Вычисление определителя методом Гаусса
Вычислим определитель методом Гаусса.
Суть метода состоит в следующем: определитель приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, и тогда он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Идея метода состоит в следующем: пусть дан определитель третьего порядка
(1)
элементдолжен быть равен, для этого первую строку разделим на.
Получим определитель вида (2)
Обнулим элементы, стоящие в первом столбце, кроме первого. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на , далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на. Получим определитель вида.
Обозначим его элементы буквой с, тогда
(3)
Теперь надо обнулить элемент . Элементдолжен быть равен, для этого вторую строку разделим на. Получим определитель вида.
Далее из третьей строки вычтем вторую,
умноженную на
.
.
Обозначим его элементы буквой t, тогда
(4)
Вот мы привели определитель к треугольному виду, теперь он равен .
Разберем теперь это на конкретном примере.
Пример 4:Вычислить определительметодом Гаусса.
Решение: Поменяем местами первую и третью строки (при замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный).
Получили
Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3. Получили
Далее из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 3.
Получили —
§2.Матрицы Виды матриц
Определение 7: Если в матрицеmстрок иnстолбцов, то она называетсяразмерностьюmnи пишут.
Определение 8: Если, то матрица называется квадратной.
Определение 9:Матрица, состоящая лишь из одной строки (столбца) называется матрицей-строкой (столбцом).
Определение 10:Матрица, состоящая
из нулей, называется нулевой матрицей.
Определение 11:Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю.
Определение 12:Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице.
Определение 13:Треугольной называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
Действиянад матрицами.
Определение 14: Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и равные соответствующие элементы.
Пример 5:
Матрицы А и В равны, т.е.
Определение 15: Суммой (разностью) матриц А и В называется такая матрица С, у которой каждый элемент равен.
Пример 6: Найти матрицу, если
Решение:
Cвойства сложения
А+В=В+А(переместительное)
20А+О=А, где О-нулевая матрица
30 А+(В+С)=(А+В)+С (дистрибутивное)
40А+(-А)=О, где – А противоположная матрица
(т.
е. элементы имеют противоположные
знаки)
Определение 16: Произведением матрицы А на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число.
Пример 7:
Умножение матиц
Это действие распространяется на так называемые согласованные матрицы.
Определение 17: Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В.Пример 8:и- согласованные
и- несогласованные
инесогласованные
Определение 18: Произведением двух матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементовiстроки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В.
Если матрица А имеет размерность , а матрица В, то.
Пример 9: Умножить матрицы
Обратная матрица методом Гаусса: алгоритм вычисления
Понятие обратной матрицы
Матрица A−1 считается обратной для матрицы A, если при умножении A−1 на исходную матрицу получится новая матрица E, на главной диагонали которой расположены единицы, а вокруг них – нули.
Образованная матрица E является единичной диагональной матрицей и может быть записана с помощью формулы: E=A×A−1.
Инверсия матрицы существует лишь для квадратных матриц (с одинаковым количеством строк и столбцов) с детерминантом, не равном нулю. Такие матрицы называются невырожденными.
Наиболее наглядно обратная матрица рассматривается на примере матрицы 3×3. Ее возможно обобщить с аналогичными произвольными матрицами.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Свойства обратных матриц
- Обратное значение обратной матрицы A−1 эквивалентно исходной матрице A: (A−1)−1=A.
- Определитель исходной матрицы A соответствует обратному значению детерминанта обратной матрицы A−1: |A|=1/|A−1|.
- Матрица, обратная матрице A, умноженной на коэффициент λ≠0, равна значению, полученному при умножении обратной матрицы A
- Обратное значение произведения обратимых матриц A и B с одинаковым числом строк и столбцов будет равно значению, полученному при умножении матриц, обратных исходным, то есть (A×B)−1=B−1×A−1.
- Обратная матрица транспонированной матрицы эквивалентна транспонированной обратной матрице (A−1)T=(AT)−1.
Метод Гаусса для решения
Метод Гаусса – это правило, применяющееся в решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Данный метод имеет следующие плюсы:
- Не нужно производить проверку системы уравнения на совместность.
- Можно решать системы уравнений со следующими условиями:
- при равенстве числа определителей и неизвестных переменных;
- при несовпадении количества детерминантов и неизвестных переменных;
- при определителе, равном 0.
- Ответ можно получить, выполнив относительно небольшое число вычислений.
