Решение квадратные уравнения: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Начните заниматься алгеброй 1 на Альберте прямо сейчас!

Вернуться к оглавлению

Примеры факторизации квадратных уравнений

Прежде чем все станет слишком сложным, давайте начнем с решения простого квадратного уравнения. Когда вас просят «решить квадратное уравнение», вы определяете точки пересечения по оси x. Х-пересечения также могут называться нулями, корнями или решениями. Все эти термины одинаковы. Для нашей цели 92+7x+12, мы должны сначала определить множители с, в данном случае 12. Существует множество способов разложения числа 12, например, используя -12 и -1 или используя 6 и 2.

Чтобы определить, какие множители следует использование, мы должны также определить сумму факторов. Сумма должна равняться b, в данном случае 7. Составим таблицу, определяющую сумму всех способов разложения на 12. 12 и 1 92+7x+12=0 в:

(x+3)(x+4)=0

Найти x

Чтобы найти значение(я) x, мы должны установить каждый коэффициент равным 0. Помните, что (x+3) умножается на (x+4). Следовательно, если (x+3)=0, то (x+3)(x+4)=0. Это потому, что мы знаем, что все, что умножается на 0, равно 0.

Если мы приравняем оба множителя к нулю, мы получим два уравнения: x+3=0 и x+4=0. Теперь мы можем решить эти уравнения.

Чтобы определить оставшиеся два места в ячейке, мы используем факторную пару ac с суммой b. В этом случае ac=(7)(-8)=-56 и b=26. Мы должны определить пару факторов -56, которая имеет сумму 26. Поскольку пара факторов должна умножаться на отрицательное число и добавляться к положительному числу, мы будем только в пары факторов, где число с большим абсолютным значением является положительным .

Пара фактор 28 и -2 умножаются на -56 и добавляют к 26,

. в 28х и -2х в оставшиеся места в коробке. Расположение 28x и -2x можно поменять местами. В нашем примере мы поместим 28x в верхний правый пробел и -2x в нижний левый пробел. 92+26x-8
x-пересечения: x=\dfrac{3}{2} и x=-\dfrac{1}{3}

Демонстрационное видео о методе Box

Для наших более визуальных учеников, вот очень краткая видео-демонстрация факторизации трехчлена с использованием метода ящика:

Вернуться к оглавлению

Теперь мы должны определить значение переменного тока. В этом случае ас = (-1)(6) = -6. Нам нужна пара множителей, которая умножает на -6 и добавляет к 5 значение b. Итак, мы перечислим факторы, у которых число с большим абсолютным значением является положительным, потому что факторы должны умножаться на отрицательное число и складываться с положительным числом.

Это означает, что мяч находится на земле, когда x=-1 и когда x=6. Мы знаем, что х — это количество прошедших секунд. Нелогично говорить, что мяч приземляется на землю по прошествии -1 \text{ секунд}. Модель эффективна только тогда, когда количество секунд равно 0 или больше и когда количество футов от земли равно 0 или больше. Таким образом, мы можем отбросить нелогичные решения, такие как -1 секунды.

Решение за 6 \text{ секунд} — наш окончательный ответ! Мяч упадет на землю через 6 \text{ секунд}.

Вернуться к оглавлению

Определение квадратного уравнения по его корням

Мы научились находить корни квадратного уравнения, или точки пересечения с ним. Теперь мы увидим, как работать в обратном порядке. Если мы знаем корни квадратного уравнения, мы можем определить уравнение! Мы можем просто ввести корни в факторизованную форму уравнения.

Помните, факторизованная форма квадратного уравнения имеет вид y=(x-r_1)(x-r_2), где r_1 и r_2 являются корнями или точками пересечения по оси x квадратного уравнения.

Использование корней -2 и 5

Если корни или точки пересечения равны -2 и 5, мы можем заменить -2 на r_1 и 5 на r_2.

Это дает нам уравнение y=(x-(-2))(x-5).

Мы можем упростить, потому что знаем, что вычитание минуса равносильно добавлению плюса.

Наше упрощенное уравнение: y=(x+2)(x-5). 92-3х-10

Использование корней 3 и -\dfrac{1}{2}

Покажем еще один пример с использованием корней 3 и -\dfrac{1}{2}. Мы можем заменить 3 на r_1 и -\dfrac{1}{2} на r_2.

Это дает нам уравнение y=(x-3)(x-(-\dfrac{1}{2})).

Мы можем упростить, потому что знаем, что вычитание минуса равносильно добавлению плюса.

Наше упрощенное уравнение: y=(x-3)(x+\dfrac{1}{2}).

Чтобы привести это уравнение к стандартной форме, мы умножаем биномы. Мы можем использовать двойное распределение. 92-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{3}{2}.

Решение квадратного уравнения с помощью дополнения квадрата

Решение с помощью факторизации — не единственный метод решения квадратного уравнения. Все квадратные уравнения могут быть решены с помощью дополнения квадрата, даже уравнения, которые нельзя факторизовать.

На самом деле, это был первоначальный метод, восходящий к вавилонянам, согласно Хакворту и Хауленду в тексте «Введение в математику колледжа: история действительных чисел». Чтобы узнать больше об истории решения квадратных уравнений, ознакомьтесь с нашей статьей об истории квадратной формулы. 92=-\dfrac{25}{4}

х+\dfrac{3}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{25}{4}}

х+\dfrac{3}{2}=\pm {\dfrac{5}{2}}

Не забудьте: найти x

Чтобы найти x, нам нужно взять квадратный корень из обеих сторон и выделить x, вычитая \dfrac{3}{2} из обеих сторон.

х= \pm \dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}

Это дает нам два решения. Мы разделим плюс или минус и упростим каждое решение.