Интервал сходимости степенного ряда с примерами решения
Содержание:
- Примеры с решением
Определение 10.11 Интервалом сходимости ряда называется интервал (-R.R). где R — радиус сходимости ряда.
Прежде всего покажем, что в любой точке этого интервала ряд сходится.
Пусть R > 0 и точка — Эго значит, что — Возьмем Тогда, ио определению радиуса сходимости и по свойству верхней грани множества в интервале , найдется
то число |xj такое, что ряд 6удет сходиться. Но
По теореме Абеля, ряд сходится и призом абсолютно.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Итак, если |х| < R. го степенной ряд в точке х сходится. С другой стороны, из определения верхггей грани следует, чго гге сушествует точек сходимости ряда, для которых выполняется неравенство |х| > R.
- Здесь общая закономерность отсутствует: существуют ряды, у которых имеет место сходимость в обеих точках х = ±R существуют такие, у которых имеет место сходимость только в одной из этих точек; и наконец, сеть такие ряды, которые расходятся в обеих точках.
Приведенные ниже примеры демонстрируют эти случаи. Но прежде чем мы обратимся к этим гримерам, нееобходимо обсудить вопрос о том, как находить радиус сходимости.
Один из способов связан с применением признака Даламбера к ряду, состав генному из модулей членов степенного ряда: . В результате получим если и , если
В силу замечания к признаку Даламбера для случая и в силу теоремы 10.13 получаем, что если существует , то он и равен радиусу сходимости ряда. Итак,
если этот предел существует. Если он бесконечен, то следует считать, что
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Внесение под знак дифференциала: подведение |
Решение пределов со степенями |
Примеры решений пределов с корнями |
Таблица истинности логических выражений |
Аналогично, используя признак сходимости Коши, можно получить для радиуса сходимости такую формулу:
если этот предел существует.
При этом считаем, что если то , а если
Примеры с решением
Пример 10.19.
Рассмотрим ряд . Найдем его радиус сходимости но формуле (10.34). В нашем случае
Теперь рассмотрим ряд в граничных точках интервала сходимости (-1,1), т.е. при х = ±1. При х = 1 получается сходящийся ряд (по интегральному признаку сходимости), а при х = — 1 имеем ряд , который сходится в силу теоремы 10.13. Таким образом, ряд сходится на обоих концах своего интервала сходимости. Его областью сходимости будет [-1,1], т.е. интервал сходимости не совпадает с областью сходимости.
Пример 10.20.
Рассмотрим ряд . Для него находим
Исследование вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости (-1,1) приводит к двум рядам: Первый из них был рассмотрен выше и является сходящимся. Второй, известный под названием гармонического ряда, расходится. Таким образом, область сходимости ряда представляет собой полуинтервал [-1,1).
Пример 10.21.
Дан ряд . Для него Найдем его радиус сходимости гго формуле (10.
35). Имеем
Следовательно интервал (-1,1) будет для этого ряда интервалом сходимости. Исследование граничных точек интервала сходимости приводит к рядам которые являются расхолящимися (общий член ряда нс стремится к нулю, нс выполне-но необходимое условие сходимости ряда). Поэтому для ряда область сходимости совпадает с интервалом сходимости: (-1,1).
Таким образом, разобранные примеры показывают, что область сходимости степенного ряда может отличаться от интервала сходимости нс более чем двумя точками х = ±R, которые нс входят в интервал сходимости, но могут входить в область сходимости.
Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда
Теорема 10.22 (о равномерной сходимости степенного ряда). Пусть дан ряд с радиусом сходимости . В таком случае на всяком отрезке ряд сходится равномерно.
Доказательство. Из включения следует, что . Тогда принадлежит интервалу сходимости и поэтому сходится ряд Он является мажорирующим рядом д;гя ряда У сихй н=0 на отрезке [-/*, г], так как для любого выполняются неравенства .
По признаку Всйсрштрасса равномерной сходимости, получаем, что гга отрезке [-г, г] ряд сходится равномерно.
Следствие. При выполнении условий теоремы ряд сходится равномерно на любом отрезке
Доказательство. Для любого отрезка можно найти отрезок |-г,г] такой, что Из равномерной сходимости ряда гга отрезке [-г, г] следует равномерная сходимость ряда на отрезке .
Теорема 10.23 (о непрерывности суммы степегшого ряда). Пусть дан ряд с радиусом сходимости . В таком случае его сумма непрерывна в любой точке иггтерва га сходимости.
Доказательство. Пусть Тогда можно найти такой интервал. На любом отрезке ряд сходится равномерно и члены его непрерывны на этом отрезке. По теореме о непрерывности суммы функционального ряда, получим, что его сумма непрерывна на всем отрезке и, следовательно, в точке х.
Исследование степенного ряда на сходимость — Мегаобучалка
После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.
Пример 1
Найти область сходимости степенного ряда
Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.
На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши. Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля.
Итак, решаем наш предел:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.
(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля.
Кстати, почему можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.
(5) Устраняем неопределенность стандартным способом.
После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.
Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при » (значок в математике обозначает принадлежность).
Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »).
Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.
В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:
В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Я не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже достаточно того, что я пересказал своими словами несколько теорем.
Теперь раскрываем модуль по школьному правилу: .
В данном случае:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Половина пути позади.
На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.
Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :
При
Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).
Используем признак Лейбница:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
– сходится (случай обобщенного гармонического ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.
Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд :
При – сходится.
Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала.
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:
Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если
Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .
Пример 2
Найти область сходимости степенного ряда
Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:
И раскрываем модуль по школьному правилу :
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала.
1) При
Обратите внимание, что при подстановке значения в степенной ряд у нас сократилась степень . Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.
Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.
Используем признак Лейбница.
– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю.
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .
Таким образом, ряд сходится только условно.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится только условно.
В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд
предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось – сходится только условно.Пример 3
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.
Пример 4
Найти область сходимости ряда:
Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.
(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн».
Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:
Ответ: Ряд сходится при
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!
Пример 5
Найти область сходимости ряда
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны 😉 Полное решение ответ в конце урока.
Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.
Пример 6
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:
Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:
В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Подставляем значение в наш степенной ряд :
Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.
Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель .
Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.
Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.
Используем интегральный признак.
Подынтегральная функция непрерывна на .
Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Исследуем второй конец интервала сходимости.
При
Используем признак Лейбница:
– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю.
Вывод: ряд сходится
Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку – расходится (по доказанному).
Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда, при ряд сходится только условно.
Пример 7
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Это пример для самостоятельного решения.
Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.
Пример 8
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Предел по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.
Итак, ряд сходится при
Умножаем обе части неравенства на 9:
Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :
Раскрываем модуль:
И прибавляем ко всем частям единицу:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) Если , то получается следующий числовой ряд:
Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .
И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени , а значит, интервал сходимости найден правильно.
По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на урокеРяды для чайников. Повторим.
Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .
Таким образом, наш ряд нужно сходить со сходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд сходится вместе с рядом .
2) Что происходит на другом конце интервала?
При – сходится.
А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти область сходимости ряда
Достаточно для начала =)
В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.
Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Ряд сходится при
Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
1) При
Используем признак Лейбница.
– Ряд является знакочередующимся.
– члены ряда не убывают по модулю.
Вывод: Ряд расходится
2) При
Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда
Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Ответ: Ряд сходится при
Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.
Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Ряд сходится при
Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на :
В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При
Степень сократилась, значит, мы на верном пути.
Используем признак Лейбница.
Ряд является знакочередующимся.
– члены ряда убывают по модулю.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Используем интегральный признак.
Подынтегральная функция непрерывна на .
Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд сходится только условно.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при ряд сходится только условно.
Область сходимости окончательно можно записать так: , или даже так: .
Примечание: Ряд можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.
Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Ряд сходится при
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
1) При
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения.
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Автор: Емелин Александр
Степенные ряды, их сходимость, разложение функций в степенные ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости ряда
Смех без причины – признак Даламбера
Вот и пробил час функциональных рядов.
Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.
На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда.
Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:
Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!
Итак, ориентиры расставлены, поехали:
Понятие функционального ряда и степенного рядаЕсли в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.
В данном случае предел равен .
Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:
В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.
Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:
Половина пути позади.
На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.
Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :
При
Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).
1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .
при – сходится.
! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.
Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если
Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .
Пример 2
Найти область сходимости степенного ряда
Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:
– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем его на характер сходимости:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .
Таким образом, ряд сходится условно .
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.
В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .
Пример 3
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.
Пример 4
Найти область сходимости ряда:
Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.
(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:
Ответ: Ряд сходится при
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить.
Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!
Пример 5
Найти область сходимости ряда
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.
Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.
Пример 6
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:
Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5:
Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:
В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Подставляем значение в наш степенной ряд :
Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.
Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.
Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.
Итак, ряд сходится при
Умножаем обе части неравенства на 9:
Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :
Раскрываем модуль:
и прибавляем ко всем частям единицу:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) Если , то получается следующий числовой ряд:
Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .
Приложение
Степенные ряды на сайт для практических занятий с целью закрепления пройденного материала. И оттачивания навыков студентов для того, чтобы научиться однозначно определять сходимость степенного ряда. Практические занятия в полной мере дают желаемый результат, если в курсе по изучению выделено достаточное количество занятий. Это в полной мере обеспечит высококлассную подготовку учащихся. Но что делать, когда их нет? В этом случае решить степенные ряды онлайн поможет как раз наш сайт, или аналогичный ресурс. Однако не всегда подобные калькуляторы смогут предоставить правильный ответ на поставленную задачу. Как раз для этого на примере одного условия нужно сравнить полученные ответы между решениями подобных сайтов. Можно заметить, что область сходимости ряда вычисляется порой по разным теоремам и ответ, хоть он и правильный, но может быть выражен отличными формами записи.
Конечно, такое не будет считаться ошибкой, все дело в том, как именно вам будет удобнее его воспринимать. Короче говоря, найти сходимость степенного ряда с помощью того или иного сайта, решать вам, то есть как будет вам удобно для дальнейших применений ответа. Иногда само решение степенного ряда выражают через записи со знаками неравенств, а чаще всего через знак модуля. Это не случайно, поскольку на практике используют наиболее чаще приемы сравнений общих членов ряда с использованием модулей. Через ряд преобразований выделяют переменную, заключенную в модуль, и остается краткая запись, которая нормально воспринимается для понимания решения. Для наглядного представления радиус сходимости ряда можно представить на числовой оси с указанием граничных точек, это, кстати, тоже приветствуется в ряде случаев. Не нужно загонять себя в какие-то определенные рамки, которые сузят ваш кругозор. Вообще-то говоря, степенные ряды важная тема в математике, поскольку сложная и для того, чтобы её понять, вам придется изучить несколько курсов.
Например, теорию предельного перехода и интегральное исчисление, поскольку для доказательства сходимости степенного ряда часто используют именно такие приемы, в которых присутствуют эти действия. Для вас мы предлагаем пройти практические занятия, и проверит свои знаний по изучению степенных рядов онлайн прямо на сайт, поскольку мы даем гарантию, что все решаемые задачи выдаются с точным ответом, в считанные секунды и абсолютно бесплатно в режиме реального времени. Помимо области сходимости ряда, или как её еще называют радиус сходимости ряда, мы предлагаем вашему вниманию много других сопутствующих калькуляторов, которые вы, безусловно, оцените на высочайшем уровне. Если требуется найти сходимость степенного ряда, то предоставьте это сделать за вас именно нам, поскольку сайт есть залог точности и гарантия безупречного качественного ответа. Многие студенты не редко задаются таким вопросом как быстрая подготовка в решении степенного ряда, но не просто решение, а качественное и правильное.
Во все времена степенные ряды носили более обширный смысл, чем об этом сейчас рассказывают ученикам. Оно и понятно, потому что объясняется это тем, что нет времени в связи с необходимостью глубокого изучения более важные тем. С одной стороны — ДА, но тогда означает ли это, что можно пренебрегать сходимостью степенного ряда? Скорее всего, нет, так как, не изучив должным образом степенные ряды онлайн, вы попросту не сможете грамотно ответить на очевидные вопросы на защите курсовой или дипломной работы. Допустим, ваша предметная область включает такую дисциплину как механика сплошных сред или строительная механика. Очевидно, что устойчивость систем важна при проектировании стратегических объектов, тем более, если это напрямую касается охраны жизнедеятельности людей. Казалось бы, что можно вынести полезного, если научиться или хотя бы понять суть как находить область сходимости ряда? Трудно в одном предложении передать важность этого определения. Но поверьте на слово, найти сходимость степенного ряда такая же важная и необходимая процедура, как, к примеру, знать теорему Пифагора.
Если решение степенного ряда будет выполнено с ошибкой, то в дальнейших расчетах обязательно это сыграет злую шутку со студентом. Бывает порой, что из-за досадной неточности в ошибке происходит крушение летательного аппарата уже на первых испытаниях. Согласитесь, это обидно после проделанных работ и колоссального вклада времени. Поэтому учитесь и еще раз учитесь находить радиус сходимости ряда, прививая тем самым с самого начала правильность т строгость в решении задач. Вернемся к теме степенные ряды и расскажем немного об этом разделе подробнее. В практике множество степенных рядов начинаются именно с первого члена, хотя встречаются такие ряды, в условии которых первый член может начаться и со второго, и с третьего члена. Во многом это связано с тем, что, например, начиная с первого члена, сразу обращается в бесконечность вся сумма ряда, что конечно тривиально, по сути. Сходимость степенного ряда как предмет изучения области его сходимости, на практике применяется не часто, особенно студентами, если они не проходят её на кафедре математического анализа.
Суть ясна и задачи все расставлены. Наш калькулятор вычисляет степенные ряды онлайн, а также говорит о сходимости ряда, по какому признаку числовой ряд сходится, короче говоря, умеет определять сходимость степенных рядов. Попасть в область сходимости ряда переменная может, если удовлетворяет конкретному единственному условию, то есть чтобы соответствующий получившийся при этом числовой ряд сходился к конечному действительному числовому значению. Пожалуй, это не одно условие, нужно также, чтобы все члены ряда при любом порядковом натуральном значении параметра n существовал и однозначно определялся. Найти сходимость степенного ряда означает определить область его сходимости на числовой оси абсцисс, если речь идет о декартовой системе координат. Такое сделать представляется возможным по признаку Даламбера, однако, нужно понимать, что лишь по признаку, так как сам принцип устанавливает лишь интервал, в который попадет переменная. Помните, для функциональных рядов признак Даламбера не применим, он только для числовых рядов.
Решение степенного ряда напрямую связано с нахождением радиуса сходимости этого ряда, но для краткости выражаются именно так. Мы тоже будем применять этот термин, дабы не отставать от тенденции в научном мире. Степенные ряды в граничных точках изучаются отдельно. Разумеется, это есть часть общей задачи по исследованию на сходимость степенного ряда. В этих граничных точках ряд исследуется как числовой — знакопостоянный или знакопеременный, в зависимости от вида общего члена ряда. Ряды, членами которых являются степенные функции, называются степенными рядами, а калькулятор может решать их онлайн. Когда так говорят, сразу приходит на ум следующее предположение, а если членами ряда будут являться периодические функции, то такой ряд наверно должен называться функциональным периодическим рядом! Забавное дело получается, но все очень серьезно. Когда мы определили область сходимости ряда, необходимо после этого проделать завершающие вычисления, а именно исследовать числовые ряды на сходимость, которые получаются путем подстановок границ определенного интервала вместо переменной x степенного ряда.
