Найти обратную матрицу онлайн методом гаусса онлайн: Обратная матрица методом Жордано-Гаусса онлайн

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Определение. Матрица А^-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие: АА^-1= А^-1А=Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А^-1матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.

Определение. Квадратная матрица А=называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение. Присоединенной матрицейк матрице А называется матрица вида:

=, где А_ij-алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Находят обратную матрицу поформуле: А^-1_=.

Пример 3. 1

Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.

А=

Решение.

1. Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:

=3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

2. Найдем транспонированную матрицу.

А^Т=

3. Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.

= (-1)¹⁺¹=12-4=8

= (-1)¹⁺²= -(4-4)= 0

= (-1)¹⁺³= 2-6= -4

= (-1)²⁺¹= -(0-2)=2

= (-1)²⁺²= 12-2=10

= (-1)²⁺³= -(6-0)= -6

= (-1)³⁺¹= 0-3= -3

= (-1)³⁺²= -(6-1)= -5

= (-1)³⁺³= 9-0=9.

=

4. Воспользуемся формулой: А^-1_=.

А^-1==.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме:AX=BX=A^-1B- решение системы (1).

Пример 3.2

Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы.

Решение.

Формула, по которой будем находить решение системы: X=A

-1B.

Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель =3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):

А^-1=.

Подставим в формулу X=A^-1B, получим:X===

Ответ: =, ,.

Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения.

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме:AX=B.

Теорема Крамера. Пусть —определитель матрицы А, _j—определитель матрицы, получаемой из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если0, то система имеет единственное решение:, (1jn).

Пример 4. 1

Решить систему линейных уравнений: методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы А=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель ==3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к.0, следовательно, можно применить формулы Крамера.

Найдем определители ,,, полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов:

==1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;

==3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;

==3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.

Тогда, по формуле Крамера:

== -=;

=;

=.

Ответ: =, ,.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ).

Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A)<r(АВ), то система несовместна. Еслиr(A)=r(АВ)=n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и определена. Еслиr(A)=r(АВ)<n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и неопределенна.

Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы. Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через свободные получаем решение системы.

Пример 4.2

Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение.

r(A)=r(АВ)=nсистема совместна и определена.

Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем:

Решая её, получаем:

Ответ: =, ,.

Пример 4.3

Найти общее решение системы: .

Решение.

Составим матрицу системы: А=

Приведем её к треугольному виду:

r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это.

Выразим базисные переменные через свободные: . Обозначая свободную переменную:=, получаем общее решение в виде:

Пример 4.4

Найти общее решение системы:

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

АВ=

r(A)=r(AВ)=2<n, гдеn-число неизвестных, то система совместная и неопределенная. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (5-2)=3, значит,-свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные: Обозначая свободную переменную:=,,получаем общее решение в виде:.

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

        Определение 14.8   Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .         

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Предложение 14.20   Если матрица имеет обратную, то и .

        Доказательство.      Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то . По  следствию 14.1 , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .     

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

        Определение 14.9   Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .         

        Предложение 14.21   Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

   и

Следовательно, .     

        Предложение 14.22   Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

(14.14)

где  — алгебраические дополнения к элементам .

        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что :

Если , то по  предложению 14. 17 сумма справа равна нулю, то есть при .

Если , то

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .     

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.

        Теорема 14.1   Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица  — невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).     

        Замечание 14.12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй — номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.         

        Пример 14. 7   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица  — невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке:

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.         

        Замечание 14.13   В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

(14. 16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц — целые числа. И наоборот, если элементы матрицы  — десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.         

        Замечание 14.14   При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.         

        Пример 14.8   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение.

— существует.

Ответ: .         

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Калькулятор верхней треугольной матрицы

— Googlesuche v

Калькулятор верхней треугольной матрицы — онлайн-калькулятор верхней треугольной матрицы, который найдет решение, пошагово онлайн.

Калькуляторы матричной триангуляции

planetcalc.com › …

Это выглядит так: треугольная матрица представляет собой квадратную матрицу, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Пример верхней треугольной матрицы:

верхняя треугольная матрица {{78.62156, 77.39634 … — Wolfram|Alpha

www.wolframalpha.com › input › i=upper+triangula… миллионами студентов и профессионалов. Для математики, науки, питания, …

Калькулятор матриц

matrixcalc.org

Сложение матриц, умножение, инверсия, вычисление определителя и ранга, транспонирование, приведение к диагональной, треугольной форме, возведение в степень, …

Калькулятор собственных значений · Калькулятор детерминанта · Калькулятор системы уравнений

LU Калькулятор декомпозиции — eMathHelp

www.emathhelp.net › калькуляторы › линейная алгебра › l… LU-разложение данной матрицы A, т. е. такой нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U . ..

