Найти разложение по биному ньютона: Разложение Бинома Ньютона | Онлайн калькулятор

2

«Бином Ньютона»

---

©dereksiz.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

id_016 Курьякова Татьяна Сергеевна учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона». Тема: «Бином Ньютона» План лекции 1. Понятие бинома Ньютона 2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов 3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона» 4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона») Литература 1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И.Сканави: Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84. 2. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с. – 1 – Понятие бинома Ньютона Биномом Ньютона называют разложение вида: Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий. Компоненты формулы «бином Ньютона»: правая часть формулы – разложение бинома; – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения). Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше. Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени: Альтернатива треугольнику Паскаля: перемножить почленно четыре скобки: ; вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени: общий член разложения бинома n-й степени: , где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения. – 2 – Свойства бинома и биномиальных коэффициентов Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n Доказательство Рассмотрим -й член разложения: Сумма показателей степеней a и b: Ч.т.д. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии) Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна Доказательство Пусть , тогда: левая часть равна ; правая часть равна Тогда: Ч.т.д. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна Правило Паскаля: Доказательство – самостоятельно Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби Доказательство – самостоятельно – 3 – Типовые задачи по теме «Бином Ньютона» К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых: Найти член (номер члена) разложения бинома Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме) Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома и другие. Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно). Пример 1 Разложить по формуле бином Решение – самостоятельно ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование! Пример 2 Найти шестой член разложения Решение – самостоятельно ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак! Лучше начинать рассуждения со следующего: Пример 3 Найдите два средних члена разложения Решение – самостоятельно ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны. НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать). Пример 4 В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х Решение Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то Тогда Ответ: – 4 – Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона») К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным. Пример 5 Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли: Доказательство Пусть Так как , то Переформулируем требование: Доказать, что , где Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда: Это означает, что Ч.т.д. Пример 6 Доказать, что Доказательство – самостоятельно (Подсказка: используйте неравенство Бернулли) Пример 7 Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9 Доказательство 1 способ: Ч.т.д. 2 способ: Начнем рассматривать бином в общем виде: Тогда Ч.т.д. Пример 8 Решить уравнение Решение Осуществим замену: Тогда уравнение перепишем: Применим формулу бинома к левой части уравнения: В итоге Ответ:  Дополнительные задания для самостоятельного выполнения Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х. Найти пятый член разложения бинома . Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена. Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36. Сколько членов разложения бинома являются целыми числами? Вычислить сумму . Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома . Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения больше двух соседних с ним слагаемых? При каком значении х четвертое слагаемое разложения в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1? В какую наибольшую степень следует возвести бином чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ? 0> Каталог: download -> seminar uch download -> Тараз мемлекеттік педагогикалық институты ф 15-38-1/ 2-006 download -> Ғалымның тарих мектебі сөз басы әйгілі Себастьян Бранд «Дүниедегінің бәрі де өткінші, бәрі де тозады, тек ғылым ғана мәңгілік, бәрінен де озады» download -> Сабақтың тақырыбы: Публицистикалық стильдің тіл ерекшеліктері. Сабақтың мақсаты download -> Сабақтың тақырыбы: Етістік download -> Акционерлік қоғамдар туралы 2003 жылғы 13 мамырдағы №415-іі download -> Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі мемлекет тарихы институты жүктеу/скачать 188 Kb. Достарыңызбен бөлісу:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Формула бинома Ньютона

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Свойства биномиальных коэффициентов

Формула бинома Ньютона

      В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

(x + y)ⁿ

в случаях, когда   n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

      В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения  n .

      Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности», «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика: размещения и сочетания».

      Утверждение. Для любого натурального числа   n   и любых чисел  x  и  y  справедлива формула бинома Ньютона:

где

(2)

– числа сочетаний из  n  элементов по  k  элементов.

      В формуле (1) слагаемые

называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний  – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить   y   на   – y ,   то мы получим формулу для   n — ой степени разности:

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

      Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

№	Треугольник Паскаля
0	1
1	1     1
2	1     2     1
3	1     3     3     1
4	1     4     6     4     1
5	1     5     10     10     5     1
6	1     6     15     20     15     6     1
…	…

      Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

№	Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
…	…

Треугольник Паскаля

…

Треугольник Паскаля

…

Свойства биномиальных коэффициентов

      Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

      Докажем сначала равенство 1.

      Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером   2 ,   между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

      Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1)    x = 1,   y = 1.

      Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять   x = 1,   y = –1, то получится равенство 3.

      Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1)    y = 1

(3)

      Воспользовавшись очевидным равенством

перепишем формулу (3) в другом виде

(4)

      Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

(5)

      Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при   xⁿ в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

что и требовалось.

Бином Ньютона — математическая формула с примером решения и объяснением

Оглавление:

Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами. Обыкновенным умножением находим:
(x+α) (x+b)=x²+ax+bx+ab=x²+(a+b) x+ab;
(x+a) (x+b) (x+c) = [x²+(a+b) x+ab] (x+c) =
= x³+(a+b) x2+abx+cx²+(ac+bc) x+abc=
= x³ + (a+b+c) x²+(ab+ac+bc) x+abc.

Подобно этому найдём:
(x+a) (х+b) (х+с) (x+d) = x⁴+(a +b+c+d) x³+
+ (ab+ac+ ad+bc+bd+cd) x²+(abc+abd+acd+bcd) x+abcd.

Рассматривая эти произведения, замечаем, что все они составлены по одному и тому же закону, а именно:

Произведение составляет многочлен, расположенный по убывающим степеням буквы х.

Показатель первого члена равен числу перемножаемых биномов; показатели при х в следующих членах убывают на 1; последний член не содержит х (содержит его в нулевой степени).

Коэффициент первого члена есть 1; коэффициент второго члена есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент третьего члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по два; коэффициент четвёртого члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по три. Последний член есть произведение всех вторых членов.

Докажем, что этот закон применим к произведению какого угодно числа биномов. Для этого предварительно убедимся, что если он верен для произведения m биномов:
(x+a) (x+b) (х+с) … (x+k),
то при этом предположении будет верен и для произведения (m+1) биномов:
(x+a) (x+b) (x+c) . .. (x+k) (х+l).

Итак, допустим, что верно следующее равенство:
(x+α) (x+b) (х+с)… (x+k) =
где для краткости мы положим:

Умножим обе части допущенного равенства на бином x+l:

Рассматривая это новое произведение, убеждаемся, что оно подчиняется такому же закону, какой мы предположили верным для m биномов. Действительно, во-первых, этому закону следуют показатели буквы х; во-вторых, ему же следуют и коэффициенты, так как коэффициент второго члена S+l есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов, включая сюда и l; коэффициент третьего члена S₂+lS₁ есть сумма парных произведений всех вторых членов, включая сюда и l, и т. д.; наконец, есть произведение всех вторых членов: abc… kl.

Мы видели, что закон этот верен для произведения двух, трёх и четырёх биномов; следовательно, по доказанному теперь, он должен быть верен и для произведения 4+1, т. е. для произведения пяти биномов, если же он верен для произведения пяти биномов, то он верен и для произведения 5+1, т. е. для произведения шести биномов, и т. д.

Изложенное рассуждение представляет так называемое „доказательство от m к m+1“. Оно называется также „математической индукцией» (или „совершенной индукцией»). Заметим, что в предыдущих главах этой книги неоднократно представлялся случай применить доказательство от m к m + 1 . Мы этого не делали только ради простоты изложения.

Формула бинома Ньютона

Предположим, что в доказанном нами равенстве

все вторые члены биномов одинаковы, т. е. что a=b=c= … =k. Тогда левая часть будет степень бинома . Посмотрим, во что обратятся коэффициенты S₁, S₂, …, .

Коэффициент S₁, равный a+b+c+ … +k, обратится в та. Коэффициент S₂, равный ab+ac+ad+ …. обратится в число α², повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из m элементов по 2, т. е. обратится в . Коэффициент S₃, равный abc+abd+…, обратится в число а³, повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из т элементов по 3, т. е. и т. д. Наконец, коэффициент , равный abc...k, обратится в . Таким образом, мы получим:

Это равенство известно как формула бинома Ньютона, причём многочлен, стоящий в правой части формулы, называется разложением бинома. Рассмотрим особенности этого многочлена.

Свойства формулы бинома Ньютона

Из этих свойств мы укажем следующие 10:

1) Показатели буквы х уменьшаются на 1 от первого члена к последнему, причём в первом члене показатель х равен показателю степени бинома, а в последнем он есть 0; наоборот, показатели буквы а увеличиваются на 1 от первого члена к последнему, причём в первом члене показатель при а есть 0; а в последнем он равен показателю степени бинома. Вследствие этого сумма показателей при х и а в каждом члене одна и та же, а именно: она равна показателю степени бинома.

2) Число всех членов разложения есть m+1, так как разложение содержит все степени а от 0 до m включительно.

3) Коэффициенты равны: у первого члена — единице, у второго члена — показателю степени бинома, у третьего члена — числу сочетаний из m элементов по 2, у четвёртого члена — числу сочетаний из m элементов по 3; вообще коэффициент (n+1)-ro члена есть число сочетаний из m элементов по n. Наконец, коэффициент последнего члена равен числу сочетаний из т элементов по m, т. е. 1.

Заметим, что эти коэффициенты называются биномиальными.

4) Обозначая каждый член разложения буквой T с цифрой внизу, указывающей номер места этого члена в разложении, т. е. первый член T₁, второй член T₂ и т. д., мы можем написать:

Эта формула выражает общий член разложения, так как из неё мы можем получить все члены (кроме первого), подставляя на место n числа: 1, 2, 3,…. m.

5) Коэффициент первого члена от начала разложения равен единице, коэффициент первого члена от конца тоже равен единице. Коэффициент второго члена от начала есть m, т. е. ; коэффициент второго члена от конца есть ; но так как , то эти коэффициенты одинаковы. Коэффициент третьего члена от начала есть , а третьего члена от конца есть ; но , поэтому и эти коэффициенты одинаковы и т. д. Значит:

Коэффициенты членов, одинаково удалённых от концов разложения, равны между собой.

6) Рассматривая биномиальные коэффициенты:

мы замечаем, что при переходе от одного коэффициента к следующему числители умножаются на числа, всё меньшие и меньшие (на m—1, на m — 2, на m — 3 и т. д.), а знаменатели умножаются на числа, всё большие и большие (на 2, на 3, на 4 и т. д.). Вследствие этого коэффициенты сначала возрастают (пока множители в числителе остаются большими соответственных множителей в знаменателе), а затем убывают. Так как коэффициенты членов, равно отстоящих от концов разложения, одинаковы, то наибольший коэффициент должен находиться посередине разложения. При этом, если число всех членов разложения нечётное (что бывает при чётном показателе бинома), то посередине будет один член с наибольшим коэффициентом; если же число всех членов чётное (что бывает при нечётном показателе бинома), то посередине должны быть два члена с одинаковыми наибольшими коэффициентами. Например:
(х+α)⁴=x⁴+4αx³+6α²x²+4α³x+α⁴;
(x+α)⁵=x⁵+5αx⁴+10α²x3+10α³x²+5α⁴x+α⁵∙

7) Из сравнения двух рядом стоящих членов:


заключаем, что:

Для получения коэффициента следующего члена достаточно умножить коэффициент предыдущего члена на показатель буквы х в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому.

Пользуясь этим свойством, можно сразу писать, например, (x+a)⁷=x⁷+7ax⁶+…

Теперь берём 7, умножаем его на 6 и делим на 2, получаем 21: (x+a)⁷=x⁷+7ax⁶+21a²x⁵+… .

Теперь берём 21, умножаем на 5 и делим на 3, получаем 35:
(x+a)⁷ =х⁷+7ax⁶+21a²x⁵+35a³x⁴+….

Теперь уже выписаны члены до середины ряда, остальные получим, основываясь на свойстве пятом:
(х+а)⁷ =х⁷-7αx⁶+21α²x⁵+35α³x⁴+35α⁴x³+21α⁵x²+7α⁶x+α⁷.

8) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна . Действительно, положив в формуле бинома x=a=1, получим:

Например, сумма коэффициентов в разложении (х+a)⁷ равна
1+7+21+35+35 +21+7+1 = 128=2⁷.

9) Заменив в формуле бинома а на — а, получим:

т. е.

следовательно, знаки + и — чередуются.

10) Если в последнем равенстве положим x=α =1, то найдём:

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах.

Применение формулы бинома к многочлену

Формула бинома Ньютона позволяет возвышать в степень многочлен. Так:
(α+ b+c)⁴ = [(а+b)+с]⁴= (a+b)⁴+4c (а+b)³+6c² (а+b)²+4c³ (a+b)+c⁴.

Разложив (a+b)⁴, (a+b)³, (а+b)², окончательно получим:
(a+b+с)⁴=a⁴+4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+ b⁴ +4a³c+12a²bc+
+12ab²c+4b³c+6a²c²+12abc²+6b²c²+ 4ac³ + 4bc³+с⁴.

Вывод формулы бинома ньютона

Очевидно, что

Возникает вопрос, будет ли закономерность, наблюдаемая в этих формулах, обладать общностью, т. е. будет ли справедливой формула

при всяком натуральном значении n?

Воспользуемся методом полной индукции. Допустим, что формула верна для произвольно взятого натурального числа р, т. е. предположим справедливым следующее равенство:

Умножим обе части этого предполагаемого равенства на

Тогда получим:

Пользуясь формулой

и приняв во внимание, что

получим окончательно:

Из предположения, что формула верна при мы пришли к тому, что формула оказалась верной и при Но поскольку, кроме того, формула верна при то она должна быть верна и при любом натуральном значении n.

Теперь легко получить разложение и для

Действительно,

или

Последняя формула и называется формулой бинома Ньютона. Ее правая часть называется разложением степени бинома.

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Свойства разложения бинома

В разложении бинома содержится членов на один больше, чем показатель степени бинома.

Все члены разложения имеют относительно букв а и b одно и то же измерение, равное показателю степени бинома. (Измерением одночлена относительно букв а и b называется сумма показателей степеней этих букв, входящих в этот одночлен. )

Поскольку все члены разложения имеют одинаковое измерение относительно букв а и b, то это разложение является однородным многочленом относительно букв а и b (см. стр. 450).

В разложении показатель степени буквы а последовательно понижается на единицу, начиная с показателя n, а показатель степени буквы b последовательно повышается на единицу, начиная с показателя, равного нулю.

Член разложения является членом разложения и обозначается символом

Формула

называется формулой общего члена разложения, так как, давая букве k целые значения от 0 до n, мы можем получить из нее любой член разложения.

Теперь напишем разложение для выражения

Здесь

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой. Действительно, по первому свойству числа сочетаний имеем:

2. Сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома.

Доказательство:

Положим, в формуле бинома

Тогда получим:

или

3. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме, биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Доказательство:

Полагая в тождестве

получим:

Перенеся все отрицательные члены в левую часть, получим:

что и требовалось доказать.

Если вместо биномиальных коэффициентов подставить их значения, то формула бином Ньютона примет вид:

Формулу бинома Ньютона принято записывать ради краткости в следующем символическом виде:

или

Читателю может показаться непонятным, почему столь элементарная формула

где n — целое положительное число, носит имя великого ученого Ньютона, тем более что эта формула была известна до Ньютона. Например, ее знал Аль-Каши (XV век) и она встречается в трудах Паскаля. Объясняется это тем, что именно Ньютоном была обобщена эта формула для любого действительного показателя.

Ньютон впервые показал, что выражение

где и — любое действительное число, равняется сумме следующего сходящегося, ряда:

Например, если то

Арифметический треугольник, или треугольник паскаля

Написанная ниже таблица

называется треугольником Паскаля *.

По боковым сторонам этой таблицы стоят единицы, внутри же стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел предыдущей строки. Например, число 21 в 8-й строке получается сложением стоящих над ним чисел 6 и 15.

строка этой таблицы дает биномиальные коэффициенты разложения n-й степени бинома. Например:

и так далее.

Треугольник Паскаля получается из следующей таблицы:

в силу того, что

(см. стр. 662).

Треугольник Паскаля приведен в книге Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданной после его смерти в 1665 году.

Примеры с решением на Бином Ньютона

1. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, т. е. член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от х, будет тот, который содержит х в нулевой степени).

Решение:

Отсюда

Приравняв показатель степени буквы х к нулю, получим:

Отсюда

Искомым свободным членом будет четвертый, и он будет равен т. е. 165.

2. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Решение:

Для рациональности члена разложения необходимо, чтобы число k было кратно четырем. Но тогда будет числом четным и будет числом рациональным.

Число k может принимать целые значения 0, 1, 2….. 100. Среди этих чисел кратными четырем будут

Пользуясь формулой получим: или Следовательно, в разложении рациональных членов будет 26.

3. Доказать, что значение выражения

где n — натуральное число, делится на 9.

Доказательство:

Каждое слагаемое последней суммы делится на 9, следовательно, и вся эта сумма, т. е. значение выражения делится на 9, что и требовалось доказать.

Дополнение к Бином Ньютону

Смотрите также:

• Решение задач по финансовой математике

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Число е
22. Непрерывные дроби
23. Функция
24. Исследование функций
25. Предел
26. Интеграл
27. Двойной интеграл
28. Тройной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Калькулятор разложения Бинома Ньютона онлайн

Автор На чтение 12 мин. {n}$ равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

–>Категория–>:Комбинаторика | –>Просмотров–>:112545 | | |

–>Всего комментариев–>: 3

<label>Порядок вывода комментариев:</label>

–>

Теги:КомбинаторикаФормула бинома Ньютона позволяет разложить двучлен вида (a+b)ⁿ в многочлен от a и b. Общая формула выглядит так: (a + b)ⁿ = aⁿ + С_n¹ · a^{n – 1} · b + С_n² · a^{n – 2} · b² + … + С_n^k · a^{n – k} · b^k + … + С_n^{n – 1} · a · b^n-1 + bⁿ, где С – биномиальные коэффициенты, которые определяются через треугольник Паскаля. Важное свойство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним.

Формула Бинома Ньютона

Для натурального n формула принимает такой вид:

(a + b)ⁿ = C_n · aⁿ + C¹_n · a^n-1 · b + C²_n · a^n-2 · b² + … + C^n-1_n · a · b^n-1 + Cⁿ_n · bⁿ,

где C^k_n – биномиальные коэффициенты.

Примеры:

• (x + y)² = x² + 2 · x · y + y²,
• (x + y)³ = x³ + 3 · x² · y + 3 · x · y² + y³,
• (x + y)⁴ = x⁴ + 4 · x³ · y + 6 · x² · y² + 4 · x · y³ + y⁴,
• (x + y)⁵ = x⁵ + 5 · x⁴ · y + 10 · x³ · y² + 10 · x² · y³ + 5 · x · y⁴ + y⁵,

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, которые для удобства восприятия записаны в форме треугольника. На его вершинах и по боковым сторонам стоят единицы, а каждое число равно сумме двух чисел над ним.

Скопировать «Разложение Бинома Ньютона»:

Код для вставки:

Скопируйте и вставьте этот код на свою страничку в то место, где хотите, чтобы отобразился сервис транслитерации.

Добавить в закладки:

Комментарии к калькулятору

Количество комментариев: 3Похожие калькуляторыМатематикаЧисло перестановок

Калькулятор числа перестановок позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества элементов.

Перейти к расчетуМатематикаЧисло сочетаний

Калькулятор числа сочетаний позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества объектов n по k.

Перейти к расчетуМатематикаЧисло размещений

Калькулятор числа размещений вычисляет число возможных размещений из заданного количества объектов n по k.

Перейти к расчету

Бином представляет собой выражение, которое состоит из двух одночленов. Биномиальные уравнения — равенства, которые содержат два члена в любой степени.

Определение термина

Моном — выражение вида axⁿ, при этом переменных может быть больше одной. Например, к мономам относятся выражения 5x³, 4xy² или 12xyz³. Бином — это выражение, которое состоит из двух мономов. Следовательно, это может быть, как 5x³ + 4xy², так и 2x + 1. Последний представляет собой линейный бином, который в общем виде записывается как ax + b.

Бином Ньютона

Бином Ньютона — это формула разложения на слагаемые произведения вида (a+b)ⁿ, в результате чего всегда образуется полином. Если показатель степени n меньше 3 включительно, то выражение раскладывается по формулам сокращенного умножения, таким как квадрат и куб суммы/разности. Для степеней выше 3 формула разложения значительно усложняется, как и количество мономов, входящих в результирующий многочлен. Для упрощения поиска коэффициентов используется треугольник Паскаля, в котором номер строки совпадает со степенью произведения.

Биномиальные уравнения

Биномиальное уравнение — это равенство, которое содержит в себе два члена. Наиболее простыми биномиальными равенствами считаются линейные, которые в общем виде записываются как aZ+b. Более сложные биномиальные равенства могут содержать несколько переменных с разными степенями. В этой статье мы рассмотрим алгоритм умножения двух линейных биномиальных уравнений.

Алгоритм умножения

Произведение двух биномиальных равенств в общем виде записывается как:

(aZ+b) × (cZ + d),

где Z — неизвестное, a, b, c, d — числа.

Умножение многочлена на многочлен производится по стандартному правилу: каждый член первого полинома умножается на каждый член второго полинома, после чего мономы складываются и приводятся подобные. На практике это выглядит следующим образом:

• умножим первый член бинома (aZ+b) на каждый член бинома (cZ + d) и получим aZ × cZ + aZ × d =acZ² + adZ;
• умножим второй член первого бинома на каждый член второго и получим b × cZ + b × d = bcZ + bd;
• суммируем все составляющие и запишем результат acZ² + adZ + bcZ + bd.

Числовые значения в конкретных примерах всегда вычисляются, поэтому мы легко можем привести подобные и принять, что сумма adZ + bcZ = BZ. Остальные числовые произведения также вычисляются и заменяются большими буквами acZ² = AZ² и bd = C. Таким образом, в результате мы получаем полином вида:

AZ² + BZ + C.

Если же бином возводится в квадрат, то легко применить сокращенную формулу умножения квадрат/разность суммы и получить тот же самый результат.

Калькулятор умножения двух биномиальных уравнений

Наша программа представляет собой онлайн-калькулятор для умножения двух линейных биномиальных уравнений. Для поиска решения требуется ввести коэффициенты уравнений, после чего программа вычислит результирующий квадратный полином. Рассмотрим пример работы инструмента.

Проверка корней

Калькулятор легко использовать для проверки корней квадратных уравнений. Если при решении уравнения вида AZ² + BZ + C были получены целочисленные корни X1 и X2, то в результате умножения биномов вида (Z − X1) × (Z − X2) мы вновь получим выражение AZ² + BZ + C. Например, есть уравнение:

x² − 8x + 15 = 0

При решении через дискриминант мы получаем два корня X1 = 3 и X2 = 5. Для проверки решения введите в ячейку при X единицы, а в ячейки свободных членов — минус 3 и минус 5. В результате мы получим (1x² − 5x − 3x + 15) = 1x² − 8x + 15. Обратите внимание, что в произведении биномов корни требуется вычитать, поэтому если корни уравнений будут отрицательными, их знак изменится на плюс.

Заключение

Умножение биномиальных уравнений используется при упрощении выражений в самых разных расчетах, а также для проверки корней квадратных уравнений. Наш сервис позволяет мгновенно умножить два линейных биноминальных уравнения и получить в результате квадратичное равенство. Используйте программы из нашего каталога для решения любых математических задач.

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)ⁿ, где a + b есть любой бином, а n – целое число. Каждое выражение – это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до “половины пути”, а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)⁶. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членовa⁶ + c₁a⁵b + c₂a⁴b² + c₃a³b³ + c₄a²b⁴ + c₅ab⁵ + b⁶. Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c_i? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)⁶ путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли: Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1; второе число равно 1 + 5, или 6;третье число это 5 + 10, или 15;четвертое число это 10 + 10, или 20;пятое число это 10 + 5, или 15; ишестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b)⁶ будет равно(a + b)⁶ = 1a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + 1b⁶.

Для того, чтобы возвести в степень (a + b)⁸, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:Тогда (a + b)⁸ = a⁸ + 8a⁷b + 28a⁶b² + 56a⁵b³ + 70a⁴b⁴ + 56a³b⁵ + 28a²b⁶ + 8ab⁷ + b⁸.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,(a + b)ⁿ = caⁿb + c₁a^n-1b¹ + c₂a^n-2b² + …. + c_n-1a¹b^n-1 + c_nabⁿ,где числа c, c₁, c₂,…., c_n-1, c_n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u – v)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:1          5          10          10          5          1Тогда у нас есть(u – v)⁵ = [u + (-v)]⁵ = 1(u)⁵ + 5(u)⁴(-v)¹ + 10(u)³(-v)² + 10(u)²(-v)³ + 5(u)(-v)⁴ + 1(-v)⁵ = u⁵ – 5u⁴v + 10u³v² – 10u²v³ + 5uv⁴ – v⁵. Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:1          4          6          4          1Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)¹¹. Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку – скажем, 8-ю строку – без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента.Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x² – 2y)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = x², b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем Наконец, (x² – 2y)⁵ = x¹⁰ – 10x⁸y + 40x⁶y² – 80x⁴y³ + 80x²y⁴ – 35y⁵.

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2/x, b = 3√x, и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получимFinally (2/x + 3√x)⁴ = 16/x⁴ + 96/x^5/2 + 216/x + 216x^1/2 + 81x².

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b)ⁿ есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x – 5y)⁶.

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x – 2)¹⁰.

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть . Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1)ⁿ:. Так. общее количество подмножеств (1 + 1)ⁿ, или 2ⁿ. Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2ⁿ.

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2⁵, или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно . Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Используемые источники:

• http://www.reshim.su/blog/razlozhenie_binoma_njutona_onlajn/2015-08-03-574
• https://poformule.ru/matematika/razlozhenie-binoma-nyutona
• https://bbf.ru/calculators/183/
• https://www.math20.com/ru/algebra/veroiatnosti/binominalnaya-teorema/binominalnaya-teorema.html

Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула

Определение 1

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+…+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn, где имеем, что Cnk=(n)!(k)!·(n-k)!=n(n-1)·(n-2)·…·(n-(k-1))(k)!- биномиальные коэффициенты, где есть n по k, k=0,1,2,…,n, а «!» является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n=2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением (a+b)n, а Сnk·an-k·bk — (k+1)-ым членом разложения, где k=0,1,2, …,n.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0						C00
1					C10		C11
2				C20		C21		C22
3			C30		C31		C32		C33
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0								1
1							1		1
2						1		2		1
3					1		3		3		1
4				1		4		6		4		1
5			1		5		10		10		5		1
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

• коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, …, n;
• Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
• биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n;
• при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+…+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

1. Проверка справедливости разложения при n=3. Имеем, что
   a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
2. Если неравенство верно при n-1, тогда выражение вида a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+…+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

считается справедливым.

3. Доказательство равенства a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+…+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

Выражению

a+bn=a+ba+bn-1==(a+b)Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+…+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получимa+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-2·b2+…+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-12·an-3·b3+…+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Производим группировку слагаемых

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+. ..++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Имеем, что Cn-10=1 и Cn0=1, тогда Cn-10=Cn0. Если Cn-1n-1=1 и Cnn=1, тогда Cn-1n-1=Cnn. При применении свойства сочетаний Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1, получаем выражение вида

Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2⋮Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+…++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+…+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Пример 1

Разложить выражение (a+b)5, используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1, 5, 10, 10, 5, 1. То есть, получаем, что a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 является искомым разложением.

Ответ: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Пример 2

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a+b10.

Решение

По условию имеем, что n=10, k=6-1=5. Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252

Ответ: Cnk=C105=252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Пример 3

Доказать, что значение выражения 5n+28·n-1, при n, являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5n=4+1n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+…+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+…+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+…+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+. ..+Cnn-2+2·n)

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

3.1 Биномиальная теорема Ньютона

Напомним, что $${n\выберите k}={n!\более k!\,(n-k)!}={n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\over к!}.$$ Выражение справа имеет смысл, даже если $n$ не является неотрицательное целое число, если $k$ — целое неотрицательное число, и мы поэтому определите $${r\выбрать k}={r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)\более k!}$$ когда $r$ — действительное число. Например, $${1/2\выберите 4}={(1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)\более 4!}={-5\более128} \quad\hbox{и}\quad {-2\выберите 3}={(-2)(-3)(-4)\более 3!}=-4. {16} + 19{16}$ 180.

Пример 3.1.4 Используйте производящую функцию, чтобы найти количество решений $\ds x_1+x_2+x_3+x_4=14$, где $0\le x_1\le3$, $2\le x_2\le5$, $0\le x_3\le5$, $4\le x_4\le6$.

Пример 3.1.5 Найдите производящую функцию для количество решений для $\ds ​​x_1+x_2+x_3+x_4=k$, где $0\le x_1\le\infty$, $3\le x_2\le\infty$, $2\le x_3\le5$, $1\le x_4\le5$.

Пример 3.1.6 Найдите производящую функцию для числа неотрицательных целых чисел решения задачи $3x+2y+7z=n$.

Пример 3.1.7 Предположим, у нас есть большой запас красных, белых и синих воздушных шаров. Как там много разных связок по 10 шаров, если каждая связка должна иметь хотя бы по одному шарику каждого цвета и столько же белых шариков должно быть четным?

Пример 3.1.8 Используйте производящие функции, чтобы показать, что каждое положительное целое число может быть записано ровно одним способом в виде суммы различных степеней числа 2.

Пример 3.1.9 Предположим, у нас есть большой запас синих и зеленых свечей и одна золотая свеча. Сколько существует наборов из $n$ свечей, в которых количество синих свечей четное, количество зеленых свечей любое, а количество золотых свечей не больше одной?

Биномиальная теорема | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Утверждение теоремы
• Доказательство
• Примеры
• Приложения
• Обобщения
• Треугольник Паскаля
• Упражнения
• Смотрите также

Мы можем доказать это с помощью комбинаторики:

Можно установить биекцию между произведениями бинома, возведенного в nnn, и комбинациями объектов nnn. i \binom{d} {я}, i=1∑d​(−1)i−1(id​)=1−i=0∑d​(−1)i(id​), 9d = 0(1−1)d=0 по биномиальной теореме. Таким образом, каждый элемент в объединении считается ровно один раз.

Тот факт, что функция Мёбиуса µ \mu µ является обратной Дирихле постоянной функции 1(n)=1 \mathbf{1}(n) = 1 1(n)=1, является следствием биномиальной теоремы; см. здесь для доказательства.

Если p p p — простое число, то p p p делит все биномиальные коэффициенты (pk) \binom{p}{k} (kp​), 1≤k≤p−11 \le k \le p-1 1≤k≤p −1. (В числителе есть p p p, а в знаменателе нет.) Итак, 94\\ &\vточки \end{выровнено} (x+y)0(x+y)1(x+y)2(x+y)3(x+y)4​=====⋮​1x+yx2+2xy+y2x3+3x2y+3xy2+ y3x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4​

Когда мы посмотрим на коэффициенты в выражениях выше, мы найдем следующую закономерность:

11112113311464115101051⋮1\\ 1\четверка 1\\ 1\четверка 2 \четверка 1\\ 1\четверка 3 \четверка 3 \четверка 1\\ 1\четверка 4 \четверка 6 \четверка 4 \четверка 1\\ 1 \четверка 5 \четверка 10 \четверка 10 \четверка 5 \четверка 1\\ \vdots11112113311464115101051⋮

Это называется треугольником Паскаля. n (x+y)n как элементы треугольника Паскаля. 96?(х+у+г)6?

• Треугольник Паскаля

Цитировать как: Биномиальная теорема. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/

Биномиальная формула — обзор

ScienceDirect

РегистрацияВход

Примечательно, что биномиальная формула также действительна для отрицательных, дробных и даже сложных значений n, что было доказано Нильсом Хенриком Абелем в 1826 г.

Из: Guide to Essential Math (Second Edition), 2013 г.

PlusAdd to Mendeley

S.M. Блиндер, в Guide to Essential Math (Second Edition), 2013 г.

3.9 Биномиальная теорема

Начнем с упражнения по экспериментальной алгебре:

(3.89)(a+b)0=1(a+b )1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a +b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6………

Массив числовых коэффициентов в (3. 89)

(3.90)111121133114641151010511615201561………

называется треугольником Паскаля . Обратите внимание, что каждую запись можно получить, взяв сумму двух чисел по диагонали над ней, например. 15 = 5 + 10. Эти числа называются биномиальными коэффициентами . Вы можете убедиться, что они задаются той же комбинаторной формулой, что и C(n,r) в уравнении. (3.86). Биномиальные коэффициенты обычно пишутся nr. Таким образом,

(3.91)nr=n!(n-r)!r!,

, где каждое значение n , начиная с 0, определяет строку в треугольнике Паскаля.

Установив a=1,b=x, биномиальная формула может быть выражена

(3.92)(1+x)n=∑r=0n-1nrxr=1+nx+n(n-1)2! x2+n(n-1)(n-2)3!x3+⋯.

Это было впервые выведено Исааком Ньютоном в 1666 году. Примечательно, что биномиальная формула также действительна для отрицательных, дробных и даже комплексных значений n , что было доказано Нильсом Хенриком Абелем в 1826 году. (Шутят, что Ньютон не доказал биномиальную теорему для нецелых n , потому что он не был Авелем. ) Вот несколько интересных биномиальных разложений, которые вы можете разработать сами:

(3,93)(1+x)-1=1-x+x2-x3+⋯,

(3.94)(1-x)-1=1+x+x2+x3+⋯,

(3.95)11-x=(1-x)-1/2=1+12x+38×2+516×3+35128×4+⋯.

Каждый из приведенных выше рядов сходится только при |x|<1.

Задача 3.9.1

Определите несколько первых членов разложения 1+x.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу 9 полностью0005

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124071636000035

НЕЙЛ А. ГУМЕРОВ, РАМАНИ ДУРАЙСВАМИ, Методы быстрых мультиполей для уравнения Гельмгольца в трех измерениях, 2052 1052 1057 9009 9004 9004 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассмотрим функцию

(8.1.22)fnm(x)=(1+x)n+m(1−x)n−m,m=−n,…,n.

Используя биномиальную формулу Ньютона для каждого множителя, мы можем разложить эту функцию по степеням x как

(8. 1.23)fnm(x)=∑σ=0n−m∑l=0n+m(−1 )σ(n−m    σ)(   n+mn+m−l)xn+m−l+σ=∑m′=−nn∑σ=max(0,−(m+m′))min(n− m,n−m′)(−1)σ(n−m    σ)(    n+mn−m′−σ)xn−m′=∑m′=−nndnm′mxn−m′,

, где мы использовали определение dnm′m, уравнение. (8.1.20). Функцию fnm(x) можно разложить в степенной ряд по биномиальной формуле другим способом:

(8.1.24)fnm(x)=(1+x)n+m(1+x−2x)n−m =(1+x)n+m∑τ′=0n−m(n−m    τ′)(1+x)n−m−τ′(−2x)τ′=∑τ=mn(n−mn− τ)(1+x)n+τ(−2x)n−τ=∑τ=mn∑m″=0n+τ(n−mn−τ)(n+τ  m″)xn+τ−m″( −2x)n−τ=∑τ=mn∑m′=−nτ(−2)n−τ(n−mn−τ)(n+τn+m′)xn−m′=∑m′=−nn [∑τ=max(m,m′)n(−2)n−τ(n−mn−τ)(n+τn+m′)]xn−m′.

Поскольку разложение fnm(x) в степенной ряд единственно, мы получаем утверждение теоремы, сравнивая уравнения (8.1.23) и (8.1.24).

Теперь мы можем заменить dnm′m из уравнения (8.1.21) в уравнение (8.1.20). Используя определение биномиальных коэффициентов (2.1.35), получаем следующую форму, симметричную относительно m и m′ :

(8.1.25)Hnm′m(π2)=εmεm′(− 2)−1[(n+m′)!(n−m′)!(n+m)!(n−m)!]1/2∑m″=max(m,m′)n×(− 2)−m″(n+m″)!(n−m″)!(m″−m)!(m″−m′)!.

Уравнение (8.1.25) дает доказательство следующей теоремы:0005

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780080443713500120

Морис Р. Киблер, в книге «Поля Галуа и кольца Галуа, сделанные легко», 2017

7

5 замечательная идентичность

Предложение 1.3

Пусть ( R , +, ×) коммутативное унитарное кольцо характеристики p . Тогда формула

∀a∈R,∀b∈R:a+bp≡ap+bpmodp

верна, когда p простое (четное или нечетное).

Доказательство

Биномиальную формулу Ньютона можно применить к ( a  +  b ) ^p . Тогда

a+bp=∑k=0pCpkap-k×bk

, где

Cpk=p!k!p-k!=pp-1!k!p-k!=pp-k+1p-k+ 2 ⋯ P — 11 × 2 × ⋯ × K

С P IS Prime, C _P ^K является положительным интеалгером для 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222. к  =  p ( p делит биномиальные коэффи Таким образом, единственными ненулевыми элементами в сумме ∑k=0pCpkap−k×bk являются a ^p (для k  = 0, b ^k  = 1) и b ^{p p (для k  =  p , a p  −  k  = 1).}

Note that the formula ( a  +  b ) ^p  ≡  a ^p  +  b ^p mod p works for any couple ( a , b ) некоммутативного кольца ( R , +, ×), удовлетворяющего a  ×  b  =  b  × a .

Конечно, ( а  +  б ) ^г  ≡  а ^г  +  б ^d mod d недействителен, если характеристика d кольца R является составным числом (отличным от степени простого числа), а не простым числом.

Просмотр книги Глава Чита

Читать полная глава

URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b9781785482359500014

Agamirza Bashirov, Mathemative Analysials, 9023 9000

, 9000,

, Agamirza Bashirov, Mathemative Analysial. R

Предложение 2.9показывает, что в системе Q рациональных чисел есть «дыры», которые желательно заполнить.

Теорема 2.10

Верны следующие утверждения:

(a)

Существует упорядоченное поле R , обладающее свойством наименьшей верхней границы.

(b)

R содержит систему Q в качестве своего упорядоченного подполя, то есть Q⊂R и алгебраические операции и порядок в R сохраняют то же самое в Q.

(c)

R уникально в том смысле, что если R′ является другим упорядоченным полем со свойством наименьшей верхней границы, то существует уникальное: одно соответствие между элементами R и R′, с сохранением алгебраических операций и порядка.

Эта теорема может быть доказана построением R из Q. Существует принципиально два метода построения R. В первом методе, принадлежащем Дедекинду, элементы R рассматриваются как так называемые режет (пары (A, B), удовлетворяющие условиям A ≠ ∅, B ≠ ∅, A ∩ B = ∅, A ∪ B = Q и a 19 элементы R представлены как классы эквивалентности последовательностей Коши ²⁰ . Отметим, что метод последовательностей Коши более адекватен потребностям анализа, чем метод разрезов. В частности, он используется в функциональном анализе для заполнения абстрактных пространств. Доказательство теоремы 2.10 с помощью последовательностей Коши можно найти в [31]. Мы не приводим ни одно из этих доказательств, потому что оба они отнимают много времени и уводят от наших целей.

Упорядоченное поле R со свойством наименьшей верхней границы из теоремы 2.10 называется система действительных чисел и ее элементы действительные числа . Числа в R⧹Q называются иррациональными числами . Аналогично N и Q, для отношений порядка и строгого порядка в R мы используем символы ≤,≥ и <,> соответственно, и пусть R+={x∈R:x>0}.

В геометрических целях мы часто представляем действительные числа точками на направленной прямой линии, так что если a,b∈R и a реальная строка .

Для x∈R число

∣x∣=xifx≥0,-xifx<0

называется абсолютным значением x. Используя абсолютное значение, мы определяем функцию

(2.5)d(x,y)=∣x-y∣,x,y∈R,

, которая называется функцией расстояния в R и показывает расстояние от числа x к числу y на вещественной прямой, если за единицу длины принять расстояние от 0 до 1 (см. рис. 2.1).

Рисунок 2.1. Реальная линия.

Наиболее полезными подмножествами R являются так называемые интервалы . Если a,b∈R таковы, что a

(a,b)={x∈R:a

называются открытыми и замкнутыми интервалами соответственно, а множества

[a,b)={x∈R:a≤x

полуоткрытых или полузамкнутых интервалов . Эти интервалы являются ограниченными подмножествами R.

Сама система R не ограничена ни сверху, ни снизу, следовательно, оба supR и infR не существуют в R. Поэтому удобно ввести два символа ∞ и -∞, предполагая, что -∞ бесконечность (или плюс бесконечность ) и минус бесконечность соответственно. С этими символами мы пишем R=(-∞,∞). Неограниченными интервалами также будем считать множества вида

(-∞,a)={x∈R:x

Здесь (-∞,a) и (a,∞) все еще открытые интервалы, а (-∞,a] и [a,∞) закрыты. (-∞,∞) рассматривается как бесконечный открытый и замкнутый (одновременно) интервал. Обратите внимание, что символ (a,b) используется для обозначения открытого интервала и упорядоченной пары, что понятно из контекста.

Поскольку введены действительные числа, мы можем сформулировать и доказать биномиальную формулу Ньютона ²¹ . Следующая лемма, вспомогательный результат, предшествующий теореме, будет использоваться при доказательстве биномиальной формулы.

Лемма 2.11

Если n,k∈N и k≤n , то )!+n!(k-1)!(n+1-k)!.

Доказательство

Сначала обратите внимание, что n!, называемое n факториал , определяется как n!=1·2⋯n, если n∈N. Кроме того, по соглашению мы принимаем 0!=1. У нас есть

(n+1)!k!(n+1-k)!=n!(n+1-k+k)k!(n+1-k)!=n!(n+1- k)k!(n+1-k)!+n!kk!(n+1-k)!=n!k!(n-k)!+n!(k-1)!(n+1-k) !.

Это доказывает лемму. ▪

Теорема 2.12 Биномиальная формула

Для любых a,b∈R и n∈N ,

(a+b)n=∑k=0nn!k!(n-k-k=0nn!k!-k-k=0nn!k! кбк.

Доказательство

Воспользуемся принципом индукции. Зафиксируем произвольные a,b∈R и пусть предыдущее равенство будет утверждением P(n). Тогда P(1), очевидно, верно. Предположим, что P(n) истинно для некоторого n. Тогда по лемме 2.11,

(a+b)n+1=(a+b)∑k=0nn!k!(n-k)!an-kbk=∑k=0nn!k!(n-k)!an+1-kbk+∑k= 0nn!k!(n-k)!an-kbk+1=∑k=0nn!k!(n-k)!an+1-kbk+∑k=1n+1n!(k-1)!(n+1-k) !an+1-kbk=an+1+∑k=1nn!k!(n-k)!+n!(k-1)!(n+1-k)!an+1-kbk+bn+1=an +1+∑k=1n(n+1)!k!(n+1-k)!an+1-kbk+bn+1=∑k=0n+1(n+1)!k!(n+ 1-к)!ан+1-кбк.

Таким образом, P(n+1) верно. По принципу индукции получаем, что P(n) истинно для любого n∈N. ▪

Числа n!k!(n-k)! называются биномиальными коэффициентами . Лемма 2.11 предлагает простой способ вычисления этих коэффициентов с помощью так называемого Паскаль ²² Треугольник :

n = 01N = 111N = 2121N = 31331N = 414641N = 51510101051 ⋮⋮

Следующая неравенность, из -за Bernoulli, ^{. Поэтому мы сформулируем его как следствие, простой и непосредственный результат.}

Следствие 2.13 Неравенство Бернулли

Пусть a∈R+ ​​ . Тогда (1+a)n≥1+na для каждого n∈N.

Доказательство

При n=1 неравенство выполняется как равенство. Если n≥2, то

(1+a)n=1+na+∑k=2nn!k!(n-k)!ak≥1+na.

Это доказывает следствие. ▪

View chapterPurchase book

Read full chapter

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128010013000020

Bertrand Duplantier, in Les Houches, 2006

4.

2 Quantum гравитация для ПАВ и ПАВ

Как и в разделе 3, идея состоит в том, чтобы использовать представление, в котором ПАВ или ПАВ находятся на двумерной случайной решетке или случайной римановой поверхности, т. е. при наличии двумерной квантовой гравитации [56, 58 ].

Пример

В качестве примера можно привести случай L взаимно-и самоизбегающих блужданий в уже знакомой конфигурации «арбуз» (рис. 17). В полной аналогии со случаями случайного блуждания (3.25) или (3.26), рассмотренными в разделе 3, статистическая сумма квантовой гравитации определяется как

Рис. 17. L = 3 взаимно- и самоизбегающих блуждания на трехвалентной случайной решетке.

(4.8)ZSAW,L(β,z)=ΣplanarG1S(G)e−β|G|Σi,j∈GΣΓij(ℓ)ℓ=1,…,Lz|Γ|,

, где сумма распространяется на все конфигурации набора Γij(ℓ),ℓ=1,⋯,L L взаимно избегающих ПАВ с летучестью z на случайной плоской решетке G (рис. 17). Аналогичная граничная функция распределения определена для нескольких SAW, пересекающих случайный диск G с границей ∂ G

(4. 9)Z˜SAW,L(β,β˜,z)=ΣдискGe−β|G|e−β˜|∂G|Σi,j∈∂GΣΓij(ℓ)ℓ=1,…,Lz| Г|.

Эти статистические суммы, хотя и нетривиальные, могут быть вычислены точно [58].

Каждый путь ℓ ∈ {1, ···, L } среди множества ПАВ топологически может быть представлен линией, которая разделяет на G два последовательных плоских домена с дисковой топологией, обозначенных ℓ − 1 и ℓ (с циклическим соглашением 0 ≡ L на сфере). Для каждой полимерной линии ℓ обозначим m _ℓ число ребер, исходящих из области ℓ − 1, а n _ℓ число ребер, исходящих из области ℓ, инцидентных прямой ℓ. Таким образом, каждый дискообразный плоский домен ℓ имеет общее количество n _ℓ + m _ℓ+1 внешних ребер с соответствующей производящей функцией (3.21), (3.22)

(4.10)Gnℓ+mℓ+1(β)=∫abdλℓρ(λℓ,β)λℓ.

Комбинаторный анализ статистической суммы (4.8), как легко видеть, дает с точностью до коэффициента [58]

ZSAW,L(β,z)=Σmℓ,nℓ=0∞zΣℓ=1∞mℓ+nℓ∏ℓ=1L(mℓmℓ+nℓ)Gnℓ+mℓ+1(β),

, где номера комбинаций (мℓмℓ+nℓ) подсчитайте количество способов разместить вдоль полимерной линии ℓ наборы по м _ℓ и n _ℓ ребер, инцидентных этой прямой. Подставляя затем для каждой плоской области ℓ интегральное представление (4.10) и используя биномиальную формулу Ньютона для каждой прямой ℓ, получаем ( L + 1 ≡ 1)

(4.11)ZSAW,L(β,z)=∫ab∏ℓ=1Ldλℓρ(λℓ,β)∏ℓ=1L11−z(λℓ+λℓ+1).

Комбинаторный анализ граничной статистической суммы (4.9) дает аналогичным образом

(4.12)Z˜SAW,L(β,z)=∫ab∏ℓ=1L+1dλℓρ(λℓ,β)∏ℓ=1L11−z(λℓ+λℓ+1)      ×11−z˜(λ1) 11−z˜(λL+1),

где z˜≡e−β˜ и где два последних «пропагатора» объясняют наличие двух дополнительных граничных линий.

От деревьев к ПАВ

На данном этапе стоит отметить, что статистические суммы (4.11) и (4.12) для самоизбегающих блужданий на случайной решетке могут быть восстановлены простым способом из дерева статистические суммы (3.31) и (3.33).

Действительно видно, что достаточно во всех интегральных выражениях заменить каждый пропагатор остова дерева T ( x, y ) (3.32) пропагатором на ПАВ

(4. 13)ℓ(x,y):=(1−x−y)−1.

Это соответствует замене каждого корневого дерева порождающей функции T ( x ) (3.30) построения пропагатора T ( x, y ) его небольшим расширением x 9023 T 2, 2 ( х ) = х + ···. Причина в том, что последняя является тривиальной производящей функцией корневого ребра . Таким образом, каждое дерево, ответвляющееся от каждой основной линии дерева на рис. 11 заменяется простым ребром, инцидентным хребту, которое, таким образом, становится простой линией ПАВ.

Показатели квантовой гравитации ПАВ

Сингулярное поведение (4.11) и (4.12) возникает, когда летучесть решетки e ^−β , летучесть границы z˜=e−β˜ и летучесть полимера z достигают своих соответствующих критических значений. Анализ сингулярностей можно провести совершенно аналогично анализу статистической суммы квантовой гравитации RW в разделе 3. Можно воспользоваться сделанным выше замечанием, что каждый пропагатор дерева T (3. 32) с особенностью квадратного корня является теперь заменен пропагатором ПАВ ℓ (4.13) с простой особенностью.

Результат (3.41) для Z _L для деревьев затем просто заменяется на [58]

(4.14)ZSAW,L~(β−βc)3L/4,

, что составляет простую формальную замену L → 3/4 × L для перехода от RW к SAW . Остальная часть анализа точно такая же, и основной результат (3.45) просто принимает вид

(4.15)2ΔSAW,L−γstr(χ=2)=34L,

с γ _str (χ = 2) = γ = −1/2, откуда

(4.16)ΔSAW,L=12(34L−12).

Соотношение граница-объем (3.50) остается в силе:

(4.17)Δ˜SAW,L=2ΔSAW,L−γstr(χ=2),

, так что из объемного конформного веса (4.16) находится

(4.18)Δ˜SAW,L=34L.

Это конформные веса квантовой гравитации SAW L -звезды S _L [58]:

(4.19)ΔSAW,L≡Δ(SL)=12(34L−12), Δ˜SAW,L≡Δ˜(SL)=34L.

Теперь мы даем общий формализм, который позволяет предсказывать полное семейство конформных размерностей, таких как (4. 19) или (4.7).

Масштабные размерности, конформные веса и карта КПЗ

Прежде всего напомним, что по определению любая масштабная размерность x на плоскости вдвое больше конформного веса Λ ⁽⁰⁾ соответствующего оператора, а вблизи границы они идентичны [19, 21]

(4.20)x=2∆(0), x˜=∆˜(0).

Общее соотношение (3.13) для броуновских траекторий зависит только от центрального заряда c = 0, что справедливо и для самоизбегающих блужданий или полимеров. Для критической системы с центральным зарядом c = 0 две универсальные функции:

(4.21)U(x)=Uγ=−12(x)=13x(1+2x), V(x)=124(4×2−1),

с V(x):=U(12(x−12)), сгенерируйте все показатели масштабирования. Они преобразуют конформные веса в объемную квантовую гравитацию, Δ, или в граничную QG, ∆˜, на плоские и полуплоские (4.20):

(4.22)Δ(0)=U(Δ)=V(Δ˜), Δ˜(0)=U(Δ˜).

Этим соотношениям удовлетворяют, например, размерности (4.7) и (4.19).

Правила композиции

Учитывать две звезды A, B соединились в своих центрах, а в случайной взаимно избегающей звездной конфигурации A ∧ B . Каждая звезда состоит из произвольного набора броуновских траекторий и траекторий самообхода с произвольными взаимодействиями типа (4.1). Их соответствующие объемные статсуммы (4.2), (4.3) или граничные статсуммы (4.4) имеют ассоциированные планарные масштабные показатели x ( A ), x ( B ) или граничные показатели ( А ), ( В ). Соответствующие масштабные измерения в квантовой гравитации тогда, например, для A :

(4.23)Δ˜(A)=U−1(x˜(A)), Δ(A)=U−1[12x(A)],

где U ⁻¹ ( x ) является положительной инверсией карты KPZ U

(4.24)U−1(x)=14(24x+1−1).

Ключевые свойства задаются следующими утверждениями:

•

В c = 0 квантовой гравитации граничные и объемные размеры заданного набора случайных путей связаны соотношением :

(4.25)Δ˜(A)=2Δ(A)−γstr(c=0)=2Δ(A)+12.

Это обобщает соотношение (3.50) для непересекающихся броуновских путей.

•

В квантовой гравитации граничные масштабные измерения двух взаимно избегающих множеств представляют собой сумму их соответствующих граничных масштабных измерений :

(4.26)Δ˜(A∧B)=Δ˜(A)+Δ˜(B).

Обобщает тождество (3.57) для взаимно избегающих пакетов броуновских путей. Гранично-объемное соотношение (4.25) и правило слияния (4.26) вытекают из простых свойств свертки статистических сумм на случайной решетке [83, 84]. Подробно они изучены в работе. [1] (Приложения А и С).

Экспоненты планарного масштабирования x ( A ∧ B ) в ℂ и ( A ∧ B ) в ℍ ℍ ∧ B ) в ℍ ℍ ℍ ℍ 2 b ) в ℍ ℍ ℍ ℍ 2 b ) в ℍ ℍ ℍ ℍ 2 b ) в ℍ ℍ ℍ ℍ B ) в ℍ ℍ ℍ ℍ B ) в ℍ ℍ ℍ ℍ B )).0222 A ∧ B затем задаются картой KPZ (4.22), примененной к уравнению. (4.26)

(4.27)x(A∧B)=2V[Δ˜(A∧B)]=2V[Δ˜(A)+Δ˜(B)]

(4.28)x˜(A∧B)= U[Δ˜(A∧B)]=V[Δ˜(A)+Δ˜(B)].

Таким образом, в силу (4.23) эти скейлинговые показатели подчиняются звездной алгебре [83, 84]

(4.29)x(A∧B)=2V[U−1(x˜(A))+U−1(x˜(B))]

(4.30)x˜(A∧B)=U [U−1(x˜(A))+U−1(x˜(B))].

Эти правила слияния (4.26), (4.29) и (4.30), которые смешивают объемные и граничные показатели, уже очевидны при выводе показателей непересечения для броуновских путей, приведенных в разделе 3. Они также применимы к O ( N ), как показано в Ref. [1], и установлены во всей общности в Приложении C там же. Их также можно рассматривать как рекуррентные «каскадные» соотношения в ℂ между последовательными конформными римановыми отображениями границ взаимно избегающих путей на границу полуплоскости ∂ℍ, как в оригинальной работе [82] о броуновских путях.

Когда случайные наборы A и B являются независимыми и могут перекрываться, их масштабные измерения в стандартной плоскости или полуплоскости аддитивны посредством тривиальной факторизации статистических сумм или вероятностей [84]

(4. 31)x(A∨B)=x(A)+x(B), x˜(A∨B)=x˜(A)+x˜(B).

Эта аддитивность больше не применяется в квантовой гравитации, поскольку перекрывающиеся пути связаны колебаниями метрики и больше не являются независимыми. Напротив, оно заменяется правилом аддитивности (4.26) для взаимно избегающих путей (подробное обсуждение этого свойства аддитивности см. в Приложении C в [1]).

На данном этапе ясно, что приведенный выше набор уравнений является полным . Он позволяет рассчитать любые конформные размеры, связанные со звездообразной структурой S самого общего типа, как и в (4.1), включающем (∧, ∨) операции, разделенные вложенными скобками [84]. Вот несколько примеров.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S09

0405

Kandethody, приложение Statistics with Mathematicos M. Ramachandranos, Chris P. Tsthematical in R (второе издание), 2015 г.

2.6.1 Асимметрия и эксцесс

Несмотря на то, что среднее значение μ и стандартное отклонение σ являются важными описательными мерами, определяющими положение центра и описывающими разброс или дисперсию функции плотности вероятности f ( x ), они не дают однозначной характеристики распределения. Два распределения могут иметь одно и то же среднее значение и дисперсию, но при этом сильно различаться, как показано на рис. 2.12.

Рисунок 2.12. То же среднее значение и дисперсия.

Чтобы лучше аппроксимировать распределение вероятностей случайной величины, нам могут понадобиться более высокие моменты.

Определение 2.6.4

k -й момент относительно начала координат случайной величины X определяется как EX ^k и обозначается µk2 902, когда он существует. K -й момент около его среднего (также называется Центральный K TH Moment ) случайной вариабельной x определяется как E [2222223233233323332323332332332332332322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222221 гг. ] и обозначается μ _k , k  = 2, 3, 4, … , , если оно существует.

In particular, we have E ( X ) =  μ ₁ ′ =  μ , and σ ²  =  μ ₂ . Ранее мы видели, что второй момент относительно среднего (дисперсия, σ ² ) используется как мера дисперсии относительно среднего.

Определение 2.6.5

Стандартизированный третий момент относительно среднего

α3 = ex -μ3σ3 = μ3μ23/2

называется асимметрия распределения X. Стандартизированный четвертый момент около

α4 = ex-μ4σ4

22223 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 9023 2 2 9022 3 α4 = ex -µ4σ4 22223 2 α4 = ex -µ4. дистрибутива.

Асимметрия используется как мера асимметрии (отсутствия симметрии) функции плотности относительно ее среднего значения. Напомним, что распределение или набор данных является симметричным, если оно выглядит одинаково слева и справа от центральной точки. Если α ₃  = 0, то распределение симметрично относительно среднего, если α ₃  > 0, то распределение имеет более длинный правый хвост, а если более длинный левый хвост. Таким образом, асимметрия нормального распределения равна нулю. Эксцесс является мерой того, является ли распределение остроконечным или плоским по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс основан на размере хвостов распределения. Положительный эксцесс указывает на слишком мало наблюдений в хвостах, тогда как отрицательный эксцесс указывает на слишком много наблюдений в хвостах распределения. Распределения с относительно большими хвостами называются лептокуртическими, а с маленькими – платокуртик . Распределение, которое имеет тот же эксцесс, что и нормальное распределение, известно как мезокуртическое . It is known that the kurtosis for a standard normal distribution α ₄  = 3.

A sample of n values, x ₁ , …,  x _n the skewness ( г ₁ ) и эксцесс ( k ₁ ) можно рассчитать по следующим формулам.

g1=nn-1n-2∑i=1nxi-x¯s3

и

k1=nn+1n-1n-2n-3∑i=1nxi-x¯s4-3n-12n-2n-3.

Важным ожиданием является функция генерации моментов для случайной величины, в некотором смысле она упаковывает все моменты для случайной величины в одно выражение.

Определение 2.6.6

Предположим, что для случайной величины X существует положительное число h такое, что для − h  < t  <  h математическое ожидание E ( e ^tX ) существует. производящая момент функция (mgf) случайной величины X определяется как

MXt=EetX=∑etxpx,ifdiscrete∫etxfxdx,ifcontinuous.

Преимуществом функции генерации моментов является ее способность задавать моменты. Напомним, что ряд Маклорена функции e ^tx равен

etx=1+tx+tx22!+tx33!+⋯+txnn!+⋯⋅

Используя тот факт, что математическое ожидание суммы равно сумма ожидаемых значений, производящая момент функция может быть записана как

MXt=E[etX]=E1+tX+tX22!+tX33!+⋯+tXnn!+⋯=1+tEX+t22!EX2+t33!EX3+⋯+tnn!E[Xn]+⋯.

Обратите внимание, что M _X (0) = 1 для всех дистрибутивов. Взяв производную от M _X ( t ) по t , получим

dMXtdt=MX′t=E[X]+tE[X]+t22!EX2+t33!EX3+⋯ +tn−1n−1!EXn+⋯.

При оценке этой производной при t  = 0 все члены, кроме E [ X ], становятся равными нулю. У нас есть

MX′0=EX.

Аналогичным образом, взяв вторую производную от M _X ( t ), мы получим

M′X′0=EX2.

Продолжаясь таким образом, из N TH DRIVATION M _x ^{( N )} ( T ). MXn0=EXn,n=1,2,3,….

Мы суммируем эти вычисления в следующей теореме.

Теорема 2.6.3

Если M _X ( t ) существует, то для любого натурального k

dkMXtdtkt=0=0=.

Полезность предыдущей теоремы заключается в том, что, если можно найти МДС, часто сложный процесс интегрирования или суммирования, связанный с вычислением различных моментов, может быть заменен гораздо более простым процессом дифференцирования. Следующие примеры иллюстрируют этот факт.

Пример 2.6.8

Пусть X будет случайной величиной с pf

px=nxpx1−pn−x,x=0,1,2,…,n.

(Эта случайная величина называется биномиальной случайной величиной, а PMF называется биномиальным распределением. ) Покажите, что t ] ⁿ , для всех действительных значений t . Также получите среднее значение и дисперсию случайной величины х .

Решение

Производящая момент функция X равна

Используя биномиальную формулу, мы имеем

MXt=pet+1−pn,−∞

Первые два производных M _x ( T ) —

Mx’t = N1 — P+Petn -1pet

22 и

MX ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ ″ nn -aemply

и 9000

MX QU. +petn−2pet2+n1−p+petn−1pet.

Таким образом,

μ=EX=MX′0=np

и

σ2=EX2−μ2=M″(0)−(np)2=nn−1p2+np−(np) 2=np(1−p).

Example 2.6.9

Let X be a random variable with pmf f ( x ) = e ^{−  λ} λ ^x /( x !), x  = 0, 1, 2, … . (Такая случайная величина называется случайной величиной Пуассона, а распределение называется распределением Пуассона с параметром λ.) Найдите мгф х .

Решение

По определению

0∞eλete−λetλetxx!=eλet−1∑x=0∞e−λetλetxx!.

Заметим, что e−λetλetx/x! является коэффициентом мощности Пуассона с параметром λe ^t . Следовательно, ∑x=0∞e−λetλetxx!=1 Таким образом, из (1)

MXt=eλet−1.

Пример 2.6.10

Пусть X будет случайной величиной с плотностью вероятности, равной

fx=1βe−x/β,x>00, иначе.

Найти мгф M _X ( t ).

Решение

По определению mgf,

Mxt=∫∞−∞etxf(x)dx=∫0∞etx1βe−x/βdx=1β∫0∞e−1β−

Пример 2.6.11

Пусть X будет случайной величиной с плотностью вероятности fx=1/2πe−x2/2, − ∞ <  x  < ∞. (Мы называем такую ​​случайную величину стандартной нормальной случайной величиной.) Найдите мгф х .

Решение

По определению mgf имеем −12×2−2tx+t2+t22dx=12π∫−∞+∞e−12x−t2+t22dx=et2212π∫−∞+∞e−12x−t2dx=et22.

как (1/2π)e−12x−t2 является нормальным PDF со средним значением t и дисперсией 1 и, следовательно, 12π∫−∞∞e−12x−t2dt=1.

Случайная величина X с PDF0223 ² . Мы будем обозначать такие случайные величины X ~ N ( μ , σ ² ).

Свойства функции генерации моментов

1.

Функция генерации моментов числа X уникальна в том смысле, что если две случайные величины X и Y имеют одинаковые значения mgf ( M _X ( t ) = M _Y ( t ), для t в интервале, содержащем 0), то X и Y имеют одинаковое распределение.

2.

Если X и Y независимы, то

MX+Yt=MXtMYt.

То есть, мг-ф суммы двух независимых случайных величин является произведением мг-ф отдельных случайных величин. Результат можно распространить на случайные величины « n ».

3.

Пусть Д  =  aX  +  b . Тогда

MYt=ebtMXat.

Пример 2.6.12

Найдите мгс X ~ N ( μ , σ 2 ^8).

Решение

Пусть Y ~ N (0, 1) и пусть X  =  σY  +  μ . Тогда по предыдущему свойству (3) и Пример 2.6.11 , mgf X равен

MXt=eμtMY(σt)=eμte12σ2t2=eμt+12σ2t2.

Example 2.6.13

Let X ₁  ~  N ( μ ₁ ,  σ ₁ ² ), and X ₂  ~  N ( μ ₂ , σ ₂ ² ). Пусть X ₁ и X ₂ независимы. Найдите мгс Y  =  X ₁  +  X ₂ и получить распределение Y .

Решение

По свойству (2)

MXt=MX1(t)MX2(t)=eµ1t+12σ12t2eµ2t+12σ22t2=eµ1+µ2t+12σ12+σ22t2

This implies Y  ~  N ( μ ₁  +  μ ₂ ,  σ ₁ ²  +  σ ₂ ² ).

Этот результат можно обобщить. Если X ₁ , … , X _n are independent random variables such that X _i  ~  N ( μ _i ,  σ ₁ ² ),  i  = 1, …,  n , then we can show that ∑  _{i  = 1} ⁿ a _i X _i  ~ Н ∑i=1naiµi,∑i=1nai2σi2.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124171138000023

Эндрю Ф. Сигел, Майкл Р. Вагнер Издание восьмое), 2022 г.

7.4 Нормальное приближение к биномиальному

Помните биномиальное распределение? Это количество раз, когда что-то происходит из n независимых попыток, каждая с вероятностью π. Во многих случаях биномиальное распределение близко к нормальному, хотя биномиальное распределение никогда не может быть точно нормальным по двум причинам. Во-первых, любое нормальное распределение может производить наблюдения с десятичными частями (например, 7,11327), тогда как биномиальное число X ограничен целыми числами (например, 7 или 8). Во-вторых, биномиальное распределение асимметрично всякий раз, когда π равно любому числу, отличному от 0,5 (становится все более и более асимметричным, когда π близко к 0 или 1), тогда как нормальное распределение всегда совершенно симметрично.

Однако биномиальное распределение близко к нормальному распределению, когда биномиальное n велико, а вероятность π не слишком близка к нулю или единице. ^10,11 Этот факт помогает нам понять биномиальное распределение, позволяя вам представить биномиальное распределение, как если бы оно было колоколообразным нормальным распределением (где нормальное имеет такое же среднее значение µ=nπ и стандартное отклонение σ=nπ(1−π ) как биномиальное распределение). Это понимание ценно, потому что оно избавляет вас от необходимости думать о совершенно новом наборе вероятностей для каждого с и π. Чтобы было ясно, это всего лишь приближение и не точно; тем не менее, это может быть очень полезно! Например, бином с n  = 100 и π = 0,10 можно представить как (близкое к) нормальное распределение со средним значением μ=nπ=100×0,1=10 и стандартным отклонением σ=nπ(1−π)=100. ×0,1(1−0,1)=3, так что вы сразу понимаете, что значения от 7 до 13 (в пределах одного стандартного отклонения от среднего) вполне вероятны (как мы знаем, примерно в двух третях случаев), в то время как значения меньше 4 или больше 16 маловероятны (потому что это пределы двух сигм). Все эти озарения пришли без каких-либо точных расчетов!

Если вам нужна точная биномиальная вероятность, запустите этот расчет на компьютере. Нормальное приближение используется здесь в первую очередь для понимания и понимания при работе с биномиальным распределением.

Вот убедительное свидетельство биномиального приближения к нормальному. Предположим, что n равно 100, а π равно 0,10. Распределение вероятностей, рассчитанное по биномиальной формуле, показано на рис. 7.4.1. Он, безусловно, имеет колоколообразную форму нормального распределения. Хотя он по-прежнему дискретный, с отдельными, отдельными полосами, достаточно наблюдений, чтобы дискретность не была доминирующей чертой. Однако если n меньше (скажем, n  = 10) при сохранении π = 0,10, рис. 7.4.2 показывает, что это биномиальное распределение плохо описывается как нормальное (в частности, хвост слева просто заканчивается нулем, тогда как нормаль продолжалась бы, и дискретные промежутки между возможными значениями становятся более важными, когда n меньше).

Рис. 7.4.1. Распределение вероятностей бинома с n = 100 и π = 0,10 довольно близко к нормальному.

Рис. 7.4.2. Распределение вероятностей бинома с n = 10 и π = 0,10 не очень нормальное, потому что n недостаточно велико.

Пример

Высокоскоростные и низкоскоростные микропроцессоры

Мы часто не имеем такого контроля над производственным процессом, как хотелось бы. Так обстоит дело со сложными микропроцессорными чипами, такими как некоторые из тех, что используются в микрокомпьютерах, которые могут иметь более миллиарда транзисторов, размещенных на кремниевом чипе размером меньше квадратного дюйма. Несмотря на тщательный контроль, в получаемых чипах есть различия: некоторые из них будут работать на более высоких скоростях, чем другие.

В духе старого программного обеспечения, говорящего: «Это не ошибка, это фича!» чипы сортируются в соответствии со скоростью, с которой они фактически будут работать, и соответственно оцениваются (более быстрые чипы имеют более высокую цену). В каталоге указаны два продукта: 2 ГГц (медленнее) и 3 ГГц (быстрее).

Известно, что ваше оборудование производит медленную стружку в среднем в 80% случаев, а быструю стружку — в оставшиеся 20% времени, причем стружка может быть медленной или быстрой независимо друг от друга. Сегодня ваша цель — отгрузить 1000 медленных и 300 быстрых чипов, возможно, с некоторыми оставшимися чипами. Сколько вы должны запланировать для производства?

Если вы запланировали 1300 элементарных посылок, вы ожидаете, что 80% (1040 элементарных посылок) будут медленными, а 20% (260 элементарных посылок) — быстрыми. У вас будет достаточно медленных, но в среднем недостаточно быстрых.

Поскольку вы знаете, что количество быстрых микросхем ограничено, вы вычисляете 300/0,20 = 1500. Это означает, что если вы запланируете 1500 микросхем, вы можете ожидать, что 20% из них (или 300 микросхем) будут быстрыми. Так что в среднем вы просто достигнете цели. К сожалению, это означает, что у вас есть только около 50% шансов достичь цели по быстрым фишкам! На этом шаге использовалась интуиция о том, что этот бином близок к нормальному распределению, чтобы сделать вывод, что вероятность того, что он меньше среднего, составляет примерно половину (что в общем случае неверно для асимметричных распределений).

Предположим, вы запланировали производство 1650 чипов. Какова вероятность того, что вы сможете достичь цели? Чтобы решить эту проблему, вы сначала сформулируете ее как вопрос о полной вероятности: для заданной биномиальной случайной величины (количества произведенных быстрых чипов) с n = 1650 всего произведенных чипов и вероятностью π = 0,20, что чип будет быстрым, найдите вероятность что эта случайная величина равна не менее 300, но не более 650. ¹²

Конечно, вы можете выполнить точное биномиальное вычисление (на компьютере), чтобы найти, что эта вероятность равна 0,9.71, что дает вам 97,1% шансов на достижение цели. Однако мы ищем более глубокое понимание этой ситуации. Давайте найдем два значимых и полезных числа: среднее значение и среднеквадратичное отклонение этого биномиального распределения для количества произведенных быстрых чипов: 1−π)=1650×0,20×0,80=16,24808

Далее, давайте стандартизируем границы необходимого количества быстрых микросхем, 300 и 650, чтобы увидеть, на сколько сигм (стандартных отклонений) они отличаются от среднего, что покажет нам, насколько необычны эти границы, используя только что вычисленные среднее значение и стандартное отклонение:

z1=стандартизированное нижнее число быстрых микросхем=300−33016. 24808=−1,85

z2=стандартизованное верхнее число быстрых микросхем=650−33016,24808=19,69

распределение находится между z ₁  = -1,85 и z ₂  = 19,69. Интерпретируя эти стандартизированные числа как «стандартные отклонения от среднего значения для нормы», мы можем видеть, что существует всего несколько процентных пунктов для вероятности отказа (поскольку норма должна быть более чем на два стандартных отклонения ниже ее среднего значения). , событие, о котором мы знаем, происходит примерно в 2,5 % случаев, что составляет половину знакомой 5-процентной вероятности более чем двух стандартных отклонений на расстоянии от среднего в любом из двух направлений). Из этого неформального, приблизительного, интуитивного анализа мы видим, что успех вероятен, но не гарантирован. Точный ответ: вероятность успеха 97,1% и вероятность неудачи 2,9%, подтверждает эти выводы.

Вероятность используется, чтобы помочь вам понять, что происходит «за кулисами» в реальном мире. Давайте посмотрим, что на самом деле может происходить в опросе общественного мнения, используя анализ сценариев Что, если .

Пример

Опрос электората

Ваша компания по телефонным опросам и исследованиям была нанята для проведения опроса общественного мнения, чтобы выяснить, будет ли одобрена избирателями новая инициатива муниципальных облигаций на следующих выборах. Вы решили опросить 800 случайно выбранных репрезентативных людей, которые, вероятно, проголосуют, и обнаружили, что 437 намерены проголосовать за. Вот . Что, если : Если бы весь электорат был фактически поровну разделен по этому вопросу, какова вероятность того, что вы ожидаете увидеть, что многие или более из вашей выборки проголосуют?

Ваш коллега: «Выглядит довольно близко: 437 из 800 очень близко к 50–50, что составляет 400 из 800».

Вы: «Но 437 кажется мне намного больше, чем 400. Давайте выясним, могут ли дополнительные 37 быть просто случайностью».

Ваш коллега: «Хорошо. Давайте предположим, что каждый человек может быть как за, так и против. Тогда мы сможем вычислить шансы увидеть 437 или больше».

Вы: «ОК. Если шансы больше 5% или 10%, то дополнительные 37 могут быть просто случайностью. Но если шансы действительно малы, скажем, менее 5% или менее 1%, то может показаться, что дело не только в случайности».

Чтобы настроить расчет, пусть X представляет следующую биномиальную случайную величину: количество людей (из n = 800 опрошенных), которые говорят, что намерены голосовать за. Если предположить, что мнения людей по этому вопросу разделились поровну, то вероятность того, что каждый опрошенный будет голосовать за, равна π = 0,50. Теперь давайте найдем среднее значение и стандартное отклонение X с использованием формул биномиального распределения:

µX=nπ=(800)(0,50)=400

σX=nπ(1−π)=(800)(0,50)(1−0,50)=14,14214

Затем, чтобы оценить обоснованность появления 437 в этом предположении, мы стандартизируем его, чтобы увидеть, на сколько стандартных отклонений оно отличается от среднего (в предположении, что π = 0,50), используя только что предоставленные значения:

z = стандартизированное значение = 437−μXσX=437−40014,14214=2,62

Мы узнаем, что биномиальное значение 437 или более похоже на нормальное распределение, производящее значение, превышающее среднее значение более чем на 2,62 стандартных отклонения. Мы знаем, что это маловероятно, и мы можем обоснованно предположить, что это менее 1%. Точный биномиальный расчет (менее проницательный, но более математически правильный) с помощью компьютера показывает, что эта вероятность равна 0,0049., около половины 1%. Наша приблизительная интуиция была верна.

Вы спросили, что, если бы население было разделено поровну, и нашли ответ: процент выборки 54,6% (т. е. 437/800) или более маловероятен. Вывод состоит в том, что у вас есть доказательства против сценария Что, если с поровну разделенными избирателями. Инициатива хороша!

Посмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200254000075

Mohamed Rahal, Abdelkader Ziadi, Applied Mathematics and Computation, 2008

Однако для реализации алгоритма покрытия в глобальной оптимизации очень важно знать значение константы K _ε . Такая константа не уникальна, а совокупность всех этих констант K _ε замкнуто в R, всегда существует наименьшее значение. Ниже приведены два различных метода расчета K _ε .

Теорема 2

Пусть f — вещественная функция Гельдера с константой h  >  0 и показателем 1β(β>1) , определенная на гиперпрямоугольнике P=∏i=1n[ai,bi ] из Рн . Тогда имеем

∀ε>0and∀x,y∈P,|f(x)-f(y)|⩽Kε‖x-y‖+ε

с

(1.3)Kε=hββεβ-1для β=2,3,4,…,hβ+1βεβдля β∈]1,∞[⧹{2,3,4,…}.

Доказательство

LET ε ₀ > 0, существует постоянная K ₀ > 0 Такой, что

(1.4) ‖x-Y‖K0∀K0∀K0∀K0∀K0∀K0∀K0∀K0∀K0∀K0 x. ,y∈P.

Действительно,

(1)

.

Развивая эту мощность по биномиальной формуле, мы получаем для любых K ₀  > 0

(K0‖x-y‖+ε0)p=∑i=0pCpiK0i‖x-y‖iε0p-i=ε0p+pK0‖x-y‖ε0p-1+⋯+K0p‖x-y‖p=pK00 x-y‖ε0p-1+R (X, Y, K0, ε0)

с R ( x , Y , K ₀ , ε 03885, ε 038885)> 2 ε 038885)> 2 ε 03885)> 2 ε 03885)> 0,0385, ε ₀ ) K0‖x-y‖+ε0)p⩾pK0‖x-y‖ε0p-1

и, следовательно,

K0‖x-y‖+ε0⩾(pK0ε0p-1)1p‖x-y‖1p

отсюда )1p‖x-y‖+ε0(pK0ε0p-1)1p,

, взяв K0=1βε0β-1, получим

‖x-y‖1β⩽K0‖x-y‖+ε0.

(2)

. Имеем

1p+1<1β<1p, следовательно,

,

‖x-y‖1β⩽ε0-pp+1‖x-y‖+ε0⩽ε0-ββ‖x-y‖+ε0,

, следовательно,

K0=1βε0β-1forβ= 2,3,4,…,1βε0βдля β∈]1,∞[⧹{2,3,…}.

Полагая hε ₀  =  ε , выводим результат теоремы из (1.1) и (1.4). □

Теорема 3

Пусть f — вещественная функция Гельдера с константой h  >  0 и показателем 1β(β>1) , определенная на P=∏i=1n[ai,bi] из Rn, , тогда мы имеем

∀ε>0and∀x,y∈P,|f(x)-f(y)|⩽Kε′‖x-y‖+ε

с

(1.5)Kε′=εβ-1h(β-1 )βεβ.

Доказательство

Из неравенства (1.2) выводим

∀ε>0and∀x,y∈P,Kε′⩾|f(x)-f(y)|-ε‖x-y‖.

Следовательно, мы можем взять

Kε′=Supx,y∈Ph‖x-y‖1β-ε‖x-y‖⩾Supx,y∈P|f(x)-f(y)|-ε‖x-y‖.

Положим ∥ x  −  y ∥ = t и рассмотрим функцию Ψ(t)=ht1β-εt с t  > 0. единственное решение t0=βεh(β-1)β и поскольку Ψ ″( t ₀ ) < 0, то

Kε′=Supt>0ht1β-εt=εβ-1h(β-1)βεβ. □

Замечание 1

Легко показать, что Kε′⩽Kε. Ясно, что мы должны выбрать среди этих констант наименьшую, чтобы иметь быстрый алгоритм. Однако при малом значении β реальной разницы нет.

Просмотреть статью

Прочитать статью полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300307007953

Объяснение урока: общий термин биномиальной теоремы

В этом объяснении мы узнаем, как найти конкретный термин внутри биномиального расширения и найти связь между два срока подряд.

Биномиальная теорема дает нам общую формулу для разложения биномов, возведенных в произвольно большие степени. Уверенность в использовании биномиальной теоремы оказывается чрезвычайно полезной для более сложных тем математики. Мы начнем с напоминания утверждения биномиальной теоремы.

Теорема: биномиальная теорема

Для целого числа 𝑛, (𝑝+𝑞) = 𝐶𝑝+𝐶𝑝𝑞+𝐶𝑞𝑞+⋯+𝐶𝑝𝑞+⋯+𝐶𝑝𝑞+𝐶𝑞,   куда 𝐶=𝑛𝑛−𝑟𝑟.

Стоит отметить, что если вы читаете эту тему шире, то можете столкнуться с альтернативными обозначениями для 𝐶, а именно 𝑛𝑟, 𝐶, 𝐶 и 𝐶(𝑛,𝑟).

Помимо использования общей теоремы, мы можем рассмотреть частный член разложения. Для этого мы используйте формулу для общего члена, представленную ниже.

Формула: общий член биномиального разложения

В разложении (𝑝+𝑞) общий член (𝑇) является 𝑇=𝐶𝑝𝑞𝑟=0,1,…,𝑛.для

Здесь важно отметить, что при обращении к терминам в порядке их следования первый член, 𝑇, это терм, для которого 𝑟=0.

Этот объяснитель сосредоточится на использовании общего термина для решения задач, связанных с конкретными терминами в биноме. расширение. Во многих из этих вопросов мы можем прибегнуть к полному расширению бинома. Однако это часто трудоемко, а использование общего термина приводит к более простым и кратким решениям, менее подверженным ошибкам.

Как упоминалось ранее, мы должны помнить, что первый член биномиального разложения — это член, для которого 𝑟=0. Распространенной ошибкой является предположение, что первый член — это когда 𝑟=1. Однако, это неверно, и поэтому мы склонны определять 𝑇, а не 𝑇, чтобы закрепить этот факт. Несмотря на то, что мы могли бы записывать члены биномиального разложения в любом порядке, существует стандартный порядок, который предполагается в большинстве вопросов, требующих второго, третьего или, возможно, десятого термина. Стандартный заказ для членов разложения (𝑝+𝑞) является убывающей степенью 𝑝 и возрастающие степени 𝑞.

Пример 1. Нахождение определенного члена в биномиальном разложении

Найдите третий член в разложении 2𝑥+5√𝑥.

Ответ

При появлении подобного вопроса было бы совершенно законно написать полное расширение, а затем определите третий член. Однако обращение к формуле для общего члена упрощает наши расчеты. Этот метод, который мы продемонстрируем здесь. Напомним, что формула общего члена разложения (𝑝+𝑞) это 𝑇=𝐶𝑝𝑞.

Напомним, что первый член разложения соответствует общему члену с 𝑟=0. Следовательно, третий член будет дан 𝑟=2, а не 𝑟=3. Следовательно, установив 𝑟=2, 𝑝=2𝑥, 𝑞=5√𝑥 и 𝑛=5, у нас есть 𝐶(2𝑥)5√𝑥=10×2𝑥×25𝑥=2000𝑥.

Следовательно, третий член разложения равен 2000𝑥.

Обратите внимание, что, используя общий термин, мы часто можем упростить необходимые вычисления. В нашем Во втором примере мы рассмотрим очень похожую концепцию, но с биномом, возведенным в большую степень.

Пример 2. Нахождение заданного члена в биномиальном разложении

Найти 𝑇 в разложении 5√𝑥+√𝑥5.

Ответ

Для расширения (𝑝+𝑞) общий термин 𝑇 определяется следующим образом: 𝑇=𝐶𝑝𝑞𝑟=0,1,…,𝑛.для

Следовательно, установив 𝑛=9, 𝑟=3, 𝑝=5√𝑥, и 𝑞=√𝑥5, имеем 𝑇=𝐶5√𝑥√𝑥5. 

Поскольку 5√𝑥=√𝑥5, мы можем переписать это как 𝑇=𝐶5√𝑥5√𝑥=845√𝑥.

Затем мы можем упростить это, используя законы экспоненты следующим образом: =845√𝑥=10500√𝑥=10500𝑥.

Следовательно, четвертый член разложения 𝑇 равен 10500𝑥.

Как мы видели в предыдущих двух примерах, мы можем использовать общий член биномиального разложения, чтобы найти заданное член расширения, но в равной степени нас могут попросить определить коэффициент указанного члена, поскольку мы будем продемонстрируем в нашем следующем примере.

Пример 3. Нахождение коэффициента заданного члена в биномиальном разложении

Определите коэффициент при 𝑥 в разложении 𝑥+1𝑥.

Ответ

Первое, что следует отметить в этом примере, это то, что мы можем переписать биномиальное выражение как 𝑥+𝑥. Затем нам нужно определить любые термины, которые приводят к показателю степени −6. Напомним, что общий член разложения (𝑝+𝑞) равен 𝐶𝑝𝑞. У нас есть 𝑝=𝑥, 𝑞=𝑥 и 𝑛=6, поэтому подставляя эти выражения в общий термин приводит к 𝐶𝑥𝑥=𝐶𝑥𝑥.

Используя степенной закон, мы можем записать это как 𝐶𝑥=𝐶𝑥.

Поскольку нам нужен член с 𝑥, мы хотим, чтобы показатель степени 𝑥 был равен −6. Это означает 6−3𝑟=−6, что приводит к 𝑟=4. Мы можем проверить это, подставив 𝑟=4 в общий термин: 𝐶𝑥𝑥=𝐶𝑥×𝑥=𝐶𝑥.

Мы видим, что коэффициент при члене точно равен 𝐶=15. Следовательно коэффициент 𝑥 равен 15.

В следующем примере мы увидим, как, используя общий термин, мы можем найти неизвестные.

Пример 4: Использование общего члена для поиска неизвестных

Члены расширения (2𝑥+𝑚𝑦) расположены в нисходящие степени 𝑥. Учитывая, что 𝑇=2560𝑥𝑦, найдите значение 𝑚.

Ответ

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для общего члена биномиального разложения, чтобы найти альтернативное выражение для 𝑇. Затем мы можем приравнять два выражения и решить для 𝑚. Напомним, что общий член биномиального разложения (𝑝+𝑞) определяется выражением 𝑇=𝐶𝑝𝑞.

Настройка 𝑝=2𝑥, 𝑞=𝑚𝑦, 𝑛=5 и 𝑟=3, у нас есть 𝑇=𝐶(2𝑥)(𝑚𝑦)=10×2𝑚𝑥𝑦=40𝑚𝑥𝑦.

В вопросе дано, что .=2560 Следовательно, мы можем приравнять эти два выражения для 𝑇 следующим образом: 2560𝑥𝑦=40𝑚𝑥𝑦.

Мы видим, что обе части уравнения содержат множитель 𝑥𝑦, и приравнивая коэффициенты, мы можем написать 64=𝑚.

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем 𝑚=4.

В нашем следующем примере давайте посмотрим, как мы можем использовать общий термин для решения многоэтапной задачи.

Пример 5: Использование общего термина

Если коэффициент третьего члена в разложении 𝑥−14 равен 338, определите средний член в разложении.

Ответ

Используя формулу общего члена биномиального разложения, можно найти выражение для коэффициента третьего слагаемого по 𝑛. Используя это, мы можем найти 𝑛, а затем найти средний член разложения. Напомним, что общий член биномиального разложения (𝑝+𝑞) равно 𝐶𝑝𝑞𝑟=0,1,…,𝑛.для

Поскольку в биномиальном выражении стоит знак минус, мы можем начать с записи 𝑥−14=𝑥+−14.

Обратите внимание, что выражение для общего члена начинается с 𝑟=0; следовательно, для расчета третий член, нам нужно установить 𝑟=2. Подставляя 𝑝=𝑥, 𝑞=−14 и 𝑟=2 имеем 𝐶𝑥−14.

Вспоминая, что 𝐶=𝑛𝑛−𝑟𝑟, мы можем переписать это как 𝑛(𝑛−1)2𝑥×116, что упрощает до 𝑛(𝑛−1)32𝑥.

Так как нам известно, что коэффициент этого члена равен 338, мы можем написать 𝑛(𝑛−1)32=338.

Умножив обе части уравнения на 32, получим 𝑛−𝑛=132.

Если мы вычтем 132 из обеих частей уравнения, это приведет к квадратному уравнению 𝑛−𝑛−132=0.

Мы можем решить это для 𝑛, разложив на множители, чтобы найти (𝑛−12)(𝑛+11)=0.

Следовательно, 𝑛=12 или 𝑛=−11. Биномиальная теорема применима только для расширения бинома, возведенного в положительную целую степень. Следовательно, 𝑛 должно быть целым положительным числом, поэтому мы можем отбросить отрицательное решение и, следовательно, 𝑛=12. Теперь мы можем использовать это, чтобы найти середину срок расширения. Поскольку 𝑛=12, в разложении будет тринадцать членов, а средний срок будет седьмым сроком. Следовательно, мы можем использовать формулу для общего члена, чтобы найти седьмой срок этого расширения. Опять же, поскольку 𝑟 начинается с 𝑟=0, седьмой член в расширение соответствует 𝑟=6. Подставляя это значение в формулу общего срок, получаем 𝐶𝑥14=96𝑥=2311024𝑥.

Следовательно, средний член разложения равен 2311024𝑥.

Если мы вычислим два последовательных члена в биномиальном разложении, мы сможем найти отношение между ними. Условия 𝑇 и 𝑇, соотношение между ними равно 𝑇𝑇. Мы продемонстрируем, как вычислить это в нашем следующем пример.

Пример 6: Нахождение отношения между последовательными членами

Рассмотрим разложение (8𝑥+2𝑦). Найдите отношение восьмого и седьмой срок.

Ответ

Напомним, что формула для общего члена биномиального разложения (𝑝+𝑞) 𝑇=𝐶𝑝𝑞𝑟=0,1,…,𝑛.для

Здесь 𝑇 представляет (𝑟+1)-й член бинома расширение. Это означает, что седьмой член, 𝑇, получается с помощью 𝑟=6, а восьмой член 𝑇 получается из 𝑟=7. Мы можем написать общий член разложения (8𝑥+2𝑦), полагая 𝑝=8𝑥, 𝑞=2𝑦 и 𝑛=23 следующим образом:

Как упоминалось ранее, мы можем вычислить седьмой член, подставив 𝑟=6: 𝑇=𝐶×8×2𝑥𝑦=𝐶×8×2𝑥𝑦.

👝 =7: 𝑇=𝐶×8×2𝑥𝑦=𝐶×8×2𝑥𝑦.

Следовательно, отношение между восьмыми членами равно восьмому данный 𝑇𝑇=𝐶×8×2𝑥𝑦𝐶×8×2𝑥𝑦.

Используя правила этой степени, мы можем упростить 𝑇𝑇=𝐶×2𝑦𝐶×8𝑥=𝐶𝑦𝐶×4𝑥=𝐶𝐶×𝑦4𝑥. 0005

Напомним, что соотношение последовательных комбинаций определяется выражением 𝐶𝐶=𝑛−𝑟+1𝑟.

Следовательно, 𝐶𝐶=23−7+17=177.

Подставляя это в уравнение выше, мы имеем 𝑇𝑇=177×𝑦4𝑥=17𝑦28𝑥.

Следовательно, отношение между восьмым и седьмым членами биномиального разложения равно 17𝑦28𝑥.

В предыдущем примере мы рассмотрели соотношение между двумя последовательными терминами. На самом деле это обычное дело рассмотреть, и для этого вообще есть простое выражение. Рассмотрим два последовательных термина 𝑇 и 𝑇 расширения (𝑝+𝑞); используя формулу для общего члена, мы можем записать их соотношение следующим образом: 

Используя правила экспонент, мы можем упростить это до 𝑇𝑇=𝐶𝑞𝐶𝑝.

Теперь мы можем использовать формулу соотношения последовательных комбинаций, 𝐶𝐶=𝑛−𝑟+1𝑟, переписать это как 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑞𝑝. 

Формула: отношение между последовательными членами биномиального разложения

Для двух последовательных членов 𝑇 и 𝑇 в расширение (𝑝+𝑞), соотношение между ними равно 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑞𝑝.

Мы можем использовать эту формулу для решения задач, связанных с отношениями последовательных членов в биномиальных разложениях.

Пример 7. Использование соотношений между последовательными членами для поиска неизвестных

Рассмотрим разложение (𝑎+𝑏), где 𝑎 положительный. Найдите значения 𝑎, 𝑏 и 𝑛, учитывая, что 𝑇=215040, 𝑇=258048, и 𝑇=215040.

Ответ

Один из самых простых способов решить эту проблему — рассмотреть отношения последовательных терминов. Напомним, что отношение двух последовательных терминов 𝑇 и 𝑇 в расширение (𝑎+𝑏) задается выражением 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑏𝑎.

Подстановка 𝑟=6 и 𝑟=5 соответственно вместе со значениями 𝑇, 𝑇 и 𝑇, мы получаем

𝑇𝑇 = 215040258048 = 56 = (𝑛 -5) 6𝑏𝑎, 𝑇𝑇 = 258048215040 = 65 = (𝑛 -4) 5𝑏𝑎. 

(1) (2)

63

9 2

9000 2

9000 2 (1). отношение этих двух отношений, мы можем исключить 𝑎 и 𝑏 и останется уравнение относительно 𝑛 путем деления уравнения (1) на уравнение (2). Следовательно, ()()=.

Это эквивалентно 𝑇𝑇×𝑇𝑇=(𝑛−5)6𝑏𝑎×5(𝑛−4)𝑎𝑏.

Упрощая, получаем 𝑇𝑇𝑇=5(𝑛−5)6(𝑛−4).

Подставляя значения 𝑇, 𝑇 и 𝑇, у нас есть 215040258048=56=5(𝑛−5)6(𝑛−4).

Деление обеих сторон на 56 дает 56=𝑛−5𝑛−4.

Перемножив на (𝑛−4) и 6, мы имеем 5(𝑛−4)=6(𝑛−5).

Это можно решить следующим образом: 5𝑛−20=6𝑛−30−20+30=6𝑛−5𝑛10=𝑛.

Следовательно, 𝑛=10.

Подставив наше значение 𝑛 в уравнение (1), мы получим 56=56𝑏𝑎.

Разделив обе части уравнения на 56, мы получим 1=𝑏𝑎. Умножение обеих частей уравнения на a дает нам 𝑎=𝑏. Теперь мы можем использовать формулу для общий термин, чтобы найти значение 𝑎 и 𝑏 следующим образом. Мы можем написать общее член 𝑇, подставив 𝑟=4 и приравняв его к заданному значению: 215040=𝐶𝑎𝑏.

Поскольку 𝑎=𝑏, мы можем переписать это как 215040=𝐶𝑎.

Напомним, что 𝐶=𝑛𝑛−𝑟𝑟 и поэтому 𝐶=106⋅4=10×9×8×74×3×2×1=210.

У нас есть 215040=210𝑎, что упрощает до 1024=𝑎.

Извлечение 10-го корня из обеих частей уравнения приводит к 𝑎=±2. Поскольку нам дано это 𝑎 должно быть положительным, мы получаем 𝑎=2. Мы знаем, что 𝑎=𝑏; следовательно, 𝑏=2. Наш окончательный ответ: 𝑎=𝑏=2 и 𝑛=10.

Пример 8: Использование соотношения последовательных членов

Рассмотрим биномиальное разложение (3+7𝑥) по возрастанию степеней 𝑥. Когда 𝑥=6, один из членов разложения равен удвоенному его следующий срок. Найдите положение этих двух членов.

Ответ

Напомним сначала, что общий член разложения (𝑝+𝑞) равен 𝑇=𝐶𝑝𝑞𝑟=0,1,…,𝑛.для

Это приводит к возрастанию степеней 𝑥, когда мы подставляем 𝑎=3 и 𝑏=7𝑥 и систематически увеличивайте значение 𝑟. В вопросе говорится, что когда 𝑥=6, один из членов разложения, упорядоченный по возрастанию степеней 𝑥, равен удвоенному своему следующему члену. Мы можем записать это алгебраически как 𝑇=2𝑇.

Следовательно, 𝑇𝑇=12.

Напомним, что для биномиального разложения (𝑝+𝑞) отношение между последовательными термины даны 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑞𝑝.

Установив 𝑝=3, 𝑞=7𝑥 и 𝑛=28, мы можем переписать это как 𝑇𝑇=(28−𝑟+1)7𝑥3𝑟.

Поскольку это равно половине, когда 𝑥=6, мы можем написать 12=(29−𝑟)7×63𝑟12=(29−𝑟)7×2𝑟.

Умножение обеих частей уравнения на 2𝑟 дает 𝑟=28(29−𝑟)=812−28𝑟.

Прибавив 28𝑟 к обеим частям уравнения, мы получим 29𝑟=812.

Разделив на 29, мы получим 𝑟=28. Следовательно, два слагаемых, удовлетворяющих заданному условию являются 𝑇 и 𝑇.

Мы также можем рассчитать отношения между непоследовательными терминами, используя аналогичные методы, хотя процесс немного сложнее. вовлеченный. Мы продемонстрируем в нашем последнем примере.

Пример 9: Отношения непоследовательных членов

Рассмотрим разложение (𝑚𝑥+8), где 𝑚 — положительная постоянный. Определить значения 𝑚 и 𝑛, учитывая, что отношение между коэффициенты при 𝑇 и 𝑇 равны 6374640 и что отношение между коэффициентами 𝑇 а 𝑇 равно 4.

Ответ

Одним из возможных подходов к этой проблеме было бы прямое вычисление выражений для соотношений между коэффициенты двенадцатого и четырнадцатого членов и седьмого и девятого членов, применяя формулу для последовательные термины. Например, для отношения между двенадцатым и четырнадцатым членами мы могли бы использовать соотношение 𝑇𝑇=𝑇𝑇×𝑇𝑇. 

Однако, учитывая, что нам нужно рассчитать два отношения и в конечном итоге составить два уравнения, мы начнем с вывода алгебраическое выражение для отношения двух членов 𝑇 и 𝑇, а затем подставить нужные значения 𝑟 (и другие переменные), чтобы найти конкретные выражения для этих двух отношений.

Мы можем сделать это, начав с формулы отношения двух последовательных членов, 𝑇𝑇, то есть 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑞𝑝.

Тогда мы можем составить следующее уравнение: 𝑇𝑇×𝑇𝑇=𝑇𝑇.

Мы можем рассчитать отношение 𝑟+1 в формулу отношения последовательных членов: 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+2)𝑟+1𝑞𝑝.

Следовательно, 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑞𝑝×(𝑛−𝑟+2)𝑟+1𝑞𝑝=𝑞(𝑛−𝑟+1)(𝑛−𝑟+2)𝑝𝑟(𝑟+1).

У нас есть информация о соотношении между коэффициентами двенадцатого и четырнадцатого слагаемых и отношением между коэффициентами седьмого и девятого слагаемых, поэтому нам нужно начать с рассмотрения обратной величины нашего уравнение выше: 𝑇𝑇=𝑝𝑟(𝑟+1)𝑞(𝑛−𝑟+1)(𝑛−𝑟+2). 

В вопросе нам говорят отношение между коэффициентами двенадцатого и четырнадцатый срок и то же самое относится и к коэффициентам седьмого и девятого слагаемых. Заменив на 𝑝=𝑚𝑥, 𝑞=8 и 𝑟=12 имеем 𝑇𝑇=(𝑚𝑥)(12)(13)8(𝑛−11)(𝑛−10).

Аналогично, замена 𝑟=7 дает 𝑇𝑇=(𝑚𝑥)(7)(8)8(𝑛−6)(𝑛−5).

Зная значение отношения коэффициентов, мы можем удалить переменную из приведенных выше отношений и форма следующие уравнения:

𝑚(12)(13)8(𝑛−11)(𝑛−10)=6374640,𝑚(7)(8)8(𝑛−6)(𝑛−5)=4. 

(3)(4)

Разделив уравнение (3) на уравнение (4), заметив, что это одно и то же как умножая уравнение (3) на обратные величины каждой части уравнения (4), мы отмечаем, что это то же самое, что и умножение первого уравнения на обратные величины каждой части второго уравнения, имеем 156𝑚64(𝑛−11)(𝑛−10)×64(𝑛−6)(𝑛−5)56𝑚=6374640×136049. 

Это упрощает до 39(𝑛−6)(𝑛−5)14(𝑛−11)(𝑛−10)=22158.

Умножение на (𝑛−11)(𝑛−12) и деление на 3914 урожаи 11987 (𝑛−11)(𝑛−12)=(𝑛−6)(𝑛−7).

Умножая на 87 и умножая через скобки, мы имеем 119𝑛−23𝑛+132=87𝑛−13𝑛+42.

Собирая все слагаемые в левой части, имеем 32𝑛−1606𝑛+12054=0.

Мы можем решить это уравнение, используя квадратичную формулу, которая, как мы помним, 𝑛=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎, для квадратичного 𝑎𝑛+𝑏𝑛+𝑐 найти решения 𝑛=41 и 𝑛=14716. Поскольку 𝑛 должно быть целым положительным числом, мы можем отбросить дробное решение и заключаем, что 𝑛=41. Наконец, нам нужно заменить 𝑛=41 в уравнение (3) или (4), чтобы найти 𝑚. Мы будем подставить в уравнение (4): 𝑚(7)(8)8(41−6)(41−5)=4,561190×64𝑚=4,11360𝑚=4.

Следовательно, 𝑚=49, что дает 𝑚=±7. Нам говорят, что 𝑚 на самом деле является положительной константой, дает нам окончательный ответ 𝑚=7.

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые моменты

• Использование общего термина для биномиального разложения часто упрощает расчеты, в которых мы только интересуют конкретные термины и их коэффициенты.
• Формула для общего члена биномиального разложения (𝑝+𝑞): 𝑇=𝐶𝑝𝑞𝑟=0,1,…,𝑛.для В частности, следует отметить, что первый член соответствует 𝑟=0. Это означает, что 𝑘-й общий член получается с помощью 𝑟=𝑘−1 в общем виде.
• Последовательные члены биномиального разложения (𝑝+𝑞) связаны формулой 𝑇𝑇=(𝑛−𝑟+1)𝑟𝑞𝑝.

Калькулятор биномиального коэффициента

Создано Maciej Kowalski, кандидатом наук

Рецензировано Bogna Szyk и Jack Bowater

Последнее обновление: 09 мая 2022 г.

Содержание:

• Что такое бином?
• Комбинация: значение
• Перестановка и комбинация
• Пример: использование калькулятора биномиальных коэффициентов
• Часто задаваемые вопросы таинственный n выберите формулу k . Выражение обозначает количество комбинаций k элементов из набора n элементов и соответствует кнопке nCr на реальном калькуляторе . Для ответа на вопрос « Что такое бином? », значение комбинации, решение «4 выбирают 2» и сравнение перестановки с комбинацией, прокрутите вниз до разделов ниже !

  Что такое двучлен?

  В математике (в алгебре, если быть точным), бином — это многочлен с двумя членами (отсюда и приставка «би-»). Например, выражения x + 1 , xy - 2ab или x³z - 0,5y⁵ являются биномами, но x⁵ , a + b - cd или x ² не являются (54x5 x ² последний имеет два члена, но мы можем упростить это выражение до -3x² , которое имеет только один).

  Теперь, когда мы знаем, что такое бином, давайте подробнее рассмотрим показатель степени единицы:

  (x² - 3)³ .

  Есть некоторые частные случаи этого выражения - краткие формулы умножения вы знаете из школы:

  (a + b)² = a² + 2ab + b² ,

  (a - b)² = а² - 2аб + б² .

  Многочлен, который мы получаем в правой части, называется биномиальным разложением того, что у нас было в скобках. Хотите верьте, хотите нет, но мы можем найти их формулы для любой положительной целой степени 9.0127 . В общем случае биномиальная теорема говорит нам, как выглядит это разложение: 2 A N-2 B 2 + ... + C N B N ,

  , где,

  • Cₖ -это число всех возможных Combin. элементов из набора n -элемент .

  Кроме того, для данного n эти числа аккуратно представлены для последовательных значений n в строках так называемого треугольника Паскаля, где одна строка в целом подсчитывает все возможные подмножества набора (т.е. , мощность множества мощности).

  И это хороший момент для нас, чтобы проверить значение " комбинация " - как мы уже упоминали так много раз.

  Комбинация: значение

  Представьте, что вы студент колледжа , вздремнете во время лекции. Внезапно учитель возвращает вас на землю, говоря: " Давайте наугад выберем группы для промежуточных проектов. " Что ж, похоже, вам все-таки придется поработать.

  Проблема в том, что есть только один парень, с которым ты хотел бы работать над проектом . Если в группе двадцать человек, и учитель делит вас на групп по четыре человека , насколько вероятно, что вы будете со своим другом?

  Каждая возможная группа пример комбинации . В данном случае это комбинация из четырех элементов из набора из двадцати элементов или, если хотите, из четырех учеников из группы из двадцати человек . Если вы хотите получить немного технических знаний, выбор комбинации означает выбор подмножества большего набора. Здесь наиболее важно то, что порядок элементов, которые мы выбираем, не имеет значения . Ведь все члены проектной команды равны (кроме тех, кто не выполняет никакой работы).

  Количество комбинаций k элементов из набора n элементов обозначается как

  (как дробь n , деленная на k , но без разделительной черты), которую мы читаем как " n выберите k ." Это также символ, который появляется , когда мы нажимаем nCr на калькуляторе (не наш калькулятор биномиальных коэффициентов, а обычный, реальный). Например,

  — это «4 выбрать 2», а

  — это «6 выбрать 2». В некоторых учебниках биномиальный коэффициент также обозначается как C(n,k) , что делает его функцией n и k . " И как мне это вычислить? " Ну, достаточно легко. n выберите k формула

  n! / (к! * (н - к)!) .

  Восклицательный знак называется факториалом. Выражение н! это продукт первых n натуральные числа , то есть

  n! = 1 * 2 * 3 * ... * п .

  Это означает, что, например, 4 выберите 2 сверху — это

  4! / (2! * (4 - 2)!) = (1 * 2 * 3 * 4) / (1 * 2 * 1 * 2) = 6 ,

  и 6 выбрать 2 равно

  6! / (2! * (6 - 2)!) = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6) / (1 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4) = 15 .

  Итак, мы можем выбрать два элемента из набора из четырех шестью различными способами, а из набора из шести — пятнадцатью способами.

  Прежде чем мы двинемся дальше, давайте еще раз взглянем на n выберите k формулу . Из него мы можем получить довольно интересное симметричное свойство .

  Если взять n выбрать n - k , то получим

  n! / ((n - k)! * (n - (n - k))!) = n! / ((n - k)! * k!)

  , что совпадает с n , выберите k (поскольку умножение коммутативно). Другими словами, у нас есть

  или C(n,k) = C(n,n-k) в других обозначениях.

  Перестановка и комбинация

  В предыдущем разделе мы видели , что такое факториал . В комбинаторике он обозначает количество перестановок. Перестановка длины n означает упорядочивание n элементов. Например, если у нас есть три милых выражения котенка, скажем 😹, 😻 и 🙀, то мы можем упорядочить их шестью различными способами:

  (😹, 😻, 🙀)

  (😹, 🙀, 😻)

  (😻, 😹, 🙀)

  (😻, 🙀, 😹)

  (🙀, 😹, 😻)

  (🙀, 😻, 😹).

  Заметьте, что это согласуется с тем, что говорит нам факториал :

  3! = 3 * 2 * 1 = 6 .

  Обратите внимание, что мы также можем понять эту формулу так : мы выбираем первый элемент из трех (3 варианта), второй из двух оставшихся (потому что мы уже выбрали один - 2 варианта), и третий из оставшихся (потому что мы уже выбрали два - 1 вариант). Умножаем количество вариантов: 3 * 2 * 1 = 6 и получаем факториал.

  Когда мы сравниваем перестановку и комбинацию, ключевым словом является порядок . Как мы уже говорили в предыдущем разделе, смысл комбинации заключается в выборе нескольких элементов из большей коллекции . По сути, мы говорим, какие из них мы выбираем, но не говорим, какие из них первые, вторые и т. д. Они образуют набор в целом.

  Перестановка, однако, помещает элементы в фиксированном порядке один за другим, делая его последовательностью, а не набором. Более того, перестановка использует все элементы из набора, который у нас был, а комбинация выбирает только некоторые из них.

  В качестве примера еще раз поставьте себя на место студента колледжа. Когда учитель выбрал для вас группу , он выбрал комбинацию . А когда приходит время представить свой проект, и они задают по одному вопросу каждому из вас, выбирают перестановку (определяя порядок, в котором они задают вам вопросы). И все мы знаем, насколько важен заказ для вашей итоговой оценки.

  Пример: использование калькулятора биномиальных коэффициентов

  Биномиальные коэффициенты являются одними из наиболее важных числовых последовательностей в дискретной математике и комбинаторике. Они очень часто появляются в статистике и расчетах вероятностей и, возможно, наиболее важны в биномиальном распределении (положительная и отрицательная версии). Означает ли это, что только чокнутые математики могут использовать его по-настоящему?

  Вовсе нет! Каждая азартная игра основана на случайности, и биномиальные коэффициенты являются жизненно важными для игрока . Простое подбрасывание монеты — самый простой пример. Однако давайте сделаем еще один шаг и посмотрим на покер.

  Вы когда-нибудь задумывались почему одни руки в покере более ценны, чем другие ? Это просто потому, что реже, чем (если только кто-то не жульничает, но мы видели достаточно гангстерских сериалов, чтобы знать, что это обычно плохая идея).

  В обычной колоде 52 карты , а в техасском холдеме игрок получает пять карт . Наш калькулятор биномиальных коэффициентов и 9Формула 2504 n Choose k (в нашем случае n = 52 и k = 5 ) говорит нам, что это означает 2 598 960 возможных комбинаций в игре в покер. Довольно много , вам не кажется? А теперь рассмотрим наилучшую возможную комбинацию — флеш-рояль в трефовых (туз, король, дама, валет и 10). Эта рука может получиться только в одном случае — когда мы получим именно эти карты. Это означает, что это 1 в 2 598 960 шанс получить его. Мы бы не рекомендовали вкладывать все свои сбережения в эти коэффициенты.

  Возьмем другой пример — фулл-хаус (тройка и пара). На этот раз значительно больше возможностей . Ведь любая из 13 карт в масти может быть тройкой, а пара в одной из других 12 карт (она не может быть того же достоинства, что и тройка). Более того, тройка есть только в трех из четырех карточных символов, и точно так же пара есть только в двух.

  И это , где мы вспоминаем значение комбинации ! Нам нужно выбрать три из четырех символов для тройки, и комбинацию два из четырех для пары. Формула n выбирает k преобразует это в 4 выбирает 3 и 4 выбирает 2 , а калькулятор биномиальных коэффициентов считает их равными 4 5 и 69250 соответственно. В общем, если нам сейчас умножив числа, которые мы получили , мы обнаружим, что существует

  13 * 12 * 4 * 6 = 3,744

  возможных рук, которые дают фулл-хаус. Что ж, не так уж и много по сравнению со всеми возможностями , но, по крайней мере, это 3,744 раз более вероятно, чем роял флеш на трефах.

  Тем не менее, мы рекомендуем регулярно откладывать деньги как лучший метод инвестирования, чем азартные игры.

  Часто задаваемые вопросы

  Что такое формула выбора b?

  Формула a select b аналогична формуле биномиального коэффициента — это факториал a , деленный на произведение факториала b и факториала a минус b . Она также известна как формула n-выберите k, и ее также можно решить с помощью треугольника Паскаля.

  Как найти 4 выбрать 2?

  Чтобы найти 4, выберите 2:

  1. Найдите факториал 4 минус 2, что равно 2.
  2. Умножьте это число на факториал 2, что также равно 2, и получите 4.
  3. Разделите факториал 4, 24, на число из предыдущего шага, 4.
  4. Результат 4 выбора 2 равен 6 .

  Как найти 6 выбрать 2?

  Чтобы найти 6, выберите 2:

  1. Вычислите факториал 6 минус 2, что равно 24.
  2. Умножьте 24 на 2 факториала, что даст 48.
  3. Вычислите факториал 6, который равен 720.
  4. Разделите 720 на 48, чтобы получить 15 .

  Как связаны биномиальный коэффициент и треугольник Паскаля?

  Биномиальный коэффициент и треугольник Паскаля тесно связаны , так как вы можете найти любое решение с биномиальным коэффициентом в треугольнике Паскаля и можете построить треугольник Паскаля из формулы биномиального коэффициента. Для n выберите k, посетите n плюс 1-ю строку треугольника и найдите число в k-й позиции для вашего решения.

  Мацей Ковальский, PhD кандидат

  Результат

  Посмотрите 35 похожих калькуляторов алгебры 🔡

  Уравнение с абсолютной величинойНеравенства с абсолютной величинойСложение и вычитание полиномов… Еще 32

  Невероятно полезное обобщение биномиальной теоремы и ее приложений | Каспер Мюллер | август 2022 г.

  В поисках красивого ряда для релятивистской кинетической энергии

  Сэр Исаак Ньютон — изображение с Викисклада

  Что бы вы сделали, если бы оказались на необитаемом острове и должны были вычислить квадратный корень из 2, пока только имея в своем распоряжении мокрый песок и палку?…

  В этой статье мы обсудим один из наиболее часто используемых инструментов в дискретной математике , комбинаторике , вероятности , статистике , алгебре и теории чисел . Я говорю о знаменитой биномиальной теореме .

  Мы увидим теорему, а затем посмотрим, как мы можем обобщить ее несколькими различными способами на действительные или даже комплексные показатели, затем мы докажем общую теорему и тем самым косвенно докажем биномиальную теорему.

  Первая часть головоломки — это то, что известно как биномиальный коэффициент, так что давайте начнем с него.

  Биномиальные коэффициенты чрезвычайно важны, так как они повсюду в дискретной математике. Они образуют интересный узор в очень известной треугольной форме, называемой треугольником Паскаля. Этот треугольник изображен на следующем изображении.

  Треугольник Паскаля — изображение с Викисклада

  Чтобы получить число в треугольнике, вы просто добавляете два числа прямо над ним. К счастью, вам не нужно записывать треугольник Паскаля каждый раз, когда вы хотите использовать эти числа, потому что у нас есть формула для этого числа, равная 9.0005

  , где число n соответствует строке, начиная отсчет с 0 вверху, а k соответствует месту в строке треугольника Паскаля (также начиная с 0). Восклицательный знак означает факториал числа и соответствует числу n , определенному n! = n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅3⋅2⋅1 . Например, 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 .

  Биномиальные коэффициенты также имеют комбинаторное значение, поэтому они так часто используются в комбинаторике и вероятностях. Символ выше представляет количество способов, которыми вы можете выбрать к объектов из n (без замен). Например, у вас есть четыре пронумерованных мяча в корзине, и вы хотите выбрать два из них. Различные комбинации: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} и все! Таким образом, есть ровно 6 способов выбрать 2 из четырех объектов, и, конечно же, если вы подставите это в нашу формулу, вы получите

  . Это также можно увидеть непосредственно в треугольнике Паскаля.

  Теперь из формулы легко увидеть, что есть ярлык. Некоторые множители в числителе компенсируют множители в знаменателе. Мы можем написать

  , так что, например, наш расчет в биномиальном коэффициенте «4 выбирают 2» равен 4⋅3/(2⋅1) = 6 .

  Это все хорошо, но как мы можем их использовать?

  Рад, что вы спросили…

  Особые случаи этой теоремы были известны грекам в 300 г. до н.э., а к 6 веку индийские математики нашли формулы для биномиальных коэффициентов, необходимых в теореме, однако первая формулировка полной -выдуманная теорема, включая ее доказательство, пришла в 10 веке персидским математиком Аль-Караджи .

  Теорема такова.

  Пусть x и y — два действительных числа, а n — целое неотрицательное число, тогда

  Если расширить правую часть, то теорему можно записать следующим образом:

  Если вы думаете об этом результате с точки зрения треугольника Паскаля, тогда коэффициенты - это в точности числа в n -й строке треугольника (начиная с n=0 вверху).

  9н. Вы можете попробовать это сами, если не можете уснуть одну ночь. Можете ли вы найти другие интересные модели? И треугольные числа, и числа Фибоначчи спрятаны в этом математическом сокровище вместе со многими другими интересными числами.

  Числа Фибоначчи, например, задаются суммами некоторых «диагоналей» треугольника:

  Числа Фибоначчи представляют собой суммы диагоналей треугольника Паскаля — изображение с Викисклада.

  Можете ли вы доказать это с помощью биномиальных коэффициентов? Можете ли вы найти другие известные числа в треугольнике? Дайте мне знать в комментариях…

  Существует множество различных доказательств биномиальной теоремы. Можно использовать индукцию вместе с тождеством Паскаля или можно использовать комбинаторный аргумент. Но на самом деле, поскольку мы собираемся обобщить теорему, чуть позже мы приведем более сильное доказательство.

  Около 1665, Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, чтобы разрешить действительные показатели степени, отличные от неотрицательных целых чисел. Вместо того, чтобы сразу показать вам результат, я попытаюсь дойти до него вместе с вами с помощью некоторых простых аргументов.

  Мы хотим рассмотреть возможность того, что n в приведенной выше формуле будет действительным числом. Вместо этого принято называть его r , так что давайте так и сделаем.

  Теперь рассмотрим следующую функцию.

  , где y и r — постоянные действительные числа.

  Мы хотим найти его ряд Тейлора. Напомним, что ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f вокруг точки c равен

  . Если мы выберем c = 0, то получим ряд Маклорена для f :

  Если мы начнем с простого дифференцирования f пару раз и оценим производные в 0 , мы быстро обнаружим закономерность.

  и вообще, мы получаем k -ю производную, оцениваемую в 0, как

  Подстановка этого выражения в формулу ряда Тейлора дает нам следующее тождество: эта формула сводится к биномиальной формуле в биномиальной теореме. Это обобщенная биномиальная теорема Ньютона. Он позволяет даже комплексные числа, но в этой статье нам это не нужно.

  На самом деле это доказательство как биномиальной теоремы, так и ее обобщения Ньютоном. Однако нужно быть немного осторожным. Этот ряд действителен только в том случае, если он сходится. Так что будьте осторожны, какие числа вы подставляете.

  Теперь, как мы можем это использовать? Давайте воспользуемся этим, когда r = -1 и y = 1 , и заменим x на -x . В этом случае мы получаем

  А вы знали! Мы получили выражение в закрытой форме для известного геометрического ряда. Конечно, мы требуем, чтобы |х| < 1 для сходимости этого ряда, тогда как для левой части x может быть любым комплексным (включая вещественное) числом, кроме 1 .

  Допустим, вы оказались на необитаемом острове и вам нужно с определенной точностью вычислить квадратный корень из 2 . Я знаю… это надумано, но потерпите немного. Ну, вы можете использовать нашу обобщенную биномиальную формулу.

  , и вы, конечно, можете добавлять все больше и больше дробей, пока не будете удовлетворены точностью. Не буду врать, это будет долгий день на пляже. Ряд сходится довольно медленно, но вы хоть может сделать это с , если вы достаточно упрямы (и неплохо разбираетесь в арифметике).

  Все мы учились в школе, что кинетическая энергия выражается формулой

  , где м — масса, а v — скорость движущегося тела, и действительно эта формула привела человека на Луну!

  Эту классическую формулу можно показать разными способами. Например, мы знаем, что энергия равна силе, умноженной на расстояние, верно? То есть E = F × s. Теперь, по второму закону движения Ньютона, F = ma, , поэтому E = m a × s . Мы также знаем из уравнений движения Ньютона, что с = 1/2 a t² , где a — ускорение, а t — время. Подстановка этого выражения для s в уравнение энергии дает нам E = 1/2 м a² t² = 1/2 м (at)² = 1/2 м v² .

  Однако, когда ситуация становится экстремальной, например, когда тело движется со скоростью, близкой к скорости света, эта формула перестает действовать. На самом деле он не корректен даже на низких скоростях, но аппроксимация на малых скоростях настолько хороша, что мы не можем толком измерить разницу.

  Оказывается, эта формула - всего лишь главный член ряда, дающего нам правильную формулу для кинетической энергии! И хорошая новость заключается в том, что мы можем найти эту формулу, используя нашу обобщенную биномиальную теорему.

  В своей предыдущей статье я писал о специальной теории относительности Эйнштейна, и если вы пропустили ее, вы можете найти ее здесь:

  Понимание специальной теории относительности Эйнштейна

  И вывод самого красивого уравнения в физике с нуля

  www.cantorsparadise.com

  В этой статье мы вывели формулу кинетической энергии и знаменитую формулу E = mc² .

  Я кратко упомянул, что мы можем представить полную энергию в виде ряда, но давайте посмотрим, что произойдет, если нас интересует только кинетическая энергия. В приведенной выше статье мы вывели следующую формулу для кинетической энергии:

  Используя нашу обобщенную биномиальную теорему, мы видим, что

  Проделав небольшую алгебру, мы фактически получаем полный ряд в виде следующего красивого выражения

  Фантастически красивая формула или нет???

  Используя этот результат, мы теперь можем написать нашу формулу для кинетической энергии, заменив x выше на v²/c² и подставив этот ряд в выражение для релятивистской кинетической энергии. Мы получаем

  . Мы замечаем, что первый член в ряду равен 1 и, следовательно, сокращается с -1 в формуле кинетической энергии, а c² сокращается с c² в ряду, поэтому мы получаем

  Обратите внимание, что теперь мы начинаем индекс с k=1 вместо k=0.

  Это выражение, дамы и господа, является истинной формулой кинетической энергии. Неудивительно, почему наши учителя физики не дали нам это на доске и не сочинили стишок для этого прекрасного зверя! Удачи с этим…

  Когда мы расширяем это, мы видим, что оно напоминает классическую формулу для кинетической энергии на низких скоростях:

  Это потому, что когда v намного меньше, чем c , сумма остальных бесконечных членов становятся пренебрежимо малыми, т.е. очень близкими к 0 . Но на самом деле, если скорость становится большой, то нам нужна пара дополнительных членов для лучшего приближения, и, конечно, чем больше членов, тем более точным будет расчет.

  Я надеюсь, что вам понравилась эта статья и что теперь у вас есть новый инструмент за поясом.

  No related posts.