Дальше сможете написать полноценный ответ с решением. Рассмотрим пример, как можно найти сходимость степенного ряда без применения основных теорем, а лишь сравнительным способом. При этом нужно грамотно составлять сравнения двух функциональных рядов до тех пор, пока не упростим исходный ряд до давно изученного элементарного. По этому принципу возьмем за ответ как раз результат давно известный всем наперед. По решению степенного ряда еще не однозначно можно предположить, какой же точно будет радиус сходимости ряда, поскольку перед этим еще надо произвести исследование как минимум двух числовых рядов на каждой из границ интервала.. По виду все степенные ряды одинаковы тем, что их общий член представляет собой обычную функцию от аргумента. Суть изучения состоит как раз в том, чтобы определить допустимые значения этого аргумента для сходимости ряда (условной или безусловной), а также на каких интервалах соответствующий ему уже числовой ряд будет расходиться. Исследование степенного ряда на сходимость отнимает у вас уйму времени, и мы рекомендуем вам использовать готовый калькулятор сайт.
Нужно исследовать и границы интервала тоже, в противном случае задачу будет выполнена не полностью, а значит, гарантировано снимут два балла. На нашем сайте вы можете вычислить сумму степенных рядов онлайн. Всегда быстро, надежно, а главное бесплатно! Удобный интерфейс и понятный запрос данных.. По праву область сходимости ряда есть конкретное условие существования суммы ряда числового. Если значение на границе интервала дает расхождение полученного знакопеременного ряда. то говорят, что ряд сходится условно, то есть он конечно сходится в этой области, но при определенных условиях, что немаловажно в любом случае. Если абстрагироваться от понятия степенного ряда, и на миг просто представить себе сумму степенного ряда как некую функцию по переменной x, то речь уже пойдет не о том, чтобы найти сходимость степенного ряда, а об определении таких условий, при которых будет существовать значение функции при разных значениях её аргумента x. Короче говоря, задачу сведем к простейшему нахождению области определения функции.
Правда ведь очень просто и понятно! Любое решение степенного ряда всегда говорит о радиусе сходимости такого степенного ряда и обычно определяется через признак Даламбера, но не напрямую, а лишь с условием. После этого раскрывают модуль полученного неравенства и исследуют числовые ряды на абсолютную или условную сходимость. Потом делают вывод. Очень интересно, когда степенные ряды в первоначальном виде интегрируются или дифференцируются, а потом уже вычисляется сумма ряда от нового степенного ряда. Отсюда следуют много вариантов как себя ведет ряд при тех или иных условиях. Найденная сумма степенного ряда от проинтегрированных членов исходного ряда, есть, по сути, проинтегрированная сумма исходного степенного ряда. Интересно и познавательно, не правда ли? Если грамотно сформулировать текст задачи, то он выглядит примерно так: найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на границах найденного интервала. Отсюда ряд может сходиться или расходиться абсолютно, что не требует дополнительных исследований.
Равномерная сходимость показывает степенные ряды в онлайн вычислении, складывая поочередно все члены исходного ряда, записанного в классическом виде, как в университете. Полагаясь только на свое чутье, студент рискует по неопытности попасть в ловушку своей самоуверенности, когда проще простого взять и воспользоваться калькулятором сайт в самом начале учебы. Из области сходимости ряда делают выводы о сходимости функционального, а точнее степенного ряда, а именно устанавливают сходиться он либо условно, либо абсолютно. Все это необходимо для завершающей записи конечного ответа. Не усложняя ситуацию и не применяя названия сложных теорем, скажем, что найти сходимость степенного ряда будет проще для понимания, если представить в качестве суммы ряда некую функцию и уже исследовать именно ее. А это всем давно ясно и понятно как делать! Радиус сходимости ряда и решение степенного ряда понятия тождественные, так как означают одно и то же, точнее определяют однозначно ту область, значения переменной из которой дает сходимость соответственного числового ряда.
Функциональные ряды
Определение. Рассмотрим последовательность функций , имеющих общую область определения D . Ряд вида
, (2.1.1)
называется функциональным .
При каждом частном значении x=x 0 такой ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Множество всех значений аргумента x , при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример 1.
Область определения всех этих функций: . Все члены ряда >0 Þ ряд знакоположительный. Для нахождения области сходимости применим радикальный признак Коши:
, т.к. не зависит от п .
Ряд сходится, если , т.е.
Ряд расходится, если , т.е. ;
При х =0 получим числовой ряд 1+1+1+…+…, который расходится.
Таким образом, областью сходимости является промежуток (рис.2.1.1).
Например, при х =1 получим числовой ряд
Это геометрическая прогрессия со знаменателем Þ сходится.
При х =-1 ряд имеет вид Это прогрессия со знаменателем Þ расходится.
Пример 2. . ООФ: . Раскроем модуль.
При
— гармонический ряд, расходится.
При
— ряд Лейбница, сходится.
Область сходимости (рис.2.1.2).
Частичная сумма функционального ряда
Это функция от х , т.к. при любом х будет своё выражение . Последовательность частичных сумм при каждом х будет иметь свой предел, следовательно:
сумма сходящегося функционального ряда является некоторой функцией аргумента x , определённой в области его сходимости. Символическая запись
означает, что S (x ) является суммой ряда в области D .
По определению сумма ряда S (x ) является пределом последовательности его частичных сумм при :
Для сходящихся рядов справедливо равенство:
где — остаток ряда.
Из выражения (2.1.3) следует равносильность предельных соотношений:
Степенные ряды.
Основные понятия и определения
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды .
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
где — постоянные, называемые коэффициентами ряда ; x 0 — известное число.
При ряд приобретает вид
, (2.2.2)
При x=x 0 ряд превращается в свой первый коэффициент . Тогда сумма ряда равна этому числу, и он сходится. Поэтому точка x=x 0 называется центром сходимости степенного ряда (2.2.1). Таким образом, степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. Сделав замену x-x 0 =Х , можно свести общий случай степенного ряда (2.2.1) к частному случаю (2.2.2). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать ряды типа (2.2.2). Этот ряд всегда сходится по крайней мере в точке х =0.
Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.
Множество значений х , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что частичная сумма степенного ряда
является функцией переменной х . Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией переменной х , определенной в области сходимости ряда:
. (2.2.4)
Теорема Абеля
Исследование сходимости функциональных рядов при заданном значении х можно производить при помощи известных признаков сходимости числовых рядов. Характер же сходимости именно степенных рядов определяется следующей основной теоремой.
Теорема Абеля.
| |
1) Если степенной ряд (2.2.2) сходится при x=x 0 ¹ 0, то он сходится, причем абсолютно, при любом значении x , удовлетворяющем условию , т.е. в интервале .
2) Если ряд (2.2.2) расходится при x=x 1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих условию (рис.
2.3.1).
Точки, в которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости , а где он расходится – точками расходимости .
Радиус сходимости и интервал сходимости
Степенного ряда
Используя теорему Абеля, можно показать, что для каждого степенного ряда вида (2.2.2), имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости (т.е. сходящегося не только в точке и не на всей числовой прямой), существует такое положительное число R , что для всех x , удовлетворяющих условию , ряд абсолютно сходится; а при ряд расходится. При x =± R возможны различные случаи: а) ряд может сходиться в обеих точках ± R ; б) ряд может расходиться в обеих точках ± R ; в) ряд может сходиться в одной из них абсолютно или условно и расходиться в другой (рис.2.4.1). Чтобы выяснить сходимость ряда на границах интервала, нужно подставить значения x =± R в ряд (2.2.2) и исследовать полученные числовые ряды:
| |
с помощью известных признаков сходимости.
В одних случаях могут получаться знакоположительные ряды, в других – знакочередующиеся.
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал — интервалом сходимости. После исследования границ получим уточнённый интервал сходимости, называемый областью сходимости .
Предельные случаи, когда ряд (2.2.2) сходится только при x =0 или сходится при всех значениях x , символически записывают так: R =0 или R =¥.
Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то для нахождения интервала сходимости этого ряда достаточно найти те значения аргумента x , при которых сходится ряд, составленный из модулей членов степенного (в общем случае знакопеременного) ряда. Для этого можно применить признак Д’Аламбера. Это равносильно тому, чтобы к исходному ряду применить общий признак Д’Аламбера.