Ähnliche Fragen

Как найти верхнюю треугольную матрицу?

Что такое верхняя треугольная матрица?

Калькулятор тригонализации матриц — Преобразование триангуляции онлайн

www.dcode.fr › матричная тригонализация

с T T верхней треугольной матрицей и Q Q унитарной матрицей (т.е. Q∗.Q=I Q …

9 0004 ЛУ Калькулятор декомпозиции — Онлайн-калькулятор Keisan — CASIO

keisan.casio.com › exec › system

Разложение квадратной матрицы на нижнюю треугольную матрицу и верхнюю треугольную матрицу Выбран частичный поворот с заменой строк

Калькулятор верхней треугольной матрицы — symbolab

94ksr.todoweb.eu › …

Symbolab: поиск уравнений и математический решатель — решает алгебру, метод для преобразования квадратной матрицы в верхнюю и нижнюю треугольные матрицы.

Калькулятор верхней треугольной матрицы

wfegg.automotivesicilia.it

Некоторые доказательства используют тригонометрию и, в частности, закон косинусов. Обратная матрица: матрицы, для которых собственные значения и правые собственные векторы будут …

Калькулятор верхней треугольной матрицы с шагами

08ba5.viacolvento.eu › Калькулятор верхней треугольной матрицы…

Калькулятор plu-факторизации Найти калькулятор матрицы разложения qr | Математическая практика. Этот калькулятор QR-разложения позволяет быстро разложить на множители …

Ähnlichesuchanfragen

Калькулятор диагональной матрицы

Решение верхней треугольной матрицы

Определение верхней треугольной матрицы

Калькулятор разложения LU

Калькулятор элементарной матрицы

Калькулятор определителя

Преобразование матрицы в верхнетреугольную форму

Калькулятор умножения матриц

Расширенный алгоритм Евклида с калькулятором шагов

AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping 9000 3

suchoptionen

Калькулятор — расширенный алгоритм Евклида

www. extendeddeuclideanalgorithm. com › калькулятор

Онлайн-калькулятор для (расширенного) алгоритма Евклида. Он показывает промежуточные шаги!

Расширенный алгоритм Евклида — PLANETCALC Онлайн-калькуляторы

planetcalc.com › …

Этот калькулятор реализует Расширенный алгоритм Евклида, который вычисляет, помимо наибольшего общего делителя целых чисел a и b, коэффициенты при …

Калькулятор расширенного евклидова алгоритма — AtoZmath.com

atozmath.com › ChineseRmThm

Калькулятор расширенного евклидова алгоритма — Найдите решение расширенного евклидова алгоритма, шаг за шагом онлайн.

Калькулятор расширенного алгоритма НОД — линейный онлайн … — dCode

www.dcode.fr › extended-gcd

Инструмент для применения расширенного алгоритма НОД (метод Евклида) для нахождения значений коэффициентов Безу и значение НОД 2 чисел.

Калькулятор расширенного алгоритма Евклида

jnalanko. net › eea

Алгоритм вычисляет последовательность целых чисел \(r_1 > r_2 > \ldots > r_m\), такую, что \(gcd(a,b)\) делится \ (r_i\) для всех \(i = 1,\ldots,m\), используя классический …

Ähnliche Fragen

Как рассчитать расширенный алгоритм Евклида?

Сколько шагов занимает алгоритм Евклида?

Как вычислить НОД двух значений с помощью алгоритма Евклида?

Алгоритм Евклида и Калькулятор расширенного алгоритма Евклида Евклидов алгоритм Этот калькулятор имеет 2 входа.

Расширенный алгоритм Евклида — онлайн-калькулятор — 123calculus.com

www.123calculus.com › extended-euclidean-page-1…

Этот калькулятор применяет алгоритм Евклида для вычисления НОД. Он также вычисляет коэффициенты Безу, применяя расширенный алгоритм Евклида.

Пример расширенного алгоритма Евклида — YouTube

www.youtube.com › смотреть

14.09.2017 · В этом видео я показываю, как запустить расширенный алгоритм Евклида для вычисления НОД, а также .