Найти a b и b a: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

alexxlab / / Разное

матричное уравнение AB-BA : Олимпиадные задачи (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное



 
zykov 

 матричное уравнение AB-BA

12.01.2022, 14:02 

18/09/21
1133

Найти все натуральные , такие что существуют действительные обратимые матрицы и для которых верно


   

                  
novichok2018 

 Re: матричное уравнение AB-BA

12. 01.2022, 16:00 
Заблокирован

16/04/18
∞
1129

Следы посчитать?

   

                  
svv 

 Re: матричное уравнение AB-BA

12. 01.2022, 17:48 
Заслуженный участник

23/07/08

9576
Crna Gora

novichok2018

, имеете в виду, что решений нет, как для ?

Решения есть, например, для

А значит, и для любого чётного — взять блочно-диагональные матрицы с такими блоками.

   

                  
Padawan 

 Re: матричное уравнение AB-BA

12. 01.2022, 21:30 
Заслуженный участник

13/12/05
4278

При нечётном не существует таких невырожденных матриц. Уравнение можно переписать в виде . Так как характеристические многочлены матриц и совпадают, то получаем, что если является собственным значением матрицы , то и тоже является собственным значением матрицы . Но при нечетном матрица имеет вещественное собственное значение, но вроде бы последовательность итераций при вещественном может быть конечной только в случае , что нас не устраивает ( невырождена).

А вот при комплексном последовательность может и зациклится, например, при , что как раз есть собственные числа матрицы , указанной уважаемым svv.

   

                  
novichok2018 

 Re: матричное уравнение AB-BA

12.01.2022, 21:33 
Заблокирован

16/04/18
∞
1129

Не так категорично, я имел в виду что после взятия следов получается по крайней мере необходимое условие. Можно помечтать, что оно окажется и достаточным, но вряд ли. Как то так.

   

                  
zykov 

 Re: матричное уравнение AB-BA

16.01.2022, 19:17 

18/09/21
1133

Да, всё верно.
Если матрица имеет действительное собственное значение , то действительное значение тоже будет её собственным значением.
Этот процесс можно продолжить, но полное количество собственных значений не более , значит где-то должно встретиться значение, которое уже было. Т.е. будет цикл длины . Тогда для и .
Если сложить эти равентсва, то получится , значит все эти действительные значения равны нулю, что противоречит обратимости .

Для нечётных характеристический многочлен матрицы — действительный многочлен нечётной степени, который имеет минимум один действительный корень.
Значит при нечётных таких матриц не существует.

Для легко подобрать вариант.
Можно попробовать в виде диагональной матрицы и в виде клетки Жордана (сама матрица в таком виде не обязана быть действительной, но должна приводиться к действительной).
Второй вариант сразу отпадает, т.к. там два одинаковых собственных значения, которые не могут быть действительными (матрица не может иметь действительные). След матрицы равен удвоенной величине этого собственного значения. А след действительной матрицы должен быть действительным.
Для первого варианта будет , что даёт . Кроме нулевого корня будут два комплексных сопряженных корня .
Для такой диагональной матрицы легко подобрать действительную матрицу. След равен , определитель равен .

Например можно взять на диагонали две , тогда вне диагонали можно взять и .

Естественно, для любого чётного можно просто на диагонали расставить такие блоки .

   

                  
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Mathway | Популярные задачи

1 Множитель x^2-4
2 Множитель 4x^2+20x+16
3 График y=-x^2
4 Вычислить 2+2
5 Множитель x^2-25
6 Множитель x^2+5x+6
7 Множитель x^2-9
8 Множитель x^3-8
9 Вычислить квадратный корень из 12
10 Вычислить квадратный корень из 20
11 Вычислить квадратный корень из 50
12 Множитель x^2-16
13 Вычислить квадратный корень из 75
14 Множитель x^2-1
15 Множитель x^3+8
16 Вычислить -2^2
17 Вычислить квадратный корень из (-3)^4
18 Вычислить квадратный корень из 45
19 Вычислить квадратный корень из 32
20 Вычислить квадратный корень из 18
21 Множитель x^4-16
22 Вычислить квадратный корень из 48
23 Вычислить квадратный корень из 72
24 Вычислить квадратный корень из (-2)^4
25 Множитель x^3-27
26 Вычислить -3^2
27 Множитель x^4-1
28 Множитель x^2+x-6
29 Множитель x^3+27
30 Множитель x^2-5x+6
31 Вычислить квадратный корень из 24
32 Множитель x^2-36
33 Множитель x^2-4x+4
34 Вычислить -4^2
35 Множитель x^2-x-6
36 Множитель x^4-81
37 Множитель x^3-64
38 Вычислить 4^3
39 Множитель x^3-1
40 График y=x^2
41 Вычислить 2^3
42 Вычислить (-12+ квадратный корень из -18)/60
43 Множитель x^2-6x+9
44 Множитель x^2-64
45 График y=2x
46 Множитель x^3+64
47 Вычислить (-8+ квадратный корень из -12)/40
48 Множитель x^2-8x+16
49 Вычислить 3^4
50 Вычислить -5^2
51 Множитель x^2-49
52 Вычислить (-20+ квадратный корень из -75)/40
53 Множитель x^2+6x+9
54 Множитель 4x^2-25
55 Вычислить квадратный корень из 28
56 Множитель x^2-81
57 Вычислить 2^5
58 Вычислить -8^2
59 Вычислить 2^4
60 Множитель 4x^2-9
61 Вычислить (-20+ квадратный корень из -50)/60
62 Вычислить (-8+ квадратный корень из -20)/24
63 Множитель x^2+4x+4
64 Множитель x^2-10x+25
65 Вычислить квадратный корень из -16
66 Множитель x^2-2x+1
67 Вычислить -7^2
68 График f(x)=2^x
69 Вычислить 2^-2
70 Вычислить квадратный корень из 27
71 Вычислить квадратный корень из 80
72 Множитель x^3+125
73 Вычислить -9^2
74 Множитель 2x^2-5x-3
75 Вычислить квадратный корень из 40
76 Множитель x^2+2x+1
77 Множитель x^2+8x+16
78 График y=3x
79 Множитель x^2+10x+25
80 Вычислить 3^3
81 Вычислить 5^-2
82 График f(x)=x^2
83 Вычислить квадратный корень из 54
84 Вычислить (-12+ квадратный корень из -45)/24
85 Множитель x^2+x-2
86 Вычислить (-3)^3
87 Множитель x^2-12x+36
88 Множитель x^2+4
89 Вычислить квадратный корень из (-8)^2
90 Множитель x^2+7x+12
91 Вычислить квадратный корень из -25
92 Множитель x^2-x-20
93 Вычислить 5^3
94 Множитель x^2+8x+15
95 Множитель x^2+7x+10
96 Множитель 2x^2+5x-3
97 Вычислить квадратный корень квадратный корень из 116
98 Множитель x^2-x-12
99 Множитель x^2-x-2
100 Вычислить 2^2
2$.

Если вы найдете основу для пространства строк $AB$, вы обнаружите, что $r(AB) = 2$, где $r$ обозначает ранг. Это также означает, что $n(AB) = 1$ по теореме о ранге недействительности (где $n$ — размерность нулевого пространства $AB$).

Очевидно, $n(B)\leq n(AB)$, так как $\ker B\subseteq \ker (AB)$, откуда по теореме о ранге недействительности получаем, что $n(B) = 1$, $ r(B) = 2$ ($r(B)$ не больше $2$, поэтому $n(B)$ не меньше $1$). Таким образом, $B$ — эпиморфизм.

Аналогично, $r(AB)\leq r(A)$, поскольку $\operatorname{im} (AB)\subseteq \operatorname{im} A$. Но $r(A)$ не превосходит $2$ по теореме о ранге недействительности и, следовательно, $r(A) = 2$. Мы заключаем, что $A$ является мономорфизмом. 92-5(АВ)=А(БА-5I_2)В.$$ Теперь покажите, что $BA=5I_2$ (но будьте осторожны, потому что матрицы $A$ и $B$ не квадратные).

$\endgroup$

0

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

матриц — Когда $AB=BA$?

спросил

Изменено 8 месяцев назад

Просмотрено 69 тысяч раз

$\begingroup$

При наличии двух квадратных матриц $A,B$ одинаковой размерности, какие условия приведут к такому результату? Или к какому результату приведет это условие? Я думал, что это довольно простой вопрос, но я могу найти мало информации об этом. Спасибо.

  • матрицы

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Если $A,B$ диагонализируемы, то они коммутируют тогда и только тогда, когда они диагонализируемы одновременно. Доказательство см. здесь. Это, конечно, означает, что они имеют общий набор собственных векторов.

Если $A,B$ нормальны (т. е. унитарно диагонализируемы), то они коммутируют тогда и только тогда, когда они одновременно унитарно диагонализируемы. Доказательство можно провести, используя разложение Шура коммутирующего семейства. Это, конечно, означает, что они имеют общий набор ортонормированных собственных векторов. 9{-1}Оба значения BP$ являются диагональными.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Это слишком длинно для комментария, поэтому я разместил его как ответ.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *