Найти производная: Производная неявной функции · Калькулятор Онлайн

Содержание

Производная функции. Геометрический смысл производной.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть

производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого —

тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется

угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
	+	0	—	0	+

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Урок 11. правила дифференцирования — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

разбор основных правил дифференцирования функций;
примеры вычисления производной линейной функции;
правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования.

Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) — g(x))’ = f ‘(x) — g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x³+3x²-x.

Решение:

f(x)=8x³+3x²-x

f’(x)=(8x³)’+(3x²)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x³) ‘=8(x³) ‘=8·3x²=24x²

(3x

2) ‘=3(x²) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x³) ‘+(3x²) ‘-x’=24x²+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x²+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)²

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F’ (x)=8x-4.

§ 1. Производная

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(x, y) = 0.

(1)

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у’_х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у’_х.

Пример 1. Вычислить у’_х.

У⁵+ху-х²= 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у⁴у’+у+ху’-2х=0. Выразим у’. y‘(5у⁴+х) = 2х-у, у’ = (2х-у)/(5у⁴+х).

Пример 2.

tg(x+y) = xy

Продифференцируем обе части по х. Получим или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y‘ = g(x, y) (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y’.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х²+у²—1=0. Найти у».

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу’ = 0, откуда у’ = —. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим или . Подставим , вместо у’. .

как найти, вычислить и понять с нуля

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Вычисление производной обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)\neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $\left(f^{-1}(y_0)\right)’=\frac{1}{f'(x_0)}.{0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=\frac{1}{\frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$

Производная постоянной функции — константы

Правила дифференцирования функций, содержащих постоянные

Здесь мы рассмотрим следующие правила, связанные с дифференцированием функций, содержащих постоянные:
(1) ;
(2) ,
где C – постоянная, u – дифференцируемая функция от независимой переменной :
.

Вначале мы докажем эти правила. Затем приведем примеры вычисления производных.

Производная постоянной функции

Выясним, чему равна производная постоянной функции. Для этого применим определение производной:
(3) .
Пусть функция является постоянной, которую обозначим как :
.
То есть не зависит от x. Значения переменной y одинаковы при любых значениях переменной x и равны . Тогда
;
;
.
То есть производная постоянной функции равна нулю:
.

Вынесение постоянной за знак производной

Теперь докажем правило (2). То есть если является дифференцируемой функцией от переменной x (на некотором множестве ее значений), то при дифференцировании, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(2) .

Доказательство

Поскольку является дифференцируемой функцией, то существует производная этой функции:
.

Продифференцировать по переменной x функцию, состоящую из корней:
.

Решение

Преобразуем корни в степенную функцию, применяя свойства корней:
;
;
;
;
.

Выносим постоянную за скобки и применяем правило дифференцирования степенной функции из таблицы производных:
.
Тогда
.
Приведем корни к одинаковой степени и упростим результат:
.

Ответ

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 14-10-2016

Как найти производную функцию в точке

Функция может быть дифференцируема при любых значениях аргумента, может иметь производную лишь на определенных интервалах или вовсе не иметь производной. Но если функция имеет производную в некоторой точке — это всегда число, а не математическое выражение.

Если функция Y одного аргумента x задана в виде зависимости Y = F (x),определите ее первую производную Y’ = F'(x)с помощью правил дифференцирования.Чтобы найти производную функции в определенной точке х₀, предварительно рассмотрите область допустимых значений аргумента. Если х₀принадлежит этой области, то подставьте значение х₀в выражение F'(x) и определите искомое значение Y’.

Геометрически производная функции в точке определена как тангенс угла между положительным направлением оси абсцисс и касательной к графику функции в точке касания.Касательная — это прямая, а уравнение прямой в общем виде записывается как y=kx +a. Точка касания х₀общая для двух графиков-функции и касательной. Следовательно,Y(х₀) = y(х₀). Коэффициент k и есть значение производной в заданной точке Y’ (х₀).

Если исследуемая функция задана в графическом виде на координатной плоскости, то для нахождения производной функции в нужной точке проведите через эту точку касательную к графику функции.Касательная— это предельное положение секущей при максимальном сближении точек пересечения секущей с графиком заданной функции. Известно, что касательная перпендикулярна радиусу кривизны графика в точке касания.При отсутствии других исходных данных знания о свойствах касательной помогут начертить ее с большей достоверностью.

Отрезок касательной от точки касания графика до пересечения с осью абсцисс образует гипотенузу прямоугольного треугольника. Один из катетов — ордината заданной точки, другой — отрезок оси ОХ от точки пересечения с касательной до проекции исследуемой точки на ось ОХ. Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ определяется как отношение противолежащего катета (ординаты точки касания) к прилежащему. Полученное число является искомым значением производной функции в заданной точке.