Пример 1. Найти интервал сходимости ряда
По общему признаку Д’Аламбера вычисляем предел модуля отношения последующего члена к предыдущему:
Þ ряд абсолютно сходится, если Длина интервала сходимости равна двум единицам, радиус сходимости .
Проверим сходимость ряда при x =-1 и x =1. При x =-1:
Полученный числовой ряд сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из модулей его членов (он находится в скобках), является обобщённым гармоническим с . При x =1:
ряд сходится абсолютно по той же причине.
| |
Итак, областью сходимости ряда является промежуток -1£x £1, или .
Замечание. Радиус сходимости ряда с последовательно возрастающими степенями (нулевая, первая, вторая, и.т.д) можно также найти по формуле:
, (2.4.1)
где и – коэффициенты при степенях х . Подчеркнём, что она годится лишь в случае, когда в ряде вида (2.2.2) или (2.2.1) присутствуют все степени х .
В данном примере
.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда:
а) ; б);
в)
; г)
;
д)
.
а) Найдем радиус сходимости R .
Так как
,
,
то
.
x
,
то есть интервал сходимости ряда
.
При
получаем
числовой ряд
.
Этот ряд сходится, так как является
обобщенным гармоническим рядомпри
.
При
получаем
числовой ряд
.
Этот ряд абсолютно сходящийся, так как
ряд, составленный из абсолютных величин
его членов,
сходящийся.
.
б) Найдем радиус
сходимости R .
Так как
,
то
.
Итак, интервал
сходимости ряда
.
Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.
При
имеем числовой ряд
.
При
имеем числовой ряд
.
Этот ряд расходящийся, так как
не существует.
Итак, область
сходимости данного ряда
.
в) Найдем радиус
сходимости R .
Так как
,
то
.
Итак, интервал
сходимости
.
Область сходимости данного ряда совпадает
с интервалом сходимости, то есть ряд
сходится при любом значении переменнойx .
г) Найдем радиус сходимости R .
Так как
,
то
.
Так как
,
то ряд сходится только в точке
.
Значит, область сходимости данного ряда
представляет собой одну точку
.
д) Найдем радиус сходимости R .
Так как
,
,
то
.
Итак, ряд сходится
абсолютно для всех x ,
удовлетворяющих неравенству
,
то есть
.
Отсюда
− интервал сходимости,
− радиус сходимости.
Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала сходимости.
При
получаем числовой ряд
,
который расходится (гармонический ряд).
При
получаем числовой ряд
,
который сходится условно (ряд сходится
по признаку Лейбница, а ряд, составленный
их абсолютных величин его членов,
расходится, так как является гармоническим).
Итак, область
сходимости ряда
.
2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.
Разложение функций в степенной ряд.
Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям
Примеры решения задач
Пример 1.
Разложить в степенной ряд функции:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а) Заменив в формуле
x на
,
получим искомое разложение:
Где
б) Заменяя в равенстве
Где
x на
,
получим искомое разложение:
в) Данную функцию можно записать так:
.
Чтобы найти искомый ряд, достаточно в
разложение
Где
подставить
.
Тогда получим:
г) Данную функцию можно переписать так: .
Функцию
можно разложить в степенной ряд, положив
в биномиальном ряде
,
получим .
Где
.
Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).
Следовательно,
,
где
.
Пример 2. Найти приближенные значения данных функций:
а)
с точностью до 0,0001;
б)
с точностью до 0,00001.
а) Так как
,
то в разложение функции ,
где
подставим
:
или
Так как
,
то требуемая точность будет обеспечена,
если ограничиться только первыми двумя
членами полученного разложения.
.
Используем биномиальный ряд
Где
.
Полагая
и
,
получим следующее разложение:
Если в последнем
знакочередующемся ряде учитывать только
первые два члена, а остальные отбросить,
то погрешность при вычислении
не превысит по абсолютной величине
0,000006. Тогда погрешность при вычислении
не превысит числа .
Следовательно,
Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001:
а)
; б)
.
а)
.
Разложим
подынтегральную функцию в степенной
ряд. Для этого подставим в биномиальный
ряд
и заменим x на :
.
Так как отрезок
интегрирования
принадлежит области сходимости
полученного ряда
,
то будем интегрировать почленно в
указанных пределах:
.
В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.
.
Так как первый из
отброшенных членов имеет знак минус,
то полученное приближенное значение
будет с избытком.
Поэтому ответ с
точностью до 0,001 равен 0,487.
б) Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменим в разложении функции
Где
x на
,
получим:
Тогда
.
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов.
Следовательно,
.
Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.
Степенным рядом называют ряд
члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x , а c 0 , c 1 , c 2 , c n — постоянные величины. Числа c 1 , c 2 , c n — коэффициенты членов ряда, c 0 — свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.
Ознакомимся с понятием области сходимости степенного ряда.
Это множество
значений переменной x , для которых ряд сходится. Степенные ряды имеют довольно простую область сходимости. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является
некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox .
При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд
c 0 +0+0+…+0+… ,
который сходится.
Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.
Теорема 1 (теорема Абеля) . Если степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля,
то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях |x | x
0
| .
Обратите внимание: и отправное значение «икс нулевое» и любое значение «икса», которое сравнивается с отправным, взяты
по модулю — без учёта знака.
Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то он расходится и при всех значениях |x | > |x 1 | .
Как мы уже выяснили ранее, любой степенной ряд сходится при значении x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х . Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала ]-|x 0 |, |x 0 |[ (интервала, левой и правой границами которого являются значения икса, при котором степенной ряд сходится, взятые соответственно со знаком минус и со знаком плюс), симметричного относительно начала координат.
Если же степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 ,
то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка
[-|x 1
|, |x 1
|]
.
Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости , в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).
Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).
Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.
е..
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Здесь
Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём
Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:
Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:
Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
Решение.
Здесь
По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:
Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим
Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .
Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Находимо отношение , где , а :
Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда
,
то есть ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х .
Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 1 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 2 – на обоих концах сходится, в примере 3 – на обоих концах расходится.
Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля.
Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус
сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера , или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.
Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х . Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд
для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда
Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .
Сумма степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Пусть для степенного ряда
радиус сходимости R > 0, т.е. этот ряд сходится на интервале .
Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда.
Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая её через f (x ), можем записать равенство
понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции f (x ) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что степенной ряд (29) сходится к функции f (x ) на интервале сходимости.
Вне интервала сходимости равенство (30) не имеет смысла.
Пример 7. Найти сумму сумму степенного ряда
Решение. Это геометрический ряд, у которого a = 1, а q = x . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если , а — его интервал сходимости. Поэтому равенство
справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений х , кроме х = 1.
Можно доказать, что сумма степенного ряда f (x ) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке внутри интервала сходимости, в частности в любой точке интервала сходимости ряда.
Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.
Теорема 1. Степенной ряд (30) в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что исходный ряд, а суммы их соответственно равны .
Теорема 2. Степенной ряд (30) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х , если , причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны
Разложение функций в степенные ряды
Пусть дана функция f (x ), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):
Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:
……………………………………………….. (31)
Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим
Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим
(32)
Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:
Поэтому при х = 0 имеем
Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:
(33)
Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).
Сходимость степенного ряда. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости
Смех без причины – признак Даламбера
Вот
и пробил час функциональных рядов. Для
успешного освоения темы, и, в частности,
этого урока, нужно хорошо разбираться
в обычных числовых рядах. Следует хорошо
понимать, что такое ряд, уметь применять
признаки сравнения для исследования
ряда на сходимость. Таким образом, если
Вы только-только приступили к изучению
темы или являетесь чайником в высшей
математике, необходимо последовательно
проработать три урока: Ряды
для чайников, Признак
Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся
ряды.
Признак Лейбница.
Обязательно все три! Если есть
элементарные знания и навыки решения
задач с числовыми рядами, то справиться
с функциональными рядами будет довольно
просто, поскольку нового материала не
очень и много.
На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.
Понятие функционального ряда и степенного ряда
Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:
Все члены ряда – это ЧИСЛА.
Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:
В
общий член ряда помимо
многочленов, факториалов и других
подарков непременновходит
буковка «икс».