Алгоритм решения
Исходная матрица имеет вид:
\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\)
Нахождение обратной матрицы по правилу Гаусса необходимо выполнить в такой последовательности:
1. Записать матрицу, от которой необходимо выполнить преобразование в обратную. Рядом через вертикальную черту выполнить запись единичной диагональной матрицы аналогичного порядка:
\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right.\right)\)
2. Произвести поиск верхней треугольной матрицы по методу Гаусса. Это можно сделать двумя способами: разделить верхнюю строку на ее старший коэффициент или поменять верхнюю строку местами с той, где первый коэффициент равен 1. В данном примере поменяем верхнюю строку с нижней местами и получим:
\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right.\right)\)
3. Выполним умножение верхней строки матрицы на 3 и вычтем полученные произведения из нижней:
\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\0&-1\end{array}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&-3\end{array}\right.
{-1}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\)
Решение задач методом Гаусса
Пример
Найти инверсию матрицы третьего порядка:
\(A=\begin{pmatrix}2&3&7\\1&-5&2\\3&-1&9\end{pmatrix}\)
Решение:
1. Запишем справа от A единичную диагональную матрицу:
\(\left(\begin{array}{ccc}2&3&7\\1&-5&2\\3&-1&9\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\)
Теперь необходимо выполнить преобразования, чтобы единичная диагональная матрица оказалась справа.
2. Первую и вторую строку поменяем местами:
\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\2&3&7\\3&-1&9\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\)
3. Вторую строку суммируем с первой, умноженной на −2. Третью строку сложим с первой, умноженной на −3:
\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&13&3\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-2&0\\0&-3&1\end{array}\right.
4. Вторую сложим с третьей строкой, умноженной на −1:
\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&-1&0\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&1&-1\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)
5. Выполним умножение второй строки на −1:
\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&1&0\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-1&-1&1\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)
6. Первую строку сложим с рядом чисел, полученных при умножении второй строки на 5. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на −14:
\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&5\\-1&-1&1\\14&11&-13\end{array}\right.\right)\)
7. Произведем деление третьей строки на 3:
\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&5\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{array}\right.
{-1}=\begin{pmatrix}\frac{-43}3&\frac{-34}3&\frac{41}3\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{pmatrix}\)
Как использовать исключение Гаусса для решения систем уравнений
Автор: Ян Куанг и Эллейн Кейс и
-Исчисление для чайниковИсследуйте книгу Купить на Amazon
Метод исключения Гаусса, вероятно, является лучшим методом решения систем уравнений, если у вас нет графического калькулятора или компьютерной программы, которая могла бы вам помочь. Цель исключения Гаусса состоит в том, чтобы сделать элемент в верхнем левом углу равным 1, использовать элементарные операции со строками, чтобы получить 0 во всех позициях под этой первой 1, получить 1 для ведущих коэффициентов в каждой строке по диагонали от левого верхнего угла к нижнему. -правый угол и получить 0 под всеми ведущими коэффициентами. По сути, вы исключаете все переменные в последней строке, кроме одной, все переменные, кроме двух, в уравнении выше этой, и так далее, и так далее до верхнего уравнения, в котором есть все переменные.
Вы выполняете это устранение, исключая x (или любую другую переменную, стоящую первой) во всех уравнениях, кроме первого. Затем исключите вторую переменную во всех уравнениях, кроме первых двух. Этот процесс продолжается, удаляя еще одну переменную в строке, пока в последней строке не останется только одна переменная. Затем решите для этой переменной.
Вы можете выполнить три операции над матрицами, чтобы исключить переменные в системе линейных уравнений:
Любую строку можно умножить на константу (кроме нуля).
умножает третью строку на -2, чтобы получить новую третью строку.
Вы можете поменять местами любые две строки.
меняет местами первую и вторую строки.
Вы можете сложить две строки вместе.
добавляет первую и вторую строки и записывает их во вторую строку.
Рассмотрим следующую расширенную матрицу:
Теперь взглянем на цели исключения Гаусса, чтобы выполнить следующие шаги для решения этой матрицы:
Выполните первую цель: получить 1 в верхнем левом углу.
У вас уже есть это!
Выполните вторую цель: получить 0 под единицей в первом столбце.
Здесь необходимо использовать комбинацию двух матричных операций. Вот что вы должны спросить: «Что мне нужно добавить во вторую строку, чтобы 2 превратились в 0?» Ответ -2.
Этот шаг можно выполнить, умножив первую строку на –2 и добавив полученную строку ко второй строке. Другими словами, вы выполняете операцию
, который создает эту новую строку:
- .
(–2 –4 –6 : 14) + (2 –3 –5 : 9) = (0 –7 –11: 23)
Теперь у вас есть эта матрица:
- .
В третьей строке поставить 0 под 1.
Для выполнения этого шага необходима операция
После этого расчета у вас должна получиться следующая матрица:
Получить 1 во второй строке, во втором столбце.
