Найти экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…: Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

4.1. ЭкстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. НСобходимыС ΠΈ достаточныС условия сущСствования экстрСмума

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ области .

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° называСтся Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ссли сущСствуСт такая ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этой окрСстности, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ , выполняСтся нСравСнство (рис. 7).

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° называСтся Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ссли сущСствуСт такая ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этой окрСстности, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ , выполняСтся нСравСнство (рис. 8).

Как ΠΈ Π² случаС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) Π½Π΅ слСдуСт ΡΠΌΠ΅ΡˆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС (ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСС) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² области .

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ (ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ экстрСмумом.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ сущСствования экстрСмума). Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ρ‚ΠΎ

,

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚) являСтся НСобходимым условиСм сущСствования Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Ѐункция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ экстрСмум Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π΅ сущСствуСт. НапримСр, функция , ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Π½ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ноль ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Из ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ срСди Π΅Π΅ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Однако Π½Π΅ всякая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° (достаточный ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ сущСствования экстрСмума). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ , , ΠΈ составим .

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли , Ρ‚ΠΎ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° экстрСмума, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ

β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума Π² случаС ,

β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π² случаС ,

Если , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ β€” экстрСмума Π½Π΅Ρ‚,

Если , Ρ‚ΠΎ трСбуСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ исслСдования (ΡΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ случай).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 19. Найти экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. НайдСм частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка:

, .

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ эти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, послС элСмСнтарных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Бкладывая ΠΈ вычитая ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ уравнСния систСмы, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ

РСшая эту систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ), Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: , , , .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка:

, , ,

Боставим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ .

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ

1. β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°;

2. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ЭкстрСмума Π½Π΅Ρ‚;

3. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ЭкстрСмума Π½Π΅Ρ‚;

4. β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, данная функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° экстрСмума:

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ,

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ β€” максимум .

< ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ   Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ >

ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с понятиСм экстрСмума для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅Π΅ ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Ρ‚.Π΅. со всСми Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅). Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ большС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎ всСх Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Ρ‚.Π΅. ( ) для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ . Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ экстрСмума этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… принятиС ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сводится ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΊ поиску экстрСмумов Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Как ΠΆΠ΅ ищутся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмуму для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…? Если Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ срСди Π΅Π΅ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Ρ‚.Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Π½Π΅ сущСствовала ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² 0). По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ

критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΅Π΅ частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ, сущСствуя, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ стационарными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ состоят ΠΈΠ· Π΅Π΅ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΅Π΅ частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ обСспСчиваСт

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1(Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС экстрСмума). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ экстрСмум ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0: , .

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° позволяСт ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π» сдСлан для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ: всС экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ находятся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ срСди Π΅Π΅ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Однако Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² случаС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π΅ всякая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π΅Π΅ экстрСмума. НапримСр, для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ являСтся критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0 ΠΎΠ±Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , . Однако эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ являСтся Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума, Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, Π° Π² любой сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ окрСстности Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (Ρ‚.Π΅. Π² любом ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… II ΠΈ IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (I ΠΈ III Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ) значСния (Ρ‚.Π΅. ΠΊΠ°ΠΊ мСньшиС значСния, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ большиС ).

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ снова (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² случаС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ) Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ данная критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚. А Ссли являСтся, Ρ‚ΠΎ максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ? Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2 (достаточноС условиС экстрСмума). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ – стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ всС частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ , , , Π° .

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π°) Если , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмум Π΅ΡΡ‚ΡŒ ( ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ максимум).

Π±) Если , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ рассуТдСния ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ схСму нахоТдСния экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

:

  • Находим выраТСния для частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ .

  • Находим критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; это Π»ΠΈΠ±ΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0 (ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы ), Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… (Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ).

  • Находим выраТСния для Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… , ΠΈ .

Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρ‹ схСмы Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, входящих Π² состав Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ исслСдуСтся стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° .

  • ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ исслСдуСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² выраТСния для Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ числа

    , , .

  • Находим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

  • Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π΅ исслСдуСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² соотвСтствии с Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹: Ссли , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмум Π΅ΡΡ‚ΡŒ ( ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ максимум), Π° Ссли , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

  • Если оказалась Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , подставляя Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌ нСдостатком Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° вопрос ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π΅ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° . Π’ этом случаС Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выявляСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ исслСдованиСм. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ исслСдованиС трСбуСтся ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° исслСдуСтся критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ стационарной (Ρ‚.Π΅. ΠΊ Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2). ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ эту ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Π’ соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ схСмой Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ выраТСния для частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: , Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ . Оба ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ выраТСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° критичСскими ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚.Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0. Для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚.Π΅. . РСшСниСм Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ систСмы являСтся, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, СдинствСнная ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл: , . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . Π’ соотвСтствии с дальнСйшими ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ схСмы Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , ΠΈ . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² выраТСния для Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: , . ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для (Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ) Π½Π΅ содСрТит ΠΈ , Π° просто Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу 0. Π­Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта производная являСтся постоянной, Ρ‚.Π΅. ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 0)

Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ значСния ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‚ случай, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ привСдСнная схСма Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° вопрос ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ отсутствии экстрСмума Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° этот вопрос Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ (ΠΊΠ°ΠΊ сказано Π²Ρ‹ΡˆΠ΅) Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ исслСдования. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ…. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ строго большС 0: , Ссли хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· чисСл ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ 0 (это слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ чСтвСртая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ любого ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ 0 числа строго ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ мСньшС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ
ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°
Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ дСмонстрируСт бСссилиС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ схСмы Π² случаС, Ссли , ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ исслСдования приводят ΡƒΠΆΠ΅ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Ѐункция ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, поэтому всС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅. ИмССм , . Для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚.Π΅. . РСшСниСм Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ систСмы снова являСтся СдинствСнная ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл: , . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . Π”Π°Π»Π΅Π΅, , , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° , , , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ . Π‘Π½ΠΎΠ²Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‚ случай, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ привСдСнная схСма Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° вопрос ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ отсутствии экстрСмума Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° этот вопрос ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ исслСдования. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ…. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π±Ρ‹ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (Ρ‚.Π΅. ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΎΠΊ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚) ΠΌΡ‹ Π½ΠΈ взяли, Π² Π½Π΅ΠΉ всСгда найдутся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· I ΠΈ III Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Но Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ (ΠΎΠ±Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ строго большС 0 (сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°), Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ (ΠΎΠ±Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ строго мСньшС 0 (сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² любой окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ всСгда Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, значСния Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΠΊ большС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ мСньшС. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ экстрСмума Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ – всС экстрСмумы Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ срСди критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ!), Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ экстрСмумов Π½Π΅Ρ‚.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π³Π΄Π΅ указанная схСма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Π’ соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ схСмой Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ выраТСния для частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: , Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ . Оба ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ выраТСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ критичСскими ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚.Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 0. Для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚. Π΅. . Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈ подставляСм Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅: , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, СдинствСнным Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ систСмы являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл: , , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° . Π’ соотвСтствии с дальнСйшими ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ схСмы, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , . ВыраТСния для Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π΅ содСрТат ΠΈ , Π° просто Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ числам. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ каТдая вторая производная являСтся постоянной, Ρ‚.Π΅. ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ значСния ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π² исслСдуСмой критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ : , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ число , Ρ‚ΠΎ (Π² соотвСтствии с описанной схСмой) исслСдуСмая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ , Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. МинимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, поэтому . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Находим частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , . ОбС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ критичСскими ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚.Π΅. . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ°ΡΡΡ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто (Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ систСмы Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, которая Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»Π°ΡΡŒ просто «просто»), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ иксы, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊΠΈ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сразу Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ нСизвСстноС: , . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° . Π’ соотвСтствии с дальнСйшими ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ схСмы, Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число , поэтому критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ , Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. МаксимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, поэтому . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, исслСдуСмая функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ЧастныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка: , Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ . ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ снова ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚.Π΅. . ДСля ΠΎΠ±Π΅ части ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π° 2, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ – Π½Π° 4 ΠΈ пСрСнося числа Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму для опрСдСлСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ: . ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта систСма нСсовмСстна, Ρ‚.Π΅. Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π°- КапСли (эта Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π±Ρ‹Π»Π° Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹Β»), ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π½Π³ΠΈ основной ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† систСмы Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. Если эти ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π»ΠΈΡΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Β«ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈΒ» ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ. Для этого Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈ подставим Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅: , , . ПослСднСС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° 0, даст . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ вся систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚? РСшСния этой систСмы Π΄Π°Π²Π°Π»ΠΈ Π½Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠžΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ систСмы Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎΠ± отсутствии критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρƒ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Но ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ всС экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ находятся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ срСди Π΅Π΅ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ экстрСмумов Π½Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Находим частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , . Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ: , Ρ‚.Π΅. . Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . Π”Π°Π»Π΅Π΅, , , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° , , , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ экстрСмумов Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚. Но эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° СдинствСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ³ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ экстрСмум (всС экстрСмумы – Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ срСди критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ!) . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ экстрСмумов Π½Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ВыраТСния для частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: , . Оба ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ выраТСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ критичСскими ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚.Π΅. . Бокращая уравнСния Π½Π° 3, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ . Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈ подставляСм Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅: , , . ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² 0 Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… значСниях , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Π² 0 хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· сомноТитСлСй. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ , Ρ‚.Π΅. . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня: ΠΈ . Учитывая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ связь , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния : , . ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ: , ΠΈ , , Π° исслСдуСмая функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚, соотвСтствСнно, Π΄Π²Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: ΠΈ . Π’ соотвСтствии с дальнСйшими ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ схСмы, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ выраТСния для Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: , .

Π”Π°Π»Π΅Π΅, Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ схСмой исслСдуСм ΠΎΠ±Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

1. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ . ВычисляСм Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ значСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ число , Ρ‚ΠΎ (Π² соотвСтствии с описанной схСмой) исслСдуСмая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума.

2. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ . ВычисляСм Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ значСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ число , Ρ‚ΠΎ (Π² соотвСтствии с описанной схСмой) исслСдуСмая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ , Ρ‚ΠΎ βˆ’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°: .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8 . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ВыраТСния для частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: ={производная произвСдСния: }= , Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ {ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ содСрТит , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ этой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ считаСтся постоянным ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΈ выносится Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ}= . Оба ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ выраТСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ критичСскими ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚. Π΅. . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅ обращаСтся Π² 0 Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… значСниях показатСля стСпСни , Ρ‚ΠΎ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ части ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π° , Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ исходной: . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, СдинствСнным Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ систСмы являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл: , , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° . Π”Π°Π»Π΅Π΅, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: , , . ВычисляСм значСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π² исслСдуСмой критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ : , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ исслСдуСмая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ , Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. МинимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ .

П Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. НСобходимо ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ бассСйн Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ прямого ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° объСмом , Π½Π° ΠΎΠ±Π»ΠΈΡ†ΠΎΠ²ΠΊΡƒ Π΄Π½Π° ΠΈ стСн ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ наимСньшСС количСство ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ бассСйна (Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρƒ Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· , ΠΈ (см. рисунок). ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС нСобходимая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ±Π»ΠΈΡ†ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ использовано ΠΎΠ±Π»ΠΈΡ†ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, встаСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ числа , ΠΈ βˆ’ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° (бассСйна), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ объСм Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Π° суммарная ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности (это ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· Π΄Π½ΠΎ ΠΈ стСны бассСйна) Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ наимСньшСй. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ эту ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. Указанная ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π΅ ) складываСтся ΠΈΠ· ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°-основания (Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ), ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π½Π΅ΠΉ стСнок (Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… каТдая) ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ стСнок (ΠΏΠΎ каТдая). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ±Π»ΠΈΡ†ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ зависит Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… – Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² бассСйна , ΠΈ : ΠΈΠ»ΠΈ . ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ отыскания экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… (Π° Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ бассСйна , ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ нСзависимо Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. Если Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° , Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ выбираСмая ΠΏΡ€ΠΈ этом Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌ объСмС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ бассСйна: . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ объСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ всСх Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅: , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ссли Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° бассСйна, Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°: . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ : . Раскрывая скобки, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ для исслСдования Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΈΠ»ΠΈ . По смыслу Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ( ΠΈ βˆ’ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ бассСйна) эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΡ‹ рассматриваСм Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ : , . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся I Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° осях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. НайдСм экстрСмумы этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ схСмС. Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ . Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ частной ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: ΠΈΠ»ΠΈ . Находим критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ сущСствуСт для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрвая ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° , Ρ‚.Π΅. для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° оси . Аналогично, производная Π½Π΅ сущСствуСт для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… вторая ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° , Ρ‚.Π΅. для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° оси . Однако всС эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ входят Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ нас ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума. НайдСм Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‚Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π΅ стационарными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму , Ρ‚.Π΅. . Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΈ подставим Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: , , , ΠΈΠ»ΠΈ . ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ , Ρ‚.Π΅ ΠΈ . ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нас ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ интСрСсуСт ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ нСсоотвСтствия области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ связь , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ имССтся СдинствСнная критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° . Π”Π°Π»Π΅Π΅ (Π² соотвСтствии со схСмой поиска экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ выраТСния для Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: ΠΈΠ»ΠΈ . Аналогично, , . Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° экстрСмум. Находим значСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅: , , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число , поэтому Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ имССтся экстрСмум, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , Ρ‚ΠΎ это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° (Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π±Ρ‹ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ!). МинимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° : . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° бассСйна , . ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° бассСйна Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· связи этого Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ бассСйна . ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ±Π»ΠΈΡ†ΠΎΠ²ΠΊΠΈ минимальна ΠΈ составляСт .

ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ο»Ώ

ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ   

Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f ( x , y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΏΡ€ΠΈ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ( p , q ), Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ срСз z = f ( x , y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум Π² ( p ,

7 q .

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ f ( x , y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ( p , q ) Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ срСз z = f 90,7 x

08 (

08 Π³ ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ( p , q ).

Однако для f ( x , y ) Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ срСз ΠΈ максимум Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ срСзС.

Если это Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f ( x , y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сСдло at ( p , q ), ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ сСдло для лошади.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ максимум, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ( p , q ), рассмотрим Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ срСз z ( t ) = f ( Ρ€ + ΠΌΡ‚ , q + Π½Ρ‚ ). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x = p + mt ΠΈ y = q + nt ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x β€˜ ( t ) = ΠΌ ΠΈ y β€˜ ( t ) = n , пСрвая производная ΠΎΡ‚ z ( t ) Ρ€Π°Π²Π½Π°

Π΄Π· Π΄Ρ‚
= ΒΆ f ΒΆ x
Π΄Ρ… Π΄Ρ‚
+ ΒΆ f ΒΆ Π³
Π΄ Π΄Ρ‚
= mf x + nf y
ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, константа m ΠΈ n ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
z Β» =  

Π΄

Π΄Ρ‚
Π΄Π· Π΄Ρ‚
ΠΌ df x dt
+ ΠΏ Π΄Ρ„ Ρƒ Π΄Ρ‚
ΠΌ Γ¦
Γ¨
ΒΆ f x ΒΆ x
Π΄Ρ… Π΄Ρ‚
+ ΒΆ f x ΒΆ y
Π΄ Π΄Ρ‚
ΓΆ
ΓΈ
+ n Γ¦
Γ¨
ΒΆ f y ΒΆ x
Π΄Ρ… Π΄Ρ‚
+ ΒΆ f y ΒΆ y
Π΄ Π³ Π΄Ρ‚
ΓΆ
ΓΈ
ΠΌ ( ΠΌΡ„ Ρ…Ρ… + Π½Ρ„ Ρ…Ρƒ ) + n ( mf yx + nf yy )
Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ равСнство ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Ρ… частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΆΠ°ΠΈ
z Β» (0) = ΠΌ 2 f xx ( p , q ) + mnf xy ( p , q ) + n 2 f yy ( p , q )
(2)

