Нахождение производной с помощью фундаментальной теоремы исчисления
Интегралы — это процесс, обратный дифференцированию. Они также называются антипроизводными и используются для нахождения площадей и объемов произвольных фигур, для которых у нас нет доступных формул. Неопределенные интегралы просто вычисляют первообразную функции, в то время как определенные интегралы имеют пределы и обычно обозначают площадь под кривой. Основная теорема исчисления связывает интегральные правила с производными и цепными правилами. Он используется для решения сложных задач в области интеграции. Давайте посмотрим на эту теорему.
Применение основной теоремы исчисления
Рассмотрим функцию f(x) как функцию, непрерывную и дифференцируемую в заданном интервале [a, b]. Определенный интеграл между этими пределами обозначается . Это определяется как площадь, ограниченная функцией f(x) и осью x между пределами x = a и x = b. Этот определенный интеграл можно превратить в функцию, варьируя верхнюю границу предела. Эту функцию можно переписать как
Пусть. Теперь геометрически эта функция дает нам площадь под той же кривой, но от x = a до x, где x лежит между границами пределов. На рисунке ниже показана эта функция:
Теперь при x = a
Основная теорема позволяет вычислить производные данной функции.
Основная теорема исчисления. Часть I
Для функции f, которая непрерывна и дифференцируема на интервале [a, b], предположим . Тогда F — дифференцируемая функция на (a, b), и
F'(x) = f(x)
Эта теорема кажется тривиальной, но имеет далеко идущие следствия. Существует функция f(x) = x 2 + sin(x),
Дано, F(x) =
Согласно упомянутой выше основной теореме,
Эта теорема может быть использована для вывода популярного результата, интеграл . Кроме того, допустим, F(x) = .
Это вторая часть основной теоремы исчисления.
Основная теорема исчисления.
Часть II
Для функции f, непрерывной и дифференцируемой на отрезке [a, b], пусть F — любая первообразная данной функции. Затем
Применение основной теоремы с цепным правилом
Сложные задачи с определенными интегралами можно решить, комбинируя цепное правило и основную теорему исчисления. Например,
Для решения таких задач нам понадобится более обобщенная версия основной теоремы.
Для непрерывной функции f и двух других дифференцируемых функций g и h
Давайте рассмотрим некоторые проблемы, связанные с этими понятиями.
Примеры задач
Вопрос 1: Для следующей функции F(x) вычислите ее производную.
F (x) =
Решение:
Дано: F (x) =
Это можно решить с использованием основной теоремы из калькуля Для следующей функции F(x) вычислите ее производную.
F(x) =
Решение:
Дано: F(x) =
Это можно решить с помощью основной теоремы исчисления I
Вопрос 3: Для следующей функции F(x) вычислите ее производную.
F(x) =
Решение:
Дано: F(x) =
Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть — I. Оно утверждает, что,
Здесь f(t) = e t , h(x) = x
2 и g(x) = 0
Вопрос 4: Учитывая следующую функцию F(x), вычислить ее производная.
F(x) =
Решение:
Дано: F(x) =
Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть – I. Оно утверждает, что
Здесь f(t) = cos(t), h(x) = x 3 и g(x) = 0
Вопрос 5: Учитывая следующую функцию F(x), вычислите ее производную.
F(x) =
Решение:
Дано: F(x) =
Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть – I. Оно утверждает, что
Здесь f(t) = t + 2, g(x) = 0 и h(x) = sin(x)
его производная.
F(x) =
Решение:
Дано: F(x) =
Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть – I. Оно утверждает, что
Здесь f(t) = t, g(x) = 0 и h(x) = cos(x)
Вычислить производную функции данных по r спросил