Найдите область определения функции y 1 x 2 1: «Найдите область определения функции y=1/4x-2?» – Яндекс.Кью

Содержание

Параграф 2.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций.

 



Работу выполнил: Косярский А.А. студент группы 45.2

Пункт 2.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций.

 

1. Понятие числовой функции


Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу x
из множества D (области определения) ставится в соответствие единственное число y.
Записывается это соотвествие так: y=f(x)
Обозначения и термины
D(f) - область определения
E(f) - область значений
x - аргумент (независимая переменная)
y - функция (зависимая переменная)
f - функция
f(x0) - значение функции f в точке x0

2. График функции

 


Графиком функции f называется множество всех точек координатной плоскости
с координатами (x; f (x)), где первая координата x
«пробегает» всю область определения функции, а вторая координата

равна соответствующему значению функции f в точке x

 

3. Возрастающие и убывающие функции

 


Функция f(x) возрастающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2) > f(x1)
для любых x1 и x2, лежащих во множестве P
(при увеличении аргумента соотвествующие точки графика поднимаются)

 

 

 

 

 


Функция f(x) убывающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2) < f(x1)
для любых x1 и x2, лежащих во множестве P
(при увеличении аргумента соотвествующие точки графика поднимаются)

 

 

 

4. Чётные и нечётные функции

 


Функция f(x) чётная:
если f(-x) = f(x)
для любых x из области определения.
График чётной функции симметричен относительно Oy

 

 



Функция f(x)

нечётная:
если f(-x) = -f(x)
для любых x из области определения.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат

 

 

Объяснение и обоснование


1. Понятие функции. С понятием функции вы ознакомились в курсе алгебры.
Напомним, что зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если
каждому значению x соответствуе единственное значение y.
В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем пользоваться
следующим определением числовой функции.

 

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость,
при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие
единственное число y.

 

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим
произвольную функцию f. Число y, соответствующее числу x (на рисунке 9 это
показано стрелкой), называют значением функции f в точке x и обозначают f (x).

Область определения функции f

- это множество тех значений, которые
может принимать аргумент x. Она обозначается D(f).

Область значений функции f - это множество, состоящее из всех чисел
f(x), где x принадлежит области определения. её обозначают E(f).

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет
дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной
формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта
формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой y = √x + 1, то её область
определения: x ≥ 0, то есть D(y) = [0;+∞), а область значений:
y ≥ 1, то есть E(y) = [1;+∞).

Функция может задаваться не только при помощи формул, но и сс помощью
таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке 10
графически задана функция y = f(x) с областью определения
D(f) = [-1;3] и множеством значений E(f) = [1;4]

2. График функции. Напомним, что
графиком функции y = f(x) называется множество точек
координатной плоскости с координатами (x;f(x)), где первая координата
x "пробегает" всю область определения функции, а вторая координата -

это соответствующее значение функции f точке x.


 

 

На рисунках к пункту 4 табицы 2 приведены графики функций y = x²
и y = 1/x, а на рисунке 11 - график функции y = |x|.

 


Приведём также график функции y = [x], где [x] - обозначение
целой части числа x, то есть наибольшего целого числа,
не превосходящего x (рис. 12). Область определения этой функции
D(y) = R - множество всех действительных чисел, а область
значений E(y) = Z - множество всех целых чисел.

На рисунке 13 приведён график ещё одной числовой функции y = {x},
где {x} - обозначение дробной части числа x ( по определению
{x} = x - [x]).

 

 

 

3. Возрастающие и убывающие функции. Важными характеристиками
функций являются их возрастание и убывание.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
большее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) > f(x1).

Например, функция f(x) = 2x возрастающая ( на всей области
определения - на множестве R), поскольку при x2 > x1 имеем
2⋅ > 2⋅, то есть f(x2) > f(x1). У возрастающей
функции при увеличении аргумента соотвествующие точки графика
поднимаются (рисунок 14).

На рисунке 15 приведён график ещё одной возрастающей функции
y = x³. Действительно, при x2 > x1 имеем x2³ > x1³,
то есть f(x2) > f(x1).

Функция f(x) называется убывающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) < f(x1).

Например, функция f(x) = -2x убывающая ( на всей области
определения - на множестве R), поскольку при x2 > x1 имеем
-2⋅ < -2⋅, то есть f(x2) < f(x1). У убывающей
функции при увеличении аргумента соотвествующие точки графика
опускаются (рисунок 16).


 

Рассматривая график функции y = x² (рис. 17), видим, что
на всей области определения эта функция не является ни возрастающей,

ни убывающей. Однако можно выделить промежутки области определения,
где эта функция возрастает и где убывает. Так как на промежутке
(-∞;0] - убывает, а на промежутке [0;+∞) функция
y = x² возрастает.(Докажите самостоятельно).

отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются
свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определении.

Если функция возрастает, то большему значению функции
соответствует большее значение аргумента.
Если функция убывает, то большему значению функции
соответствует меньшее значение аргумента.

 

Обоснуем первое из этих свойств методом от противного. Пусть
функция f(x)возрастает и f(x2) > f(x1). Допустим, что
аргумент x2 не больше аргумента x1, то есть x2≤x1.
Из этого предположения получаем: если x2≤x1 и f(x)
возрастает, то f(x2)≤f(x1), что противоречит
условию f(x2) > f(x1). Таким образом, наше предположение
неверно, и если f(x2) > f(x1), то x2 > x1, ч.т.д.
Аналогично обосновывается и второе свойство.


Например, если x² > 8, то есть x² > 2², то,
учитывая возрастание функции f(x) = x², получаем x > 2.

4. Чётные и нечётные функции. Рассмотрим функции, области
определения которых симметричны относительно начала координат, то
есть содержат вместе с каждым числом x и число (-x). Для таких
функций вводятся понятия чётности и нечётности.
Функция f называется чётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = f(x).

Например, функция y = x² (то есть функция f(x) = x²) -
чётная, поскольку f(-x) = (-x)² = x² = f(x).


Если функция f(x) чётная, то ее графику вместе с каждой точкой
M с координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно оси Oy (рис. 18), поэтому
и весь график чётной функции расположен симметрично относительно оси OY.

Например, график четной функции y = x² (рис. 17)
симметричен относительно Oy.
Функция f называется нечётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = -f(x).
Например, функция y = 1/x ( то есть функция f(x) = 1/x) - нечётная,
поскольку f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x).

 

 


Если функци f(x) нечётная, то её графику вместе с каждой точкой M с
координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;-f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно начала координат (рис. 19), поэтому
и весь график нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечётной функции y = 1/x (см. пункт 4 табл. 2) симметричен относительно
начала координат, то есть точки O.

 

 

 


ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:


1. Что называется числовой функцией? Приведите примеры таких функций.
2. На примерах объясните, что такое область определния функции и область
значений функции. Какие ограничения необходимо учесть при нахождении
области определения функции y = √x/x ? Найдите её область определения.
3. Что называется графиком функции y = f(x)? Приведите примеры.
4. Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.
5. Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.
6. Какая функция называется чётной? Приведите примеры. Как расположен

график чётной функции на координатной плоскости? Приведите примеры.
7. Какая функция называется нечётной? Как расположен график нечётной
функции на координатной плоскости? Приведите примеры.


УПРАЖНЕНИЕ 1. Найдите область определения функции:
1.y = x² + x         2.y = x/(x² + x)          3. y= √(x+5)
РЕШЕНИЕ
1) Ограничений для нахождения значений выражения x² + x нет, таким образом D(y) = R.
2) Область определения функции y = x/(x² + x) задаётся ограничением x² + x ≠ 0, поскольку знаменатель не может быть равным нулю.
Выясним, когда x² + x = 0. Имеем x(x + 1) = 0, x = 0 или x = -1.
Тогда область определения можно задать ограничениями x ≠ 0, x ≠ -1 или записать так: D(y) = (-∞;-1) ∪ (-1;0) ∪ (0;+∞)
3) Область определения функции y= √(x+5) задаётся ограничением x + 5 ≥ 0, то есть x ≥ -5, поскольку под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное выражение. Таким образом, D(y) = [-5;+∞)
КОММЕНТАРИЙ

Поскольку все функции заданы формулами, то их области определения - это множество всех значений переменной x, при которых формула имеет смысл, то есть имеет смысл выражение, которое стоит в правой части формулы y = f(x).
В курсе алгебры встречались только два ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении области определения:
1)если выражение записано в виде дроби A/B, то знаменатель B ≠ 0
2)если запись выражения содержит квадратный корень √ A, то подкоренное выражение A ≥ 0.
В других случаях, которые вам приходилось рассматривать, областью определения выражения были все действительные числа.
УПРАЖНЕНИЕ 2. Найдите область определения функции:
y = x² - 3
РЕШЕНИЕ
Составим уравнение x² - 3 = a. Оно равносильно уравнению x² = a +3, которое имеет решения, если a + 3 ≥ 0, то есть при a ≥-3. Все эти числа и составят область значений функции.
Таким образом, область значений заданной функции E(f) = [-3;+∞), то есть y ≥ -3.
КОММЕНТАРИЙ
Обозначим значение заданной функции f(x) ( то есть x² - 3) через a и выясним, для каких a можно найти соответствующее значение x ( при этом значении x значение f(x) = a).
Тогда все числа a, для которых существует хотя бы один корень уравнения f(x) = a, войдут в область значений функции f(x). Множество всех таких a и составит область значений функции.
УПРАЖНЕНИЕ 3. Докажите, что при k ≠ 0 областью значений линейной функции y = kx + b является множество всех действительных чисел.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Если kx + b = a (где k ≠ 0), то решение этого уравнения x = (a - b)/k существует для любого a ∈ R (k ≠ 0 по условию). Таким образом, значением заданной функции может быть любое действительное число. Итак, ее область значений E(f) = R.
КОММЕНТАРИЙ
Обозначим значение заданной функции f(x), то есть kx + b, через a и выясним, для каких a можно найти соответствующее значение x, такое, что f(x) = a.
Множество всех таких значений a и будет составлять область значений функции f(x).
УПРАЖНЕНИЕ 4. Докажите, что линейная функция y = kx + b при k > 0 является возрастающей, а при k < 0 - убывающей.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть x2 > x1 (тогда x2 - x1 >0). Рассмотрим разность f(x2) - f(x1) = kx2 + b - (kx1 + b) = k(x2 - x1).
Поскольку x2 - x1 > 0, то при k > 0 имеем f(x2) - f(x1) > 0, таким образом, f(x2) > f(x1) и, значит, функция возрастает.
При k < 0 имеем f(x2) - f(x1) < 0, таким образом, f(x2) < f(x1), значит, функция убывает.
КОММЕНТАРИЙ
Для обснования возрастания или убывания функцииполезно помнить, что для доказательства неравенсства f(x2) > f(x1) или f(x2) < f(x1) достаточно найти знак разноссти f(x2) - f(x1).
Функция f(x) = kx + b будет возрастающей, если из неравенства x2 > x1 будет следовать неравенство f(x2) > f(x1), а для доказательства последнего неравенства достаточно найти знак разности f(x2) - f(x1) (аналогичные рассуждения применимы и для убывания функции)
УПРАЖНЕНИЕ 5. Докажите, что:
1.Сумма двух возрастающих на множестве P функций всегда является возрастающей функцией на этом множестве.
2.Сумма двух убывающих на множестве P функций всегда является убывающей функцией на этом множестве.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Пусть функции f(x) и g(x) являются возрастающими на одном и том же множестве P. Если x2 > x1, то f(x2) > f(x1) и g(x2) > g(x1). Складывая почленно эти нервенства, получаем:
f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1)
Это и означает, что сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая.
2) Пусть функции f(x) и g(x) являются убывающими на одном и том же множестве P. Если x2 > x1, то f(x2) < f(x1) и g(x2) < g(x1). Складывая почленно эти нервенства, получаем:
f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1)
Это и означает, что сумма двух убывающих функций есть функция убывающая.
КОММЕНТАРИЙ
Для доказательства того, что сумма двух возрастающих функций f(x) и g(x) является возрастающей функцией, достаточно доказать, что на множестве P из неравенства x2 >x1 следует неравенство:
f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1)
Аналогино, для доказательства того, что сумма двух убывающих функций f(x) и g(x) является убывающей функцией, достаточно доказать, что на множестве P из неравенства x2 > x1 следует неравенство:
f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1)
УПРАЖНЕНИЕ 6. Докажите, что возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке её области определения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть функция f(x) является возрастающей и
f(x1) = f(x2) (1)
Допустим x1 ≠ x2.
Если x1 ≠ x2, то x1 > x2 или x1 x2 имеем f(x1) > f(x2), что противоречит равенству (1).
Таким образом, наше предположение неверно, и равенство f(x1) = f(x2) возможно только при x1 = x2. То есть возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке её области определения.
Аналогично доказывается утверждение и для убывающей функции.
КОММЕНТАРИЙ
Докажем это утверждение методом от противного. Для этого достаточно допустить, что выполняется противоположное утверждение (функция может принимать одно и то же значение хотя бы в двух точках), и получить противоречие. Это будет означать, что наше предположение неверно, а верно данное утверждение.
УПРАЖНЕНИЕ 7. Исследуйте, какие из данных функций являются четными, какие нечётными, а какие ни чётными, ни нечётными.
1. y = 1/(x + 1)      2. y = x²      3. y = x³ + x
РЕШЕНИЕ
1) Область определения функции y = 1/(x+1): x ≠ -1, то есть она не симметрична относительно точки O (точка x = 1 принадлежит области определения, а точка x = -1 - нет).
Таким образом, заданная функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) Область определения функции y = x²: D(y) = R, то есть она симметрична относительно точки O. f(-x)=(-x) ² = x ²$; = f(x), следовательно, функция чётная.
3) Область определения функции y = x³ + x: D(y) = R, то есть она симметричная относительно точки . f(-x)=(-x)² + (-x) = - (x³ + x) = -f(x), значит функция нечётная.
КОММЕНТАРИЙ
Для исследования функции y = f(x) на чётность или нечётность достаточно, во-первых, убедиться, что область опредления этой функции симметричная относительно точки O ( вместе с каждой точкой x содержит и точку -x), и, во-вторых, сравнить значения f(-x) и f(x).

 


5. Обоснуйте, что заданная функция является возрастающей (на её области определения):
1) y = 3x 2) y = x + 5 3) y = x³ 4) y = x5 5) y = √(x)

6. Докажите, что на заданном промежутке функция возрастает:
1) y = -2/x, где x > 0 2) y = 1/x, где x < 0

7. Обоснуйте, что заданная функция является убывающей (на её области определения):
1) y = -3x 2) y = -x -1 3) y = -x³ 4) y = -x5

8. Докажите, что на заданном промежутке функция убывает:
1) y = 3/x, где x < 0 2) y = 5/x, где x > 0

9. Докажите, что функция y = x² на промежутке [0; + ∞) возрастает, а на промежутке (- ∞;0] убывает.

10. Используя утверждения, приведённые в примере 5, укажите какие из данных функций являются возрастающими, а какие - убывающими.
1) y = x³ + x 2) y = -x -x5 3) y = x + √ (x) 4) y = -x³-x5

11. Используя утверждения, приведённые в примере 6:
1) Обоснуйте, что уравнение x³ + x = 10 имеет единственный корень x = 2;
2) Подберите корень уравнения √(x) + x = 6 и докажите, что других корней это уравнение не имеет.

12. Обоснуйте, что заданная функция является чётной:
1) y = x6 2) y = 1/x² + 1 3) y = √ (x² + 1) 4) y = √ (|x| + x4)

13. Обоснуйте, что заданная функция является нечётной:
1) y = x5 2) y = -1/x³ 3) y = x |x| 4) y = x³ - x

Как найти область определения функции?

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. 

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

  • Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) =  [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

 
  1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.

  2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.

  3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.

  4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа. 

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Например:

  • Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(f) = (−∞, +∞) или D(f) = R.
     
  • Область определения функции y = 3√9 является множество R.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n√x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

  • Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
  • Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть, n = 2m+1, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4√x, y = 6√x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3√x, y = 5√x, y = 7√x,… — множество (−∞, +∞).

Пример 

Найти область определения функции:

Как решаем:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x2 + 4x + 3 > 0

D = 16 - 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:


Значит парабола a(x) = x2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x2 + 4x + 3 < 0.


Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = xa, то есть, f(x) = xa, где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

  • Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
  • Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
  • Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
  • Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = xa определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 00. А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

 
  1. Область определения функций y = x5, y = x12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.

  2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.

  3. Область определения функции y = x−2, как и функции y = x−5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.

  4. Область определения степенных функций y = x-√19, y = x-3e, — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = ax, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

  • y = ex
  • y = (√15)x
  • y = 13x.

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

  • D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).

Рассмотрим примеры логарифмических функций: 

  • y = log7x
  • y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите область определения функции:

Как решаем:

Составим и решим систему:


Графическое решение:


Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

  • Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
  • Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
  • Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Как решаем:

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:


Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:


В результате . Отразим графически:


Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

  • Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

    Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].

  • Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

    Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].

  • Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

    Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните. 

Функция

Область определения функции

Постоянная

y = C

 

R

Корень

y = n√x 

 

[0 ; +∞) , если n — четное;

(-∞; +∞) , если n  — нечетное.

Степенная

y = xa 

 

(-∞; +∞) , если a > 0, a ∈ Z;

[0 ; +∞), если a > 0, a ∈ R, a ∉ Z;

(-∞; 0) ∪ (0; +∞) , если a < 0, a ∈ Z;

(0; +∞), если a ∈ R, a ≠ Z;

(-∞; 0) ∪ (0, +∞), если a = 0.

Показательная

y = ax 

 

R

Логарифмическая

y = lognx

 

(0; +∞) 

Тригонометрические

y = sinxy

y = cosxy

y = tgxy

y = ctgx

 

R

R

x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z

x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z

Обратные тригонометрические

y = arcsinxy 

y = arccosxy 

y = arctgxy 

y = arcctgx

 

[-1; 1]

[-1; 1]

R

R  

Тема 7. Функции - Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

Тема 7. Функции

1. Понятие функции

    Функция y=f(x) – соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется единственное число y из множества E.

    x– аргумент функции, y – значение функции; D или D(f) – область определения функции; это совокупность всех значений x, для которых можно вычислить значение функции. E или E(f) – область значений функции; это совокупность всех значений, которые может принимать выражение f(x).

    График функции y=f(x) – множество точек (x,y) на координатной плоскости, где x принимает все возможные значения из D(f), а y=f(x).

    Четная функция: f(-x)=f(x) для всех ;    Нечетная функция: f(-x)=-f(x) для всех ;

    График четной функции симметричен относительно оси OY. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

        Периодическая функция с периодом T>0: f(x+T)=f(x) для всех .

    Нули функции – значения x такие, что f(x)=0. Интервалы знакопостоянства – множества значений аргумента, при которых значения функции только положительны или только отрицательны.

    На рисунке изображена функция с областью определения [a, e]. Нули функции: x=b, x=c, x=d; интервалы знакопостоянства: y>0  при ; y.        Функция возрастает на множестве X, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть для любых , если x12, то f(x1)2). Функция убывает на множестве X, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Т.е. для любых , если x12, то  f(x1)>f(x2).            

3. Некоторые алгебраические функции

    а) линейная .    График функции – прямая линия, проходящая через точки (0, b) и .

    Функция возрастает при a>0, убывает при a<0.

    Частные случаи: y=b – прямая, параллельная оси OX;

    y=ax – прямая, проходящая через начало координат.

    б) квадратичная .    График функции – парабола. Ветви параболы направлены вверх при a>0, вниз при a.

    Точки пересечения с осями координат:

    с осью OX  – (x1, 0) и (x2, 0),

    где , D=b2-4ac – корни квадратного трехчлена;

    с осью OY – (0, c).

Пример 1. График какой функции является возрастающим:

    а) ; б) у = х3 – 27; в) y=2-x?

    Решение:

        Рассмотрим каждую из функций в отдельности:

        а)  – степенная функция. Область определения этой функции: . На всей области определения функция монотонна.

        Возьмём два значения х1 = 1 и х2 = 4. Им соответствует у1 = – 1, у2 = – 2. Видим, что если х1 < x2 , то у1 > у2.         Функция убывающая.

        б) у = х3 – 27 – алгебраическая функция. Область определения – множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Возьмём два значения х1 = 3, х2 = 4. Им соответствует у1 = 0, у2 = 37.

        Видим, что если х1 < x2 , то и у1 < у2. Функция возрастающая.

        в) y=2-x – показательная функция. Областью определения является множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Пусть х1 = 0, х2 = 1. Им соответствуют у1 = 1, у2 = 0,5.

        Видим, что если х1 < x2 , то у1 > у2. Функция убывающая.

    Ответ: б) у = х3 – 27.

Пример 2. Парабола у = 2х2 – (а – 3)х + а + 3 проходит через начало координат. Найдите абсциссу вершины параболы.

    Решение:

        Найдём значение параметра а. Т.к. парабола проходит через начало системы координат, то координаты точки (0; 0) являются корнями уравнения параболы:  0 = 2 ∙ 02 – (а – 3) ∙ 0 + а + 3;  а = – 3. 

        Уравнение параболы примет вид: у = 2х2 + 6х.

        Абсцисса вершины параболы находится по формуле: . Получаем .

    Ответ: – 1, 5.

Пример 3. В каких точках график функции f(x) = x2 – 3 пересекает прямую у(х) = х – 1?

    Решение:

        Ответом на данный вопрос является решение системы

        х2 – 3 = х – 1;  х2 – х – 2 = 0;  х1= – 1, или х2 = 2. 

        Соответственно, у1 = – 2, у2 = 1.

    Ответ: (– 1; – 2), (2; 1).

Пример 4. При каких значениях k прямые – kх + 7у = – 13 и 14у – 3х + 5 = 0 параллельны?

    Решение:

        Две различные прямые у = k1х + b1 и у = k2х + b2 параллельны, если k1 = k2, но при этом b1 ≠ b2.

        В обоих уравнениях выразим у через х.

        . Следовательно, . При этом .

    Ответ: при k = – 1,5.

Пример 5. Найти точки пересечения прямой у = 5 + х с осями координат.

    Решение:

        Когда график функции пресекает ось ОХ, значение у = 0.

        Получаем уравнение 5 + х = 0, х = – 5. 

        Когда график функции пересекает ось OY, значение х = 0, т.е. у = 5.

    Ответ: (– 5; 0), (0; 5).

Пример 6. Найти нули функции у = (х + 1)∙(х – 2).

    Решение:

        Решаем уравнение (х + 1)∙(х – 2) = 0.

        х + 1 = 0 или х – 2 = 0; х1 = – 1, х2 = 2.

    Ответ: (– 1; 0), (2; 0).

Пример 7. Найти область значений функции .

    Решение:

        Оцениваем последовательно:

       .    Ответ: .

Пример 8. Найдите сумму целых значений функции у = 3 – 2 sin x.

    Решение:

        Оценим значение 3 – 2 sin x.

        .

        Сумма целых чисел: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

    Ответ: 15.

Пример 12. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке А(0; 2), проходящая через точку В(2; – 6). Задайте эту функцию формулой.

    Решение:

        Уравнение квадратичной функции у = ах2 + bх + с.

        1) точка А является вершиной параболы, следовательно .

            Уравнение примет вид: у = ах2 + с.

        2) точка А принадлежит графику, следовательно её координаты удовлетворяют уравнению, т.е. 2 = а ∙ 0 + с; с = 2. 

            Уравнение примет вид: у = ах2 + 2.

        3) график проходит через точку В. Её координаты также удовлетворяют уравнению: – 6 = а ∙ 22 + 2, – 8 = 4 ∙ а,          а = – 2.

        Получили уравнение у = – 2х2 + 2.

    Ответ: у = – 2х2 + 2.

Пример 13. Найдите g (x) , если f (x) = 2x – 3, g (f (x)) = x. Вычислите g (1).

    Решение:

        Так как нужно вычислить g (1), то это значит, что нужно найти x такое, что f (x) = 1.

        2x – 3 = 1, х = 2.

        Следовательно, g (f (x)) = 2, т.е. g (1) = 2.

    Ответ: g (1) = 2.

Пример 14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения кривых y=52x, y=53x-1 и через точку параболы y=(2x-1)2, в которой производная функции, задающей параболу, равна 8.

    Решение:

        1) найдём точку пересечения кривых:

          

        2) найдём точку параболы, в которой производная равна 8:  

                 3) прямая проходит через две точки (1; 25) и (1,5; 4). Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, имеем: 

        – 21х + 21 = 0,5у – 12,5;  – 42х + 42 = у – 25;  у = – 42х + 47.

    Ответ: у = – 42х + 47.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

    1) Вычислите значение функции  в точке х0 = 1.    2) Найдите значение функции  при х = 4.    3) Для функции  вычислите f(-1)-f(1).    4) Найдите g(f(x)), если  Вычислите g(f(2)).

Укажите длину интервала области определения для функций: 

    24) .

    25) y=log4(5x+6-x2)  

    26) y=log6(x2+3).

Укажите области значения функций:

    27) y=-3sinx.

    28) y=0,7cos3x.

    29) .

Решите задачи:

    30) Сколько натуральных значений может принять функция y=log2(4-x2) на всей области определения?

    31) Найдите сумму целых значений функции y=3cosx-5.

    32) Укажите функцию, областью значений которой является множество .    .

    33) Укажите график функции, возрастающей на отрезке [-3; 2]. 

    

    34) Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.

    1) y=-x0,5; 2) y=1-e-x; 3) y=ctg2x; 4) y=|-x|.

    35) Найдите нули функции .    36) Найдите нули функции  

    37) Найдите наименьшее значение функции f(x)=32x-1 на промежутке [-3; 1].

    38) Вычислите координаты точек пересечения графика функции у = – 2х2 + 4х + 6 с осью OY.

    39) Вычислите ординату точки пересечения прямой у = 5 – 2х с осью ОY.

    40) Укажите точки пересечения графиков функций у = 2х + 4 и у = – 2х.

    41) В каких точках график функции f (x) = 3x2 + 6x пересекает прямую у = 6 – х?

    42) Укажите промежутки возрастания функции y=sin3x на интервале .    43) Укажите промежутки убывания функции y=-2cosx на интервале .

Ответы

1) 0; 2) -3/14; 3) – 1; 4) 3; 5) ; 6) ; 7) 

Область определения и множество значений

$=\lbrace x \in \mathbb{R} | -1 Также

$y=\log \sqrt{1-x^2} \rightarrow \sqrt{1-x^2}=10^y \rightarrow 1-x^2=10^{2y}$

$\rightarrow x^2=1-10^{2y} \rightarrow x=\pm \sqrt{1-10^{2y}} \rightarrow R_f=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, 1-10^{2y} \geq 0 \rbrace$

$= \lbrace y \in \mathbb{R}|10^{2y} \leq 1 \rbrace = \lbrace y \in \mathbb{R}| y \leq 0 \rbrace=(-\infty,0]$


Упражнения
Найти область определения и множество значений.2$

Функции вида $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=\tan x, k(x)=\cot x$ называются тригонометрическими функциями. Область определения $f(x)=\sin x $ и $g(x)=\cos x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$. А области определения $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ следующие: $h(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos x=0 \rightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{2} \rightarrow$

$D_h=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

$h(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin x=0 \rightarrow x=k\pi \rightarrow$

$D_k=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

Также отметим, что $-1 \leq \sin x \leq 1 $ и $ -1 \leq \cos x \leq 1$. Следовательно,

$R_f=[-1,1] \,\,\,\,\,\, R_g=[-1,1]$

Множество значений of $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$.
Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin x+\cos x$.

Решение:
Область определения $\sin x $ и $\cos x$ это все действительные числа, следовательно область определения

$f(x)=\sin x+\cos x$

также все действительные числа.4 \pi x = 0 \rightarrow \sin \pi x=0 \rightarrow \pi x=k \pi \rightarrow x=k \in \mathbb{Z}$

Значит

$D_f=\mathbb{Z}$

Согласно $D_f=\mathbb{Z}$, можно переписать функцию как

$f(x)=\cos \pi x=\pm 1$

Теперь очевидно, что

$R_f= \lbrace \pm 1 \rbrace$


Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin (\log (\log x))$.

Решение:
Согласно тому, что уже было сказано относительно логарифмической функции

$D_f= \lbrace x| x \in \mathbb{R}; \log x>0,x>0 \rbrace$

$= \lbrace x| x\in \mathbb{R}, x>1,x>0 \rbrace =(1,+\infty)$

Также стоит отметить, что

$|\sin (\log (\log x))| \leq 1 \rightarrow |y| \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1$

Значит

$R_f=[-1,1]$

График $f$ это
Определение:
Пусть $f$ функция, у которой область определения это $D_f$. Функция $f$ является инъективной тогда и только тогда, если для всех $x_1$ и $x_2$ в $D_f$, если $f(x_1)=f(x_2)$, то $x_1=x_2$.{\log x} \rightarrow y=(f \circ g)_{(x)}\,\,\, x \in (0,1) \rightarrow 0 Теперь, для того, чтобы найти множество значений $g \circ f$, отметим, что

$Z=(g\circ f)_{(x)}=x \rightarrow x=Z\in (1,+\infty) \rightarrow Z>1 \rightarrow R_{g \circ f}=(1,+\infty)$

Графиком $f$ является
Графиком $g$ является
График $f \circ g$ это
График $g \circ f$ это

Пример:
Если $f(x)=x-1$ and $(f \circ g)_{(x)}=\dfrac{1}{x-1}$, то найти область определения и множество значений $g \circ f$.
Решение:
Сначала найдем $ g \circ f$

$f(x)=x-1 \rightarrow f(g(x))=g(x)-1 \rightarrow (f \circ g)_{(x)}=g(x)-1 \rightarrow \\ \dfrac{1}{x-1}=g(x)-1 \rightarrow g(x)=\dfrac{x}{x+1}$

Значит

$y=(g \circ f)_{(x)}=g(f(x))=\dfrac{f(x)}{f(x)-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$

Следовательно

$D_{g \circ f}=\lbrace x|x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \rbrace \rightarrow D_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace$

Также

$y=\dfrac{x-1}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2y-1}{y-1}$

$R_{g \circ f}=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, y \neq 1 \rbrace \rightarrow$

$R_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$

График $f$ это
График $f \circ g$ это
Графиком $g$ является
Графиком $g \circ f$ является

Упражнения

1) Если $f(x)=2^{\log_2 x}$ and $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-x}$, то найти область определения и множество значений $f \circ g$.2 2kx \,\,\, -1 \leq \sin 2kx \leq 1$

$\rightarrow \sin 2kx= \pm 1 \rightarrow y=\dfrac{1}{4} , \sin 2x=0 \rightarrow y=1$

$\rightarrow \dfrac{1}{4} \leq y \leq 1 \rightarrow R_f=[\dfrac{1}{4},1]$

Part 1

График показательной функции, область определения и область значений функции - Алгебра 11 класс - Osvita.name

 

1. Функция y=3x−1 образована от показательной функции y=3x (показательной функцией называется функция, которая записана в виде y=ax, где (a>0, a≠1). Чтобы построить график этой функции, необходимо составить следующую таблицу с произвольно выбранными значениями аргумента  x:

 

x −2 −1 0 1 2
y          

 

2. Чтобы вычислить соответствующие значения функции, необходимо подставить соответствующие значения аргумента x в формулу функции y=3x:

 

a) y=3−2=132=19

 

б) y=3−1=131=13

 

в) y=30=1

г) y=31=3

д) y=32=9

 

3. Вычисленные значения функции записываем в таблицу:

 

x

-2

-1

0

1

2

y

19

13

1

3

9


 

 

 

4. Используя таблицу, строим график функции y=3x:

 

5. Функцию y=3x−1 можно записать в виде y=f(x)+a, где a≠0.

 

* Если a>0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy на  a единиц вверх.

 

* Если a<0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy

Обратная функция | Алгебра

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

Пример.

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая.  Для построения прямой берём две точки.

   

   

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение  x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное  условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

1) x=y².

