Найти нули функции онлайн калькулятор с решением: Нули функции онлайн

Содержание

Способы решения уравнения y(x)=0

Решение уравнений в пакете Excel

Решить уравнение, это значит найти те значения аргумента, при которых функция равна нулю. Или говорят: найти нули функции.

1.Табличный

2.Графический

3.Аналитический

4.Численный

Рассмотрим пример нахождения корней уравнения:

5 sin( 3 x + 2 ) — 2 .5 x 2 + e x = 0

1.Табличный способ: в общем случае корни заранее не известны,

поэтому	необходимо сначала		функцию протабулировать			на некотором
интервале значений аргумента, проанализировать где функция меняет знак с+
на – или с – на +, там она и будет иметь корни.
2.	Графический способ: если полученную таблицу значений функции
обратить в график, т. е. наглядно представим числовые значения в виде графика,
то увидим примерно точки пересечения графика с осью аргумента. Абсциссы
этих точек и будут корнями уравнения.
3.	Аналитический	способ:	это	точное	нахождение	корней	по
формулам.
4.	Численный способ: известны методы секущих, дихотомии и др. В

различных пакетах компьютер в основном использует численные методы при решении уравнений. В Excel рассмотрим две команды позволяющие найти корни: подбор параметра и поиск решения.

Ищем корни уравнения, задавая соответствующим образом начальные значения аргумента при поиске корня одной из команд системы Excel.

Построение таблицы значений функции

Создайте список значений аргумента в диапазоне [–1; 2],с шагом 0,2.

1. В окне открытого листа введите начальные значения создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку и вторую ячейку диапазона.

Для этого введите в ячейку A2 значение –1, в ячейку А3 значение –0,8.

2. Выделяем эти две ячейки А2 и А3. Наведите курсор мыши на правый нижний угол выделенных ячеек и, когда курсор станет тонким черным крестом,

при нажатой ЛЕВОЙ кнопке мыши протащите маркер заполнения вверх или вниз по столбцу либо вправо, либо влево по строке.

Рис. 7

3.В конце нужного диапазона отпустите левую кнопку мыши. Столбец будет заполнен значениями аргумента.

4.Для создания значений функции заполните следующий столбец.

Щелкните в ячейке B2. Введите в строку формул символы=, затем по виду функции вводим =5*SIN(3*А2+2)-2,5*А2^2+EXP(А2) и нажмите клавишу

Enter.

5. Выделите диапазон B2…B17 (этот диапазон включает в себя столько же

строк, сколько и диапазон аргументов	в столбце).	ВыберитеА	команду
Главная\Редактирование\Заполнить\Вниз, и	столбец B	будет	заполнен

значениями функции. Или заполнение можно было сделать и проще: взять ячейку В2 за маркер заполнения и протащить левой кнопкой по нужному диапазону.

Рис. 8 6. Анализируя столбец В, видим, что первый корень находится между

–0,8 и –0,6; второй корень – между 0,4 и 0,6; третий корень – между 1,4 и 1,6

(Рис. 8).

Построение графика функции

Выделите мышью все значения в столбцах А иB (в том числе и ячейки А1 и В1 где слова, они будут в легенде). Выполните команду Вставка\

Диаграммы \ Точечная \ Точечная с гладкими кривыми. В лист будет вставлена диаграмма с изображением нашего графика (Рис. 9).

Рис. 9

Глядя на график, делаем вывод о существовании трёх корней, т.к. три

точки пересечения с осью аргумента.

Два способа решения уравненияy(x)=0 в системе Excel, реализующие численные методы решения.

Первый способ

Корни уравнения найдём с помощью командыПодбор параметра.

Исходную информацию занесём в ячейки вспомогательной таблицы:

1. Скопируем из таблицы ячейки из столбцов A и B, где функция меняет

знак и вставим их во вспомогательной таблице в качестве начальны приближенных значений корней (Рис. 10).

Рис. 10

2. Скопируйте таблицу и вставьте рядом для второго способа, т.к.

начальные приближенные значения корней будут такие же.

3.После этого выполним командуПодбор параметра. Для этого Выберите команду: Данные\Работа с данными \Анализ «Что-если» \Подбор параметра. На экран будет выведено диалоговое окно с названиемПодбор

параметра.