Если f xx ( p,q ) = 0, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ значСния m ΠΈ n Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Ρ‚ΠΎ z Β»  ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… срСзах ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, подразумСвая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ z=f ( x,y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сСдло Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ( p,q ). Если f xx ( p,q ) ΒΉ 0, Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π² ΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚

z Β» (0) = f xx ( p,q ) Γ¦
Γ¨
ΠΌ + Ρ„ Ρ…Ρƒ ( Ρ€, Π΄ )
f Ρ…Ρ…

8

( 90 8 0188)
ΠΏ ΓΆ
ΓΈ
2

 

Π” ( Ρ€, ΠΊ )
f xx ( p,q )
n 2
(3)
Π³Π΄Π΅ D = F XX F YY β€” ( F XY ) 2 . Π˜Π— . (Ρ‚. Π΅. Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ (2) ).

Если D ( p,q ) > 0, Ρ‚ΠΎ z Β» (0) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ f xx ( p,q ) Π²ΠΎ всСх направлСниях u = < m,n > , Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, подразумСваСтся максимум, Ссли < 0 ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ссли f xx ( p,q ) > 0. Однако Ссли Π” ( Ρ€, ΠΊ ) < 0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ m= 1, n =0 Π΄Π°Π΅Ρ‚ z Β» (0) > 0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ m = f xx ( p,q ) / f xx ( p,q 9 3) n Π΄Π°Π΅Ρ‚ z Β» (0) < 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ сСдло. Π­Ρ‚ΠΈ наблюдСния приводят ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅:

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: Если ( p , q ) являСтся критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x , y ), Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ ( p , q ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
Дискриминант
2 nd   der
Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚
D ( p , q ) > 0,
f xx ( p , q ) > 0
Ρ„ ( Ρ… , y ) has a local minimum at ( p , q )
D ( p , q ) > 0,
f xx ( p , q ) < 0
f ( x , y ) has a local maximum at ( p , q )
D ( p , q ) < 0,
f ( x , y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сСдло Π½Π° ( p , q )
Однако, Ссли D ( p , q ) = 0, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ f ( x , y ) получаСтся.
ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  2    НайдитС экстрСмумы ΠΈ сСдловыС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ f ( x , y ) = x 2 β€” y6 2 98 20457 .

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ f x = 2 x ΠΈ f y = -2 y , СдинствСнная критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (0,0) . Однако f xx = 2, f yy = -2, ΠΈ f xy = 901, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ дискриминант f Ρ€Π°Π²Π΅Π½

D = F XX F YY -( F XY ) 2 = (2) -2) -0 9045) 2 = (2) -0 9048) 2 = (2) -0 9048). < 0
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, f ( x , y ) = x 2 β€” y 2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сСдло Π² (0,0) .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмы ΠΈ сСдла F ( x , Y ) = x 3 -3 XY + Y 3 .

РСшСниС: Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 1 ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ f ( 0,0) ΠΈ ( 1,1) . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ f x ( x , y ) = 3 x 2 -3 y ΠΈ f y ( x , y ) = -3 x +3 y 2 , Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ f ( x , y ) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888989Π½. 7
F XX = 6 x , F XY = -3, F YY = 6 Y
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, дискриминант Ρ€Π°Π²Π΅Π½
.
D ( x , y ) = (6 x ) (6 Y ) -(-3) 2 = 36 XY -9
77 70196 ΠŸΡ€ΠΈ (0,0) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ D ( 0,0) = 0 β€” 9 = -9 < 0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, f ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сСдло Π² (0,0) . Π’ (1,1) ΠΌΡ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ
D ( 1,1) = 36Β·1Β·1 β€” 9 = 27 > 0
Однако f xx ( 1,1) = 6 > 0, поэтому f ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ локального ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π² (1,1) .