2)

   

Так как y≥0, то

   

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Сборник задач по математике | Методистов.нет: учебно-методические материалы для учителей и преподавателей

Автор: Оренбурова Д.В., преподаватель ГБПОУ СО «Губернский техникум м. р. Кошкинский»
Сборник задач по математике. Пособие для самостоятельной подготовки.
Кошки,2017 г.
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u §1. Алгебра и начала анализа. PAGEREF _Toc423305900 \h 51.1.Выражения и преобразования. PAGEREF _Toc423305901 \h 51.1.1.Степень с рациональным показателем. PAGEREF _Toc423305902 \h 51.1.2.Степени и корни. PAGEREF _Toc423305903 \h 61.1.3.Логарифмические и показательные выражения. PAGEREF _Toc423305904 \h 71.1.4. Тригонометрические выражения. PAGEREF _Toc423305905 \h 81.2.Уравнения. Системы уравнений. PAGEREF _Toc423305906 \h 91.2.1.Логарифмические и показательные уравнения. PAGEREF _Toc423305907 \h 91.2.2.Тригонометрические уравнения. PAGEREF _Toc423305908 \h 91.2.3.Иррациональные уравнения. PAGEREF _Toc423305909 \h 101.2.4. Графическое решение уравнения. PAGEREF _Toc423305910 \h 111.3. Неравенства. PAGEREF _Toc423305911 \h 111.3.1. Логарифмические и показательные неравенства. PAGEREF _Toc423305912 \h 111.3.2. Рациональные неравенства. PAGEREF _Toc423305913 \h 111.3.3.Графическое решение неравенств. PAGEREF _Toc423305914 \h 131.4. Функции. PAGEREF _Toc423305915 \h 151.4.1. Область определения функции. PAGEREF _Toc423305916 \h 151.4.2. Множество значений функции. PAGEREF _Toc423305917 \h 161.4.3.График функции. PAGEREF _Toc423305918 \h 181.4.4. Производная функции, наибольшее и наименьшее значение функции. PAGEREF _Toc423305919 \h 211.4.5. Преобразования функции. PAGEREF _Toc423305920 \h 22§2. Геометрия. PAGEREF _Toc423305921 \h 242.1. Планиметрия. PAGEREF _Toc423305922 \h 242.1.1. Вписанная и описанная окружность. PAGEREF _Toc423305923 \h 242.1.2. Вписанная и описанная окружность, n- угольник. PAGEREF _Toc423305924 \h 242.1.3. Треугольник. PAGEREF _Toc423305925 \h 252.1.4. Параллелограмм. Квадрат. PAGEREF _Toc423305926 \h 252.1.5. Трапеция. PAGEREF _Toc423305927 \h 262.1.6. Окружность, касательная, секущая. PAGEREF _Toc423305928 \h 272.2. Стереометрия. PAGEREF _Toc423305929 \h 282.2.1. Пирамида. PAGEREF _Toc423305930 \h 282.2.2. Призма. Параллелепипед. PAGEREF _Toc423305931 \h 292.2.3. Конус. PAGEREF _Toc423305932 \h 302.2.4. Цилиндр. PAGEREF _Toc423305933 \h 30Ответы к сборнику задач. PAGEREF _Toc423305934 \h 31Литература. PAGEREF _Toc423305935 \h 35

§1. Алгебра и начала анализа.Выражения и преобразования.Степень с рациональным показателем.Упростите выражение.
a-112:a-67.a14:a-0,75.a-32:a23.a23:a0,5.a152:a4.8k3∙k312k-112.5t-12∙t112t-1.3u3∙u13u-23.2t52∙tt-12.a34-1∙a14a-312.Вычислите.
49-6-4−0,246.
64-2-3−17,23.
523532.
0,12523-0,2532.
0,2164932.
2∙41431223∙3-4322312.
15∙4-2-12∙10-2. Найдите максимальное из чисел 234,323, 414.
Представьте выражение 31,5∙3-4,53-2 в виде степени с основанием 3.
Представьте выражение 5-3,6∙54,852,2 в виде степени с основанием 5.
Степени и корни.Вычислите.
30,12∙3-1,8.518∙5-432.314∙3196.46∙4216.472∙18.336∙48.4108∙12.12∙108.Сократите дробь.
4x+4yx-y.x13-y133x2-3y2.3x-3y3x2-3y2.x+y3x+3y.y-xx-2xy+y.3x2+3y2+23xy3y2-3x2.a-1+a-2a-1a.3x+3y3y+26yx+3x.3x-3y3x+6xy+3yy-x.3x-3yx+y.Упростите выражение.
a∙b33a2∙4b.a3∙3b2a∙6b.m5∙m3∙-m2∙m4.-72n∙-18n2.675c715c5.36464m2034m2∙316m2.9m23∙m-436m5.531n-1∙n315n∙5n-1.Упростите для положительного a выражение 477∙33a4∙435∙7a4.Упростите для отрицательного a выражения 8a3+a-3∙a3+2a3-2.Логарифмические и показательные выражения.Найдите значение выражения log2a13, если log4a3=9.Найдите значение выражения log5125a, если loga5=13.Найдите 2log2c, если c=25.Найдите log5125a, если log5a=3.Найдите значение log2a22, если log2a=3.Найдите значение log133b-2, если log13b=2.Найдите 3log9c, если c4=36.Найдите log10c +log1c, если c2=104.Найдите значение выражения: logabp, если-logab=2.Найдите значение выражения: ln10k, если loge=n.Вычислите.
log15-log45log18-log2.log33+log312log312-log32.53+log52.3log32+3.eln7-8.2log31+log0,50,5∙2log0,20,2.2∙2log41+log39log836-2log834.ln4ln3∙log23.8,5log8,56-log8,52.log618+log6log2log5625.1.1.4. Тригонометрические выражения.Найдите значение выражения
3sin23α-2sinπ-α+3cos23α, при α=π6.
sin2α-π4+2cosπ2+α+cos2α-π4, пи α=π3.12sin2π3-α-sin3π2-α+12cos2π3-α, при α=π6.sin2πα3-2cos3π2+2α+cos2πα3, при α=π6.cosα∙cosπ2-α+2sin32π+α-sinα∙sinπ2-α, при α=π6.sinα∙cosα-π2-2cosπ-α-sinα-π2∙cosα, при α=π3.tgα+tgπ4-α1-tgα∙tgπ4-α+2tgα, при α=π2.12∙tg2α∙tgπ-α∙tgπ2-2α, при α=π3.3tgπ2-3π∙ctg2π+α∙tg3α, при α=π4.tgπ-2α∙tgπ2+α∙tgα-π2, при α=π6.Упростите выражение.
1+tg2α∙sin2α.
4sinαcosαcos2α-sin2α.
8cos2α4-sin2α4sinα4cosα4.
94sinx94tgx:2cosx.
2tgx∙2ctgx.5tg2x∙cos2x+5sin2x∙ctg2x-10.
1+1cos2α-1∙ctgα∙1tgα.4cos4α+8sin2αcos2+4sin4α.
2sin22x+4+2cos22x.
1-sin4αsin2α∙1+sin2α.
Упростите выражение 10,5-3sin2x, если cosx=-1.
Упростите выражение 6,8+2cos2x, если sinx=12.
Упростите выражение 6tgx-1, если ctgx=3.
Упростите выражение tg2x2+0,5, если cosx=13.
Упростите выражение ctg2x4+0,25, если sinx=14.
Уравнения. Системы уравнений.Логарифмические и показательные уравнения.Найдите сумму корней уравнения.
log331-x2=log33xx+1.log31-x2=log32x+1.log51-x2=log55x2x+1.Найдите произведение корней уравнения.
log42x+12=3.log3x-24=8.log12x+34=4.log3x-12=-2.Тригонометрические уравнения.Решите уравнение.
sinx∙1cos2x-1=-ctg2x.tgx-1tg2x=2-1sin2x.
2ctg2x=1sin2x-1.
ctgπ2-x=13.sinπ2-x=-12.cosπ2-x=32.tgπx-π2=3.2cosπx-π=2.tg2x=−1.
sinx2-π6+1=0.1ctgx-3=0.ctg5x22=0,25.
sinx+3π2=0.cosx-π2=0.ctgx+3π2=0.2sinx=3.2cosx2=1.5sinx=0.
cos2x=0.tg2x=13.Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения.
sin-x=12.cos-x=32.sin-x=-12.ctgπ2-x=13.Иррациональные уравнения.Пусть x0- наименьший корень уравнения:
6-4x-x2=x+4. Найдите 2∙x0-1.Пусть x0- неположительный корень уравнения:
1-4x-x2=x-1. Найдите 3∙x0+2.Пусть x0- наименьший корень уравнения:
8-6x-x2=x+6. Найдите 2-x0.Найдите сумму корней уравнения: 4-6x-x2=x+4.Найдите среднее арифметическое корней уравнения.
x2-5--4x=0.x2+3x+7-1-2x=0.Найдите наименьший корень уравнения.
2-3x-4∙4x-1-2=0.1-2+3x∙4x+6-3=0.2x-3-2∙10-3x-1=0.1.2.4. Графическое решение уравнения.На рис. 1 изображен график функции y=fx. Найдите количество целых корней уравнения fx=0.
На рис. 2 изображен график функции y=fx. Найдите количество целых корней уравнения fx=0.
1.3. Неравенства.1.3.1. Логарифмические и показательные неравенства.Решите неравенство.
35-3x-1≥0.252+3x-2≥-1.351-2x-1≥0.35x+3-91-x≤0.347x+3-345x-2≤0.32x-1+32x-2≥4.log0,252-0,5x>-1.log0,51-0,5x>-3.log0,20,2-0,5x>1.log0,251-2,5x>-1.Найдите сумму всех целых решений неравенства.
3x+31-x-1≥0.12x+1x-2-1≥0.1.3.2. Рациональные неравенства.Решите неравенство.
2x-15-4x8+x≥0.2-xxx-3≥0.x3-xx-2≥0.x-2x+3x≥0.x-25x+3≤-12.2x+12-3x≥13.5-7x2x+5≥3.3x6x-7x+5≥0.4+x3+4x3-x≥0.3x-45x-32x+4≥0.5-7x5x+33x-7≤0.1-3x4-x5-2x≥0.17-6x2x+35-11x≥0.3-4x5-x≤2.12x-610-5x4+7x≤0.4-3x9-3x8-2x≥0.x+13-2xx-5≤0.x-75+x4x-20≥0.0,7+x10-x2x+5<0.13-x4+x2x+5>0.Укажите количество целых решений неравенства.
x21-x2+x>0.x-22x-3x+2<0.x+122-xx+3>0.x+22x+33-x>0.26-x7-3xx≥0.Графическое решение неравенств.На рис.3 изображен график функции y=fx. Укажите множество решений неравенства fx≤0.
На рис.4 изображен график функции y=fx. Решите неравенство fx<0.
Решите неравенство fx-1≥0, если на рисунке изображен график функции y=fx, заданная на промежутке -4;7 (рис.5).
Решите неравенство fx-1>0, если на рисунке изображен график функции y=fx, заданная на промежутке -3;9 (рис.6).
Решите неравенство fx≤1, если на рисунке изображен график функции y=fx, заданная на промежутке -4;4 (рис.7).

Найдите количество целочисленных решений неравенства 2fx+1≤0, если на рисунке изображен график функции y=fx (рис.8).

Решите неравенство fx+2≥0, если на рисунке изображен график функции y=fx, заданной на промежутке -4;5 (рис.9).

На рис.10 изображен график функции y=fx, с областью определения -5;5. Найдите промежуток, не содержащий ни одного решения неравенства fx<0.

1.4. Функции.1.4.1. Область определения функции.Найдите область определения функции.
y=12-0,51-x.y=log0,525-x2.y=1,5-x-32.y=log79x-x2.y=0,25-2-2x+1.y=ln169-x2.y=log12x2-x3.y=log5x-3-log53x+4.y=log33-x-2x-2.y=log51+x22-3x.y=7∙log11x-1.y=ln7x+5-1.y=ln91,5-0,3x-127.y=122x-9-14.y=2tg2x+cos3x2.y=loglog0,62x+31.y=log53x+1-log54-x.y=4log82-x5.y=1-log0,110x.y=6log0,56x+1-1.На каком множестве совпадают функции.
y=eln3x-x2 и y=3x-x2?y=eln5-xx и y=5-xx?y=πlogπx+11-x и y=x+11-x?
Найдите все значения аргумента, при которых функция y=1tg22x+sin22x не определена.
Функция y=fx задана графиком на рис.11. Найдите область определения функции.

Функция y=fx задана графиком на рис.12. Найдите область определения функции.

Функция y=fx задана графиком на рис.13. Найдите область определения функции.

Функция y=fx задана графиком на рис.14. Найдите область определения функции.

1.4.2. Множество значений функции.Найдите множество значений функции.
y=1-2sinx.y=12cosx+32.y=3∙2x+2.y=8πarctg2x-1.y=2arcctgx-π.y=4arctgx+2π.y=3πarcctgx2.y=110x-10.y=0,4x+7.y=log314cosx+53.y=log124-3x.y=-sinx.y=12x-3.y=cosx+2.y=17-10cosx.y=7lnx2+1-3.y=3tgx-1.Функция y=fx задана на промежутке -7;6 (рис.15). Найдите ее область значений.

Функция y=fx задана на промежутке -8;7 (рис.16). Найдите ее область значений.

Функция y=fx задана на промежутке -8;7 (рис.17). Найдите ее область значений.

График функции.На одном из рисунков изображен график функции y=x2 (рис.18). Укажите этот рисунок.

Укажите график функции, заданной формулой y=sinx (рис.19).

Укажите график функции, заданной формулой y=x-1x (рис.20).

Укажите график функции, заданной формулой y=1x+1 (рис.21).

Укажите график функции, заданной формулой y=x2-2x+2 (рис.22).

Укажите график четной функции (рис.23).

Укажите график функции, возрастающей на отрезке -1;1 (рис.24).

Функция задана графиком на рис.25. Укажите множество ее значений.

Функция задана графиком на рис.26. Укажите множество ее значений.

Укажите график четной функции (рис.27).

Функция y=fx задана графиком на промежутке -5;5 (рис.28). Укажите количество точек минимума этой функции.

Функция y=fx задана графиком на промежутке -5;5 (рис.29). Укажите наибольшее значение функции.