4.В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку, в которой содержится формула уравнения (Рис. 11). В поле Значение введите значение,

которое находится по другую сторону знака равенства в уравнении( нашем случае 0). В поле Изменяя значение ячейки введите ссылку на ячейку,

в которой содержится значение аргумента уравнения. Щелкните на кнопке OK.

Рис. 11

Вы получите результат в диалоговом окне (Рис. 12).

Рис. 12

Полиномиальные нули — MathCracker.com

Инструкции: Используйте калькулятор, чтобы найти нули полинома, показывая все этапы процесса, любого полинома, который вы указали в поле формы ниже.

Полиномиальные нули 92 + 3/8 х — 1/24.

После того, как вы предоставили калькулятору действительный многочлен, для которого вы хотите вычислить его корни, вы можете нажать кнопку «Рассчитать» и вы увидите пошаговое выполнение процесса.

Следует отметить, что в процессе используются только элементарные методы, используемые для нахождения корней, включая теорему о рациональном нуле и полиномиальное деление, а также использование квадратичной формулы, когда это уместно.

Не существует общего метода нахождения ВСЕХ корней для ВСЕХ возможных многочленов степени выше 5, поэтому этот калькулятор найдет только корни, которые можно получить с помощью этих упомянутые элементарные методы.

Что такое корень многочлена?

Учитывая полиномиальную функцию \(p(x)\), мы говорим, что \(x\) является корнем полинома, если:

\[\ Displaystyle р (х) = 0 \]

Говоря простым языком, корни многочлена — это точки, в которых полиномиальная функция \(p(x)\) пересекает ось x. Это хорошее представление, чтобы получить представление, но это не совсем точно, потому что некоторые корни могут быть комплексными числами. Таким образом, действительным корнем будет точка, где \(p(x)\).

Обратите внимание, что корни полинома также называются нулями полинома.

Как найти нули многочлена?

Шаг 1: Определите выражение, с которым вы хотите работать. Убедитесь, что это многочлен и максимально упростите
Шаг 2: Мы будем использовать метод полиномиального разложения, чтобы найти его корень
Шаг 3: Начните пытаться найти элементарные (рациональные) корни с помощью теоремы о рациональном нуле и используйте полиномиальное деление, чтобы уменьшить исходный полином, если это возможно

Шаг 4: Если шаг 3 сработал и удалось сократить исходный полином, повторите предыдущие шаги, чтобы попытаться разложить сокращенный полином на множители

Обычно это непросто, может потребовать больших вычислительных ресурсов, и не гарантируется, что он сработает, но это наилучший возможный подход, если мы ограничивается использованием элементарных методов.

Фактор — единственный способ найти корни

Не совсем так, но дела идут рука об руку. Факторная теорема утверждает, что \(x — a\) является фактором многочлена \(p(x)\) тогда и только тогда, когда \(p(a) = 0\). Другими словами, корни и факторы тесно связаны.

Теперь для многочленов степени 2 (т.е. квадратичных многочленов) мы можем использовать явную формулу, которая является хорошо знаю квадратную формулу.

То же самое происходит для 3 и 4 степеней, хотя формулы далеко не элементарны. Но для степени 5 и выше, такой формулы не существует — ключевой результат, доказанный Галуа и Абелем. Так что нет никакой надежды найти «общую формулу», и поэтому использовать более мягкую метод полиномиальной факторизации.

Распространенные ошибки, которых следует избегать 92-x+1 = 0 \), но это не элементарно, и не ожидается, что учащиеся его знают.

Советы для достижения успеха

Всегда старайтесь составить мысленную карту того, какой будет ваша стратегия: обратите внимание на полученный полином, его степень, старший коэффициент и постоянный коэффициент.

Постройте полином, если сможете, чтобы получить представление о его поведении. Есть ли очевидная факторизация, которую вы можете использовать? Используй их. Всегда помните факторы = корни.

Пример: Нули многочлена 92-х+1\). Мы будем использовать метод факторинга для нахождения корней.

Упрощение не требуется: Предоставленное полиномиальное выражение уже упрощено, поэтому нечего его дополнительно упрощать.

Можно отметить, что степень предоставленного полинома равна \(\displaystyle deg(p) = 5\). Кроме того, его старший коэффициент равен \(\displaystyle a_{5} = 1\), а его постоянный коэффициент равен \(\displaystyle a_0 = 1\).