Распознавайте функции с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Нахождение производной от

включает в себя вычисление следующих предел:

Мягко говоря, этот расчет неприятен. Мы хотели бы найти способы вычисления производных без явного использования определения производная как предел разностного частного. Полезный предварительный результат: следующее:

Производная константы
lf c — любое действительное число, и если f (x) = c для всех x, то f ‘(x) = 0 для всех x.То есть производная постоянной функции — это нулевая функция.

Это легко увидеть геометрически. Обращаясь к рисунку 1, мы видим, что График постоянной функции f (x) = c представляет собой горизонтальную линию. Поскольку горизонтальный линия имеет наклон 0, а линия является собственной касательной, отсюда следует, что наклон касательная везде равна нулю.
Далее мы даем правило дифференцирования f (x) = x ⁿ, где n — любое действительное число. Некоторые из следующих результатов уже были проверены в предыдущем разделе, а другие результаты
можно проверить, используя определение производной.

Этот шаблон предлагает следующую общую формулу для степеней n, где n — это положительное число.

Правило питания

Фактически, правило мощности действительно для любого действительного числа n и, таким образом, может использоваться для дифференцировать множество неполиномиальных функций. Следующий пример иллюстрирует некоторые применения правила мощности.

Пример 1

Различайте каждую из следующих функций:

(a) Поскольку f (x) = 5, f — постоянная функция; следовательно, f ‘(x) = 0.

(b) При n = 15 в правиле мощности f ‘(x) = 15x ¹⁴

(d) Поскольку f (x) = x ^-1, из правила мощности следует, что f ‘(x) = -x ^-2 = -1 / x ²

Правило дифференцирования постоянных функций и правило мощности явное правила дифференциации. Следующие правила говорят нам, как находить производные от комбинации функций в терминах производных составляющих их части.В каждом случае мы предполагаем, что f ‘(x) и g’ (x) существуют, а A и B суть константы.

Четыре перечисленных выше правила вместе с правилом дифференцирования константы функции и правило мощности, предоставляют нам техники для различения любых функция, которая выражается как степень или корень частного многочлена функции. Следующая серия примеров иллюстрирует это. Правило линейности и товарное правило будет обосновано в конце раздела; доказательство расширенное правило мощности появляется в разделе цепного правила.2 + 2bx + c

Пример 3 можно обобщить следующим образом:

Многочлен степени n всюду имеет производную, а производная есть многочлен степени (n — 1).

Пример 4 Пусть

Найдите f ‘(x).

Сначала мы используем правило произведения, поскольку f (x) задается как произведение x ² и х ² — х + 1:

Онлайн-калькулятор производной производной

с шагами

Онлайн-калькулятор рассчитает производную любой функции, используя общие правила дифференциации (правило произведения, правило частного, правило цепочки и т. Д.) с указанными шагами. Он может обрабатывать полиномиальные, рациональные, иррациональные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции. Кроме того, при необходимости он оценит производную в данной точке. Он также поддерживает вычисление первой, второй и третьей производных до 10.

Связанный калькулятор: Калькулятор неявной дифференциации с шагами

Ваш ввод

Найдите $$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) $$$.

Решение

Примените правило продукта $$$ \ frac {d} {dx} \ left (f {\ left (x \ right)} g {\ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {dx} \ left (f {\ left (x \ right)} \ right) g {\ left (x \ right)} + f {\ left (x \ right)} \ frac {d} { dx} \ left (g {\ left (x \ right)} \ right) $$$ с $$$ f {\ left (x \ right)} = x $$$ и $$$ g {\ left (x \ right)} = \ sin {\ left (x \ right)} $$$:

$$ \ color {red} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) \ right)} = \ color {red} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (x \ right) \ sin {\ left (x \ right)} + x \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) \ right)} $$

Производная синуса равна $$$ \ frac {d} {dx } \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) = \ cos {\ left (x \ right)} $$$:

$$ x \ color {красный} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} \ left ( x \ right) = x \ color {красный} {\ left (\ cos {\ left (x \ right)} \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} \ left (x \ right) $$

Примените правило мощности $$$ \ frac {d } {dx} \ left (x ^ {n} \ right) = nx ^ {n — 1} $$$ с $$$ n = 1 $$$, другими словами, $$$ \ frac {d} { dx} \ left (x \ right) = 1 $$$:

$$ x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} \ color {red} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (x \ right) \ right)} = x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} \ color {красный } {\ left (1 \ right)} $$

Таким образом, $$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) = x \ cos {\ влево (х \ вправо)} + \ грех {\ влево (х \ вправо)} $$$.

Ответ

$$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) = x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} $$$ A

Найти первую производную функции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Найти область определения производной функции

Поиск инструмента

Область производной функции

Инструмент для вычисления области определения функции f (x), т.е.набор значений x, существующий через производную f ‘(x).