1.4.4. Производная функции, наибольшее и наименьшее значение функции.Найдите производную функции.
y=x7-2cosx+18.y=2x+4x3.y=1x-xex.y=x3lnx+ln5.y=sinex-9x3.y=sin5-2x.y=cos4-13x.y=sin2-57x.y=x3-3sin2x-6.Найдите значение производной функции в точке x0.
y=x2∙ex, x0=1.y=ex∙sinx, x0=1.y=xlnx, x0=e.y=2sin3x+π2-π2+e3,x0=π3.y=lnx+3x2,x0=23.y=ex∙lnx, x0=e.y=14x+3,x0=-1.y=2x+1cosx,x0=π4.y=x2+1x-1,x0=3.y=sinx2x-4,x0=π2.y=ctgx-56π+2,x0=213π.y=x3-6x2+12x-1,x0=2.y=3ln3x-2cosx3-1,x0=3.y=tgxcosx,x0=π6.y=sinxlnx,x0=e.Через точку графика функции y=fx с абсциссой x0 проведена касательная. Найдите угловой коэффициент этой касательной.
y=x+x3+1x, x0=1.y=log3x+2x2,x0=1.y=sin2x3+1, x0=π3.y=ctg2πxπ+4x, x0=18.y=x34-2x4+x23+x2-1,x0=2.y=e4x+4+ln2x+3+4, x0=-1.При движении тела по прямой скорость V(в м/с) от начальной точки изменяется по закону Vt=t2-3t+1 (t- время в секундах). Найти ускорение (м/с2) тела через 6 секунд после начала движения.
При движении тела по прямой скорость V(в м/с) от начальной точки изменяется по закону Vt=3t2-2t+1 (t- время в секундах). Найти ускорение (м/с2) тела через 3 секунд после начала движения.
При движении тела по прямой скорость V(в м/с) от начальной точки изменяется по закону Vt=2t2-t+1 (t- время в секундах). Найти ускорение (м/с2) тела через 5 секунд после начала движения.
При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки изменяется по закону St=t44-t33+t2+1 (t- время в секундах). Найти ускорение (м/с) тела через 4 секунд после начала движения.
При движении тела по прямой скорость S(в м/с) от начальной точки изменяется по закону St=t3-t2+5t+1 (t- время в секундах). Найти ускорение (м/с) тела через 3 секунд после начала движения.
1.4.5. Преобразования функции.Для функции y=fx найдите первообразную, график которой проходит через точку M .
y=12cosx, Mπ2;32.y=2cos2x,M-π4;0.y=sin2x, Mπ2;1.y=12x-3ex, M1;2-3e.y=2e2-3x, M1;2e-1.Известно, что график первообразной F(x) для функции fx=-x3+3x2, прямая x=2 и ось абсцисс пересекаются в одной точке. Найдите F(-2).
Известно, что график первообразной F(x) для функции fx=3x2+5x, прямая x=-2 и ось абсцисс пересекаются в одной точке. Найдите F(2).
Известно, что график первообразной F(x) для функции fx=-5x4+4x3+1, прямая x=-1 и ось абсцисс пересекаются в одной точке. Найдите F(1).
Для функции fx=1x2-1 найдите первообразную F(x), график которой пересекает ось Ox в точку с абсциссой равной -1.
Для функции fx=1x+2 найдите первообразную F(x), график которой пересекает ось Ox в точку с абсциссой равной 4.
Для функции fx=4x3+3 найдите первообразную F(x), график которой пересекает ось Ox в точку с абсциссой равной 1.
Точка движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону Vt=3t2-6t м/с. В момент времени t=2 с тело находится на расстоянии S=23 м от начала отсчета. Укажите формулу, которой задается зависимость расстояния от времени.
Точка движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону Vt=9t2-4 м/с. В момент времени t=2 с тело находится на расстоянии S=21 м от начала отсчета. Укажите формулу, которой задается зависимость расстояния от времени.
Точка движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону Vt=6t2-10t м/с. В момент времени t=3 с тело находится на расстоянии S=8 м от начала отсчета. Укажите формулу, которой задается зависимость расстояния от времени.
§2. Геометрия.2.1. Планиметрия.2.1.1. Вписанная и описанная окружность.В треугольнике ABC синус угла C равен 35, AC=5, BC=4. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности, если AB<AC.В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок MN, M∊AC, N∊BC, который касается ее и параллелен стороне AC. Определите периметр трапеции AMNB, если длина отрезка MN равна 6.
Около равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) с углом B, равным 30°, описана окружность радиусом 72. Ее диаметр AD пересекает сторону BC в точке E. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника AEC.
Около окружность радиуса 3 описан равносторонний треугольник. К этой же окружности проведена касательная, отсекающая от данного треугольника меньший треугольник. Найдите периметр меньшего треугольника.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Скалярное произведение векторов OA и OC равно 3-22 . Найдите длину стороны AB, если ∠ABC=60° и ∠BCA=75°.
2.1.2. Вписанная и описанная окружность, n- угольник.Около круга радиуса 2, вписана равнобедренная трапеция с острым углом 30°. Найдите длину средней линии трапеции.
Радиус окружности, вписанной в ромб, в четыре раза меньше одной из его диагоналей и равен 43 . Найдите периметр этого ромба.
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, площадь которого равна 723.
Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный шестиугольник, к площади круга, описанного около этого шестиугольника.
В равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 36, вписана окружность радиуса 12. Найдите наименьшее основание трапеции.
Около окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.
В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина высоты 8. Найдите диаметр описанной около трапеции окружности.
2.1.3. Треугольник.В треугольнике АВС точка D делит сторону АС на отрезки AD=3 и вс=13; ∠BAC=60°; ∠ABD=∠ACB. Найдите площадь треугольника ABC.
В треугольнике ABC точка D делит сторону AC на отрезки AD=4 и DC=5; ∠BAC=30°; ∠ABD=∠ACB. Найдите площадь треугольника ABC.
В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине B равен 120°. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника, до основания треугольника равно 23, а до боковых сторон равно 1. Найти AC.
В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 120°. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника, до основания треугольника равно 13 , а до боковых сторон равно 3. Найти AC.
В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 120°, а радиус вписанной окружности 2-3. Найдите АС.
В треугольнике АВС сторона ВС равна 297 и она больше половины стороны АС. Найдите сторону АВ, если медиана ВМ равна 12, а площадь треугольника АВС равна 96.
В треугольнике АВС сторона АВ равна 10, угол А – острый. Найдите медиану ВМ, если AC=20, а площадь треугольника АВС равна 96.
В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, а длина стороны ВС равна 40. Найдите сторону АВ, если длина биссектрисы BD равна 39.
Отрезки АВ и CD пересекаются а точке М так, что BM=MC=4, AM=MD=5. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника CBD.
Дан треугольник АВС. Известно, что AC=10, BC=12 и ∠CAB=2∠CBA. Найдите длину стороны АВ.
2.1.4. Параллелограмм. Квадрат.В параллелограмме ABCD угол BAD равен 120°. Биссектриса угла ADC пересекает прямую АВ в точке Е. В треугольнике ADE вписана окружность с центром в точке О. Найдите периметр треугольника ADE, если AO=7-43.
Дан параллелограмм ABCD с тупым углом при вершине В. Синус угла BAD равен 223, а длина стороны АВ равна 6. Найдите периметр треугольника АВС, если площадь параллелограмма равна 202.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекается в точке О. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен 36. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AOD, если ∠ABD=45°, а ∠ACD=75°.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекается в точке О. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен 72. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника СOD, если ∠BAC=30°, а ∠BCA=15°.
Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, составляющие с пересекаемыми сторонами квадрата угол 60°. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения проведенных прямых со сторонами квадрата, если сторона квадрата равна 3.
2.1.5. Трапеция.В трапеции большее основание равно 25, одна из боковых сторон равна 15. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и нижним основанием пополам. Найдите площадь трапеции.
В трапеции ABCE основание AE равно 16, CE=83. Окружность, проходящая через точки А, В и С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н. найдите АС, если ∠AHB=60°.
Продолжение боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите периметр треугольника AED, если AB=3, BC=10,CD=4, AD=12.В трапеции ABCD с большим основанием AD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 4, а площадь треугольника AOD равна 9.
Найдите длину средней линии трапеции, в которой диагонали перпендикулярны, а их длины равны 10 и 24.
Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длину большего основания трапеции.
Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна 12, длина боковой стороны ВС равна 5. Найдите площадь трапеции.
Боковые стороны равнобедренной трапеции при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найдите длину большего основания трапеции, если ее площадь равна 12, а высота равна 2.
В равнобедренную трапецию, длина меньшего основания которой равна 4, можно вписать окружность. Найдите длину большего основания, если длина диагонали трапеции равна 89.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Известно, что AC=4, BD=5 и ∠CAD=2∠BDA. Найдите длину средней линии трапеции.
2.1.6. Окружность, касательная, секущая.Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до наиболее удаленной от нее точки А до точки касания касательной, если радиус окружности равен 13, а секущая удалена от центра окружности на 5 см.
В окружности радиуса 12 проведена хорда длины 6. Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.
Две окружности, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой, касаются друг друга в точке С. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, касающаяся этих окружностей в точках А и В. Найдите сумму АС+ ВС, если радиус меньшей окружности равен 32-2.
Из точки проведены к окружности две касательные. Расстояние от этой точки до каждой из точек касания равно 5. Найдите радиус окружности, если расстояние между точками касания равно 6.
Две касающиеся окружности одинакового радиуса 0,75 находятся внутри третьей окружности и касаются ее так, что диаметры всех трех окружностей лежат на одной прямой. Найдите радиус окружности, касающихся всех трех данных окружностей.
Точка О лежит на отрезке АВ так, что AO=13, OB=15. С центром в точке О проведена окружность радиусом 12. Из А и В к ней проведены две касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки касания лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите длину наибольшей стороны треугольника АМВ.
Из точки А окружности проведены две касательные, образующие угол 60° и касающиеся окружности в точках В и С. Третья касательная к данной окружности отсекает от треугольника АВС меньший треугольник. Найдите периметр меньшего треугольника, если периметр треугольника АВС равен 10,5.
В окружности проведена хорда MN длины 113 и диаметр МР. В точке N проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра МР за точку Р в точке Q под углом 30°. Найдите длину отрезка PQ.
В окружности радиуса 2-3 проведены хорда АВ и диаметр АС. В точке В проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АС за точку С под углом 60°. Найдите расстояние от центра окружности до хорды ВС.
2.2. Стереометрия.2.2.1. Пирамида.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 63. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°. Вычислите объем пирамиды.
Основание пирамиды - треугольник, две стороны которого равны 3 и 6 и образуют угол в 60°. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите объем пирамиды, если боковое ребро равно 21.Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Все двугранные углы пирамиды при сторонах основания равны. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если высота пирамиды равна5.
Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания, а ребро SC наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Найдите длину стороны основания пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину и середины сторон AD и CD, равна 58.
Высота правильной треугольной пирамиды равна 25,боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до боковой грани.
Найдите отношение площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды к площади ее основания, если сторона основания равна 1, а высота равна 6.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8, сторона основания равна 12. Вычислите площадь сечения, проведенного через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Объем треугольной пирамиды равен 81. Высота пирамиды разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найдите объем части пирамиды, находящейся между проведенными плоскостями.
В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно основанию. Найдите объем пирамиды, если ее наибольшее боковое ребро равно 73, а отрезок, соединяющий центр основания с вершиной пирамиды, равен 5.
В правильной треугольной пирамиде через сторону основания и середину противолежащего ребра проведена плоскость, которая оказалась перпендикулярной этому ребру. Найдите объем пирамиды, если площадь сечения пирамиды проведенной плоскостью равна 6162.
Дана правильная четырехугольная пирамида. Через диагональ основания и середину скрещивающегося с ней бокового ребра проведена плоскость, которая оказалась перпендикулярной этому ребру. Найдите объем пирамиды, если площадь сечения пирамиды проведенной плоскостью равна 6162.
В правильной треугольной усеченной пирамиде ребра нижнего и верхнего сечения оснований соответственно равны 53 и 3. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости нижнего основания под углом 60°. Найдите объем данной усеченной пирамиды.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD, где S- вершина, равна 8. Найдите расстояние между прямыми, содержащими ребра CD и SB, если высота пирамиды равна 3.
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA1B1C1D1 с боковыми ребрами AA1, BB1, CC1 и DD1 длины сторон оснований равны 5 и 11. Диагональ AC1 пирамиды равна 12. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2.2.2. Призма. Параллелепипед.Боковые ребра призмы ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит квадрат, наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину стороны основания призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 83.
Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB=CD=13, BC=11, AD=21. Площадь диагонального сечения призмы равна 180. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с углом в 60°. Найдите острый угол между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани, если отношение высоты призмы к стороне ее основания равно 2.
Объем правильной четырехугольной призмы равен 34324. Через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания проведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани по прямым, угол между которыми равен 2arcsin152. Найдите сторону основания призмы.
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием BC, равным 4, и боковой стороной длины 5. Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через ребро AB и вершину C1, равна 10. Найдите боковое ребро призмы.
2.2.3. Конус.Высота конуса равна 20, радиус основания равен 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, расстояние от центра основания конуса 12.
2.2.4. Цилиндр.Высота цилиндра равна 211. Вершина A и B правильного треугольника ABC со стороной, равной 12, расположены на окружности одного основания этого цилиндра, а вершина C- на окружности другого основания. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки A и C.

Ответы к сборнику задач.§1. Алгебра и начала анализа.
Выражения и преобразования.
Степень с рациональным показателем.
1.a-914. 2.a. 3.a-136. 4.a16. 5.a3,5. 6.8k8. 7.5t2. 8.3u4. 9.2t4. 10.a3. 11.343,754. 12.-1,23. 13.0,2. 14.0,125. 15.0,36.16.23.17.0.18.323.19.3-1.20.5-1.Степени и корни.
1.-0,6.2.-6.3.14.4.6.5.6.6.12.7.6.8.36.9.14x-4y.10.1x13+y13.11.13x+3y.12.3x2-3xy+3y2.13.1y-x.14.3y+3x3y-3x.15.a-1a.16.16y+6x.17.-1.18.13y+6xy+3x19.6a-1b3.20.a6b.21.m7.22.6n.23.35c.24.2m2.25.273m2.26.n.27.21a.28.-12.Логарифмические и показательные выражения.
1.2.2.6.3.32.4.1.5.5.6.-5.7.46.8.-2p.9.kn.10.-12.11.2.12.250.13.54.14.-1.15.4.16.3.17.2.18.3.19.2.Тригонометрические выражения.
1.1-3.2.12+32.3.1-3.4.-3. 5.2.6.1+23. 7.-32.8.3.9.-33.10.-23.11.tg2α.12.tg2α.13.2sinα.14.0,5.15.4.16.-5.17.2.18.4.19.6.20.ctg2α.21.10,5.22.8,3.23.1.24.4,5. 25.4.Уравнения. Системы уравнений.
Логарифмические и показательные уравнения.
1.12.2.13.3.17.4.-634..5.-5.6.354.7.89.Тригонометрические уравнения.
1. π2+πk, k∊Z.2.π4+πk, k∊Z.3.π2+πk, k∊Z.4.π6+πn, n∊Z.5.±23π+2πn, n∊Z.6.x=-1n∙π3+πn, n∊Z.7.-16+k, k∊Z.8.±34+2k, k∊Z.9.-π8+πn2, n∊Z.10.-2π3-4πk, k∊Z.11.π3-πk, k∊Z.12.π20+πn10, n∊Z.13.π2+πk, k∊Z.14.-πk, k∊Z.15.-πk, k∊Z.16. -1n∙π3+πn, n∊Z.17.±2π3+4πn, n∊Z.18.πn, n∊Z.19.π4+π2n, n∊Z.20.±π6+πn, n∊Z.21.π.22.0.23.-π.24.-23π.Иррациональные уравнения.
1.-3.2.неположительных корней нет.3.4.4.-1.5.-5.6.-52.7.83.8.-13.Графическое решение уравнений.
1.6.2.6.Неравенства.
Логарифмические и показательные неравенства.
1.-∞;53.2.-∞;-23.3.2;+∞.4.-∞;-17.5.-2,5;+∞.6.1;+∞.7.-4;4.8.-14;2.9.-0,4;0.10.-1,2;0,4.Рациональные неравенства.
1.-∞;-8∪12;54.2.-∞;0∪2;3.3.-∞;0∪2;3. 4.-3;0∪2;+∞. 5.-35;17.6.-19;23.7.-52;-1013.8.-5;0∪76;+∞.9.-∞;-4∪-34;3.10.-2;35∪43;+∞.11.-0,6;57∪213;+∞.12.-∞;13∪2,5;4.13.-32;511∪76;+∞.14.-3,5;5.15.-47;2∪3;+∞.16.-∞;43∪3;4.17.-1;1,5∪5;+∞.18.-5;5∪7;+∞.19.-2,5;-0,7∪10;+∞.20.-∞;-4∪-2,5;13.21.1.22.3.23.3.24.4.25.0.Графическое решение неравенств.
1.1;3∪-3.2.-3;-1.3.-3;-1∪4,5;7,5.4.-2,5;-0,5∪2;4.5.-4;-3∪-1;1.6.6.7.-4;-2∪2;4.8.-5;-2∪0;4.Функции.
Область определения функции.
1.-∞;0.2.-5;5.3.-∞;-1.4.0;9.5.0;+∞.6.-13;13.7.-∞;0∪0;1.8.3;+∞.9.2;3.10.-∞;-1∪-1;23.11.-∞;-11∪11;+∞.12.e-57;+∞.13.-∞;10.14.-∞;5,5.15.x≠π2n, n∈Z.16.-1,5;-1,2∪-1,2;-1.17.0,75;4.18.-∞;-3.19.0,01;+∞.20.-16;-112.21.0;3. 22. 0;5.23.-1;1.24.π4-π4k, k∈Z.25.-5;4.26.-3;4.27.-5;5.28.-4;5.Множество значений функции.
1.-1;3.2.1;2.3.2;+∞.4.-1;2π-1.5.-π;π. 6.0;4π.7.0;9.8.-10;+∞.9.7;+∞.10.-1;1.11.-2;+∞.12.0;1.13.-3;-2.14.1;3.15.7;16,9.16.-3;+∞. 17.0;+∞.18.-1;3.19.-3:4.20.-2;4.График функции.
1.2.2.3.3.4.4.1.5.3.6.4.7.-2;4. 8.-6;5.9.1.10.1.11.2. Производная функции, наибольшее и наименьшее значение функции.
1.y,=7x6+2sinx.2.2xln2+12x2. 3.-xex-ex-1x2.4.3x2lnx+x2. 5.excosex-27x2.6.y,=-2cos2x-5.7.y,=-13sin13x-4.8.y,=-57cos57x-2.9.y,=3x2-6cos2x.10.3e.11.e∙sin1+cos1.12.0.13.0.14.5,5.15.ee-1e+1.16.-4.17.-π24.18.0,5.19.-2π2.20.-1.21.0.22.1.23.1033.24.ecose-sinee.25.2,5.26.1ln3+4.27.-13.28.0.29.-5916.30.6.31.9.32.16.33.19.34.56.35.26.Преобразования функции.
1.12sinx+1.2.2tgx+2.3.-12cos2x+12. 4.12lnx-3ex+2.5.-16.6.16.7.0.8.-1x-x-2.9.2x+2x-12.10.-2x2+3x-1.11.t3-3t2+27.12.3t3-4t+5.13.2t3-5t2-1.§2. Геометрия.
2.1. Планиметрия.
Вписанная и описанная окружность, треугольник.
1.1.2.48.3.14.4.6.5.1.Вписанная и описанная окружность, n – угольник.
1.8.2.64.3.6.4.0,75.5.16.6.20.7.21,25.Треугольник.
1.48.2.6.3.16.4.14.5.2.6.10.7.12.8.62,4.9.1,25.10.4,4.Параллелограмм. Квадрат.
1.1.2.20.3.6.4.7.5.6.Трапеция.
1.240.2.8.3.54.4.25.5.13.6.15.7.45.8.8.9.10.10.1,125.Окружность, касательная, секущая.
1.13.2.16.3.1,5.4.4.5.3,75.6.0,5.7.30.8.7.9.11.10.0,5.Стереометрия.
Пирамида.
1.36.2.9.3.75.4.1.5.2.6.3.7.45.8.48.9.21.10.32.11.2.12.4.13.93.14.4,8.15.160.Призма. Параллелепипед.
1.2.2.906.3.60°.4.7.5.1,6.Конус.
1.500.Цилиндр.
1.3,75.
Литература.Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков. – 3-е изд. – М.:Издательский центр «Академия», 2009.
Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков. – 3-е изд. – М.:Издательский центр «Академия», 2009.
А.Н. Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М., 2002
А.В.Погорелов Геометрия. 7- 11кл. – М., 1999
Геометрия, 10-11: учеб. Для образоват. Учреждений / Л.С Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. М.: просвещение, 2004
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10=-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2000
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10=-11 кл.: Задачник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2000
Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. 2005.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. – М., 2005.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2005.
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М., 2006.
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2006.
Шарыгин И.Ф. Геометрия (базовый уровень) 10—11 кл. – 2005.
Интернет-ресурсы:
http://www.math.ruГазета "Математика" издательского дома "Первое сентября"
http://mat.1september.ruМатематика в Открытом колледже
http://www.mathematics.ruМатематика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ
http://school.msu.ruМатериалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов
http://school_collection.edu.ru/collection/matematika/Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО)

Wolfram | Примеры альфа: домен и диапазон


Домен и диапазон

Найдите область и диапазон математического выражения.

Вычислить область определения функции:

Вычислить диапазон функции:

Укажите ограничение на независимую переменную:

Вычислить как домен, так и диапазон:

Вычислить область и диапазон функции нескольких переменных:

Другие примеры

Домен

и диапазон | Безграничная алгебра

Введение в домен и диапазон

Область функции - это набор всех возможных входных значений, которые производят некоторый диапазон выходных значений

Цели обучения

Определите область и диапазон функции

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Для данной функции [latex] f [/ latex] набор значений [latex] x [/ latex] (входов) является доменом [latex] f [/ latex], а набор [latex] y [/ latex] значения (выходы) - это диапазон [latex] f [/ latex].
  • Область определения функции [latex] f [/ latex] - это все значения, для которых функция определена. Например, [latex] \ frac {1} {x} [/ latex] не определяется, если [latex] x = 0 [/ latex]. Кроме того, [latex] \ sqrt {x} [/ latex] не определяется, если [latex] x [/ latex] отрицательно.
  • Чтобы найти домен функции [latex] f [/ latex], вы должны найти значения, для которых [latex] f [/ latex] не определено. Итак, домен для [latex] \ sqrt {x} [/ latex] - [latex] x \ geq 0 [/ latex].
Ключевые термины
  • домен : набор всех точек, в которых определяется функция.
  • диапазон : набор значений, которые функция принимает в качестве выходных данных.
  • функция : отношение между двумя величинами, называемыми входом и выходом; для каждого входа есть ровно один выход.

Что такое область и диапазон функции?

Область функции - это набор входных значений [latex] x [/ latex], для которых определена функция. Домен показан в левом овале на картинке ниже. Функция предоставляет выходное значение [latex] f (x) [/ latex] для каждого члена домена.Набор значений, которые выводит функция, называется диапазоном функции, и эти значения показаны в правом овале на рисунке ниже. Функция - это отношение, которое принимает входные данные домена и выводит значения в диапазоне. Правило для функции состоит в том, что для каждого входа есть ровно один выход.

Отображение функции: Овал слева - это домен функции [latex] f [/ latex], а овал справа - это диапазон.Зеленые стрелки показывают, как каждый член домена сопоставляется с определенным значением диапазона.

Как вы можете видеть на иллюстрации, у каждого значения домена есть зеленая стрелка, указывающая ровно одно значение диапазона. Следовательно, это отображение является функцией.

По набору упорядоченных пар, приведенных в этом отображении, мы также можем сказать, что это функция, потому что ни одно из значений [latex] x [/ latex] не повторяется: [latex] (- 1,1), (1,1 ), (7,49), (0,5,0,25) [/ латекс]; поскольку каждый вход соответствует ровно одному выходу.(Обратите внимание, что хотя выходное значение [latex] 1 [/ latex] повторяется, только входные значения не могут повторяться)

Мы также можем сказать это отображение, и набор упорядоченных пар является функцией, основанной на графике упорядоченных пар, потому что точки не образуют вертикальную линию. Если бы значение [latex] x [/ latex] повторялось, были бы две точки, образующие график вертикальной линии, что не было бы функцией. Давайте посмотрим на это отображение и список упорядоченных пар, построенных на декартовой плоскости.

Упорядоченные пары: Это отображение или набор упорядоченных пар является функцией, потому что точки не образуют вертикальную линию.2 [/ латекс].

Важно отметить, что не все функции имеют набор действительных чисел в качестве своей области. Например, функция [latex] f (x) = \ frac {1} {x} [/ latex] не определена для [latex] x = 0 [/ latex], потому что вы не можете разделить число на [latex] 0 [/ латекс]. В этом случае домен [latex] f [/ latex] представляет собой набор всех действительных чисел , кроме [latex] 0 [/ latex]. То есть [латекс] х \ neq0 [/ латекс]. Таким образом, область определения этой функции - [latex] \ mathbb {R} - \ {0 \} [/ latex].

А как насчет функции [латекс] f (x) = \ sqrt {x} [/ latex]? В этом случае квадратный корень из отрицательного числа не определен, поэтому домен представляет собой набор всех действительных чисел, где [latex] x \ geq0 [/ latex].

Нахождение домена и диапазона: задана функция

Чтобы найти домен функции, если он не указан с самого начала, нам нужно посмотреть на определение функции, чтобы определить, какие значения не разрешены. Например, мы знаем, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа и нельзя разделить на [латекс] 0 [/ латекс]. Обладая этими знаниями, давайте найдем область определения функции.

Пример 1: Найдите домен:

[латекс] \ displaystyle f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {x-1} -2} + x [/ latex]

Во-первых, мы знаем, что не можем делить на [latex] 0 [/ latex], поэтому любое значение [latex] x [/ latex], которое вызывает деление на [latex] 0 [/ latex], не допускается в домене.В этом примере это происходит, когда:

[латекс] \ displaystyle \ sqrt {x-1} -2 = 0 [/ латекс]

Решая для [latex] x [/ latex], это происходит, когда [latex] x = 5 [/ latex], поэтому мы знаем, что [latex] x \ neq5 [/ latex].

Мы также знаем, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Это означает, что:

[латекс] \ displaystyle x-1> 0 [/ латекс]

После решения для [latex] x [/ latex] мы видим, что [latex] x> 1 [/ latex]. Таким образом, домен этой функции - это набор всех действительных чисел, таких что [latex] x> 1 [/ latex] и [latex] x \ neq5 [/ latex].

Следовательно, чтобы определить, какие значения отсутствуют в домене, вы должны найти значения, в которых функция не определена.

Визуализация домена и диапазона

Все значения в домене отображаются на значения в диапазоне, которые отображаются в виде графиков функций

Цели обучения

Используйте график функции, чтобы определить ее домен и диапазон

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Значения в домене отображаются на значения в диапазоне.
  • Тест горизонтальной и вертикальной линии может помочь определить тип связи между доменом и диапазоном.
Ключевые термины
  • диапазон : Набор значений (точек), которые может получить функция.
  • домен : набор всех точек, в которых определяется функция.
  • функция : любая математическая формула, которая дает один и только один результат для каждого ввода.

Обзор домена, диапазона и функций

Как указано в предыдущем разделе, область функции - это набор «входных» значений [latex] (x) [/ latex], для которых функция определена.{2} [/ latex] имеет диапазон [latex] f (x) \ geq0 [/ latex], потому что квадрат числа всегда дает положительный результат.

С учетом как области, так и диапазона, функция - это любая математическая формула, которая дает один и только один результат для каждого ввода. Следовательно, каждое заданное значение домена в результате имеет одно и только одно значение диапазона, но не обязательно наоборот. Другими словами, два разных значения [latex] x [/ latex] могут иметь одинаковое значение [latex] y [/ latex], но каждое значение [latex] y [/ latex] должно быть объединено с отдельным [ латекс] х [/ латекс] -значение.3 [/ латекс].

Пример 1: Определите область и диапазон каждого графика, изображенного ниже:

Оба графика включают все действительные числа [latex] x [/ latex] в качестве входных значений, поскольку оба графика продолжают влево (отрицательные значения) и вправо (положительные значения) для [latex] x [/ latex] (входные данные) . Кривые уходят в бесконечность в обоих направлениях; поэтому мы говорим, что домен для обоих графов - это набор всех действительных чисел, обозначенных как: [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

Если мы теперь посмотрим на возможные выходы или значения [latex] y [/ latex], [latex] f (x) [/ latex], (глядя вверх и вниз по оси [latex] y [/ latex], обратите внимание, что красный график НЕ включает отрицательные значения [latex] y [/ latex], тогда как синий график включает как положительные, так и отрицательные значения.3 [/ latex] (синий), поскольку все действительные числа могут быть входными значениями. Однако диапазон красного графика ограничен только значениями [latex] f (x) \ geq0 [/ latex] или [latex] y [/ latex] выше или равными [latex] 0 [/ latex]. Диапазон синего графика - все действительные числа, [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

Пример 2:
Определите область и диапазон каждого графика, изображенного ниже:

График домена и диапазона: Синий график - это тригонометрическая функция [latex] f (x) = sin (x) [/ latex] с доменом [latex] \ mathbb {R} [/ latex] и ограниченным диапазон [латекс] -1 \ leq y \ leq 1 [/ latex] (выходные значения существуют только в диапазоне от [latex] -1 [/ latex] до [latex] 1 [/ latex].Красный график - это функция [latex] f (x) = - \ sqrt {x} [/ latex] с ограниченным доменом [latex] x \ geq 0 [/ latex], а также с ограниченным диапазоном [latex] у \ leq0 [/ латекс].

Области рациональных и радикальных функций

Рациональные и радикальные выражения имеют ограничения на их области, которые можно найти алгебраически или графически.

Цели обучения

Вычислить область определения рациональной или радикальной функции, найдя значения, для которых она не определена

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Рациональное выражение - это отношение двух многочленов.Это может быть выражено как [латекс] \ displaystyle \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex].
  • Область рационального выражения установлена ​​так, что знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно, учитывая [латекс] \ displaystyle \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], [latex] Q (x) \ neq 0 [/ latex].
  • Чтобы определить область рационального выражения, установите знаменатель равным нулю, а затем решите относительно [латекс] x [/ latex]. Все значения [latex] x [/ latex], кроме тех, которые удовлетворяют [latex] Q (x) = 0 [/ latex], являются областью выражения.
  • Радикальное выражение выражается как [latex] \ sqrt x [/ latex] и может иметь другие корни, кроме квадратного.
  • Радикальная функция выражается как [latex] f (x) = \ sqrt x [/ latex] (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») - это функция, которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на сам.
  • Чтобы определить домен радикального выражения, установите подкоренное выражение равным нулю, а затем решите для [latex] x [/ latex]. Все значения [latex] x [/ latex], кроме тех, которые удовлетворяют [latex] \ sqrt x = 0 [/ latex], являются областью выражения.
Ключевые термины
  • radicand : число или выражение под знаком корня.
  • рациональное выражение : выражение, которое можно записать как частное двух многочленов.

Поиск областей рациональных функций

Рациональное выражение - это выражение, которое можно записать как отношение двух полиномиальных функций. Несмотря на то, что это называется рациональным выражением, ни коэффициенты многочленов, ни значения, принимаемые функцией, не обязательно являются рациональными числами.В случае одной переменной, [latex] x [/ latex], выражение называется рациональным тогда и только тогда, когда оно может быть записано в форме:

[латекс] \ displaystyle \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ латекс]

где [latex] P (x) [/ latex] и [latex] Q (x) [/ latex] являются полиномиальными функциями от [latex] x [/ latex], а [latex] Q (x) [/ latex] равно не нулевой многочлен [латекс] (Q (x) \ neq 0) [/ latex].

Область рационального выражения - это набор всех точек, знаменатель которых не равен нулю.2-5) = 0 [/ латекс]

Для решения разделите обе стороны на [латекс] 2 [/ латекс], добавьте [латекс] 5 [/ латекс] к обеим сторонам, а затем извлеките квадратный корень из обеих сторон, чтобы получить:

[латекс] \ displaystyle x = \ pm \ sqrt {5} [/ latex].

Следовательно, домен представляет собой набор всех действительных чисел, кроме квадратного корня из пяти или отрицательного квадратного корня из пяти.

Обратите внимание на график функции ниже. При значениях [латекс] x = \ pm \ sqrt {5} [/ latex] (что приблизительно равно [латекс] \ pm 2.2-2 \ справа)} {x} [/ латекс]

Алгебраически область - это набор всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку знаменатель не может быть равен нулю. Один из способов определить это - посмотреть на это графически. Мы можем видеть, что график не является непрерывным при [latex] x = 0 [/ latex], что указывает на то, что домен состоит из всех чисел, кроме [latex] x = 0 [/ latex]. Это имеет смысл, потому что при [latex] x = 0 [/ latex] нам пришлось бы разделить на ноль, который не определен. Линии графика становятся все ближе и ближе к значению [latex] x = 0 [/ latex], но никогда не соприкасаются.2-2 \ right)} {x} [/ латекс]. Чтобы определить область действия этой функции, мы можем построить график и найти, где функция не существует, в данном случае, когда [latex] x = 0 [/ latex].

Нахождение областей радикальных функций

Функция главного квадратного корня [latex] f (x) = \ sqrt x [/ latex] (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») - это функция, которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя.

Радикальная функция: Функция [latex] f (x) = \ sqrt x [/ latex] состоит из ограниченной области [latex] x \ geq 0 [/ latex] или неотрицательных действительных чисел, поскольку мы нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.2 [/ latex] будет [latex] \ sqrt y = \ pm x [/ latex]). При построении корней важно помнить, что отрицательные значения [latex] x [/ latex] не будут давать действительные числа. Это будет объяснено далее в разделе о мнимых числах.

Чтобы определить область определения радикальной функции алгебраически, найдите значения [latex] x [/ latex], для которых подкоренное выражение неотрицательно (установите его равным [latex] \ geq 0 [/ latex]), а затем решите для [ латекс] х [/ латекс]. Коренное слово и - это число или выражение под знаком корня.Все значения [latex] x [/ latex], кроме тех, которые удовлетворяют [latex] \ sqrt x \ geq 0 [/ latex], являются доменом функции.

Пример 3: Область применения радикальной функции:

[латекс] \ displaystyle f (x) = \ sqrt {x-3} +4 [/ латекс]

Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите для [latex] x [/ latex], чтобы найти ограничения для домена:

[латекс] \ displaystyle {x-3} \ geq 0 [/ латекс]

Следовательно [латекс] х \ geq 3 [/ латекс]. Итак, все действительные числа, большие или равные [latex] 3 [/ latex], являются областью определения функции.

Радикальная функция : График уравнения: [латекс] f (x) = \ sqrt {x-3} +4 [/ latex]. Функция имеет область значений всех действительных чисел, больших или равных [латекс] 3 [/ латекс], как показано на графике выше.

