Производная функции в точке в направлении вектора
Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти:1)
grad z в точке A; 2) производную данной функции в точке A в направлении вектора a.
z=5x²*y+3xy²
Решение получаем, решая через калькулятор.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
grad(z)=(10xy+3y²)i+(5x²+6xy)j
Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²)i+(5·1²+6·1·1)j или grad(z)A=13i+11j
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).
Решение.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).
Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №4. Дана функция . Найти:
1) gradu в точке A(5; 3; 0);
2) производную в точке А в направлении вектора a=i-2j+k.
Решение.
1. .
Найдем частные производные функции u в точке А.
;;
, .
Тогда
2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле
Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a0 вектора a.
, где .
Отсюда
Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.
Решение.
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1;1)
или
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).
Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Поскольку
∂z/∂a , то заданная функция в направлении вектора a убывает.
Перейти к онлайн решению своей задачи
Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры
- Понятие производной по направлению
- Примеры нахождения производной по направлению
- Градиент функции
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
1) функции одной переменной;
2) функции трёх переменных в нашем случае.
Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x), соответствующее приращению аргумента x. Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x, y, z отображаются на осях Оx, Оy, Оz.
Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
1) функцию u = f(M), определённую в окрестности точки M с координатами x, y, z;
2) произвольный вектор l с направляющими косинусами cosα, cosβ, cosγ.
Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l. На получившейся прямой отметим точку M1, координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:
Величину отрезка MM1 можно обозначить .
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть
.
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией
частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению
соответствующей частной производной.
Пример 1. Найти производную функции в точке M0(1; 2; 3) по направлению вектора .
Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
Следовательно,
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.
Пример 2. Найти производную функции
в точке M0(1; 2) по направлению вектора
, где M1 —
точка с координатами (3; 0).
Посмотреть правильное решение и ответ.
Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.
Пример 3. Найти производную функции в точке M0(1; 1; 1) по направлению вектора .
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M0:
.
Градиент функции нескольких переменных в точке M0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Пример 4. Найти градиент функции в точке M0(2; 4;).Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.
К началу страницы
Пройти тест по теме Функции нескольких переменных
Поделиться с друзьями
Производные
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Правило Лопиталя
Функции нескольких переменных
- Функция двух и более переменных. Её область определения
- Поверхности второго порядка
- Частные производные
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- Производная по направлению, градиент функции
- Экстремумы функции двух переменных
- Условные экстремумы и функция Лагранжа
Её область определения (b) Пусть $\vc{u}=u_1\vc{i} + u_2 \vc{j}$ — единичный вектор.
производная по направлению в точке (3,2) в направлении $\vc{u}$ равна
\начать{выравнивать}
D_{\vc{u}}f(3,2) &= \nabla f(3,2) \cdot \vc{u}\notag\\
&= (12 \vc{i} + 9 \vc{j}) \cdot (u_1\vc{i} + u_2 \vc{j})\notag\\
&= 12 и_1 + 9 и_2.
\label{Дублировать}
\end{выравнивание}
92}} = \frac{(1,2)}{\sqrt{5}} =
(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5}).
\конец{выравнивание*}
Подставив это выражение для $\vc{u} = (u_1, u_2)$ в
уравнение \eqref{Dub}
для производной по направлению, и мы находим, что
производная по направлению в точке $(3,2)$ в направлении
$(1,2)$ это
\начать{выравнивать*}
D_{\vc{u}}f(3,2) &= 12 u_1 + 9 u_2\\
&= \frac{12}{\sqrt{5}} + \frac{18}{\sqrt{5}}
= \frac{30}{\sqrt{5}}.
\конец{выравнивание*}
Пример 2
Для $f$ Примера 1, найти производную по направлению от $f$ в точке точку (3,2) в направлении $(2,1)$.
Решение : Единичный вектор в направлении $(2,1)$ равен \начать{выравнивать*} \vc{u} = \frac{(2,1)}{\sqrt{5}} = (2/\sqrt{5},1/\sqrt{5}). \конец{выравнивание*} Поскольку мы все еще находимся в точке (3,2), уравнение \eqref{Dub} все еще действительный. Мы подключаем наш новый $\vc{u}$, чтобы получить \начать{выравнивать*} D_{\vc{u}}f(3,2) &= 12 u_1 + 9 u_2\\ &= \frac{24}{\sqrt{5}} + \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{33}{\sqrt{5}} \конец{выравнивание*}
Пример 3
Для $f$ Примера 1 в точке (3,2), (a) в каком направлении производная по направлению максимальна, (b) какова направленность производная в этом направлении? 92} = 15$. Следовательно производная по направлению в точке (3,2) в направлении (12,9) равно 15.
Мы могли бы перепроверить, вычислив результат, используя
уравнение \eqref{Dub}
и единичный вектор $\vc{u} = (4/5,3/5)$.
{0 }\больше) = (92} = \sqrt{26}$,
\начать{выравнивать*}
\vc{u}=\frac{\vc{v}}{\sqrt{26}} = \left(\frac{3}{\sqrt{26}}, \frac{-1}{\sqrt{26 }}, \frac{4}{\sqrt{26}}\right)
\конец{выравнивание*}
и
\начать{выравнивать*}
D_{\vc{u}}f(1,3,-2) &= \nabla f(1,3,-2) \cdot \vc{u}\\
&=(9,1,-12) \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{26}}, \frac{-1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt {26}}\справа)\\
&= \frac{9\cdot 3- 1-12\cdot 4}{\sqrt{26}}=\frac{-22}{\sqrt{26}}.
\конец{выравнивание*}
Производные по направлению в направлении вектора — Криста Кинг Математика
Производные по направлению для функций с двумя и тремя переменными
Производная по направлению функции с несколькими переменными учитывает направление (задаваемое единичным вектором ???\vec{u}???), а также частные производные функции функцию по каждой из переменных.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике.
Читать далее.
В функции двух переменных формула для производной по направлению имеет вид )+b\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)???
где
???а??? и ???б??? происходят из единичного вектора ???\vec{u}=\langle{a,b\rangle}???
Если нас попросят найти производную по направлению в направлении ???\vec{v}=\langle{c},d\rangle???, нам потребуется преобразовать ???\vec{v}= \langle{c},d\rangle??? к единичному вектору, используя 92}}\право\угол ???
???\frac{\partial{f}}{\partial{x}}??? является частной производной от ???f??? относительно ???x???
???\frac{\partial{f}}{\partial{y}}??? является частной производной от ???f??? относительно ???y???
В функции трех переменных формула для производной по направлению имеет вид }\right)+b\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)+c\left(\frac{\partial{f}}{\ partial{z}}\ верно)??? 92}}\право\угол ???
???\frac{\partial{f}}{\partial{x}}??? является частной производной от ???f??? относительно ???x???
???\frac{\partial{f}}{\partial{y}}??? является частной производной от ???f??? относительно ???y???
???\frac{\partial{f}}{\partial{z}}??? является частной производной от ???f??? относительно ???z???
Как найти производные по направлению в направлении заданного вектора
92??? в направлении ???\vec{v}=\langle1,2\rangle??? в точке ???P(1,-2)???.