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  4    НайдитС Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экстрСмумы ΠΈ сСдловыС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ
f ( x , y ) = x sin( xy )
ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹
F x = SIN ( XY ) + XY COS ( XY ), F Y = x 2 COS (. 888) 8888) 8888).
Настройка f y = 0 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ x = 0, Π»ΠΈΠ±ΠΎ cos( xy ) = 0, послСдний ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
Ρ…Ρƒ   =   ΠΏ
2
+   ΠΏ Ρ€
для любого Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа n . Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ f x ( x , y ) Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ 1, Π»ΠΈΠ±ΠΎ -1 (Π½ΠΎ Π½Π΅ 0). Однако Ссли y = 0, Ρ‚ΠΎ
f x ( x ,0) = 0 + y
ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ f x = 0, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ f y = 0 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0, 0) (ΠΈ Π½ΠΈΠ³Π΄Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅). Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅
2 y cos( xy ) β€” xy 2 sin( xy )
f yx = 2 x cos( xy ) β€” x 2 y 909 18 xy6
β€” x 3 sin( xy )
ΠΈ F XX (0,0) = F XY (0,0) = F YY (0,0) = 0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ D ( 0,0) = 0, поэтому тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ± экстрСмумах ΠΈΠ»ΠΈ сСдлах ΠΈΠ· f ( x , y ) = x sin( xy ) at (0,0) .

Экспорт ΠΊΠ»Π΅Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ

Π₯отя Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 4 каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0,0) Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСдло, Π½Π΅Ρ‚ способ опрСдСлСния этого с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тСста Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³ ( x,y ) = x 4 + y 4 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π΅Π·Π΄Π΅, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π³ (0,0) = 0, поэтому ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ g ( x,y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0,0). Но Π³ Ρ…Ρ… ( 0,0) = Π³ Ρ…Ρƒ ( 0,0) = Π³ 8 ΡƒΡƒ

) = 0 ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ D (0,0) = 0, поэтому этот ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ нСльзя ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ своС Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅: БоотвСтствуСт Π»ΠΈ p ( x , y ) = β€” Ρ… 4 β€” Ρƒ 4 Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экстрСмумы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тСста Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ?

Π”Π΅Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ расчСт

ЧастныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ говорят Π½Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ максимумы ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² случаях с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½ΠΈ максимумами, Π½ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°ΠΌΠΈ β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. На самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ слСдовало ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, ситуация Π΅Ρ‰Π΅ слоТнСС.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

Когда Π²Ρ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… β€” Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΅Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. ΠœΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ это Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Π² настройкС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π’ случаС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ вторая производная Π΄Π°Π²Π°Π»Π° ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π’ случаС с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ искривляСтся ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ сСчСниям, Π½ΠΎ это Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ полная информация ΠΎΠ±ΠΎ всСй повСрхности.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π²Π·ΡŠΠ΅Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ это происходит рядом с ΠΏΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Π½Π° мягком Π΄ΠΈΠ²Π°Π½Π΅, ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Ρ‰Π΅ΠΌΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ куском Ρ‚ΠΊΠ°Π½ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ морщинистой ΠΊΠΎΠΆΠ΅ΠΉ Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ сТимаСтС ΠΊΡƒΠ»Π°ΠΊ. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎ Π² этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ β€” ΠΎΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вниз… ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ Ρ„Ρ€Π°Π·Π° Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ вогнутая Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ вогнутая Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ. Π½Π° повСрхности.

Π£Π΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, всС Π΅Ρ‰Π΅ сущСствуСт Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ тСст ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ, Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, поэтому ΠΌΡ‹ всС Π΅Ρ‰Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \( f(x,y) \) являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… : \[ \begin{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} f_{xx}=&\frac{\partial}{\partial x}\left(f_x\right)=\left(f_x\right)_x & f_{xy}=&\frac{\partial}{\partial y }\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(f_x\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)=\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(f_x\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)_y\\ f_{yx}=&\frac{\partial}{\partial x}\left(f_y\right)=\left(f_y\right)_x & f_{yy}=&\frac{\partial}{\partial y }\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(f_y\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)=\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(f_y\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)_y \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} \] \( f_{xy} \) ΠΈ \( f_{yx} \) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ 92\).

