,икорни характеристического уравнения (8.4), то это уравнение может быть записано в виде

. (8.5)

Сравнивая уравнения (8.4) и (8.5), можно записать следующее:

,(8.6)

,(8.7)

.(8.8)

Собственные векторы матрицы , соответствующие собственному значению, удовлетворяют матричному уравнению, которое может быть записана в формеТак как ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных (=0), то система имеет бесконечное множество

решений, каждое ненулевое из которых является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

● Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. — характеристическое уравнение для данной матрицы, откуда,и.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуэквивалентную уравнению. Векторявляется решением этого уравнения, а привектор- искомый собственный вектор.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуиз которой следует, что векторприявляется собственным вектором, соответствующим собственному значению.

Ответ. ,при;,при.

● Пример 6.

Найти собственные пары матрицы .

Решение. — характеристическоеуравнение матрицы , которое может быть записано в виде, где,,,,(проверьте).

— характеристическое уравнение матрицы , корни которого.

Собственные векторы, соответствующие собственному значению , находим из системы. Приимеем систему которая равносильна системе решение которой .

При векторявляется собственным вектором матрицы, соответствующим собственному значению.

При для нахождения собственных векторов имеем системукоторая равносильна одному уравнению.

При любых ивекторесть решение уравнения, а при

является собственным вектором, который соответствует собственному значению .

Ответ: при;при.

● Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение для указанной матрицы имеет вид , откудаи.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуиз которой следуетпри.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуиз которой следуетпри.

Ответ. ,при;,при.

● Пример 8.

Доказать, что если собственная пара невырожденной матрицы , то —собственная пара матрицы .

►Так матрица невырожденная (), то существует. Произведение собственных значений матрицыравно, а так как, то собственное значение.

— собственная пара матрицы , поэтому.Умножив последнее равенство слева на , имеем, откуда,и. Последнее равенство означает, что

— собственная пара матрицы .◄

Нахождение собственных векторов — Студопедия

Поделись  

Для нахождения собственных векторов преобразуем равенство (8)

АХ = λХ,

перепишем его в виде

АХ − λХ = 0, или АХ − λЕХ = 0 Þ

(А − λЕ)Х = 0. (9)

Здесь 0 – нулевая матрица. Перейдя к координатной форме, получим однородную систему линейных уравнений. В случае , где – собственные значения, её главный определитель равен нулю ( ). Поэтому эта система обязательно имеет ненулевые (нетривиальные) решения, так как равный нулю определитель имеет пропорциональные строки, и :

(10)

Подставляя поочерёдно значения , полученные из характеристического уравнения, в уравнения системы (10), найдем n собственных векторов. Собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя.

3.1. Случай

Матричное уравнение (А − λЕ)Х = 0 имеет развёрнутую форму:

. (11)

Восстановим систему уравнений:

(12)

Это линейная однородная система. При и её главный определитель равен нулю. Поскольку частные определители содержат нулевые столбцы, они также равны нулю. По теореме Крамера эта система имеет бесчисленное множество решений. Ранг матрицы А − λЕ равен единице, и одно уравнение пропорционально другому, т.е. оно является лишним.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

.

Найдём собственные значения λ, решая уравнение . Его корни λ₁ = 6, λ₂ = –1. Это собственные значения матрицы А. Собственные векторы находятся из двух систем уравнений

и .

Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.

1) При λ₁ = 6 имеем систему , которая сводится к уравнению . Из уравнения следует: , или . В качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению λ₁ = 6, можно взять вектор . Подойдёт также любой вектор, кратный Х₁, например, или .

2) При λ₂ = –1 система имеет вид , она приводится к одному уравнению и . Собственный вектор, соответствующий данному собственному значению λ₂ = –1, (или любой вектор, кратный ему).

Ответ: , , , .

3.1. Случай

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение.

Составим характеристическое уравнение

.

Разложим определитель по элементам первой строки:

.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:

;

.

Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Методом подбора найдём один из корней уравнения λ₁, которым может быть один из делителей свободного члена. Нетрудно убедиться в том, что λ₁ = 3 есть корень уравнения. Это значит, что левая часть уравнения делится без остатка на разность (λ − 3), т. е. .

Определим два других корня из уравнения . По теореме Виета получим следующие два корня: λ₂ = 6, λ₃ = –2. Для нахождения собственных векторов нужно решить три системы уравнений, последовательно подставляя полученные собственные значения.

1) При λ₁ = 3 имеем однородную систему уравнений

или

Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду

~ ~ .

Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:

.

Решая эту систему, находим . Положим , тогда получим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ₁=3.

2) При λ₂ = 6 имеем систему уравнений

.

Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду

~ ~ .

Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:

.