Результаты

Область производной функции — dCode

Тег (и): Функции

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор производных доменов

Ответы на вопросы (FAQ)

Как вычислить область определения производной функции?

Вычисление области вывода функции, отмеченной $ D_ {f ‘} $, заключается в вычислении набора определений ее производной функции.Проверить в $ \ mathbb {R} =] — \ infty; + \ infty [$, значения, для которых производная функция не определена. То есть значения $ x $ такие, что $ f ‘(x) $ не существует.

Таким образом, расчет деривационной области состоит из 2 шагов:

Шаг 1. {* +} =] 0; + \ infty [$, его производная равна $ f ‘(x) = \ frac {1} {x} $.* =] — \ infty; 0 [\ чашка] 0; + \ infty [$

Какова область выводимости рациональной функции?

Какова связь между областью выводимости и областью определения?

Функция дифференцируема только на множестве значений, где она непрерывна, и, следовательно, она непрерывна только на тех значениях, где она определена.

Таким образом, область выводимости функции является подмножеством области ее определения.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Домен производной функции».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Домена производной функции» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция «Домен производной функции» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) .), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Домена производной функции» не будет бесплатным, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

область, производная, определение, функция

Ссылки

Источник: https://www.dcode.fr/domain-derivative-function

Как оценить производную по графику

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Темпы изменений проявляются повсюду в науке, и особенно в физике, через такие величины, как скорость и ускорение. Производные описывают скорость изменения одной величины по отношению к другой математически, но их вычисление иногда может быть сложным, и вам может быть представлен график, а не функция в форме уравнения. Если вам представлен график кривой и вам нужно найти производную от него, вы, возможно, не сможете быть столь же точными, как с уравнением, но вы легко сможете сделать твердую оценку.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Выберите точку на графике, в которой нужно найти значение производной.

Проведите в этой точке прямую касательную к кривой графика.

Определите наклон этой линии, чтобы найти значение производной в выбранной вами точке на графике.

Что такое производная?

Если не считать абстрактной установки дифференцирования уравнения, вы можете немного запутаться в том, что такое производная на самом деле.В алгебре производная функции — это уравнение, которое сообщает вам значение «наклона» функции в любой точке. Другими словами, он сообщает вам, насколько изменяется одно количество при небольшом изменении другого. На графике градиент или наклон линии показывают, насколько зависимая переменная (размещенная на оси y ) изменяется с независимой переменной (на оси x ).

Для прямолинейных графиков вы определяете (постоянную) скорость изменения, вычисляя наклон графика.Отношения, описываемые кривыми, не так просты, но принцип, согласно которому производная просто означает наклон (в этой конкретной точке), все еще остается в силе.

Для отношений, описываемых кривыми, производная принимает разные значения в каждой точке кривой. Чтобы оценить производную графика, вам нужно выбрать точку, в которой будет производная. Например, если у вас есть график, показывающий пройденное расстояние в зависимости от времени, на прямолинейном графике наклон будет указывать вам постоянную скорость.Для скоростей, которые меняются со временем, график будет кривой, но прямая линия, которая только касается кривой в одной точке (линия, касательная к кривой), представляет скорость изменения в этой конкретной точке.

Выберите место, где вам нужно знать производную. Используя пример зависимости пройденного расстояния от времени, выберите время, в которое вы хотите узнать скорость движения. Если вам нужно узнать скорость в нескольких разных точках, вы можете выполнить этот процесс для каждой отдельной точки.Если вы хотите узнать скорость через 15 секунд после начала движения, выберите точку на кривой через 15 секунд на оси x .

Нарисуйте линию, касательную к кривой в интересующей вас точке. Не торопитесь, потому что это самая важная и самая сложная часть процесса. Ваша оценка будет лучше, если вы проведете более точную касательную. Поднесите линейку к точке на кривой и отрегулируйте ее ориентацию так, чтобы нарисованная линия касалась только кривой в той единственной точке, которая вас интересует.

Нарисуйте линию, насколько позволяет график. Убедитесь, что вы легко можете прочитать два значения для координат x и y , одно в начале строки, а другое в конце. Вам не обязательно рисовать длинную линию (технически подходит любая прямая линия), но более длинные линии, как правило, легче измерить наклон.