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с нахоТдСния (ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…) частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: \[ \begin{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} f_x(x,y)=& 2x-4y \\ f_y(x,y)=& -4x+8y \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} \]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: \[ \begin{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} f_{xx}(x,y)=& \frac{\partial}{\partial x}(2x-4y)=2 \\ f_{xy}(x,y)=& \frac{\partial}{\partial y}(2x-4y)=-4 \\ f_{yx}(x,y)=& \frac{\partial}{\partial x}(-4x+8y)=-4 \\ f_{yy}(x,y)=& \frac{\partial}{\partial y}(-4x+8y)=8 \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} \]

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, это Π½Π΅ совпадСниС β€” это Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°!

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Ρ… частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Если \( f \), \( f_x \), \( f_y \), \( f_{xy} \) ΠΈ \( f_{yx} \) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ (Π±Π΅Π· Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ² Π² своих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…), Ρ‚ΠΎ \[ f_{xy}=f_{yx}. \]

На самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° \(f\) ΠΈ всС Π΅Π΅ подходящиС частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹, ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокий порядок, ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. 92} \]

Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Ρ‚ΠΎ оказались Π±Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ мСстС. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ концов…

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ максимумы, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ сСдловыС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ макс-ΠΌΠΈΠ½ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, которая Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ всСх сосСдних Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ всС Π±Π»ΠΈΠ·Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°. Но ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, поэтому Π½Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тСста ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Битуация с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ такая ΠΆΠ΅. Как ΠΈ Π² случаС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ шагом являСтся поиск критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, мСст, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ±Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹

.
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ)
  • \(f\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \((a, b)\), Ссли \(f(a, b) \geq f(x, y)\ ) для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ \((x, y)\) Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ \((a, b)\).
  • \(f\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… \((a, b)\), Ссли \(f(a, b) \leq f(x, y)\) для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ \((x, y )\) Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ \((a, b)\).

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x, y)\) β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \((x, y)\) (ΠΈΠ»ΠΈ \((x, y, f(x, y))\) ), Π³Π΄Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ ΠΎΠ±Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… утвСрТдСния:

  1. \( f_x=0 \) ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ, ΠΈ
  2. \( f_y=0 \) ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ.

Как ΠΈ Π² случаС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ \(f\) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ мСсто Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Как ΠΈ Π² случаС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ максимумами ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°ΠΌΠΈ. Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ сСдловой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° повСрхности являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом, Ссли ΠΎΠ½Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ всСх сосСдних Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ; Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ, Ссли ΠΎΠ½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅ всСх Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

БСдловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° повСрхности, которая являСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… путях ΠΈ максимумом Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…. Он Ρ‚Π°ΠΊ называСтся, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ сСдло, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΅Π·Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…ΠΎΠΌ. Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, сТав ΠΊΡƒΠ»Π°ΠΊ β€” ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡΡ‚ΡΡˆΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ срСднСго ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π΅Π² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ мСсто, минимальноС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΡΡ‚ΡΡˆΠ΅ΠΊ, ΠΈ максимальноС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎ Ρ€ΡƒΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°ΠΌ. 92+10 \), Π° Π½Π°Π΄ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ находится сСдловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ выглядит ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ осями \(x\)- ΠΈ \(y\)-. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π΄ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π³Π΄Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Для просмотра этого Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ JavaScript ΠΈ рассмотритС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обновлСния Π΄ΠΎ Π²Π΅Π±-Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ HTML5

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Как ΠΈ Π² случаС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΌ понадобится способ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ максимумами ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°ΠΌΠΈ. БущСствуСт Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ тСст ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ, Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² случаС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ всСгда Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
  1. НайдитС всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(f(x,y)\).
  2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ \[ D(x,y)=\left(f_{xx}\right)\left(f_{yy}\right)-\left(f_{xy}\right)\left(f_{yx}\ справа),\] ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

    1. Если \(D \gt 0\), Ρ‚ΠΎ \(f\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ, посмотритС Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ \( f_{xx} \):

      • Если \( f_{xx}\gt 0 \), Ρ‚ΠΎ \(f\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
      • Если \( f_{xx}\lt 0 \), Ρ‚ΠΎ \(f\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
    2. Если \(D \lt 0\), Ρ‚ΠΎ \(f\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
    3. Если \(D = 0\), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ (Ρ‚. Π΅. тСст Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ²).