Выглядит это, например,
так: .
Как и числовой ряд, любой функциональный
ряд можно расписать в развернутом
виде:
Как видите, все члены функционального ряда – это функции.
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
Определение:
Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:
Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях. Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: или , где – константа. Например:
Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда , или не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:
Или такой степенной ряд:
Лишь
бы показатели степеней при «иксАх» были
натуральными.
Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.
Прошу любить и жаловать степенной ряд .
Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если , то Если , то Если , то Если , то И так далее.
Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.
Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:
1)
Степенной ряд сходится
абсолютно на
некотором интервале .
Иными словами, если мы выбираем любое
значение «икс» из интервала и
подставляем его в общий член степенного
ряда, то у нас получается абсолютно
сходящийся числовой
ряд. Такой интервал и
называется интервалом
сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
Геометрически ситуация выглядит так:
В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:
Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:
>
Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:
А что будет происходить на концах интервала ? В точках , степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:
– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости:
– Если
установлено, что степенной ряд сходится
на одном конце интервала и расходится
на другом, то область
сходимости ряда представляет
собой полуинтервал: или .
– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок:
Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.
С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:
2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости: . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.
3)
Степенной ряд сходится в единственной
точке. Если ряд имеет вид ,
то он будет сходиться в единственной
точке .
В этом случае интервал сходимости и
область сходимости ряда тоже совпадают
и равны единственному числу – нулю: .
Если ряд имеет вид ,
то он будет сходиться в единственной
точке ,
если ряд имеет вид ,
то, понятно, – в точке «минус а».
Радиус
сходимости ряда во всех случаях,
естественно, нулевой: .
Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.
Обратная связь ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса — ваш вокал Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими Целительная привычка Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Тренинг уверенности в себе Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком» Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Как слышать голос Бога Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д. Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. |
Лекция 8 Тема: Степенные ряд. Степенные ряды. Теорема Абеля Функциональный ряд вида: называется степенным рядом c0,c1,…,cn,…-коэффициенты ряда. Коэффициенты ряда будем считать действительными числами Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке x1, , то он сходится и при том абсолютно в интервале . Доказательство. По условию степенной ряд сходится в точке , т.е. сходится ряд . По необходимому признаку сходимости общий член последнего ряда стремится к нулю, т.е. . Отсюда следует, что выполняется неравенство . Теперь рассмотрим ряд , составленный из модулей членов данного степенного ряда. Имеем: Так как по условию , то . Ряд является рядом из членов геометрической прогрессии со знаменателем , поэтому он сходится. По теореме сравнения сходится и ряд . Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение. Рассмотрим степенной ряд . Отметим, что степенной ряд всегда сходится в точке x=x0 . При фиксированном x x0 ряд будет числовым и к ряду , составленному из модулей членов данного ряда, можно применить либо признак Даламбера, либо признак Коши. 1) Применим признак Даламбера к ряду
. получается из заменой n на n+1. .
Мы предположим, что существует предел .По признаку Даламбера при ряд сходится, а при расходится. Следовательно, при ряд сходится, а при ряд расходится. В концевых точках интервала ряд может сходиться, а может и расходиться. Интервал ) называется интервалом сходимости степенного ряда, R-радиус сходимости степенного ряда.
2) Применим признак Коши к ряду
Предположим, что существует предел . По признаку Коши при ряд сходится, а при расходится. Отметим, что в каждой точке интервала сходимости ряд сходится, а вне интервала сходимости ряд расходится. В концевых точках интервала сходимости ряд может сходиться, а может и расходиться, в этом случае следует проводить дополнительные исследования. Пример 1. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд , который является знакоположительным рядом и к нему можно применить признак Даламбера. , – интервал сходимости, R=2. Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала сходимости. 1) x=-1. Рассмотрим ряд из модулей , который является рядом Дирихле при s=2>1, он сходится. 2) x=3. = – сходится.
Пример 2. Найти интервал сходимости ряда . Решение. Рассмотрим ряд и применим признак Коши: . Следовательно, данный ряд сходится в одной точке x=3, R=0. Пример 3. Найти интервал сходимости ряда Решение. Рассмотрим ряд и применим признак Даламбера. , . = . Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси, R= . Теорема 1. Сумма степенного ряда есть функция непрерывная в интервале сходимости степенного ряда. Теорема 2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости и справедливо равенство: При этом интервал сходимости продифференцированного ряда тот же, что и данного ряда. Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости и справедливо равенство: , . Проинтегрированный степенной ряд имеет тот же интервал сходимости, что и данный ряд.
Доверь свою работу ✍️ кандидату наук! Имя Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности |
д.
Теорема Абеля. Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.
Следовательно, удовлетворяющего неравенству ряд сходится и притом абсолютно. ▼
Следовательно ряд сходится абсолютно.
ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов. Обратная связь…Интервал сходимости степенного ряда : Анализ-I
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| Ylyasha |
| ||
21/03/10 |
| ||
| |||
09.2013, 09:59 | bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
09.2013, 10:10 | Ylyasha |
| ||
21/03/10 |
| ||
| |||
09.2013, 10:17 | gris |
| |||
13/08/08 |
| |||
| ||||
| provincialka |
| |||
18/01/13 |
| |||
| ||||
09.2013, 10:50 | ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
09.2013, 10:57 | Ylyasha |
| ||
21/03/10 |
| ||
| |||
09.2013, 11:08 | tavrik |
| ||
15/02/11 |
| ||
| |||
| bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
09.2013, 12:38 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 9 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда — Криста Кинг Математика
Каковы радиус и интервал сходимости ряда?
Интервал сходимости ряда — это набор значений, для которых ряд сходится.
Помните, даже если мы можем найти интервал сходимости для ряда, это не означает, что весь ряд сходится, а только то, что ряд сходится в определенном интервале.