Найдите два места на вашей линии и запишите для них координаты x и y .Например, представьте свою касательную линию в виде двух заметных точек с координатами x = 1, y = 3 и x = 10, y = 30, которые вы можете назвать точкой 1. и Точка 2. Использование символов x ₁ и y ₁ для представления координат первой точки и x ₂ и y ₂ для представления координат второй точки уклон м определяется как:

м = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1}

Это показывает производную кривой в точке, где линия касается кривой.В примере x ₁ = 1, x ₂ = 10, y ₁ = 3 и y ₂ = 30, поэтому:

\ begin {align} m & = \ frac {30-3} {10-1} \\ \, \\ & = \ frac {27} {9} \\ \, \\ & = 9 \ end { выровнено}

В этом примере результатом будет скорость в выбранной точке. Таким образом, если ось x была измерена в секундах, а ось y — в метрах, результат будет означать, что рассматриваемое транспортное средство движется со скоростью 3 метра в секунду.Независимо от конкретной величины, которую вы рассчитываете, процесс оценки производной одинаков.

Калькулятор производных финансовых инструментов | Лучший калькулятор дифференцирования

Определение производного калькулятора

Производная функции — это основное понятие математики. Производная занимает центральное место в исчислении вместе с интегралом. Процесс решения производной называется дифференцированием и вычислением интегралов, называемым интегрированием.

Калькулятор производных

— это последнее дополнение к обучению с помощью технологий. Вы можете найти производную калькулятора обратной функции, чтобы решать свои уравнения онлайн и быстро учиться.

В исчислении концепции и вычисления производных являются техническими. Вычисления не так просты, как вычисление чисел округления или нахождение средних значений.

Триггерные функции и калькулятор производных

Скорость изменения функции в какой-то момент характеризуется как производная триггерной функции.Калькулятор производной обратной функции предсказывает скорость изменения, вычисляя отношение изменения функции Y к изменению независимой переменной X. Производная функции триггера также помогает научиться вычислениям квадратной формулы.

Согласно определению производной, это отношение считается предельным, когда X приближается к 0 Δx → 0.

Изучив концепцию этих вычислений с помощью калькулятора нотации Лейбница, вы сможете дополнительно узнать, как найти стандартное отклонение.

Калькулятор нотаций Лейбница и нотации

В дифференциации значительную роль играют нотации Ларанге и Лейбница. Калькулятор нотации Лейбница вычисляет результаты с учетом этих двух нотаций.

В обозначениях Лагранжа производная f записывается как функция Y = f (x) как f ′ (x) или y ′ (x).

В обозначениях Лейбница производная f записывается как функция Y = f (x) как df / dx или dy / dx.

Это несколько шагов, чтобы найти производную функции f (x) в точке x0, выполняя ручные вычисления:

Сформировать разностное отношение Δy / Δx = f (x0 + Δx) −f (x0) / Δx
Если возможно, упростите частное и отмените Δx
Сначала найдите дифференцирование f ′ (x0), применяя предел к частному.Если этот предел существует, то можно сказать, что функция f (x) дифференцируема в точке x0.

Калькулятор производных обратных функций является альтернативой этим вычислениям вручную, поскольку калькулятор производных обратных функций экономит ваше время, которое вы тратите на ручные вычисления. Он используется для повышения продуктивности и эффективности обучения.

Калькулятор производных правил дифференцирования

Ниже приведен список всех производных правил дифференцирования, которые использует калькулятор:

Постоянное правило:

f (x) = C, тогда f ′ (x) равно 0

Правило константы позволяет калькулятору обратной производной определять постоянную функцию производной равной 0.

Постоянное множественное правило:

g (x) = C * f (x), тогда g ′ (x) = c · f ′ (x)

Правило множественности констант позволяет калькулятору производных обратных функций убедиться, что константа производной умножается на константу производной функции.

Правило разницы и суммы:

h (x) = f (x) ± g (x), тогда h ′ (x) = f ′ (x) ± g ′ (x)

Правило разницы и суммы гарантирует, что производная суммы функции равна сумме их производных, вычисленных с помощью калькулятора дифференцирования.

Правило продукта:

h (x) = f (x) g (x), тогда h ′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x)

Правило произведения позволяет производной обратного калькулятора умножать две части функции вместе.

Правило частного:

h (x) = f (x) / g (x), тогда h ′ (x) = f ′ (x) g (x) — f (x) g ′ (x) / g (x) ²

Правило частных позволяет калькулятору дифференцирования разделить одну функцию на другую.

Правило цепочки:

h (x) = f (g (x)), тогда h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x)

Цепное правило помогает калькулятору дифференцирования различать составные функции.

Для общих вычислений, касающихся площади, найдите калькулятор площади трапеции, а также калькулятор площади сектора и калькулятор площади прямоугольника.

Тригонометрические производные, используемые калькулятором дифференцирования

Производная sinx f (x) = sin (x), тогда f ′ (x) = cos (x)
Производная cosx f (x) = cos (x), тогда f ′ (x) = — sin (x)
Производная tanx f (x) = tan (x), тогда f ′ (x) = sec2 (x)
Производная secx f (x) = sec (x), затем f ′ (x) = sec (x) tan (x)
Производная от cotx f (x) = cot (x), тогда f ′ (x) = — csc2 (x)
Производная от cscx f (x) = csc (x), тогда f ′ (x) = — csc (x) cot (x)

Нажмите, чтобы узнать о вычислениях арифметической последовательности и нахождении теоремы Пифагора.

Экспоненциальные производные, используемые калькулятором дифференцирования

f (x) = a˟, тогда; f ′ (x) = ln (a) a˟
f (x) = e˟, тогда; f ′ (x) = e˟
f (x) = aᶢ˟, тогда f ′ (x) = ln (a) aᶢ˟ g′˟
f (x) = eᶢ˟, тогда f ′ (x) = eᶢ˟ g ′ (x)

Производная от Sin

Sin (x) — тригонометрическая функция, играющая большую роль в исчислении.

Производная Sin записывается как

$$ \ frac {d} {dx} [Sin (x)] = Cos (x) $$

Производная Cos

Cos (x) также является тригнометрической функцией, которая так же важна, как и Sin (x).

Производная от Cos записывается как

$$ \ frac {d} {dx} [Cos (x)] = — Sin (x) $$

Расчеты производных основаны на разных формулах, разные формулы производных можно найти на нашем портале.

Производное Tan

Необходимо найти и другие производные от касательной. В общем случае tan (x), где x — функция касательной, например tan g (x).

Производная от Tan записывается как

Производная tan (x) = sec2x.

Наш инструмент также поможет вам найти производные от функций логарифма. Все, что вам нужно, это иметь значения журнала для начала. Если у вас нет значений логарифма, вычислите логарифм и найдите значение функций антилогарифма.

Как найти калькулятор производной?

Калькулятор производной функции обратной функции является важным инструментом для тех, кто ищет быструю помощь в вычислении производной функции. Найти калькулятор производной несложно, так как его можно легко найти в Интернете.

Что такое калькулятор производных от Calculatored?

Calculatored — это онлайн-платформа, предлагающая множество онлайн-инструментов и конвертеров для студентов, учителей, исследователей и других. Калькулятор производных — это упрощение уравнений, которое использует правило деления производной и формулу производной для нахождения производной триггерных функций. Калькулятор обратной производной упрощает изучение и решение уравнений.

Как пользоваться калькулятором производных финансовых инструментов?

Калькулятор обратной производной функции прост, бесплатен и удобен в использовании.Это упрощение уравнения также упрощает производную шаг за шагом.

Шаг № 1: Найдите и откройте калькулятор дифференциации на нашем веб-портале.

Шаг № 2: Введите уравнение в поле ввода.

Шаг № 3: Установите переменную дифференцирования как «x» или «y».

Шаг №4: Выберите, сколько раз вы хотите различать.

Шаг № 5: Нажмите кнопку «РАСЧЕТ».

Наш калькулятор обратной функции быстро вычислит производную функции.Вы можете найти производные шаги под результатом.

Вы также можете использовать другие наши математические калькуляторы, такие как калькулятор суммирования или калькулятор gcf.

Мы надеемся, что вам понравился наш калькулятор производных и его теория. Пожалуйста, поделитесь с нами своим мнением. Ваше здоровье!

Определение производной

Что такое производная?

Производный инструмент — это контракт между двумя или более сторонами, стоимость которого основана на согласованном базовом финансовом активе (например, ценной бумаге) или наборе активов (например, индексе).Общие базовые инструменты включают облигации, товары, валюты, процентные ставки, рыночные индексы и акции.

Ключевые выводы

Производный инструмент — это договор между двумя или более сторонами, стоимость которого основана на согласованном базовом финансовом активе, индексе или ценной бумаге.
Фьючерсные контракты, форвардные контракты, опционы, свопы и варранты обычно являются производными финансовыми инструментами.
Деривативы могут использоваться либо для снижения риска (хеджирование), либо для принятия риска с ожиданием соразмерного вознаграждения (спекуляция).

Общие сведения о производных финансовых инструментах

Деривативы — это вторичные ценные бумаги, стоимость которых основывается (производная) исключительно на стоимости основной ценной бумаги, с которой они связаны, называемой базой. Обычно производные финансовые инструменты считаются передовым инвестированием.

Существует два класса производных продуктов: «блокировка» и «опцион». Блокирующие продукты (например, свопы, фьючерсы или форварды) с самого начала связывают соответствующие стороны согласованными условиями в течение срока действия контракта.С другой стороны, опционные продукты (например, опционы на акции) предлагают держателю право, но не обязательство, купить или продать базовый актив или ценную бумагу по определенной цене в дату истечения срока действия опциона или до нее. В то время как стоимость производного инструмента основана на активе, владение производным инструментом не означает владение активом. Фьючерсные контракты, форвардные контракты, опционы, свопы и варранты обычно являются производными финансовыми инструментами.

Фьючерсные контракты

Например, фьючерсный контракт является производным инструментом, потому что его стоимость зависит от доходности базового актива.Фьючерсный контракт — это контракт на покупку или продажу товара или ценной бумаги по заранее определенной цене и в заранее установленную дату в будущем. Фьючерсные контракты стандартизированы по определенным объемам и срокам истечения. Фьючерсные контракты можно использовать с сырьевыми товарами, такими как нефть и пшеница, а также с драгоценными металлами, такими как золото и серебро.

Опционы на акции

Опцион на акции или акции — это разновидность производных финансовых инструментов, поскольку их стоимость «производная» от стоимости лежащих в их основе акций. Опционы бывают разных форм: звонки и путы.Опцион колл дает держателю право купить базовую акцию по заранее установленной цене (называемой ценой исполнения) и в заранее установленную дату, указанную в контракте (называемую датой истечения срока). Опцион пут дает держателю право продать акции по заранее установленной цене и дате, указанным в контракте. За опцион, называемый опционной премией, взимается предоплата.

Уравнение риска и вознаграждения часто считается основой инвестиционной философии, и производные финансовые инструменты могут использоваться либо для снижения риска (хеджирование), либо для спекуляций, где будет учитываться уровень риска по сравнению с вознаграждением.Например, трейдер может попытаться получить прибыль от ожидаемого падения цены индекса, такого как S&P 500, продавая (или открывая короткую позицию) соответствующий фьючерсный контракт. Производные инструменты, используемые в качестве хеджирования, позволяют передавать риски, связанные с ценой базового актива, между сторонами, участвующими в контракте.

Биржи производных финансовых инструментов и регулирование

Некоторые деривативы торгуются на национальных фондовых биржах и регулируются Комиссией по ценным бумагам и биржам США (SEC).Другие деривативы торгуются на внебиржевом рынке (OTC), что подразумевает индивидуальные договоренности между сторонами.

Фьючерс

Большинство деривативов торгуются на биржах. Например, товарные фьючерсы торгуются на фьючерсной бирже, которая представляет собой рынок, на котором покупаются и продаются различные товары. Брокеры и коммерческие трейдеры являются членами биржи и должны быть зарегистрированы в Национальной фьючерсной ассоциации (NFA) и Комиссии по торговле товарными фьючерсами (CFTC).

CFTC регулирует фьючерсные рынки и является федеральным агентством, которому поручено регулировать рынки таким образом, чтобы рынки функционировали справедливо. Надзор может включать предотвращение мошенничества, злоупотреблений в торговле и регулирование брокерских фирм.

Опции

Опционные контракты торгуются на Чикагской бирже опционов (CBOE), которая является крупнейшим в мире рынком опционов. Члены этих бирж регулируются SEC, которая контролирует рынки, чтобы гарантировать, что они функционируют должным образом и справедливо.

Внебиржевые транзакции

Важно отметить, что правила могут несколько отличаться в зависимости от продукта и его обмена. На валютном рынке, например, торговля осуществляется через внебиржевой рынок (OTC), то есть между брокерами и банками, а не на официальной бирже. Две стороны, такие как корпорация и банк, могут договориться об обмене одной валюты на другую по определенному курсу в будущем. Банки и брокеры регулируются SEC. Однако инвесторы должны знать о рисках, связанных с внебиржевыми рынками, поскольку транзакции не имеют центрального рынка или такого же уровня регулирующего надзора, как транзакции, совершаемые через национальную биржу.Взаимодействие с другими людьми

Двусторонние производные инструменты

Товарный фьючерсный контракт — это контракт на покупку или продажу заранее определенного количества товара по заранее установленной цене на определенную дату в будущем. Товарные фьючерсы часто используются для хеджирования или защиты инвесторов и предприятий от неблагоприятных изменений цен на товар.

Например, товарные деривативы используются фермерами и мукомольниками для обеспечения определенной степени «страховки». Фермер заключает контракт, чтобы зафиксировать приемлемую цену на товар, а мельник заключает контракт, чтобы зафиксировать гарантированную поставку товара.Хотя и фермер, и мельник снизили риск за счет хеджирования, оба по-прежнему подвержены риску изменения цен.

Пример товарной производной

Например, в то время как фермер получает определенную цену на товар, цены могут вырасти (например, из-за нехватки товара из-за погодных явлений), и фермер в конечном итоге потеряет любой дополнительный доход, который мог бы быть получен. . Точно так же цены на товар могут упасть, и мельнику придется платить за товар больше, чем он бы в противном случае.

Например, предположим, что в апреле 2020 года фермер заключает фьючерсный контракт с мельником на продажу 5000 бушелей пшеницы по цене 4,404 доллара за бушель в июле. На дату истечения срока в июле 2017 года рыночная цена пшеницы упадет до 4,350 доллара, но мельник должен покупать по контрактной цене 4,404 доллара, что выше преобладающей рыночной цены в 4,350 доллара. Вместо того, чтобы платить 21 750 долларов (4,350 x 5 000), мельник заплатит 22 020 долларов (4,404 x 5 000), в то время как фермер возмещает цену, превышающую рыночную.

Однако, если бы цена поднялась до 5 долларов за бушель, хеджирование мельника позволило бы закупить пшеницу по контрактной цене 4,404 доллара по сравнению с преобладающей ценой в 5 долларов на дату истечения июльского срока. Фермер, с другой стороны, продал бы пшеницу по более низкой цене, чем преобладающая рыночная цена в 5 долларов.

Преимущества производных инструментов

Давайте воспользуемся историей вымышленной фермы, чтобы изучить механику нескольких разновидностей производных. Гейл, владелица Healthy Hen Farms, обеспокоена недавними колебаниями цен на курятину или нестабильностью на курином рынке из-за сообщений о птичьем гриппе.Гейл хочет защитить свой бизнес от очередного приступа плохих новостей. Поэтому она встречается с инвестором, который заключает с ней фьючерсный контракт.

Инвестор соглашается платить 30 долларов за птицу, когда птица будет готова к убою через шесть месяцев, независимо от рыночной цены. Если в это время цена будет выше 30 долларов, инвестор получит выгоду, поскольку он сможет покупать птиц по цене ниже рыночной и продавать их на рынке по более высокой цене с прибылью. Если цена упадет ниже 30 долларов, Гейл получит выгоду, потому что она сможет продать своих птиц по цене, превышающей текущую рыночную цену, или больше, чем та, которую она получила бы за птиц на открытом рынке.

Деривативы и хеджирование

Заключая фьючерсный контракт, Гейл защищена от изменений цен на рынке, поскольку она зафиксировала цену в 30 долларов за птицу. Она может проиграть, если цена вырастет до 50 долларов за птицу из-за страха перед коровьим бешенством, но она будет защищена, если цена упадет до 10 долларов после новостей о вспышке птичьего гриппа. Хеджируя фьючерсным контрактом, Гейл может сосредоточиться на своем бизнесе и уменьшить беспокойство по поводу колебаний цен.

Важно помнить, что, когда компании хеджируют, они не спекулируют на цене товара.Напротив, хеджирование — это просто способ каждой стороны управлять риском. У каждой стороны есть прибыль или маржа, заложенная в их цену, и хеджирование помогает защитить эту прибыль от потери рыночными колебаниями цены на товар. Независимо от того, станет ли цена товара выше или ниже цены фьючерсного контракта к истечению срока, обе стороны хеджировали свою прибыль от сделки, заключив контракт друг с другом.

Производный своп

Производные финансовые инструменты также могут использоваться с продуктами с процентной ставкой.Производные инструменты на процентную ставку чаще всего используются для хеджирования процентного риска. Риск процентной ставки может возникнуть, когда изменение процентных ставок вызывает изменение стоимости базового актива.

Ссуды, например, могут быть выданы как ссуды с фиксированной ставкой (одинаковая процентная ставка в течение срока ссуды), в то время как другие могут быть выданы как ссуды с переменной ставкой, то есть ставка колеблется в зависимости от процентных ставок на рынке. Некоторые компании могут захотеть перевести свои ссуды с переменной процентной ставки на фиксированную.

Например, если у компании действительно низкая ставка, они могут захотеть заблокировать ее, чтобы защитить себя в случае повышения ставок в будущем. У других компаний может быть долг с высокой фиксированной ставкой по сравнению с текущим рынком, и они захотят заменить или поменять эту фиксированную ставку на текущую, более низкую переменную ставку на рынке. Обмен может быть осуществлен посредством процентного свопа, при котором две стороны обмениваются своими платежами, так что одна сторона получает плавающую ставку, а другая — фиксированную.

Пример процентного свопа

Продолжая наш пример с Healthy Hen Farms, предположим, что Гейл решила, что пора вывести Healthy Hen Farms на новый уровень. Она уже приобрела все небольшие фермы рядом с ней и хочет открыть собственный перерабатывающий завод. Она пытается получить больше финансирования, но кредитор, Ленни, отвергает ее.

Причина отказа Ленни в финансировании заключается в том, что Гейл профинансировала поглощение других ферм за счет огромной ссуды с переменной ставкой, и Ленни обеспокоен тем, что, если процентные ставки вырастут, она не сможет выплатить свои долги.Он говорит Гейл, что даст ей ссуду только в том случае, если она сможет конвертировать ссуду в ссуду с фиксированной ставкой. К сожалению, другие ее кредиторы отказываются изменить ее текущие условия ссуды, потому что надеются, что процентные ставки также вырастут.

Гейл повезло, когда она встречает Сэма, владельца сети ресторанов. У Сэма есть ссуда с фиксированной ставкой примерно такого же размера, что и у Гейл, и он хочет конвертировать ее в ссуду с переменной ставкой, потому что надеется, что процентные ставки в будущем снизятся.

По тем же причинам кредиторы Сэма не изменят условия ссуды.Гейл и Сэм решают поменяться кредитами. Они заключают сделку, по которой платежи Гейл идут на ссуду Сэма, а его выплаты идут на ссуду Гейл. Хотя названия ссуд не изменились, их контракт позволяет им обоим получить ссуду того типа, который они хотят.

Сделка немного рискованна для них обоих, потому что, если один из них не выполнит свои обязательства или станет банкротом, другой будет возвращен обратно в свой старый заем, который может потребовать оплаты, к которой Гейл или Сэм могут быть не готовы. Однако это позволяет им изменять свои ссуды в соответствии со своими индивидуальными потребностями.

Кредитный производный инструмент

Кредитный производный инструмент — это договор между двумя сторонами, который позволяет кредитору или кредитору передать риск неисполнения обязательств третьей стороне. Контракт переносит кредитный риск того, что заемщик может не выплатить ссуду. Однако ссуда остается на балансе кредитора, но риск переходит к другой стороне. Кредиторы, такие как банки, используют кредитные деривативы для устранения или снижения риска невозврата кредитов из своего общего кредитного портфеля и взамен уплачивают авансовый сбор, называемый премией.

Пример кредитного производного инструмента

Ленни, банкир Гейл, вносит дополнительный капитал по выгодной процентной ставке, и Гейл уезжает счастливая. Ленни тоже доволен, потому что его деньги там окупаются, но он также немного обеспокоен тем, что Сэм или Гейл могут потерпеть неудачу в их бизнесе.

Что еще хуже, друг Ленни Дейл приходит к нему и просит денег на открытие собственной кинокомпании. Ленни знает, что у Дейла много залога и что кредит будет под более высокий процент из-за более нестабильного характера киноиндустрии, поэтому он ругает себя за то, что отдал весь свой капитал Гейл в долг.

К счастью для Ленни, деривативы предлагают другое решение. Ленни превращает ссуду Гейл в производный финансовый инструмент и продает его спекулянту со скидкой по отношению к истинной стоимости. Хотя Ленни не видит полной отдачи от ссуды, он получает свой капитал обратно и может снова выдать его своему другу Дейлу. Ленни настолько нравится эта система, что он продолжает раскручивать свои ссуды как кредитные деривативы, получая скромную прибыль в обмен на меньший риск дефолта и большую ликвидность.

Опционные контракты

Спустя годы Healthy Hen Farms стала публичной корпорацией (HEN) и крупнейшим производителем мяса птицы в Америке.Гейл и Сэм оба с нетерпением ждут выхода на пенсию.

За эти годы Сэм купил довольно много акций HEN. Фактически, он вложил в компанию более 100 000 долларов. Сэм нервничает, потому что он обеспокоен тем, что еще одно потрясение, возможно, еще одна вспышка птичьего гриппа, может уничтожить огромную часть его пенсионных денег. Сэм начинает искать кого-нибудь, чтобы снять риск с его плеч. Ленни теперь экстраординарный финансист и активный писатель или продавец опционов, соглашается помочь ему.

Ленни описывает сделку, называемую пут-опционом, по которой Сэм платит Ленни гонорар или премию за право (но не обязательство) продать Lenny the HEN акции через год по их текущей цене в 25 долларов за акцию. Если цены на акции резко упадут, Ленни защитит Сэма от потери его пенсионных сбережений.

Healthy Hen Farms остается стабильной до тех пор, пока Сэм и Гейл не выведут свои деньги на пенсию. Ленни получает прибыль от гонораров и своей быстрорастущей карьеры финансиста. Ленни в порядке, потому что он собирает гонорары и может справиться с риском.

Итог

Эта история иллюстрирует, как производные финансовые инструменты могут перемещать риск (и сопутствующее вознаграждение) от не склонных к риску лиц, ищущих риска. Хотя Уоррен Баффет однажды назвал деривативы «финансовым оружием массового уничтожения», деривативы могут быть очень полезными инструментами при условии их правильного использования. Как и все другие финансовые инструменты, у деривативов есть свои плюсы и минусы, но они также обладают уникальными свойствами. потенциал для повышения функциональности финансовой системы в целом.