гиперболических функций | Функции | Сиявула

Теперь рассмотрим гиперболические функции вида \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \) и влияние параметра \ (p \).

Эффект \ (p \) - горизонтальный сдвиг, потому что все точки перемещаются на одинаковое расстояние в одном и том же направлении (весь график сдвигается влево или вправо).

Значение \ (p \) также влияет на вертикальную асимптоту, линию \ (x = -p \).

Эффект \ (q \) - вертикальный сдвиг. Значение \ (q \) также влияет на горизонтальные асимптоты, прямую \ (y = q \).

Значение \ (a \) влияет на форму графика и его положение на декартовой плоскости.

Знакомство с характеристиками

Для функций общего вида: \ (f (x) = y = \ frac {a} {x + p} + q \):

Домен и диапазон

Домен \ (\ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ ne -p \} \).Если \ (x = -p \), доминатор равен нулю и функция не определена.

Мы видим, что \ [y = \ frac {a} {x + p} + q \] можно переписать как: \ [y-q = \ frac {a} {x + p} \] Если \ (x \ ne -p \), то: \ begin {align *} \ влево (у-д \ вправо) \ влево (х + р \ вправо) & = а \\ х + р & = \ гидроразрыва {а} {у-д} \ end {выровнять *} Следовательно, диапазон равен \ (\ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ ne q \} \).

Эти ограничения на область определения и диапазон определяют вертикальную асимптоту \ (x = -p \) и горизонтальную асимптоту \ (y = q \).

Рабочий пример 9: Домен и диапазон

Определите домен и диапазон для \ (g (x) = \ frac {2} {x + 1} + 2 \).

Определить домен

Домен \ (\ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ ne -1 \} \), поскольку \ (g (x) \) не определен для \ (x = -1 \).

Определить диапазон

Пусть \ (g (x) = y \): \ begin {align *} y & = \ frac {2} {x + 1} + 2 \\ y - 2 & = \ frac {2} {x + 1} \\ (у-2) (х + 1) & = 2 \\ х + 1 & = \ frac {2} {y-2} \ end {выровнять *} Следовательно, диапазон равен \ (\ {g (x): g (x) \ in \ mathbb {R}, g (x) \ ne 2 \} \).

Присоединяйтесь к тысячам учащихся, улучшающих свои оценки по математике онлайн с помощью Siyavula Practice.

Зарегистрируйтесь здесь

Домен и диапазон

Упражнение 5.10

\ begin {align *} \ text {Домен:} & \ left \ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ neq 0 \ right \} \\ \ text {Диапазон:} & \ left \ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ neq 1 \ right \} \ end {выровнять *}

\ (g (x) = \ frac {8} {x - 8} +4 \)

\ begin {align *} \ text {Домен:} & \ left \ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ neq 8 \ right \} \\ \ text {Диапазон:} & \ left \ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ neq 4 \ right \} \ end {выровнять *}

\ (y = - \ frac {4} {x + 1} -3 \)

\ begin {align *} \ text {Домен:} & \ left \ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ neq -1 \ right \} \\ \ text {Диапазон:} & \ left \ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ neq -3 \ right \} \ end {выровнять *}

\ (x = \ frac {2} {3 - y} + 5 \)

\ begin {align *} x & = \ frac {2} {3 - y} + 5 \\ х -5 & = \ frac {2} {3 - y} \\ (х -5) (3 - у) & = 2 \\ 3 - y & = \ frac {2} {3x - 5} \\ - y & = \ frac {2} {x - 5} - 3 \\ \ поэтому y & = - \ frac {2} {x - 5} + 3 \\ \ text {Домен:} & \ left \ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ neq 5 \ right \} \\ \ text {Диапазон:} & \ left \ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ neq 3 \ right \} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} (у - 2) (х + 2) & = 3 \\ y - 2 & = \ frac {3} {x + 2} \\ \ поэтому y & = \ frac {3} {x + 2} + 2 \\ \ text {Домен:} & \ left \ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ neq -2 \ right \} \\ \ text {Диапазон:} & \ left \ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ neq 2 \ right \} \ end {выровнять *}

Перехватывает

\ (y \) - точка пересечения:

Для вычисления точки пересечения \ (y \) положим \ (x = 0 \).Например, \ (y \) - точка пересечения \ (g (x) = \ frac {2} {x + 1} + 2 \) определяется установкой \ (x = 0 \): \ begin {align *} g (x) & = \ frac {2} {x + 1} + 2 \\ g (0) & = \ frac {2} {0 + 1} + 2 \\ & = 2 + 2 \\ & = 4 \ end {выровнять *} Это дает точку \ ((0; 4) \).

\ (x \) - перехват:

Для вычисления точки пересечения \ (x \) положим \ (y = 0 \). Например, \ (x \) - точка пересечения \ (g (x) = \ frac {2} {x + 1} + 2 \) определяется установкой \ (y = 0 \): \ begin {align *} g (x) & = \ frac {2} {x + 1} + 2 \\ 0 & = \ frac {2} {x + 1} + 2 \\ -2 & = \ frac {2} {x + 1} \\ -2 (х + 1) & = 2 \\ -2x - 2 & = 2 \\ -2x & = 4 \\ х & = -2 \ end {выровнять *} Это дает точку \ ((- 2; 0) \).

перехватывает

Упражнение 5.11

\ (f (x) = \ frac {1} {x + 4} - 2 \)

\ begin {align *} f (x) & = \ frac {1} {x + 4} - 2 \\ \ text {Let} x & = 0 \\ f (0) & = \ frac {1} {4} - 2 \\ \ поэтому y_ \ text {int} & = (0; -1 \ frac {3} {4}) \\ \ text {Let} y & = 0 \\ 0 & = \ frac {1} {x + 4} - 2 \\ 2 & = \ frac {1} {x + 4} \\ 2 (х + 4) & = 1 \\ 2х + 8 & = 1 \\ 2x & = -7 \\ \ поэтому x & = - \ frac {7} {2} \\ \ поэтому x_ \ text {int} & = \ left (-3 \ frac {1} {2}; 0 \ right) \ end {выровнять *}

\ (g (x) = - \ frac {5} {x} + 2 \)

\ begin {align *} g (x) & = - \ frac {5} {x} + 2 \\ \ text {Let} x & = 0 \\ \ поэтому g (x) & \ text {не определено} \\ \ поэтому \ text {no} & x- \ text {intercepts} \\ \ text {Let} y & = 0 \\ 0 & = - \ frac {5} {x} + 2 \\ -2 & = - \ frac {5} {x} \\ 2x & = 5 \\ \ поэтому x & = \ frac {5} {2} \\ \ поэтому x_ \ text {int} & = \ left (\ frac {5} {2}; 0 \ right) \ end {выровнять *}

\ (j (x) = \ frac {2} {x - 1} + 3 \)

\ begin {align *} j (x) & = \ frac {2} {x - 1} + 3 \\ \ text {Let} x & = 0 \\ j (0) & = \ frac {2} {- 1} + 3 \\ & = 1 \\ \ поэтому y_ \ text {int} & = (0; 1) \\ \ text {Let} y & = 0 \\ 0 & = \ frac {2} {x - 1} + 3 \\ -3 & = \ frac {2} {x - 1} \\ -3 (х-1) & = 2 \\ -3x + 3 & = 2 \\ -3x & = -1 \\ \ поэтому x & = \ frac {1} {3} \\ \ поэтому x_ \ text {int} & = \ left (\ frac {1} {3}; 0 \ right) \ end {выровнять *}

\ (h (x) = \ frac {3} {6 - x} + 1 \)

\ begin {align *} h (x) & = \ frac {3} {6 - x} + 1 \\ \ text {Let} x & = 0 \\ h (0) & = \ frac {3} {6} + 1 \\ & = \ frac {3} {2} \\ \ поэтому y_ \ text {int} & = \ left (0; \ frac {3} {2} \ right) \\ \ text {Let} y & = 0 \\ 0 & = \ frac {3} {6 - x} + 1 \\ -1 & = \ frac {3} {6 - x} \\ - (6 - х) & = 3 \\ -6 + х & = 3 \\ -3x & = -1 \\ \ поэтому x & = \ frac {1} {3} \\ \ поэтому x_ \ text {int} & = \ left (\ frac {1} {3}; 0 \ right) \ end {выровнять *}

\ (k (x) = \ frac {5} {x + 2} - \ frac {1} {2} \)

\ begin {align *} k (x) & = \ frac {5} {x + 2} - \ frac {1} {2} \\ \ text {Let} x & = 0 \\ k (0) & = \ frac {5} {2} - \ frac {1} {2} \\ & = 2 \\ \ поэтому y_ \ text {int} & = \ left (0; 2 \ right) \\ \ text {Let} y & = 0 \\ 0 & = \ frac {5} {x + 2} - \ frac {1} {2} \\ \ frac {1} {2} & = \ frac {5} {x + 2} \\ х + 2 & = 5 (2) \\ х & = 10-2 \\ \ поэтому x & = 8 \\ \ поэтому x_ \ text {int} & = \ left (8; 0 \ right) \ end {выровнять *}

Асимптоты

Есть две асимптоты для функций вида \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \).Асимптоты указывают значения \ (x \), для которых функция не существует. Другими словами, значения, исключенные из домена и диапазона. Горизонтальная асимптота - это прямая \ (y = q \), а вертикальная асимптота - это прямая \ (x = -p \).

Асимптоты

Упражнение 5.12

\ (y = \ frac {1} {x + 4} - 2 \)

\ begin {align *} \ text {Вертикальная асимптота:} y & = -2 \\ \ text {Горизонтальная асимптота:} x & = -4 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ text {Вертикальная асимптота:} y & = 0 \\ \ text {Горизонтальная асимптота:} x & = 0 \ end {выровнять *}

\ (y = \ frac {3} {2 -x} + 1 \)

\ begin {align *} y & = \ frac {3} {2 -x} + 1 \\ & = \ frac {3} {- (x - 2)} + 1 \\ & = - \ frac {3} {x - 2} + 1 \\ \ text {Вертикальная асимптота:} y & = 1 \\ \ text {Горизонтальная асимптота:} x & = 2 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ text {Вертикальная асимптота:} y & = -8 \\ \ text {Горизонтальная асимптота:} x & = 0 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ text {Вертикальная асимптота:} y & = 0 \\ \ text {Горизонтальная асимптота:} x & = 2 \ end {выровнять *}

Оси симметрии

Есть две линии, относительно которых гипербола симметрична.

Для стандартной гиперболы \ (y = \ frac {1} {x} \) мы видим, что если мы заменим \ (x \ Rightarrow y \) и \ (y \ Rightarrow x \), мы получим \ (y = \ frac {1} {x} \). Аналогично, если мы заменим \ (x \ Rightarrow -y \) и \ (y \ Rightarrow -x \), функция останется той же. Следовательно, функция симметрична относительно прямых \ (y = x \) и \ (y = -x \).

Для сдвинутой гиперболы \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \) оси симметрии пересекаются в точке \ ((- p; q) \).

Для определения осей симметрии мы определяем две прямые \ (y_1 = m_1x + c_1 \) и \ (y_2 = m_2x + c_2 \).Для стандартной и сдвинутой гиперболической функции градиент одной из линий симметрии равен \ (\ text {1} \), а градиент другой линии симметрии равен \ (- \ text {1} \). Оси симметрии перпендикулярны друг другу, и произведение их градиентов равно \ (- \ text {1} \). Поэтому положим \ (y_1 = x + c_1 \) и \ (y_2 = -x + c_2 \). Затем мы подставляем \ ((- p; q) \), точку пересечения осей симметрии, в оба уравнения, чтобы определить значения \ (c_1 \) и \ (c_2 \).

Рабочий пример 10: Оси симметрии

Определите оси симметрии для \ (y = \ frac {2} {x + 1} - 2 \).

Определить точку пересечения \ ((- p; q) \)

Из уравнения видно, что \ (p = 1 \) и \ (q = -2 \). Таким образом, оси симметрии будут пересекаться в точке \ ((- 1; -2) \).

Определите два уравнения прямой линии

\ begin {align *} y_1 & = x + c_1 \\ y_2 & = -x + c_2 \ end {align *}

Решите относительно \ (c_1 \) и \ (c_2 \)

Используйте \ ((- 1; -2) \), чтобы найти \ (c_1 \):

\ begin {align *} y_1 & = x + c_1 \\ -2 & = -1 + c_1 \\ -1 & = c_1 \ end {выровнять *}

Используйте \ ((- 1; -2) \), чтобы найти \ (c_2 \):

\ begin {align *} y_2 & = -x + c_2 \\ -2 & = - (- 1) + c_2 \\ -3 & = c_2 \ end {align *}

Напишите окончательный ответ

Оси симметрии для \ (y = \ frac {2} {x + 1} - 2 \) - это прямые \ begin {align *} у_1 & = х - 1 \\ y_2 & = -x - 3 \ end {align *}

Оси симметрии

Упражнение 5.13

\ (f (x) = \ frac {2} {x} \)

\ (g (x) = \ frac {2} {x} + 1 \)

\ (f (x) = - \ frac {3} {x} \)

\ (g (x) = - \ frac {3} {x + 1} \)

\ (f (x) = \ frac {5} {x} \)

\ (g (x) = \ frac {5} {x - 1} - 1 \)

Гипербола вида \ (k (x) = \ frac {a} {x + p} + q \) проходит через точку \ ((4; 3) \). Если оси симметрии пересекаются в точке \ ((- 1; 2) \), определите уравнение \ (k (x) \).

Набросок графов вида \ (f (x) = \ frac {a} {x + p} + q \)

Чтобы нарисовать графики функций вида \ (f (x) = \ frac {a} {x + p} + q \), нам нужно вычислить пять характеристик:

  • квадранта

  • асимптоты

  • \ (y \) - перехват

  • \ (x \) - перехватить

  • домен и диапазон

Рабочий пример 11: Построение гиперболы

Нарисуйте график \ (y = \ frac {2} {x + 1} + 2 \).Определите точки пересечения, асимптоты и оси симметрии. Укажите домен и диапазон функции.

Изучите уравнение вида \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \)

Заметим, что \ (a> 0 \), поэтому график будет лежать в первом и третьем квадрантах.

Определить асимптоты

Из уравнения мы знаем, что \ (p = 1 \) и \ (q = 2 \).

Следовательно, горизонтальная асимптота - это прямая \ (y = 2 \), а вертикальная асимптота - это прямая \ (x = -1 \).

Определите \ (y \) - точку пересечения

Перехватчик \ (y \) получается, если \ (x = 0 \): \ begin {align *} y & = \ frac {2} {0 + 1} + 2 \\ & = 4 \ end {выровнять *} Это дает точку \ ((0; 4) \).

Определите \ (x \) - точку перехвата

Перехватчик \ (x \) получается, если \ (y = 0 \): \ begin {align *} 0 & = \ frac {2} {x + 1} + 2 \\ -2 & = \ frac {2} {x + 1} \\ -2 (х +1) & = 2 \\ -2x -2 & = 2 \\ -2x & = 4 \\ х & = -2 \ end {выровнять *} Это дает точку \ ((- 2; 0) \).

Определить оси симметрии

Использование \ ((- 1; 2) \) для решения относительно \ (c_1 \): \ begin {align *} y_1 & = x + c_1 \\ 2 & = -1 + c_1 \\ 3 & = c_1 \ end {выровнять *} \ begin {align *} y_2 & = -x + c_2 \\ 2 & = - (- 1) + c_2 \\ 1 & = c_2 \ end {выровнять *} Следовательно, оси симметрии - это \ (y = x + 3 \) и \ (y = -x + 1 \).

Постройте точки и нарисуйте график

Укажите домен и диапазон

Домен: \ (\ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ ne -1 \} \)

Диапазон: \ (\ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ ne 2 \} \)

Рабочий пример 12: Построение гиперболы

Используйте горизонтальный и вертикальный сдвиги, чтобы нарисовать график \ (f (x) = \ frac {1} {x - 2} + 3 \).

Изучите уравнение вида \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \)

Заметим, что \ (a> 0 \), поэтому график будет лежать в первом и третьем квадрантах.

Набросок стандартной гиперболы \ (y = \ frac {1} {x} \)

Начните с наброска стандартной гиперболы \ (g (x) = \ frac {1} {x} \).

Вертикальная асимптота \ (x = 0 \), а горизонтальная асимптота \ (y = 0 \).