Пусть , тогда , . Собственный вектор .

3) Точно так же находим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ₃ = –2.

Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:

,

,

.

Ответ: λ₁ = 3, λ₂ = 6, λ₃ = –2, , , .



линейная алгебра — нахождение собственных векторов по собственным значениям

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 2 месяца назад

Изменено 4 года, 11 месяцев назад

Просмотрено 28 тысяч раз

$\begingroup$ 92 — 13\lambda + 36 = 0$

по формуле квадрата, $\lambda = 9$ или $\lambda = 4$, поэтому два собственных значения равны $\{9,4\}$.

когда я пытаюсь получить собственные векторы, я сталкиваюсь с проблемами. я вставляю $\lambda = 9$ в уравнение характеристического полинома:

$\begin{bmatrix}-1 & -2\\-2 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end {bmatrix} = 0$

в результате:

$-v_1-2v_2 = 0$

$-2v_1 — 4v_2 = 0$

Как это можно решить, чтобы получить собственный вектор: $[v_1 v_2]^T $? Я просто получаю $v_1 = v_2 = 0$, что не помогает.

• линейная алгебра
• матрицы
• собственные значения-векторы

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Это вполне ожидаемо. Ваша система при $\lambda = 9$ будет иметь одномерное пространство решений, так как если $x$ — собственный вектор $A$, то любое ненулевое кратное $x$ также будет собственным вектором $A$.

Вы видите, что ваши два уравнения говорят об одном и том же, одно из них просто кратно другому. Просто выберите значение для $v_1$ и рассчитайте, каким должно быть значение $v_2$. Возьмите $v_1 = 2$, и вы получите $v_2 = -1$, так что вы можете взять $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ в качестве собственного вектора.

$\endgroup$

$\begingroup$

Нулевой вектор всегда является решением $(A-\lambda I)v=0$, и это одна из причин, по которой он не считается собственным вектором, но вы на правильном пути. T$ является собственным вектором, соответствующим собственному значению 9Т$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вы получаете недоопределенную систему. На самом деле, вы можете видеть, что оба уравнения по существу одинаковы (то, что ниже, — это верхнее, умноженное на два). Итак, у нас есть $$-v_1-2v_2=0$$ Это приводит к $$v_1=-2v_2$$ А векторы в собственном пространстве при $\lambda=9$ будут иметь вид $$\влево(\begin{массив}{с} -2v_2\\ v_2\\ \end{массив} \right)$$ Например, для $v_2=1$ у вас есть один собственный вектор для собственного значения $\lambda=9$ это $$\влево(\begin{массив}{с} -2\\ 1\\ \end{массив} \right)$$ Это легко сделать аналогично для другого собственного значения.

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Ваша последняя система эквивалентна $v_1=-2v_2$(вторая строка кратна первой), поэтому $(-2,1)$ является собственным вектором.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Как найти собственные векторы и собственные значения оператора

В квантовой физике, если вам дан оператор в матричной форме, вы можете найти его собственные векторы и собственные значения. Например, предположим, что вам нужно решить следующее уравнение:

Во-первых, вы можете переписать это уравнение следующим образом:

I представляет собой единичную матрицу с единицами по диагонали и нулями в остальных случаях:

Помните, что решение

существует только в том случае, если определитель матрицы A – a I равен 0:

дет(А – a I) = 0

Как найти собственные значения

Любые значения a , удовлетворяющие уравнению det(A – a I) = 0, являются собственными значениями исходного уравнения. Попробуйте найти собственные значения и собственные векторы следующей матрицы:

Сначала преобразуйте матрицу в форму A – a I:

Далее находим определитель:

И это можно разложить следующим образом:

Вы знаете, что det(A – a I) = 0, поэтому собственные значения A являются корнями этого уравнения; а именно, a ₁ = –2 и a ₂ = –3.

Как найти собственные векторы

Как насчет поиска собственных векторов? Чтобы найти собственный вектор, соответствующий a ₁ , подставить a ₁ — первое собственное значение, –2 — в матрицу вида A – a I:

Итак, у вас есть

Поскольку каждая строка этого матричного уравнения должна быть истинной, вы знаете, что

А это означает, что с точностью до произвольной константы собственный вектор, соответствующий a ₁ , следующий:

Отбросьте произвольную константу и просто запишите это как матрицу:

Как насчет собственного вектора, соответствующего а ₂ ? Подставив a ₂ , –3, в матрицу в A – a I, вы получите следующее:

Тогда у вас есть

А это означает, что с точностью до произвольной константы собственный вектор, соответствующий a ₂ , равен

Удалить произвольную константу:

Итак, собственные значения этого матричного оператора

— это и ₁ = –2, а — это ₂ = –3.