Для просмотра этого Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ JavaScript ΠΈ рассмотритС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обновлСния Π΄ΠΎ Π²Π΅Π±-Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ HTML5 92-6y=3y(y-2)=0 \), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(y = 0\) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(y = 2\).

Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΈΡ… вмСстС, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: (0, 0), (-2, 0), (0, 2) ΠΈ (-2, 2).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Нам понадобятся всС Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅: \[f_{xx}=6x+6,\ f+{yy}=6y-6,\ f_{xy}=f_{yx}=0.\]

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° \ [ D(x,y)=(6x+6)(6y-6)-(0)(0)=(6x+6)(6y-6). \]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ:

  • Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0, 0): \( D(0,0)=(6(0)+6)(6(0)-6)=( 6)(-6)=-36 \lt 0 \), поэтому Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0, 0) Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСдловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.
  • ΠŸΡ€ΠΈ (-2, 0): \( D(-2,0)=(6(-2)+6)(6(0)-6)=(-6)(-6)=36 \gt 0 \) ΠΈ \( f_{xx}(-2,0)=6(-2)+6=-6 \lt 0 \), поэтому Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (-2, 0) имССтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум.
  • Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0, 2): \( D(0,2)=(6(0)+6)(6(2)-6)=(6)(6)=36 \gt 0 \) ΠΈ \( f_{xx}(0,2)=6(0)+6=6 \gt 0 \), поэтому Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0, 2) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.
  • ΠŸΡ€ΠΈ (-2, 2): \( D(-2,2)=(6(-2)+6)(6(2)-6)=(-6)(6)=-36 \lt 0 \), Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° сСдловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² (-2, 2).

Для просмотра этого Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ JavaScript ΠΈ рассмотритС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обновлСния Π΄ΠΎ Π²Π΅Π±-Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ HTML5 92}{4} \) для нахоТдСния \(x\) Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π΄Π²Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: (0,0) ΠΈ \( \left(\frac{4}{9},\frac{4}{3}\ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ) \).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ вычислСниС \[ \begin{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} D(x,y)=& (f_{xx})(f_{yy})-(f_{xy})(f_{yx}) \\ =& (54x)(2y)-(-4)(-4) \\ =& 108xy-16 \end{align*} \] Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ \( D \) Π² Π΄Π²ΡƒΡ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…:

  • Π’ (0,0): \(D(0,0) = -16 \lt 0\), поэтому Π² (0, 0) Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСдловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.
  • Π’ \( \left(\frac{4}{9}, \ frac {\ sqrt [3] {4}} {3} \ right) \): \ (D \ left (\ frac {4} {9}, \ frac {\ sqrt [3] {4}} {3}\right) =16(\sqrt[3]{4}-1)\gt 0\) ΠΈ \(f_{xx}\left(\frac{4}{9},\frac{\sqrt [3]{4}}{3}\right) \gt 0 \), поэтому сущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \( \left(\frac{4}{9},\frac{\sqrt[3]{4 }}{3}\справа) \).

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Π°Ρ оптимизация

Для просмотра этого Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ JavaScript ΠΈ рассмотритС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обновлСния Π΄ΠΎ Π²Π΅Π±-Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ HTML5

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

Компания ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°. УравнСния спроса Π½Π° эти Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅. \(p_1\), \(p_2\), \(q_1\) ΠΈ \(q_2\) β€“ это Ρ†Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ количСство Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² 1 ΠΈ 2.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

Β© 2015 - 2019 ΠœΡƒΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠΏΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Π·Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ «Валовская срСдняя школа»

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π° сайта