Чтобы выполнить этот шаг, вам нужно умножить на константу; другими словами, умножьте вторую строку на соответствующую обратную величину:
.Этот расчет дает новую вторую строку:
Получите 0 под единицей, которую вы создали во второй строке.
Вернуться к старой доброй комбинированной операции для третьего ряда:
Вот еще вариант матрицы:
Получите еще 1, на этот раз в третьей строке, в третьем столбце.
Умножьте третью строку на обратную величину коэффициента, чтобы получить 1:
Вы завершили главную диагональ после математических расчетов:
Однако, если вы хотите знать, как преобразовать эту матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк, чтобы найти решения, выполните следующие действия:Получить 0 во второй строке, в третьем столбце.
Умножение третьей строки на константу –11/7 и последующее сложение второй и третьей строк
дает вам следующую матрицу:
Получить 0 в первой строке третьего столбца.
Операция
дает вам следующую матрицу:
Получить 0 в первой строке второго столбца.
Наконец, операция
дает вам эту матрицу:
Эта статья взята из книги:
- Предварительное исчисление для чайников,
Об авторе книги:
Мэри Джейн Стерлинг изучала алгебру, бизнес-исчисления, геометрию и конечную математику в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, чтобы узнать больше.
чем 30 лет. Она является автором нескольких книг для чайников, , в том числе Рабочая тетрадь по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и 9.0021 Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.
Эту статью можно найти в категории:
- Предварительное исчисление,
Обратная матрица с использованием исключения Гаусса-Жордана
М. Борна
В этом разделе мы видим, как работает исключение Гаусса-Жордана, на примерах.
Вы можете перезагружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел. Вы также можете выбрать матрицу другого размера (внизу страницы).
(Если вам сначала нужна предыстория, вернитесь к Введению в матрицы).
Выберите интересующий вас размер матрицы и нажмите кнопку .
Матрица А:
Матрица 2×2Матрица 3×3
Матрица 4×4
Матрица 5×5
Ниже приведен случайно сгенерированный пример.
Пользователи телефонов
ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокручивать любые широкие матрицы на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть выражение целиком.
Найдите обратную матрицу A методом исключения Гаусса-Жордана.
Наша процедура
Мы пишем матрицу A слева и матрицу идентичности I справа, разделенную пунктирной линией, следующим образом. Результат называется расширенной матрицей .
Мы добавили номера строк, чтобы было понятнее.
| 4 | 6 | 2 | |
| 9 | 10 | 12 | |
| 7 | 11 | 13 |
| 1 | 0 | 0 | Строка[1] | |
| 0 | 1 | 0 | Ряд[2] | |
| 0 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Затем мы делаем несколько операций над строками над 2-мя матрицами, и наша цель состоит в том, чтобы получить единичную матрицу на 9-ти матрицах.
0029 осталось , вот так:
| 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 |
| ? | ? | ? | Строка[1] | |
| ? | ? | ? | Ряд[2] | |
| ? | ? | ? | Ряд[3] |
(технически мы уменьшаем матрицу A до сокращенной ступенчатой формы строки , также называемой строковой канонической формой ).
Результирующая матрица справа будет обратной матрицей к A .
Наша процедура работы со строками выглядит следующим образом:
- Получаем «1» в левом верхнем углу путем деления первой строки
- Затем мы получаем «0» в оставшейся части первого столбца
- Затем нам нужно получить «1» во второй строке, второй столбец
- Затем делаем все остальные записи во второй колонке «0».
Продолжаем в том же духе, пока слева не останется единичная матрица.
Давайте теперь найдем обратное.