радиус сходимости ряда всегда составляет половину интервала сходимости. Вы можете помнить об этом, если будете думать об интервале сходимости как о диаметре круга.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Например, представим, что интервал сходимости ряда равен ???-3 Если интервал схождения представлен оранжевым диаметром, то радиус схождения будет равен половине диаметра. Имея это в виду, мы можем констатировать универсальный факт, что для заданного интервала сходимости ???a радиус схождения ???R=\frac{b-a}{2}??? Чтобы найти радиус и интервал сходимости данного ряда, мы будем использовать критерий отношения, который говорит нам, что Если ???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|???, то ряд сходится абсолютно если ???L<1???. ряд расходится если ???L>1??? или если ???L??? бесконечно. тест неубедительный если ???L=1???. Так как мы знаем, что ряд сходится, когда ???L<1???, мы можем найти ???L???, установить его ???L<1???, а затем найти значения, для которых ряд сходится. радиус конвергенции ???R??? ряда будет дано ???|x-a| интервал сходимости будет задан как ???a-R Когда у нас есть интервал сходимости, нам нужно проверить сходимость концов интервала, вставив конечные точки в исходный ряд и используя любой тест сходимости, который мы можем сказать, сходится ли ряд в конечная точка. Если ряд расходится в обоих конечных точек, интервал сходимости равен ???a-R Если ряд расходится на левом конце и сходится на правом конце, интервал сходимости равен ???a-R Если ряд расходится на правом конце и сходится на левом конце, интервал сходимости равен ???a-R\leq x ???L=\lim_{n\to\infty}\left|-\frac{n+1}{n}\cdot x-4\cdot\frac13\right|??? ???L=\lim_{n\to\infty}\left|-\frac{(n+1)(x-4)}{3n}\right|??? Поскольку мы имеем дело с скобками абсолютного значения, ???-1??? можно сбросить. ???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)(x-4)}{3n}\right|??? Так как он не содержит ???n??? условия и, следовательно, не будут затронуты лимитом, мы можем вытащить ???x-4??? впереди, пока мы держимся внутри скобок абсолютного значения, поскольку есть некоторые значения ???x??? для чего ???x-4??? будет отрицательным. ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{3n}\right|??? Поскольку оценка предела в этой точке привела бы к неопределенной форме ???\infty/\infty???, нам нужно манипулировать нашей дробью. ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{3n}\left(\frac{\frac{1}{n}}{ \frac{1}{n}}\right)\right|??? ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{3n {п}}\право|??? ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+\frac{1}{n}}{3}\right|??? Оценить предел. ???L=|x-4|\frac{1+\frac{1}{\infty}}{3}??? ???L=|x-4|\frac{1+0}{3}??? ???L=\frac13|x-4|??? Тест отношения говорит нам, что наш ряд сходится, когда ???L<1???, поэтому мы установим ???L<1??? и преобразуем неравенство в форму ???|x-a| ???\frac13|x-4|<1??? ???|x-4|<3??? При таком виде неравенства можно сказать, что радиус сходимости нашего ряда равен ???R=3???. радиус сходимости ряда всегда составляет половину интервала сходимости. Чтобы найти интервал сходимости, мы просто решаем ???|x-4|<3??? за ???х???. Для этого мы просто убираем скобки абсолютного значения и добавляем ???-R??? в левую часть неравенства, вот так: ???-3 ???-3+4 ???1 Прежде чем мы сможем сказать, что это интервал сходимости, мы должны проверить конечные точки интервала, чтобы увидеть, сходится ли ряд в одной или обеих конечных точках. тогда ряд расходится в точке ???x=7??? по тесту на дивергенцию. Поскольку ряд не сходится ни на одном из концов, интервал сходимости равен ???1 Начать Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, радиус и интервал сходимости, радиус сходимости, интервал сходимости, степенные ряды, последовательности и ряды, бесконечные ряды , тестирование конечных точек Имея степенной ряд, мы знаем, что он сходится в некоторой окрестности
его центр (возможно, включая некоторые конечные точки этой окрестности). 1. Определяющий центр. На самом деле это очень просто. Официальный»
форма степенного ряда особенности членов
( x — a ) к и этот и является центром. Таким образом, может возникнуть единственное незначительное осложнение
если ряд задан другим способом, но это легко исправить с помощью
алгебра (см. пример ниже). 2. Определение радиуса сходимости. Это делается путем исследования
абсолютная сходимость данного ряда. Альтернатива: некоторые люди предпочитают использовать формулу Недостаток его в том, что его можно использовать только для сериалов в «официальном»
форма, тогда как описанная выше процедура может быть применена и к рядам
в разных формах (см. 3. Определение поведения на конечных точках. Конечные точки а — Р а также a + R .
Чтобы узнать о сходимости там, просто подставьте каждое из них в поле
заданный степенной ряд. Вы всегда получаете ряд действительных чисел,
сходимость можно исследовать с помощью обычной процедуры, см.
Обзор методов тестирования
конвергенция. Обратите внимание, что бессмысленно использовать тест Root или Ratio.
теста, они должны прийти безрезультатными (поскольку радиус из части 2 точно
место, где эти два теста перестают давать информацию). 4. Области конвергенции. Если радиус сходимости положительный,
то область сходимости — это интервал, заданный центром и
радиус,
( a — R , a + R ),
с включенными конечными точками, которые на предыдущем шаге привели к сходящемуся ряду. Замечание: Часто нам дают степенной ряд, который не соответствует действительности.
форме, что обычно означает, что вместо
( x — a ) к в нем есть термины
( А x — В ) к .
Такой ряд легко переписать в правильную форму степенного ряда и
затем используйте приведенный выше алгоритм (см. Пример ниже), но обычно он быстрее
применить описанную выше процедуру к заданному ряду. Пример: Исследуйте сходимость ряда Сначала перестроим ряд так, чтобы он имел правильную форму. Таким образом, центр a = -2. Теперь мы применяем абсолютное значение к
условия этой серии и попробуйте
Корневой тест
определить
конвергенция. Мы используем А к в формуле теста Рута
так как в контексте степенного ряда обозначение а к обычно резервируется для коэффициентов, а не для целых членов ряда. Таким образом, мы получаем радиус сходимости R = 2, Из центра и радиуса сходимости видим, что
конечные точки -4 и 0 (см. рисунок ниже), теперь мы их проверяем. x = −4: Подставляем в заданный ряд (так как мы
переписал его выше) и получаем Это известный знакопеременный гармонический ряд, который, как известно, сходится
Испытание чередующейся серией, см. x = 0: Подставляем в заданный ряд и получаем Это не менее известный
гармонический ряд, который известен
расходиться (или применяем стр -тест). Вывод: областью сходимости является интервал
[−4,0),
область абсолютной сходимости — интервал
(−4,0). Некоторым людям легче работать с этими понятиями, если они рисуют картинку.
и заполнять данные на каждом этапе. Замечание: Ряд в приведенном выше примере не был дан в его надлежащем виде.
форме, как бы мы применили описанный выше алгоритм к этой серии как заданной? Центр находится путем решения уравнения
2 x + 4 = 0, Константа ϱ находится так же, как и выше. Так обычно проще. Однако, если вы привыкли определять
радиус сходимости по этой формуле, то вам обязательно нужно
измените серию на стандартную форму. Другие примеры см. Расширение силового ряда сообщите об этом объявлении f(x) = ∞ n Решение: Для степенного ряда интервал сходимости — это интервал, на котором ряд имеет абсолютную сходимость. 9n}}$$ Где c n — это коэффициент, который зависит от n , а ряд является функцией x , члены которой меняются с n th членами ряда. Давайте подробнее рассмотрим значение сходимости в контексте степенного ряда. Степенной ряд добавляет бесконечное число последовательных членов. Ряд сходится, если сумма этих членов является конечным числом. Ряд расходится, если сумма этих членов бесконечна. Находя интервал сходимости, находим диапазон значений x in |x – a| < R такое, что ряд сходится . По сравнению с людьми компьютеры действительно хороши в определенных типах вычислений, но с трудом выполняют другие типы вычислений. Например, кажущаяся простой кнопка e x , обычно встречающаяся на ручных калькуляторах, — это кнопка, которую компьютер калькулятора не может легко и точно вычислить напрямую. Научившись находить интервал сходимости, мы можем запрограммировать неспособный иначе компьютер на косвенное нахождение значения e x с помощью степенного ряда. Если мы вычисляем e x с большим показателем степени, компьютеру калькулятора приходится много раз умножать большие беспорядочные числа на большие беспорядочные числа. К счастью, степенной ряд f(x) = x n ⁄ n! представляет собой выражение e x при переносе на множество терминов. Если мы проверим интервал сходимости этого степенного ряда, то обнаружим, что он равен ∞ < x < ∞. Это отличная новость, потому что это означает, что степенной ряд будет сходиться 90 453 всюду по 90 454 и может использоваться для 90 453 e 90 454 90 221 x 90 224 со всеми возможными входными значениями 90 453 x 90 454. Запрограммировав эту процедуру на компьютер, мы даем ему возможность быстро и точно вычислять значение e x с любым значением x. Это всего лишь один пример использования интервала сходимости, и существует множество других приложений, которые работают за кулисами внутри компьютерного программного обеспечения и помогают нам каждый день! При поиске сходимости степенного ряда у нас есть несколько вариантов проверки на выбор. В тесте отношения мы используем отношение степенного ряда и его модифицированную версию n + 1 для определения значений x, которые удовлетворяют критериям сходимости. Формула для проверки соотношения: $$\text{Сходимость при} \; Л < 1, \; L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\rvert$$ Где a n — степенной ряд а a n + 1 — степенной ряд со всеми членами n заменен на n + 1 . Первым этапом теста соотношения является вставка исходной и модифицированной версий ряда мощности в соответствующие места в формуле. Полученную дробь можно упростить. Затем оцените предел, когда n приближается к бесконечности. Если вместо n подставить бесконечность, выражение может стать неразрешимым. После вычисления предела и упрощения результирующего выражения составим выражение таким образом, чтобы L < 1. Теперь у нас есть неравенство, напоминающее форму 1 ⁄ c ×|x – a| < 1. Константа c может быть дробной или не дробной. Найдите левую и правую конечные точки, удовлетворяющие последнему неравенству. Это интервал границ сходимости. Мы должны определить, является ли каждая граница инклюзивной или исключающей. Для этого мы проверяем сходимость/расхождение рядов в этих точках. Подставьте значение левой конечной точки x = a 1 вместо x в исходном степенном ряду. Затем возьмите предел, когда n приближается к бесконечности. Если результат отличен от нуля или не определен, ряд расходится в этой точке. Дивергенция указывает на исключительную конечную точку, а конвергенция указывает на включающую конечную точку. Этот калькулятор интервала сходимости в основном написан на JavaScript (JS). Поскольку подпрограмма вычислений — это JS, она полностью выполняется в вашем браузере в режиме реального времени. Это позволяет получать почти мгновенные решения и избегать обычных перезагрузок страниц, наблюдаемых на других сайтах-калькуляторах. Процедура вычислений также использует систему компьютерной алгебры (CAS) на основе JS. CAS выполняет различные символьные операции на протяжении всей процедуры, такие как полиномиальное деление и оценка предела. Процедура точно такая же, как описано в этом уроке. Он использует тест отношения, заполняя формулу введенным рядом мощности. Различные состояния выражения сохраняются по пути и используются для шагов решения. Шаги ответа и решения процедурно построены и визуализируются как код LaTeX (язык математического рендеринга). Copyright © 2022 ООО «Вооверс». Все права защищены. Силовой ряд — бесконечный ряд Число c называется точкой расширения . Степенной ряд может представлять функцию в том смысле, что везде, где ряд сходится, он
сходится к . Здесь есть две проблемы: 1. Где сходится ряд? 2. Если ряд сходится в точке, то сходится ли он к ? Например, рассмотрим серию Поскольку в члены ряда входят степени переменной u (т.е.
), точка расширения . Этот ряд представляет функцию для . Вы можете видеть, что это разумно,
разделив 1 на , или воспользовавшись формулой для
сумма геометрического ряда с отношением . Например, если , Результаты для геометрических рядов показывают, что эти два выражения равны. С другой стороны, если , Два выражения не равны ; на самом деле сериал о
расходится вправо по тесту нулевого предела. Вы можете использовать тест соотношения (а иногда и тест корня), чтобы
определить значения, при которых сходится степенной ряд. Здесь
некоторые важные факты о сходимости степенного ряда. а) Степенной ряд сходится абсолютно на симметричном интервале около
его точка расширения и расходится вне этого симметричного интервала.
Расстояние от точки расширения до конечной точки называется радиус схождения . (b) Любая комбинация конвергенции или дивергенции может иметь место в
концы интервала. То есть ряд может расходиться в обоих
концах, сходятся в обоих концах или расходятся в одном и сходятся
в другом. в) Степенной ряд всегда сходится в точке разложения. Множество точек, в которых ряд сходится, называется интервалом сходимости . Например, вот ряд мощностей, расширенный вокруг: Он обязательно сходится при , т.к. установка дает . Ряд сходится на интервале, который симметричен относительно
. Предположим, вы знаете, что это самый большой
интервал, на котором ряд сходится. Тогда серия может сделать
ничего (с точки зрения сходимости или расхождения) в и . Интервал
сходимость может быть (расходится в
оба конца), (сходится на обоих концах),
или или (сходится на одном конце и расходится на другом
Другой). Пример. Определить интервал сходимости
для сериала. Возьмите абсолютные значения и примените тест отношения: Ряд сходится при .
Решая неравенство, я получаю , или . Ряд расходится при и при . Я буду тестировать конечные точки отдельно. В , серия Ряд расходится при . В , серия Ряд расходится при . В совокупности ряд расходится при и при . Он сходится для . Вы пришли бы к такому же выводу, используя Root Test: Корневой признак говорит, что ряд сходится при , т. Пример. Определить интервал сходимости
для сериала. Возьмите абсолютные значения и примените тест отношения: По критерию отношений ряд сходится (абсолютно) при , или . Аналогично ряд расходится при или при . Проверьте ситуацию на конечных точках. Для ряд становится
. Это гармонический ряд, и он расходится. Для , серия . Это знакопеременный гармонический ряд, и он
сходится по критерию чередующихся рядов. Таким образом, ряд сходится абсолютно при , сходится условно при , расходится при и при . Интервал сходимости равен . Пример. Определить интервал сходимости
для сериала. Возьмите абсолютные значения и примените тест отношения: Предел меньше 1, независимых от значения x. Это
следует, что ряд сходится для всех x. Фактически этот ряд представляет собой экспоненциальную функцию: Пример. Определить интервал сходимости
для сериала. Возьмите абсолютные значения и примените Root Test: Это означает, что ряд расходится для всех x, кроме точки разложения. В , серия выглядит как Так что он заведомо сходится для . Пример. Определить интервал сходимости
для сериала. Возьмите абсолютные значения и примените тест отношения: Ряд сходится при , т. е. при . Сериал
расходится для и для . Я буду тестировать конечные точки отдельно. В , серия Ряд является p-рядом с , поэтому он сходится. В , серия Этот ряд сходится абсолютно, так как ряд по модулю равен
, p-серия с . Следовательно, сходится. В совокупности степенной ряд сходится при , а расходится при
и для . Пример. Определить интервал сходимости
для сериала. Возьмите абсолютные значения и примените тест отношения: Ряд сходится при , т. е. при
, и расходится для и для . Я буду тестировать конечные точки отдельно. В , серия есть .
Это гармонический ряд, поэтому он расходится. В , серия есть . Это чередующийся гармонический ряд, поэтому
сходится.
9правило больницы, Следовательно, Ряд сходится при , т. е. при , и расходится при и при . Я буду тестировать конечные точки отдельно. В , серия есть .
условия положительные; если ,
тогда Таким образом, сроки уменьшаются. Примените интегральный тест: Вот работа для интеграла: Поскольку интеграл расходится, то и ряд расходится по интегралу
Тест. По признаку чередующихся рядов ряд сходится. В совокупности ряд сходится при , а расходится при и при . Пример. Найдите функцию, представленную
степенной ряд в точках, где
ряд сходится. Ряд геометрический с соотношением , поэтому Контактная информация Домашняя страница Брюса Икенаги Copyright 2019 Брюс Икенага В этом уроке вы изучите несколько степенных рядов и обнаружите, что на интервалах, где они сходятся, они равны некоторым хорошо известным функциям. Определение степенного ряда Степенной ряд — это ряд, в котором каждый член представляет собой константу, умноженную на степень числа 9.0217 x или степень (x — a). Предположим, что каждое c k представляет некоторую константу. Бесконечная серия представляет собой степенной ряд с центром в точке x = 0. Бесконечная серия представляет собой степенной ряд с центром в х = . Нахождение частичных сумм степенного ряда Рассмотрим степенной ряд Хотя вы не можете ввести бесконечное количество членов этого ряда в редакторе Y =, вы можете построить график частичных сумм ряда, поскольку каждая частичная сумма является полиномом с конечным числом членов. График частичных сумм степенного ряда 22.1.1 Изобразите вторую, третью и четвертую частичные суммы степенного ряда в окне [-5, 5] x Определение бесконечного геометрического ряда Напомним, что бесконечный геометрический ряд можно записать как a + ar + ar 2 + ar 3 + . Если | р | < 1, бесконечный геометрический ряд a + ar + ар 2 + ар 3 + … + ар k + … сходится к . Серия мощности представляет собой геометрический ряд с первым членом 1 и знаменателем x. Это означает, что степенной ряд сходится, когда | х | < 1 и сходится к на интервале (-1, 1). Визуализация конвергенции Графики нескольких частичных сумм могут иллюстрировать интервал сходимости бесконечного ряда. На интервале (-1,1) частичные суммы близки к . 22.1.2 Нарисуйте частичную сумму десятой степени y = 1/(1 — x ) в смотровом окне [-2, 2] x [-2, 8]. Используйте Исследование другой серии Power Рассмотрим степенной ряд Использование ранее определенных графических переменных Вам не нужно вводить каждый член каждой частичной суммы. Напомним, что ! символ можно получить, нажав
. 22.1.3. Изучите графики частных сумм, перечисленных выше, на интервале -6 < x < 6. Кажется, частичные суммы сходятся к какой знакомой функции? 22.1.4 Для частичных сумм в Вопросе 22.1.2 нарисуйте знакомую функцию вместе с частичными суммами в окне [-10, 10] x [-2, 2]. Измените стиль графика знакомой функции на «толстый». Добавление дополнительных терминов к частичным суммам Чем больше членов добавляется для формирования последовательных частичных сумм, тем больше поворотных точек появляется на каждом последующем графике и в степенном ряду. сходится к функции y = sin x на интервале ( , ). Иллюстрируя конвергенцию В уроке 22. сходится к e x . Графики частичных сумм второй, пятой, восьмой и одиннадцатой степени степенного ряда показывает, что бесконечный ряд сходится к y = e x . 22.1.5 Что, по-видимому, происходит с интервалом, где частичные суммы приблизительно равны e x , когда в последовательные частичные суммы добавляются новые члены? Серия Power Определение серии Power Определение серии Power Пусть f(x) — функция, представленная рядом В более общем случае, если f(x) представлена рядом Радиус конвергенции Чтобы вычислить радиус сходимости, мы используем критерий отношения. Решение: Мы используем тест отношения: или |x — 3| < 2 1 < x < 5 1 Упражнение: Найдите радиус сходимости Интервал сходимости Чтобы найти интервал сходимости, мы делаем три шага: Используйте тест отношения, чтобы найти интервал, в котором ряд абсолютно
сходящийся. Подключите левую конечную точку, чтобы увидеть, сходится ли она в левой конечной точке.
(АСТ может быть полезен). Подключите правую конечную точку, чтобы увидеть, сходится ли она в правильной конечной точке.
(АСТ может быть полезен). Пример: Найдите интервал сходимости для предыдущего примера: Решение: Мы уже сделали этот шаг и обнаружили, что ряд сходится
абсолютно Подставляем x = 1, чтобы получить Подставляем x = 5, чтобы получить Следовательно, конечные точки не входят в интервал сходимости. Мы
можно заключить, что интервал сходимости равен 1 < х < 5 Упражнение Найдите интервал сходимости предыдущего упражнения: Дифференциация и интеграция серии Power Поскольку степенной ряд является функцией, естественно спросить, является ли функция
непрерывная, дифференцируемая или интегрируемая. Следующая теорема
отвечает на этот вопрос. Теорема Предположим, что функция задана степенным рядом и что интервал сходимости равен (c —
R, c + R) (плюс возможные конечные точки) то f(x) непрерывна, дифференцируема и интегрируема на этом отрезке
(не обязательно включая конечные точки). Чтобы получить производную или интеграл от f(x) мы можем передать производную или интеграл через
С. В другом
слова и Кроме того, радиус сходимости производной и интеграла равен R. Пример: Рассмотрим серию по GST этот ряд сходится при |x| <
1, поэтому центр сходимости равен 0, а радиус равен
1.
По приведенной выше теореме 
Как рассчитать радиус и интервал сходимости
Мы можем сделать это, подключив конечные точки обратно к исходному ряду, а затем проверив конвергенцию. 9нн\neq0??? Получить доступ к полному курсу Calculus 2
Math Tutor — Серия — Обзор методов
Math Tutor — Серия — Обзор методов — Серия функций
Его
Таким образом, сходимость можно описать, предоставив следующие основные параметры:
Центр, радиус сходимости, область абсолютной сходимости,
и область сходимости. Иногда мы не так сильно заинтересованы
в том, что происходит на конечных точках, то первые две части данных (центр и
радиус) считаются достаточными.
Шаг 1. Примените абсолютное значение к членам ряда и упростите, в
в частности, вы должны получить термин
| x − a | к в этом.
Шаг 2. Примените либо
Корневой тест
или
Соотношение тест
к этой серии. Соответствующая константа в большинстве случаев (но не
обязательно) особенности
| x — a |.
Шаг 3. Проверка сходимости путем решения &варро; < 1,
соответственно
λ < 1.
Если срок
| x − a | появляется в этом неравенстве,
то вы должны быть в состоянии вывести неравенство формы
| x − a | < R .
Это R и есть радиус схождения.
Если срок | x − a | не появляется в
условие сходимости, то в типичном случае либо
соответствующая константа (ро или лямбда) равна нулю, что дает бесконечность радиуса,
или константа равна бесконечности (кроме центра), что дает радиус
нуль.
пример ниже).
Обратите внимание, что это относится только к случаю положительного R , нет
конечные точки, когда R равно нулю или бесконечности.
Обычно открытый интервал вверху также является областью абсолютной конвергенции.
единственным исключением является случай, когда мы получаем сходимость на обоих концах, т.е.
в этом случае область абсолютной сходимости обычно представляет собой замкнутый интервал, поскольку
выше и совпадает с областью сходимости.
Если Р = 0,
тогда область сходимости и область абсолютной сходимости
совпадают, это одноточечное множество
{ и }.
Если Р = ∞,
тогда область сходимости и область абсолютной сходимости
совпадают, это множество действительных чисел.
пример
там.
Решенные задачи — Серия
функции.
Вернуться к обзору методов — серия
функций Калькулятор интервала сходимости | Лучшие шаги полного решения
Похожие материалы
Интервал сходимости Урок
Содержание урока
Что такое интервал сходимости?
Сумма этих членов может быть как конечной, так и бесконечной. Зачем мы изучаем интервал сходимости?
Из-за того, как компьютеры хранят числа с плавающей запятой и создают ошибку округления, этот процесс может занять у компьютера очень много времени и может дать неточный ответ. Расчет интервала сходимости степенного ряда
К ним относятся очень распространенный тест соотношения и тест корня. Поскольку тест отношения удобен для пользователя и используется калькулятором на этой странице, мы узнаем, как его использовать здесь.
Затем мы начинаем отбрасывать члены, которые незначительны по сравнению с бесконечностью, и исключаем из выражения действительные члены бесконечности.
Повторите процесс для правой конечной точки 90 453 x = a 2 , чтобы завершить интервал сходимости. Как работает калькулятор
Интервалы сходимости степенных рядов
Интервалы сходимости степенных рядов
Таким образом, – возможный интервал сходимости; не является.
е. при , и что он расходится при и при . Проверка конечной точки такая же, как описано выше.
То есть интервал
сходимость есть.
9правило больницы, Модуль 22 — силовая серия
[-10, 10]. На каком интервале графики кажутся совпадающими?
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
.. + ar k … , где 70 + ar k … 8 представляет первый член, а r представляет обыкновенное отношение ряда.
Интервал (-1,1) называется интервалом сходимости этого степенного ряда. По мере увеличения числа членов в частичных суммах частичные суммы сходятся к .
» («Команда для ввода частичной суммы. Нажмите здесь, чтобы получить ответ.
[-10, 10] x [-2, 2]
7/7!
915/15!
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
2 вы увидите, что степенной ряд
Щелкните здесь, чтобы получить ответ. Силовая серия
Тогда f(x) называется степенным рядом функция.
Тогда мы называем f(x) степенным рядом с центром в точке x =
с .
Область определения f(x) называется интервалом сходимости и половиной
длина домена называется радиусом схождения .
Пример: Найти радиус сходимости
Решаем
так что
С
(5 — 1) = 2
2
радиус сходимости равен 2. Обратите внимание, что
мы могли бы использовать тест геометрического ряда и получить тот же результат.
Тест отношения — это, скорее всего, тест, который сработает, но иногда и другой тест.
такие как тест геометрического ряда или тест корня проще в использовании.
для 1 < x < 5.
Этот ряд расходится по предельному признаку.
Этот ряд также расходится по предельному признаку.
имеет центр схождения 0 и радиус схождения
1 также.