Определить вертикальный сдвиг

Из уравнения мы видим, что \ (q = 3 \), что означает, что \ (g (x) \) должен сместиться на \ (\ text {3} \) единицы вверх.

Горизонтальная асимптота также сдвинута на \ (\ text {3} \) единицы до \ (y = 3 \).

Определить горизонтальный сдвиг

Из уравнения мы видим, что \ (p = -2 \), что означает, что \ (g (x) \) должен смещаться на \ (\ text {2} \) единицы вправо.

Вертикальная асимптота также сдвинута на \ (\ text {2} \) единицы вправо.

Определите \ (y \) - точку пересечения

Перехватчик \ (y \) получается, если \ (x = 0 \): \ begin {align *} y & = \ frac {1} {0–2} + 3 \\ & = 2 \ frac {1} {2} \ end {выровнять *} Это дает точку \ ((0; 2 \ frac {1} {2}) \).

Определите \ (x \) - точку перехвата

Перехватчик \ (x \) получается, если \ (y = 0 \): \ begin {align *} 0 & = \ frac {1} {x - 2} + 3 \\ -3 & = \ frac {1} {x -2} \\ -3 (х - 2) & = 1 \\ -3x + 6 & = 1 \\ -3x & = -5 \\ х & = \ гидроразрыв {5} {3} \ end {выровнять *} Это дает точку \ ((\ frac {5} {3}; 0) \).

Определите домен и диапазон

Домен: \ (\ {x: x \ in \ mathbb {R}, x \ ne 2 \} \)

Диапазон: \ (\ {y: y \ in \ mathbb {R}, y \ ne 3 \} \)

Рабочий пример 13: Нахождение уравнения гиперболы по графику

Используйте приведенный ниже график, чтобы определить значения \ (a \), \ (p \) и \ (q \) для \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \).

Изучите график и выведите знак \ (a \)

Заметим, что график лежит во втором и четвертом квадрантах, поэтому \ (a <0 \).

Определить асимптоты

Из графика мы видим, что вертикальная асимптота равна \ (x = -1 \), следовательно, \ (p = 1 \). Горизонтальная асимптота равна \ (y = 3 \), следовательно, \ (q = 3 \). \ [y = \ frac {a} {x + 1} + 3 \]

Определите значение \ (a \)

Для определения значения \ (a \) подставляем точку на графике, а именно \ ((0; 0) \): \ begin {align *} y & = \ frac {a} {x + 1} + 3 \\ 0 & = \ frac {a} {0 + 1} + 3 \\ \ поэтому -3 & = a \ end {align *}

Напишите окончательный ответ

\ [y = - \ frac {3} {x + 1} + 3 \]

Построение графиков

Упражнение 5.14

По заданному графику гиперболы вида \ (y = \ frac {1} {x + p} + q \), определите значения \ (p \) и \ (q \).

\ begin {align *} y & = \ frac {1} {x + p} + q \\ \ text {Из графика} \ quad p & = 2 \\ q & = -1 \\ \ поэтому y & = \ frac {1} {x + 2} - 1 \ end {выровнять *}

По наброску функции вида \ (y = \ frac {a} {x + p} + q \), определите значения \ (a \), \ (p \) и \ (q \) .

\ begin {align *} y & = \ frac {a} {x + p} + q \\ \ text {Из графика} \ quad p & = 0 \\ q & = 2 \\ \ поэтому y & = \ frac {a} {x} + 2 \\ \ text {Subst.} (2; 0) \ quad 0 & = \ frac {a} {2} + 2 \\ -2 & = \ frac {a} {2} \\ -2 (2) & = а \\ \ поэтому a & = -4 \\ у & = - \ frac {4} {x} + 2 \ end {выровнять *}

Нарисуйте график \ (f (x) = - \ frac {3} {x} \), \ (x> 0 \).

Определите средний градиент графика между \ (x = 1 \) и \ (x = 3 \).

\ begin {align *} \ text {Средний градиент} & = \ frac {f (3) - f (1)} {3 - 1} \\ & = \ dfrac {- \ frac {3} {3} - \ left (- \ frac {3} {1} \ right)} {3-1} \\ & = \ dfrac {-1 +3} {2} \\ & = \ dfrac {2} {2} \\ & = 1 \ end {выровнять *}

Средний градиент между \ (x = 1 \) и \ (x = 3 \) равен \ (1 \).2+ \ frac {1} {2} (0)} \\ & = 3 \ times \ frac {4} {1} \\ & = 12 \ end {выровнять *}

Средний градиент в \ ((\ frac {1} {2}; - 6) \) больше, чем средний градиент между \ (x = 1 \) и \ (x = 3 \).

Эскиз кривой

В процессе построения кривой выполняются следующие шаги:

\ (1. \) Домен

Найдите область определения функции и определите точки разрыва (если есть).

\ (2. \) Перехватывает

Определите точки пересечения \ (x- \) и \ (y - \) функции, если это возможно.Чтобы найти точку пересечения \ (x - \), мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем уравнение для \ (x. \). Аналогично, мы устанавливаем \ (x = 0 \), чтобы найти \ (y- \ ) перехват. Найдите интервалы, в которых функция имеет постоянный знак \ (\ left ({f \ left (x \ right) \ gt 0} \ right. \) И \ (\ left. {F \ left (x \ right) \ lt 0} \ вправо). \)

\ (3. \) Симметрия

Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной, и проверьте периодичность функции. Если \ (f \ left ({- x} \ right) = f \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) в области, то \ (f \ left (x \ right) \) является четный и симметричный относительно оси \ (y - \).\ prime \ left (x \ right) \) и найдите критические точки функции. (Помните, что критические точки - это точки, в которых первая производная равна нулю или не существует.) Определите интервалы, в которых функция увеличивается и уменьшается с помощью теста первой производной.

\ (6. \) Локальный максимум и минимум

Используйте первый или второй производный тест, чтобы классифицировать критические точки как локальный максимум или локальный минимум. Вычислите значения \ (y - \) локальных экстремальных точек.

\ (7.2} - 6x + 2 = 0, \; \;} \ Rightarrow


{D = 36-4 \ cdot 3 \ cdot 2 = 12, \; \;} \ Rightarrow
{{x_ {1,2}} = \ frac {{6 \ pm \ sqrt {12}}} {6}} = {1 \ pm \ sqrt 3 \ приблизительно 0,42; \; 1,58.}
\]

При прохождении через точку \ (x = 1 - {\ large \ frac {{\ sqrt 3}} {3} \ normalsize}, \) производная меняет знак с плюса на минус (рисунок \ (1a \)). Следовательно, эта точка является максимальной. Аналогично устанавливается, что \ (x = 1 + {\ large \ frac {{\ sqrt 3}} {3} \ normalsize} \) является точкой минимума. Вычислить приблизительное значение функции в точках максимума и минимума:

\ [\ require {cancel} {y \ left ({1 - \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right)} = {{\ left ({1 - \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right) ^ 3}} - {3 {\ left ({1 - \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right) ^ 2}} + {2 \ left ({1 - \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right)} = {1–3 \ cdot \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} + {3 \ cdot {\ left ({\ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right) ^ 2}} - {{\ left ({\ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right) ^ 3}} - {3 \ left [{1 - \ frac {{2 \ sqrt 3}} {3}} + {{{\ left ({\ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right)} ^ 2}} \ right]} + {2 - \ frac {{2 \ sqrt 3}} {3}} = {\ cancel {1} ​​- \ sqrt 3 + \ cancel {1}} - {\ frac {{\ sqrt 3}} {9} - \ cancel {3}} + {2 \ sqrt 3 - \ cancel {1} ​​+ \ cancel {2}} - {\ frac {{2 \ sqrt 3}} {3}} = {\ frac {{9 \ sqrt 3 - \ sqrt 3 - 6 \ sqrt 3}} {9}} = {\ frac {{2 \ sqrt 3}} {9} \ приблизительно 0,38;} \]

Аналогично находим, что

\ [
{y \ left ({1 + \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right)}
= - {\ frac {{2 \ sqrt 3}} {9} \ приблизительно -0 , 38. {\ prime \ prime} \ left (x \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
{6x - 6 = 0, \; \;} \ Rightarrow
{x = 1 .2}}
= {\ left ({x + 2} \ right) \ left ({2x - \ cancel {2} + x + \ cancel {2}} \ right)}
= {3x \ left ({x + 2} \ вправо).}
\]

Стационарных точек

\ [
{y '\ left (x \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
{3x \ left ({x + 2} \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
{ {x_1} = 0, \; {x_2} = - 2.}
\]

Производная меняет знак, как показано на рисунке \ (3a. \). Следовательно, \ (x = -2 \) - точка максимума, а \ (x = 0 \) - точка минимума. В этих экстремальных точках функция имеет следующие значения:

\ [
{y \ left ({- 2} \ right) = - 4,} \; \; \; \ kern-0.3}}} = 0, \; \;} \ Rightarrow
{{x_1} = - \ sqrt 3, \; {x_2} = \ sqrt 3.}
\]

При прохождении через эти точки вторая производная меняет знак. Следовательно, обе точки являются точками перегиба. Функция строго выпуклая вниз в интервалах \ (\ left ({- \ infty, - \ sqrt 3} \ right) \) и \ (\ left ({\ sqrt 3, + \ infty} \ right) \) и соответственно, строго выпукло вверх в интервале \ (\ left ({- \ sqrt 3, \ sqrt 3} \ right). 2} + 1}} {{\ cancel {1} ​​- \ sqrt 2 - \ cancel {1}}}} = {\ frac {{1 - 2 \ sqrt 2 + 2 + 1}} {{- \ sqrt 2}}} = {\ frac {{4 - 2 \ sqrt 2}} {{- \ sqrt 2}}} = {\ frac {{4 - 4 \ sqrt 2}} {2}} = {2 \ left ({1 - \ sqrt 2} \ right) \ приблизительно {- 0.2} + 1}} {{\ cancel {1} ​​+ \ sqrt 2 - \ cancel {1}}}} = {\ frac {{1 + 2 \ sqrt 2 + 2 + 1}} {{\ sqrt 2} }} = {\ frac {{4 + 2 \ sqrt 2}} {{\ sqrt 2}}} = {\ frac {{4 + 4 \ sqrt 2}} {2}} = {2 \ left ({1 + \ sqrt 2} \ right) \ приблизительно {4.83}} \]

Теперь мы можем нарисовать график функции (рисунок \ (5b \)).

Определите асимптоты, область определения и диапазон функции. е (х) = 3 / (х + 2) + 1

Шаг 1) Объедините два термина.

f (x) = 3 / (x + 2) + 1 (x + 2) / (x + 2) = (3 + x + 2) / (x + 2) = (x + 5) / (x + 2)

Шаг 2) Найдите вертикальную асимптоту.n + ...), то горизонтальная асимптота y = a / c.

у = 1/1 → у = 1

Шаг 3) Найдите домен. Домен - это все допустимые значения, которые может принимать x. Ищем два ограничения. 1) Не может делиться на ноль и 2) Не может иметь отрицательного значения при четном корневом радикале.

Установите знаменатель, отличный от нуля, и решите относительно x.

х + 2 ≠ 0 → х ≠ -2

Это единственное значение, которое x не может быть, поэтому в нашем домене все вещественные числа, кроме -2.В обозначении конструктора множеств D = {x | x ≠ 0}. В интервальной записи x = (-∞, 2) U (2, ∞). Поскольку в задаче не указан формат для перечисления домена, я перечислил несколько способов выражения домена.

Шаг 4) Диапазон функции обычно определяется путем построения графика уравнения, что я не могу сделать на этой платформе. Большинство студентов используют графический калькулятор. Диапазон - это все допустимые значения y. Вы можете построить график вручную, составив xy-таблицу. Укажите точки, близкие к 2 слева и справа, и точки, расположенные далеко от 2.

х -10-8-6-4-2,5 -2,1 -2,001 -1,999 -1,9 -1,5 0 2 4 6 8 10

Y 0,625 0,5 0,25 -0,5 -5-29-2999 3001 31 7 2,5 1,75 1,5 1,375 1,3 1,25

Из списка мы видим, что чем ближе мы приближаемся к -2 от левого края, тем более отрицательным становится наше значение y. Когда мы приближаемся к -2 от левой стороны, значение y стремится к отрицательной бесконечности.Когда мы приближаемся к -2 справа, наше значение y стремится к положительной бесконечности. Когда x стремится к бесконечности, наше значение y приближается к единице сверху, а когда x стремится к отрицательной бесконечности, наше значение y приближается к 1 от основания. Таким образом, кажется, что наш диапазон - это все значения y, кроме 1. Ни один график не может пересекать горизонтальную асимптоту. Как убедиться, что график не пересекает горизонтальную асимптату? Просто установите y = 1 в исходном уравнении и решите относительно x. Если вы можете найти x, тогда график пересекает свою горизонтальную асимптоту, в противном случае - нет.Попробуйте это со своим уравнением.

14.1: Функции нескольких переменных

Нашим первым шагом является объяснение того, что такое функция нескольких переменных, начиная с функций двух независимых переменных. Этот шаг включает в себя определение области и диапазона таких функций и обучение их построению в виде графиков. Мы также исследуем способы связать графики функций в трех измерениях с графиками более знакомых плоских функций.

Функции двух переменных

Определение функции двух переменных очень похоже на определение функции одной переменной.2 \) на уникальное действительное число z . Множество \ (D \) называется областью определения функции. Диапазон \ (f \) - это набор всех действительных чисел z , который имеет хотя бы одну упорядоченную пару \ ((x, y) ∈D \) такую, что \ (f (x, y) = z \) как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Область определения функции двух переменных состоит из упорядоченных пар \ ((x, y) \).

Определение области определения функции двух переменных включает в себя учет любых ограничений области, которые могут существовать.2 \). Чтобы определить диапазон, сначала выберите значение z . Нам нужно найти решение уравнения \ (f (x, y) = z, \) или \ (3x − 5y + 2 = z. \). Одно такое решение можно получить, сначала положив \ (y = 0 \ ), что дает уравнение \ (3x + 2 = z \). Решением этого уравнения является \ (x = \ dfrac {z − 2} {3} \), что дает упорядоченную пару \ (\ left (\ dfrac {z − 2} {3}, 0 \ right) \) как решение уравнения \ (f (x, y) = z \) для любого значения \ (z \). Следовательно, диапазон функции - это все действительные числа или \ (R \).

г.2≤4 \), граница которого имеет окружность радиуса \ (2 \). Диапазон равен \ ([0,6]. \)

Графические функции двух переменных

Предположим, мы хотим построить график функции \ (z = (x, y). \) Эта функция имеет две независимые переменные (\ (x \) и \ (y \)) и одну зависимую переменную \ ((z) \) . При построении графика функции \ (y = f (x) \) одной переменной мы используем декартову плоскость. Мы можем построить график любой упорядоченной пары \ ((x, y) \) на плоскости, и каждая точка на плоскости имеет связанную с ней упорядоченную пару \ ((x, y) \).С функцией двух переменных каждая упорядоченная пара \ ((x, y) \) в области определения функции отображается в действительное число \ (z \). Следовательно, график функции \ (f \) состоит из упорядоченных троек \ ((x, y, z) \). График функции \ (z = (x, y) \) двух переменных называется поверхностью.

Чтобы более полно понять концепцию построения набора упорядоченных троек для получения поверхности в трехмерном пространстве, представьте плоскую систему координат \ ((x, y) \). Тогда каждая точка в области определения функции f имеет уникальное значение z , связанное с ней.2, \ nonumber \]

где \ (x \) - количество гаек, проданных в месяц (в тысячах), а \ (y \) - количество болтов, проданных за месяц (в тысячах). 2 = 16 -Z.\ end {align *} \]

Поскольку \ (z <16, \), мы знаем, что \ (16 − z> 0, \), поэтому предыдущее уравнение описывает круг с радиусом \ (\ sqrt {16 − z} \) с центром в точке \ (( 3,2) \). Следовательно. диапазон \ (f (x, y) \) равен \ (\ {z∈ \ mathbb {R} | z≤16 \}. \) График \ (f (x, y) \) также является параболоид, и этот параболоид указывает вниз, как показано.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): График данной функции двух переменных также является параболоидом.