Решение
Начнем с:
| 4 | 6 | 2 | |
| 9 | 10 | 12 | |
| 7 | 11 | 13 |
| 1 | 0 | 0 | Строка[1] | |
| 0 | 1 | 0 | Ряд[2] | |
| 0 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [1]
Разделить строку [1] на 4 (чтобы получить «1» в желаемой позиции):
Это дает нам:
| 1 | 1,5 | 0,5 | |
| 9 | 10 | 12 | |
| 7 | 11 | 13 |
| 0,25 | 0 | 0 | Строка[1] | |
| 0 | 1 | 0 | Ряд[2] | |
| 0 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [2]
Row[2] − 9 × Row[1] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):
9 — 9 х 1 = 0
10 — 9 х 1,5 = -3,5
12 — 9 х 0,5 = 7,5
0 — 9 х 0,25 = -2,25
1 — 9 х 0 = 1
0 — 9 х 0 = 0
Это дает нам нашу новую строку [2]:
| 1 | 1,5 | 0,5 | |
| 0 | -3,5 | 7,5 | |
| 7 | 11 | 13 |
| 0,25 | 0 | 0 | Строка[1] | |
| -2,25 | 1 | 0 | Ряд[2] | |
| 0 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [3]
Row[3] − 7 × Row[1] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):
7 − 7 × 1 = 0
11 − 7 × 1,5 = 0,5
13 — 7 х 0,5 = 9,5
0 — 7 х 0,25 = -1,75
0 — 7 х 0 = 0
1 — 7 х 0 = 1
Это дает нам нашу новую строку [3]:
| 1 | 1,5 | 0,5 | |
| 0 | -3,5 | 7,5 | |
| 0 | 0,5 | 9,5 |
| 0,25 | 0 | 0 | Строка[1] | |
| -2,25 | 1 | 0 | Ряд[2] | |
| -1,75 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [2]
Разделить строку [2] на -3,5 (чтобы получить «1» в желаемой позиции):
Это дает нам:
| 1 | 1,5 | 0,5 | |
| 0 | 1 | -2,1429 | |
| 0 | 0,5 | 9,5 |
| 0,25 | 0 | 0 | Строка[1] | |
| 0,6429 | -0,2857 | 0 | Ряд[2] | |
| -1,75 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [1]
Row[1] − 1,5 × Row[2] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):
1 — 1,5 × 0 = 1
1,5 — 1,5 х 1 = 0
0,5 — 1,5 х -2,1429 = 3,7143
0,25 — 1,5 х 0,6429 = -0,7143
0 — 1,5 х -0,2857 = 0,4286
0 — 1,5 х
Это дает нам нашу новую строку [1]:
| 1 | 0 | 3,7143 | |
| 0 | 1 | -2,1429 | |
| 0 | 0,5 | 9,5 |
| -0,7143 | 0,4286 | 0 | Строка[1] | |
| 0,6429 | -0,2857 | 0 | Ряд[2] | |
| -1,75 | 0 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [3]
Row[3] − 0,5 × Row[2] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):
0 — 0,5 х 0 = 0
0,5 — 0,5 х 1 = 0
9,5 — 0,5 х -2,1429 = 10,571
1 − 0,5 × 0 = 1
Это дает нам нашу новую строку [3]:
| 1 | 0 | 3,7143 | |
| 0 | 1 | -2,1429 | |
| 0 | 0 | 10,571 |
| -0,7143 | 0,4286 | 0 | Строка[1] | |
| 0,6429 | -0,2857 | 0 | Ряд[2] | |
| -2,0714 | 0,1429 | 1 | Ряд[3] |
Новый ряд [3]
Разделить строку [3] на 10,571 (чтобы получить «1» в желаемой позиции):
Это дает нам:
| 1 | 0 | 3,7143 | |
| 0 | 1 | -2,1429 | |
| 0 | 0 | 1 |
| -0,7143 | 0,4286 | 0 | Строка[1] | |
| 0,6429 | -0,2857 | 0 | Ряд[2] | |
| -0,1959 | 0,0135 | 0,0946 | Ряд[3] |
Новый ряд [1]
Строка[1] − 3,7143 × Строка[3] (чтобы получить 0 в нужной позиции):
1 — 3,7143 х 0 = 1
0 — 3,7143 х 0 = 0
3,7143 — 3,7143 х 1 = 0
-0,7143 — 3,7143 х -0,1959 = 0,0135
0,4286 — 3,7143 х 0,0135 = 0,3784
0 — 3,7143 х 0,09510 = -0,0946
Это дает нам нашу новую строку [1]:
| 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | -2,1429 | |
| 0 | 0 | 1 |
| 0,0135 | 0,3784 | -0,3514 | Строка[1] | |
| 0,6429 | -0,2857 | 0 | Ряд[2] | |
| -0,1959 | 0,0135 | 0,0946 | Ряд[3] |
Новый ряд [2]
Строка[2] − -2,1429 × Строка[3] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):
0 — -2,1429 х 0 = 0
1 — -2,1429 х 0 = 1
-2,1429 — -2,1429 х 1 = 0
0,6429 — -2,1429 х -0,1959 = 0,223
-0,2857 — -2,1429 × 0,0135 = -0,2568
0 — -2,1429 × 0,0946 = 0,2027
Это дает нам нашу новую строку [2]:
| 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 |
| 0,0135 | 0,3784 | -0,3514 | Строка[1] | |
| 0,223 | -0,2568 | 0,2027 | Ряд[2] | |
| -0,1959 | 0,0135 | 0,0946 | Ряд[3] |
Мы достигли нашей цели, создав матрицу идентичности слева.