Найдите производную: Дифференцирование функции, заданной неявно

Нахождение производной с помощью фундаментальной теоремы исчисления

Интегралы — это процесс, обратный дифференцированию. Они также называются антипроизводными и используются для нахождения площадей и объемов произвольных фигур, для которых у нас нет доступных формул. Неопределенные интегралы просто вычисляют первообразную функции, в то время как определенные интегралы имеют пределы и обычно обозначают площадь под кривой. Основная теорема исчисления связывает интегральные правила с производными и цепными правилами. Он используется для решения сложных задач в области интеграции. Давайте посмотрим на эту теорему.

Применение основной теоремы исчисления

Рассмотрим функцию f(x) как функцию, непрерывную и дифференцируемую в заданном интервале [a, b]. Определенный интеграл между этими пределами обозначается . Это определяется как площадь, ограниченная функцией f(x) и осью x между пределами x = a и x = b. Этот определенный интеграл можно превратить в функцию, варьируя верхнюю границу предела. Эту функцию можно переписать как

Пусть. Теперь геометрически эта функция дает нам площадь под той же кривой, но от x = a до x, где x лежит между границами пределов. На рисунке ниже показана эта функция: 

Теперь при x = a

Основная теорема позволяет вычислить производные данной функции.

Основная теорема исчисления. Часть I

Для функции f, которая непрерывна и дифференцируема на интервале [a, b], предположим . Тогда F — дифференцируемая функция на (a, b), и

F'(x) = f(x)

Эта теорема кажется тривиальной, но имеет далеко идущие следствия. Существует функция f(x) = x ² + sin(x),

Дано, F(x) =

Согласно упомянутой выше основной теореме,

Эта теорема может быть использована для вывода популярного результата, интеграл . Кроме того, допустим, F(x) = .

Это вторая часть основной теоремы исчисления.

Основная теорема исчисления. Часть II

Для функции f, непрерывной и дифференцируемой на отрезке [a, b], пусть F — любая первообразная данной функции. Затем

Применение основной теоремы с цепным правилом

Сложные задачи с определенными интегралами можно решить, комбинируя цепное правило и основную теорему исчисления. Например,

Для решения таких задач нам понадобится более обобщенная версия основной теоремы.

Для непрерывной функции f и двух других дифференцируемых функций g и h

Давайте рассмотрим некоторые проблемы, связанные с этими понятиями.

Примеры задач

Вопрос 1: Для следующей функции F(x) вычислите ее производную.

F (x) =

Решение:

Дано: F (x) =

Это можно решить с использованием основной теоремы из калькуля Для следующей функции F(x) вычислите ее производную.

F(x) =

Решение:

Дано: F(x) = 

Это можно решить с помощью основной теоремы исчисления I

Вопрос 3: Для следующей функции F(x) вычислите ее производную.

F(x) =

Решение:

Дано: F(x) =

Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть — I. Оно утверждает, что,

Здесь f(t) = e ^t , h(x) = x

2 и g(x) = 0

Вопрос 4: Учитывая следующую функцию F(x), вычислить ее производная.

F(x) =

Решение:

Дано: F(x) =

Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть – I. Оно утверждает, что

Здесь f(t) = cos(t), h(x) = x ³ и g(x) = 0

Вопрос 5: Учитывая следующую функцию F(x), вычислите ее производную.

F(x) =

Решение:

Дано: F(x) =

Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть – I. Оно утверждает, что

Здесь f(t) = t + 2, g(x) = 0 и h(x) = sin(x)

его производная.

F(x) =

Решение:

Дано: F(x) =

Это можно решить, используя обобщенную форму основной теоремы исчисления часть – I. Оно утверждает, что

Здесь f(t) = t, g(x) = 0 и h(x) = cos(x)

Вычислить производную функции данных по r спросил

10 лет, 9 месяцев назад 9-1,5 ycs = общая сумма (y) график (x, ycs, log=»xy»)

Как я могу вычислить производную функцию от функции, заданной «x» и «ycs»?

• r
• функция
• производная

2

Также собирался предложить пример подгонки сглаженного сплайна с последующим предсказанием производной.

В этом случае результаты очень похожи на расчет разницы, описанный @dbaupp:

 spl <- smooth.spline(x, y=ycs)
пред <- предсказать (spl)
график (x, ycs, log="xy")
строки (пред, столбец = 2)
ycs.prime <- diff(ycs)/diff(x)
pred.prime <- предсказать (spl, производное = 1)
сюжет (ycs.prime)
строки (pred.prime $ y, столбец = 2)
 

4

Создание производных из необработанных данных рискованно, если вы не очень осторожны. Недаром этот процесс известен как «множитель ошибок». Если вы не знаете содержание шума в своих данных и не предпринимаете какие-либо действия (например, сплайн), чтобы удалить шум перед дифференцированием, вы вполне можете получить действительно страшную кривую.

Производной функции является dy/dx, которая может быть аппроксимирована как Δy/Δx, то есть «изменение y над изменением x». Это можно записать в R как

 ycs.prime <- diff(ycs)/diff(x)
 

и теперь ycs.prime

содержит аппроксимацию производной функции для каждого x : однако это вектор длины 999, поэтому вам нужно будет сократить x (т.

No related posts.