Кривые уровня

Если туристы идут по пересеченным тропам, они могут использовать топографическую карту, показывающую, насколько круто меняются маршруты.Топографическая карта содержит изогнутые линии, называемые контурными линиями. Каждая горизонтальная линия соответствует точкам на карте, имеющим одинаковую высоту (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)). Линия уровня функции двух переменных \ (f (x, y) \) полностью аналогична контурной линии на топографической карте.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): (а) Топографическая карта Башни Дьявола, Вайоминг. Линии, расположенные близко друг к другу, указывают на очень крутой рельеф. (б) Перспективное фото Башни Дьявола показывает, насколько круты ее стены.2 = 5. \]

Это уравнение описывает круг с центром в начале координат и радиусом \ (\ sqrt {5} \). Использование значений c между \ (0 \) и \ (3 \) дает другие круги, также с центром в начале координат. Если \ (c = 3 \), то круг имеет радиус \ (0 \), поэтому он состоит исключительно из начала координат. На рисунке \ (\ PageIndex {7} \) показан график линий уровня этой функции, соответствующих \ (c = 0,1,2, \) и \ (3 \). Обратите внимание, что в предыдущем выводе возможно, что мы ввели дополнительные решения, возведя обе части в квадрат.2 = 25, \), который представляет собой окружность радиуса \ (5 \) с центром в \ ((3, −1). \)

Еще один полезный инструмент для понимания графика функции двух переменных называется вертикальной кривой. Кривые уровня всегда отображаются в плоскости \ (xy-plane \), но, как следует из их названия, вертикальные кривые отображаются в плоскостях \ (xz- \) или \ (yz- \). 2 \).Вертикальный след функции может быть либо набором точек, который решает уравнение \ (f (a, y) = z \) для данной константы \ (x = a \), либо \ (f (x, b ) = z \) для данной константы \ (y = b. \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \): поиск вертикальных следов

Найдите вертикальные следы для функции \ (f (x, y) = \ sin x \ cos y \), соответствующей \ (x = - \ dfrac {π} {4}, 0, \) и \ (\ dfrac { π} {4} \) и \ (y = - \ dfrac {π} {4}, 0 \) и \ (\ dfrac {π} {4} \).

Решение

Сначала задайте \ (x = - \ dfrac {π} {4} \) в уравнении \ (z = \ sin x \ cos y: \)

\ (z = \ sin (- \ dfrac {π} {4}) \ cos y = - \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos y} {2} ≈ −0.7071 \ cos y. \)

Это описывает косинусный граф на плоскости \ (x = - \ dfrac {π} {4} \). Остальные значения z показаны в следующей таблице.

Вертикальные следы, параллельные \ (xz-Plane \) для функции \ (f (x, y) = \ sin x \ cos y \)
\ (с \) Вертикальный след для \ (x = c \)
\ (- \ dfrac {π} {4} \) \ (z = - \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos y} {2} \)
0 \ (z = 0 \)
\ (\ dfrac {π} {4} \) \ (z = \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos y} {2} \)

Аналогичным образом мы можем подставить \ (значения y \) в уравнение \ (f (x, y) \), чтобы получить следы в \ (yz-plane, \), как указано в следующая таблица.

Вертикальные следы, параллельные \ (yz-плоскости \) для функции \ (f (x, y) = \ sin x \ cos y \)
\ (д \) Вертикальный след для \ (y = d \)
\ (\ dfrac {π} {4} \) \ (z = \ dfrac {\ sqrt {2} \ sin x} {2} \)
0 \ (г = \ грех х \)
\ (- \ dfrac {π} {4} \) \ (z = \ dfrac {\ sqrt {2} \ sin x} {2} \)

Три следа в \ (плоскости xz \) являются косинусоидальными функциями; три следа в \ (yz-плоскости \) являются синусоидальными функциями.2 \). Эта функция описывает параболу, раскрывающуюся вниз в плоскости \ (y = 3 \).

Функции двух переменных могут создавать поразительно выглядящие поверхности. На рисунке \ (\ PageIndex {11} \) показаны два примера.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Примеры поверхностей, представляющих функции двух переменных: (а) комбинация степенной функции и синусоидальной функции и (б) комбинация тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций.

Функции более двух переменных

До сих пор мы рассматривали только функции двух переменных.2) \ sin t− (3x + 5y) \ cos t. \]

В первой функции \ ((x, y, z) \) представляет точку в пространстве, а функция \ (f \) сопоставляет каждую точку в пространстве с четвертой величиной, такой как температура или скорость ветра. Во второй функции \ ((x, y) \) может представлять точку на плоскости, а \ (t \) может представлять время. Функция может сопоставлять точку на плоскости с третьей величиной (например, давлением) в данный момент времени \ (t \). Метод поиска области определения функции более двух переменных аналогичен методу для функций одной или двух переменных.2−4 \} \ nonumber \]

Функции двух переменных имеют кривые уровня, которые показаны как кривые на \ (xy-плоскости. \). Однако, когда функция имеет три переменных, кривые становятся поверхностями, поэтому мы можем определить поверхности уровня для функций трех переменных.

Определение: ровная поверхность функции трех переменных

Для функции \ (f (x, y, z) \) и числа \ (c \) в диапазоне \ (f \) поверхность уровня функции трех переменных определяется как множество точек, удовлетворяющих уравнению \ (f (x, y, z) = c.2 = 16 \) описывает сферу радиуса \ (4 \) с центром в точке \ ((1, −2,3). \)

1.4 Обратные функции - Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Определите условия, при которых функция имеет инверсию.
  • Используйте тест горизонтальной линии, чтобы распознать однозначное соответствие функции.
  • Найти обратное значение заданной функции.
  • Постройте график обратной функции.
  • Вычислить обратные тригонометрические функции.

Обратная функция отменяет операцию, выполняемую конкретной функцией. Другими словами, что бы ни делала функция, обратная функция отменяет это. В этом разделе мы формально определяем обратную функцию и формулируем необходимые условия для существования обратной функции. Мы исследуем, как найти обратную функцию, и изучаем взаимосвязь между графиком функции и графиком обратной. Затем мы применяем эти идеи для определения и обсуждения свойств обратных тригонометрических функций.

Начнем с примера. Учитывая функцию и результат, нас часто интересует, какое значение или значения были сопоставлены. Например, рассмотрим функцию. Поскольку любой выход, мы можем решить это уравнение, чтобы найти, что вход. Это уравнение определяется как функция от. Обозначив эту функцию как и написав, мы увидим, что для любого в домене. Таким образом, эта новая функция «отменила» то, что делала исходная функция. Функция с этим свойством называется функцией, обратной исходной функции.

Обратите внимание, что читается как «инверсия f». Здесь -1 не используется как показатель степени и. (Рисунок) показывает взаимосвязь между доменом и диапазоном и доменом и диапазоном.

Напомним, что функция имеет ровно один выход для каждого входа. Следовательно, чтобы определить обратную функцию, нам нужно сопоставить каждый вход ровно с одним выходом. Например, давайте попробуем найти обратную функцию для. Решая уравнение для, мы приходим к уравнению. Это уравнение не описывается как функция от, потому что для каждого существует два решения этого уравнения.Проблема с попыткой найти обратную функцию для состоит в том, что два входа отправляются на один и тот же выход для каждого выхода. Обсуждаемая ранее функция не имела этой проблемы. Для этой функции каждый вход был отправлен на другой выход. Функция, которая отправляет каждый вход на различных выходов , называется функцией "один-к-одному".

Определение

Мы говорим, что a является взаимно однозначной функцией if when.

Один из способов определить, является ли функция взаимно однозначной, - взглянуть на ее график.Если функция взаимно однозначна, то два входа не могут быть отправлены на один и тот же выход. Следовательно, если мы проведем горизонтальную линию в любом месте плоскости, согласно тесту горизонтальной линии , она не может пересекать график более одного раза. Отметим, что тест горизонтальной линии отличается от теста вертикальной линии. Тест вертикальной линии определяет, является ли график графиком функции. Тест горизонтальной линии определяет, является ли функция взаимно однозначной ((рисунок)).

Правило: Тест горизонтальной линии

Функция взаимно однозначна тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график не более одного раза.

Рис. 2. (a) Функция не является однозначной, потому что она не проходит тест горизонтальной линии. (b) Функция взаимно однозначна, потому что она проходит тест горизонтальной линии.

Определение того, является ли функция взаимно однозначной

Соответствует ли функция на следующем изображении однозначно?

Шесть основных тригонометрических функций периодичны, поэтому они не взаимно однозначны. Однако, если мы ограничим область определения тригонометрической функции интервалом, в котором она взаимно однозначна, мы можем определить ее обратную.Рассмотрим синусоидальную функцию ((рисунок)). Синусоидальная функция взаимно однозначна на бесконечном количестве интервалов, но стандартное соглашение заключается в ограничении области до интервала. Таким образом, мы определяем обратную синусоидальную функцию в области так, что для любого в интервале обратная синусоидальная функция сообщает нам, какой угол в интервале удовлетворяет. Точно так же мы можем ограничить области действия других тригонометрических функций, чтобы определить и обратные тригонометрические функции , которые являются функциями, которые сообщают нам, какой угол в определенном интервале имеет указанное тригонометрическое значение.

Определение

Функция обратного синуса, обозначенная или arcsin, и функция обратного косинуса, обозначенная или arccos, определены в области следующим образом:

Функция обратного тангенса, обозначенная или arctan, и функция обратного котангенса, обозначенная или arccot, определены в области следующим образом:

Обратная функция косеканса, обозначенная или arccsc, и обратная функция секанса, обозначенная или arcsec, определены в области следующим образом:

Для построения графиков обратных тригонометрических функций мы используем графики тригонометрических функций, ограниченных областями, определенными ранее, и отображаем графики относительно линии ((Рисунок)).

Рис. 5. График каждой из обратных тригонометрических функций является отражением линии соответствующей ограниченной тригонометрической функции.

Перейдите на следующий сайт, чтобы получить больше сравнений функций и их обратных.

При оценке обратной тригонометрической функции выходным значением является угол. Например, чтобы оценить, нам нужно найти такой угол, чтобы. Ясно, что многие углы обладают этим свойством. Однако, учитывая определение, нам нужен угол, который не только решает это уравнение, но и лежит в интервале.Делаем вывод.

Теперь рассмотрим композицию тригонометрической функции и ее обратной. Например, рассмотрим два выражения и. Для первого упрощаем следующим образом:

.

Для второго у нас

.

Предполагается, что обратная функция «отменяет» исходную функцию, так почему же нет? Вспоминая наше определение обратных функций, функция и ее обратная функция удовлетворяют условиям для всех в области и для всех в области, так что же здесь произошло? Проблема в том, что обратная синусоидальная функция является обратной синусоидальной функцией , ограниченной синусоидальной функцией , определенной в домене.Следовательно, для в интервале верно, что. Однако для значений вне этого интервала уравнение не выполняется, даже если оно определено для всех действительных чисел.

А что? Есть ли у этого похожая проблема? Ответ: нет . Поскольку область значений - это интервал, мы заключаем, что if и выражение не определено для других значений. Подводя итог,

и

.

Аналогично для функции косинуса

и

.

Аналогичные свойства сохраняются и для других тригонометрических функций и их обратных.

Вычисление выражений, включающих обратные тригонометрические функции

Оцените каждое из следующих выражений.

Максимальное значение функции

Во многих областях науки, техники и математики полезно знать максимальное значение, которое может получить функция, даже если мы не знаем ее точное значение в данный момент. Например, если у нас есть функция, описывающая прочность балки крыши, мы хотели бы знать максимальный вес, который балка может выдержать без разрушения.Если у нас есть функция, описывающая скорость поезда, мы хотели бы узнать его максимальную скорость, прежде чем он соскочит с рельсов. Безопасный дизайн часто зависит от знания максимальных значений.

Этот проект описывает простой пример функции с максимальным значением, которое зависит от двух коэффициентов уравнения. Мы увидим, что максимальные значения могут зависеть от нескольких факторов, помимо независимой переменной.

  1. Рассмотрим график функции (рисунок). Опишите его общую форму.Это периодически? Откуда вы знаете? Рисунок 6. График.

    С помощью графического калькулятора или другого графического устройства оцените - и - значения максимальной точки для графика (первая такая точка, где). Может быть полезно выразить -значение как кратное.

  2. Теперь рассмотрим другие графики вида для различных значений и. Нарисуйте график, когда и, и найдите - и -значения для максимальной точки. (Не забудьте, если возможно, выражать -значение как кратное.) Переехала?
  3. Повторите для. Есть ли какое-либо отношение к тому, что вы нашли в части (2)?
  4. Заполните следующую таблицу, добавив несколько собственных вариантов для и:
  5. Попытайтесь выяснить формулу для -значений.
  6. Формула для значений немного сложнее. Наиболее полезные моменты из таблицы. ( Подсказка : Рассмотрим обратные тригонометрические функции.)
  7. Если вы нашли формулы для частей (5) и (6), покажите, что они работают вместе.То есть замените найденную формулу -значение и упростите ее, чтобы получить формулу -значение, которую вы нашли.

В следующих упражнениях используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, является ли каждый из данных графиков взаимно однозначным.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Для следующих упражнений: a. найти обратную функцию, и b. найти область определения и диапазон обратной функции.

7.

Решение

а. б. Домен:, Диапазон:

8.

9.

Решение

а. б. Домен: все действительные числа, Диапазон: все действительные числа

10.

11.

Решение

а. , б. Домен:, Диапазон:

12.

Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его обратной функции.

13.
Решение

14.
15.
Решение

16.

В следующих упражнениях используйте композицию, чтобы определить, какие пары функций являются обратными.

17.

Решение

Это обратное.

18.

19.

Решение

Это не наоборот.

20.

21.

Решение

Это обратное.

22.

23.

Решение

Это обратное.

24.

Оцените функции для следующих упражнений. Укажите точное значение.

25.

Решение

26.

27.

Решение

28.

29.

Решение

30.

31.

[раскрыть-ответ q = ”461959 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[hidden-answer a = ”461959 ″]

32.

33.

Решение

34. Функция конвертирует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия.

  1. Найти обратную функцию
  2. Для чего используется обратная функция?
Решение

а. б. Обратная функция определяет расстояние от центра артерии, по которому кровь течет со скоростью. c. 0,1 см; 0,14 см; 0,17 см

36. Функция, которая преобразует размеры одежды в Соединенных Штатах Америки в размеры одежды в Европе, задается функцией.

  1. Найдите европейские размеры одежды, соответствующие размерам 6, 8, 10 и 12 в США.
  2. Найдите функцию, которая преобразует европейские размеры одежды в американские.
  3. Используйте деталь b. найти размеры платьев в США, соответствующие 46, 52, 62 и 70.

37. [T] Стоимость удаления токсина из озера моделируется функцией

, где - стоимость (в тысячах долларов), а - количество токсина в небольшом озере (измеряется в частях на миллиард [ppb]). Эта модель действительна только тогда, когда количество токсина меньше 85 частей на миллиард.

  1. Определите стоимость удаления 25 частей на миллиард, 40 частей на миллиард и 50 частей на миллиард токсина из озера.
  2. Найдите обратную функцию. c. Используйте часть b. чтобы определить, сколько токсина удаляется за 50 000 долларов.
Решение

а. 31 250 долл. США, 66 667 долл. США, 107 143 долл. США b. c. 34 частей на миллиард

38. [T] Гоночный автомобиль ускоряется со скоростью, заданной значением

.

,

где - скорость (в футах в секунду) в момент времени.

  1. Найдите скорость автомобиля за 10 сек.
  2. Найдите обратную функцию.
  3. Используйте деталь b. чтобы определить, сколько времени требуется автомобилю, чтобы достичь скорости 150 футов / сек.

42. [T] Глубина (в футах) воды в доке меняется с приливом и отливом. Моделируется функцией

,

где - количество часов после полуночи. Определить первый раз после полуночи, когда глубина составляет 11,75 фута.

43. [T] Объект, движущийся в простом гармоническом движении, моделируется функцией

,

где измеряется в дюймах и измеряется в секундах.Определите первый раз, когда пройденное расстояние составляет 4,5 фута.

Решение

44. [T] В местной картинной галерее есть портрет 3 фута высотой, который висит на 2,5 футах над уровнем глаз среднего человека. Угол обзора можно смоделировать с помощью функции

.

,

где - расстояние (в футах) от портрета. Найдите угол обзора, когда человек находится в 4 футах от портрета.

45. [T] Используйте калькулятор для вычисления и.Объясните результаты каждого.

46. [T] Используйте калькулятор для вычисления и. Объясните результаты каждого.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *