Дифференциалы первого порядка.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Определение. Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0,$ если ее приращение $\Delta y(x_0, \Delta x)$ может быть представлено в виде $$\Delta y(x_0, \Delta x)=A\Delta x+o(\Delta x).$$
Главная линейная часть $A\Delta x$ приращения $\Delta y$ называется дифференциалом этой функции в точке $x_0,$ соответствующим приращению $\Delta x,$ и обозначается символом $dy(x_0, \Delta x).$
Для того, чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в точке $x_0,$ необходимо и достаточно, чтобы существовала производная $f'(x_0),$ при этом справедливо равенство $A=f'(x_0).$
Выражение для дифференциала имеет вид $$dy(x_0, dx)=f'(x_0)dx,$$ где $dx=\Delta x.$
Свойства дифференциала:1. $d(C)=0,$ где $C -$ постоянная;
2. $d(C_1u+C_2v)=C_1du+C_2dv;$
3.
n$. Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, если
$$f(x_0 + h) = f(x_0) + \color{#348FEA}{\left[D_{x_0} f \right]} (h) + \bar{\bar{o}} \left(\left| \left| h\right|\right|\right),$$
где $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$ — дифференциал функции $f$: линейное отображение из мира $x$-ов в мир значений $f$. Грубо говоря, он превращает «малое приращение $h=\Delta x$» в «малое приращение $\Delta f$» («малые» в том смысле, что на о-малое можно плюнуть):
$$f(x_0 + h) — f(x_0)\approx\color{#348FEA}{\left[D_{x_0} f \right]} (h)$$
Отметим, что дифференциал зависит от точки $x_0$, в которой он берётся: $\color{#348FEA}{\left[D_{\color{red}{x_0}} f \right]} (h)$. Под $\vert\vert h\vert\vert$ подразумевается норма вектора $h$, например корень из суммы квадратов координат (обычная евклидова длина).
Давайте рассмотрим несколько примеров и заодно разберёмся, какой вид может принимать выражение $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} (h)$ в зависимости от формы $x$.
T H\right).
$$
Можно заметить, что здесь, по аналогии с примерами, где $x$ — скаляр и где $x$ — вектор (и $f(x)$ — скалярная функция), получилось на самом деле скалярное произведение градиента функции $f$ по переменным $X_{ij}$ и приращения. Этот градиент мы записали для удобства в виде матрицы с теми же размерами, что матрица $X$.
В примерах выше нам дважды пришлось столкнуться с давним знакомцем из матанализа: градиентом скалярной функции (у нескалярных функций градиента не бывает). Напомним, что градиент $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f}$ функции в точке $x_0$ состоит из частных производных этой функции по всем координатам аргумента. При этом его обычно упаковывают в ту же форму, что и сам аргумент: если $x$ — вектор-строка, то и градиент записывается вектор-строкой, а если $x$ — матрица, то и градиент тоже будет матрицей того же размера. Это важно, потому что для осуществления градиентного спуска мы должны уметь прибавлять градиент к точке, в которой он посчитан.
Как мы уже имели возможность убедиться, для градиента скалярной функции $f$ выполнено равенство
$$ \left[D_{x_0} f \right] (x-x_0) = \langle\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f}, x-x_0\rangle, $$
где скалярное произведение — это сумма попарных произведений соответствующих координат (да-да, самое обыкновенное).
Посмотрим теперь, как выглядит дифференцирование для функций, которые на выходе выдают не скаляр, а что-то более сложное.
Примеры конкретных форм $\big[D_{x_0} f\big] (h)$, где $f$ — это вектор или матрица$f(x) = \begin{pmatrix} f(x_1)\ \vdots\ f(x_m) \end{pmatrix}$, $x$ — вектор. Тогда
$$ f(x_0 + h) — f(x_0) = \begin{pmatrix} f(x_{01} + h_1) — f(x_{01})\ \vdots \ f(x_{0m} + h_m) — f(x_{0m}) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} f'(x_{01}) h_1\ \vdots \ f'(x_{0m}) h_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f'(x_{01}) \ \vdots \ f'(x_{0m}) \end{pmatrix} \odot h. $$
В последнем выражении происходит покомпонентное умножение:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} (h) = f'(x_0) \odot h = h \odot f'(x_0)$$
$f(X) = XW$, где $X$ и $W$ — матрицы.
Тогда$$f(X_0 + H) — f(X_0) = (X_0 + H) W — X_0 W = H W,$$
то есть
$$\color{#348FEA}{\big[D_{X_0} f\big]} (H) = H W$$
$f(W) = XW$, где $X$ и $W$ — матрицы. Тогда
$$f(W_0 + H) — f(W_0) = X(W_0 + H) — XW_0 = X H,$$
то есть
$$\color{#348FEA}{\big[D_{W_0} f\big]} (H) = X H$$
$f(x) = (f_1(x),\ldots,f_K(x))$ — вектор-строка, $x = (x_1,\ldots,x_D)$ — вектор-строка. Тогда
$$ \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}(h) = \left(\sum_j \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_j} \right|_{y=x_0}h_j, \ldots, \sum_j \left. \frac{\partial f_K}{\partial y_j} \right|_{y=x_0}h_j \right) = \\ = h \cdot \begin{pmatrix} \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_1} \right|_{y=x_0} & \ldots & \left. \frac{\partial f_k}{\partial y_1} \right|_{y=x_0} \\ \vdots & & \vdots \\ \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_D} \right|_{y=x_0} & \ldots & \left.
\frac{\partial f_k}{\partial y_D}
\right|_{y=x_0}\\
\end{pmatrix}
= h \cdot
\left.
\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{y = x_0}
$$Матрица, выписанная в предпоследней выкладке, — это знакомая вам из курса матанализа матрица Якоби.
Тогда
\frac{\partial f_k}{\partial y_D}
\right|_{y=x_0}\\
\end{pmatrix}
= h \cdot
\left.
\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{y = x_0}
$$Простые примеры и свойства матричного дифференцирования
Производная константы. Пусть $f(x) = a$. Тогда
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = 0,$$
то есть $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$ — это нулевое отображение. А если $f$ — скалярная функция, то и $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f} = 0.$
Производная линейного отображения. Пусть $f(x)$ — линейное отображение. Тогда
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = f(x_0) + f(h) — f(x_0) = f(h)$$
Поскольку справа линейное отображение, то по определению оно и является дифференциалом $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$. Мы уже видели примеры таких ситуаций выше, когда рассматривали отображения умножения на матрицу слева или справа.
Если $f$ — (скалярная) линейная функция, то она представляется в виде $\langle a, v\rangle$ для некоторого вектора $a$ — он и будет градиентом $f$.Линейность производной. Пусть $f(x) = \lambda u(x) + \mu v(x)$, где $\lambda, \mu$ — скаляры, а $u, v$ — некоторые отображения, тогда
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} = \lambda \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]} + \mu \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}$$
Попробуйте доказать сами, прежде чем смотреть доказательство.$$f(x_0 + h) — f(x_0) = (\lambda u(x_0 + h) + \mu v(x_0 + h)) — (\lambda u(x_0) + \mu v(x_0)) =$$
$$ = \lambda(u(x_0 + h) — u(x_0)) + \mu(v(x_0 + h) — v(x_0)) \approx $$
$$\approx \lambda \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) + \mu \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h)$$
Производная произведения.
Пусть $f(x) = u(x) v(x)$, где $u, v$ — некоторые отображения, тогда$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} = \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]} \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}$$
Попробуйте доказать сами, прежде чем смотреть доказательство.Обозначим для краткости $x = x_0 + h$. Тогда
$$u(x)v(x) — u(x_0)v(x_0) = u(x)v(x) — u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x) — u(x_0)v(x_0) =$$
$$ (u(x) — u(x_0))v(x) + u(x_0)(v(x) — v(x_0))\approx $$
$$\approx \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x) + u(x_0)\cdot \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h)$$
И всё бы хорошо, да в первом слагаемом $v(x)$ вместо $v(x_0)$. Придётся разложить ещё разок:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x) \approx $$
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot \left(v(x_0) + \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h) + o(\vert\vert h\vert\vert)\right) =$$
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x_0) + \bar{\bar{o}}\left(\vert\vert h\vert\vert\right)$$
Это же правило сработает и для скалярного произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle u, v\rangle\big]} = \langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}, v\rangle + \langle u, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}\rangle$$
В этом нетрудно убедиться, повторив доказательство или заметив, что в доказательстве мы пользовались лишь дистрибутивностью (= билинейностью) умножения.
Производная сложной функции. Пусть $f(x) = u(v(x))$. Тогда
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = u(v(x_0 + h)) — u(v(x_0)) \approx $$
$$\approx\left[D_{v(x_0)} u \right] (v(x_0 + h) — v(x_0)) \approx \left[D_{v(x_0)} u \right] \left( \left[D_{x_0} v\right] (h)\right)$$
Здесь $D_{v(x_0)} u$ — дифференциал $u$ в точке $v(x_0)$, а $\left[D_{v(x_0)} u \right]\left(\ldots\right)$ — это применение отображения $\left[D_{v(x_0)} u \right]$ к тому, что в скобках. Итого получаем:
$$\left[D_{x_0} \color{#5002A7}{u} \circ \color{#4CB9C0}{v} \right](h) = \color{#5002A7}{\left[D_{v(x_0)} u \right]} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$
Важный частный случай: дифференцирование перестановочно с линейным отображением. Пусть $f(x) = L(v(x))$, где $L$ — линейное отображение. Тогда $\left[D_{v(x_0)} L \right]$ совпадает с самим $L$ и формула упрощается:
$$\left[D_{x_0} \color{#5002A7}{L} \circ \color{#4CB9C0}{v} \right](h) = \color{#5002A7}{L} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$
Простые примеры вычисления производной
Вычислим дифференциал и градиент функции $f(x) = \langle a, x\rangle$, где $x$ — вектор-столбец, $a$ — постоянный вектор.
Попробуйте вычислить сами, прежде чем смотреть решение.Вычислить производную можно непосредственно:
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = \langle a, x_0 + h\rangle — \langle a, x_0\rangle = \langle a, h\rangle$$
Но можно и воспользоваться формулой дифференциала произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle a, x\rangle\big]} (h) = $$
$$ =\langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} a\big]}(h), x\rangle + \langle a, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} x\big]}(h)\rangle$$
$$= \langle 0, x\rangle + \langle a, h\rangle = \langle a, h\rangle$$
Сразу видно, что градиент функции равен $a$.
Вычислим производную и градиент $f(x) = \langle Ax, x\rangle$, где $x$ — вектор-столбец, $A$ — постоянная матрица.
Попробуйте вычислить сами, прежде чем смотреть решение.Снова воспользуемся формулой дифференциала произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle Ax, x\rangle\big]}(h) = $$
$$ = \langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} Ax\big]}(h), x_0\rangle + \langle Ax_0, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} x\big]}(h)\rangle$$
$$= \langle Ah, x_0\rangle + \langle Ax_0, h\rangle$$
Чтобы найти градиент, нам надо это выражение представить в виде $\langle ?, h\rangle$.
2,$$что, конечно, меньше нуля для любой ненулевой $H$.
2,$$Решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка — Криста Кинг Математика
Однородные дифференциальные уравнения равны 0
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид
???ay»+by’+cy=0???
Дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, поскольку оно включает вторую производную от ???y???. Оно однородно, потому что правая часть равна ???0???. Если правая часть уравнения отлична от нуля, дифференциальное уравнение называется неоднородным.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Первое, что мы хотим узнать об однородных дифференциальных уравнениях второго порядка, это то, как находить их общие решения. Формула, которую мы будем использовать для общего решения, будет зависеть от типов корней, которые мы найдем для дифференциального уравнения.
Чтобы найти корни, мы сначала сделаем замену для функции ???y??? через переменную ???r???. Мне нравится говорить, что количество «решеток» на ???y??? равен показателю степени, который вы ставите перед ???r???. Другими словами 92+бр+с=0???
После подстановки у нас есть стандартная форма квадратного уравнения, и мы можем факторизовать левую часть, чтобы найти корни уравнения.
Константы ???c_1??? и ???c_2??? остаются в общем решении. Позже мы узнаем, как решать задачи с начальными значениями для однородных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых нам будут предоставлены начальные условия, которые позволят нам найти константы и найти частное решение для дифференциального уравнения.
Примеры нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка, имеющего различные вещественные корни
Пройти курс
Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого.
🙂Нахождение общего решения дифференциального уравнения с различными вещественными корнями
9{-3x}???Это общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, поскольку оно включает вторую производную от y. Оно однородно, потому что правая часть равна 0,
.Общее решение дифференциального уравнения с одинаковыми действительными корнями
Пример
Найдите общее решение.
???y»+6y’+9y=0???
Если заменить ???y??? в пересчете на ???r??? получаем 92-4(1)(17)}}{2(1)}???
???r=\frac{-2\pm\sqrt{4-68}}{2}???
???r=\frac{-2\pm\sqrt{-64}}{2}???
???r=\frac{-2\pm\sqrt{(64)(-1)}}{2}???
???r=\frac{-2\pm8\sqrt{-1}}{2}???
Поскольку мнимое число ???i??? определяется как ???i=\sqrt{-1}???, мы получаем
???r=\frac{-2\pm8i}{2}???
???r=-1\pm4i???
Корни — это два комплексных числа, которые являются сопряженными друг с другом, поэтому это комплексно-сопряженные корни.
Это означает, что мы будем использовать формулу общего решения для комплексно-сопряженных корней. Сопоставление этих корней с ???r=\alpha\pm{\beta}i??? говорит нам, что ???\alpha=-1??? и ???\бета=4???, так что мы получаем 9{-x}\left[c_1\cos{(4x)}+c_2\sin{(4x)}\right]???
Это общее решение дифференциального уравнения.
Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, дифференциальные уравнения, однородные уравнения, однородные дифференциальные уравнения, второго порядка, уравнения второго порядка, дифференциальные уравнения второго порядка, однородные второго порядка уравнения, различные действительные корни, действительные корни, равные действительные корни, комплексно-сопряженные корни, общее решение
0 лайков3 — ФЗ второго порядка
Индекс Содержание Вопросы
Пред.
Next
Исчисление функций многих переменных
Раздел 3
Частные производные второго порядка
Частная производная функции \(n\) переменных сама является функцией \(n\) переменных. Взяв частные производные от частных производных, мы вычисляем производные более высокого порядка. Производные более высокого порядка важны для проверки вогнутости функции, подтверждения того, является ли крайняя точка функции максимальной или минимальной и т. д.
Учитывая, что функция \(f(x,y)\) непрерывно дифференцируема в открытой области, мы можем получить следующие наборы частных производных второго порядка:
Прямые частные производные второго порядка:
\( f_{xx} = \frac{\partial f_{x}}{\partial x}\), где \(f_{x}\) — частная производная первого порядка по \(x\).
\(f_{yy} = \frac{\partial f_{y}}{\partial y}\), где \(f_{y}\) — частная производная первого порядка по \(y\) .
Перекрестные частные производные:
\(f_{xy} = \frac{\partial f_{x}}{\partial y}\), где \(f_{x}\) — частная производная первого порядка по \(Икс\).