Теперь мы ищем целые числа, которые делят старший коэффициент \(a_{5}\) и постоянный коэффициент \(a_0\), который используется для поиска рациональных кандидатов.

▹ Делители числа \(a_{5} = 1\): \(\pm 1\).

▹ Делители \(a_0 = 1\): \(\pm 1\).

Таким образом, разделив все множители постоянного члена \(a_0 = 1\) на все делители \(a_{5} = 1\), мы получим следующий список потенциальных корней:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Теперь необходимо оценить все возможные решения. 2-2x-4 = 0 \) имеет два действительных корня, поэтому: 92+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}\).

Первый шаг: Представленное полиномиальное выражение неприводимо, поэтому упрощать нечего. Мы можем перейти к факторингу.

Обратите внимание, что степень данного многочлена равна \(\displaystyle deg(p) = 3\), его старший коэффициент равен \(\displaystyle a_{3} = 1\), а его постоянный коэффициент равен \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}\).

Рациональные корни : Сначала мы попытаемся найти простые рациональные корни с помощью теоремы о рациональном нуле. 92+9x-1 = 0\]

▹ Делители \(a_{3} = 24\): \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\).

▹ Делители \(a_0 = -1\): \(\pm 1\).

Таким образом, разделив каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = -1\) на каждый делитель старшего коэффициента \(a_{3} = 24\), мы находим следующий список кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ { 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}\] 92+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3} \справа)\слева(х-\фракция{1}{4}\справа)\]

Следовательно, найдены корни \(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{4}\) .

Другие полезные калькуляторы полиномов

Нахождение нулей полинома является одной из вершин алгебры, в той степени, в которой Основная теорема алгебры утверждает существование n корней для многочлен степени n. Эти корни не обязательно должны быть действительными, и некоторые из них (или все они) могут быть комплексными числами. 93\).

Как найти нули функции с помощью TI-84 Plus Plus CE Graphing Calculator For Dummies, 3rd Edition

TI-84 Plus CE Graphing Calculator For Dummies, 3rd Edition

Explore Book Купить на Amazon

Вы можете использовать калькулятор TI-84 Plus, чтобы найти нули функции. нулей функции y = f ( x ) являются решениями уравнения f ( x ) = 0. Поскольку y = 0 в этих решениях, эти нули (решения) на самом деле просто

x — координаты x — точки пересечения графика y = f ( x ).

(Точка пересечения x — это точка, в которой график пересекает или касается оси x .)

Чтобы найти ноль функции, выполните следующие действия:

График функции в окне просмотра, содержащем нули функции.
Чтобы получить окно просмотра, содержащее ноль функции, этот ноль должен находиться между Xmin и Xmax , а точка пересечения x с этим нулем должна быть видна на графике.
Нажмите [2nd][TRACE] для входа в меню расчета.
Нажмите [2], чтобы выбрать вариант нуля.
При необходимости повторно нажимайте клавиши со стрелками вверх и вниз, пока соответствующая функция не появится на рамке в верхней части экрана.
Установите левую границу для нуля, который вы хотите найти.
Для этого используйте
, чтобы поместить курсор на график немного левее нуля, а затем нажмите [ENTER]. Кроме того, вы можете ввести число и нажать [ENTER], чтобы установить левую границу.
На TI-84 Plus C на экране появляется вертикальная линия левой границы (как показано пунктирной линией с небольшим треугольным индикатором на первом экране).
Установите правую границу для нуля.
Для этого используйте
, чтобы поместить курсор на график немного правее нуля, а затем нажмите [ENTER]. Кроме того, вы можете ввести число и нажать e, чтобы установить правую границу.
На TI-84 Plus C на экране появляется пунктирная линия правой границы с небольшим треугольным индикатором, как показано на втором экране.
Сообщите калькулятору, где, по вашему предположению, находится ноль.
Это предположение необходимо, поскольку калькулятор использует числовую процедуру для нахождения нуля. Процедура представляет собой итеративный процесс, для запуска которого требуется начальное значение (предположение). Чем ближе начальное значение к нулю, тем быстрее процедура находит ноль. Для этого используйте
клавиш, чтобы поместить курсор на график как можно ближе к нулю, а затем нажмите [ENTER].
No related posts.