Что такое целое число? Ответ на webmath.ru
Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Содержание:
- Определение целого числа
- Сложение целых чисел
- Умножение целых чисел
- Вычитание целых чисел
- Деление целых чисел
Определение целого числа
Определение
Целыми числами называются все натуральные числа, все числа противоположные им по знаку и нуль.
Обозначается множество целых чисел $Z$ .
$$Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}$$
Очевидным является такое вложение $N \subset Z$ .
На множестве целых чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
Сложение целых чисел
Суммой двух целых чисел $n$ и$p$ называется целое число$s$, которое вычисляется по правилу:
- если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $s=n+p$ ;
- если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $s=-(|n|+|p|)$ ;
- если $n>0$ и $p \lt 0$ $|n| \geq|p|$ , то $s=|n|-|p|$ ;
- если $n>0$ и $p \lt 0$ $|n| \lt |p|$ , то $s=-(|p|-|n|)$ ;
- если $n \lt 0$ и $p>0$ $|n|>|p|$ , то $s=-(|n|-|p|)$ ;
- если $n \lt 0$ и $p>0$ $|n| \leq|p|$ , то $s=|p|-|n|$ .
Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.
Пример
Задание. Вычислить сумму целых чисел:
$\left.\begin{array}{llll}{1 ) 5+19} & { ;} & {2 ) 5+(-19)} & { ;} & {3 )-5+19} & { ;} \quad 4\end{array}\right)-5+(-19)$
Решение. 1) 1) $5+19=24$
2) первое слагаемое положительное, а второе отрицательное и модуль второго слагаемого больше модуля первого слагаемое, поэтому сумма будет равна
$$5+(-19)=-(|-19|-|5|)=-(19-5)=-14$$
3) первое слагаемое отрицательное, а второе положительное и модуль второго слагаемого больше первого, сумма при этом будет равна
$$-5+19=(|19|-|-5|)=(19-5)=14$$
4) оба слагаемых отрицательные числа, таким образом, их сумма равна
$$-5+(-19)=-(|-5|+|-19|)=-(5+19)=-24$$
Ответ.
$5+19=24$
$5+(-19)=-14$
$-5+19=14$
$-5+(-19)=-24$
Умножение целых чисел
Произведением двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $m$, вычисляемое по правилу:
- если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $m=n \cdot p$ ;
- если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $m=|n| \cdot|p|$ ;
- если $n>0$ и $p \lt 0$ или если $n \lt 0$ и $p>0$ , то $s=-(|n| \cdot|p|)$ ;
- если $n=0$ или $p=0$ , то $m=0$ .
Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.
$1)5 \cdot 9 \quad;\quad 2 ) 5 \cdot(-9) \quad;\quad 3 )-5 \cdot(-9) \quad;\quad 4 ) 5 \cdot 0$
Решение. 1) $5 \cdot 9=45$
2) первый множитель положительный, а второй отрицательный, произведение будет также числом отрицательным:
$$5 \cdot(-9)=-(5 \cdot|-9|)=-(5 \cdot 9)=-45$$
3) оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение число положительное:
$$-5 \cdot(-9)=|-5| \cdot|-9|=5 \cdot 9=45$$
4) при умножении на нуль всегда в результате получаем нуль:
$$5 \cdot 0=0$$
Ответ.
$5 \cdot 9=45$
$5 \cdot(-9)=-45$
$-5 \cdot(-9)=45$
$5 \cdot 0=0$
Вычитание целых чисел
Разностью двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $r$, вычисляемое по правилу
$$r=n+(-p)$$
т.
е. разность двух целых чисел $n$ и $p$ есть сумма целого с числа $n$ и числа $(-p)$ , противоположного числу
$p$. Следовательно, разность вычисляется по правилу сложения двух целых чисел.
Подробнее о вычитании чисел читайте по ссылке.
Пример
Задание. Найти разность чисел:
$1 )-27-13 \quad;\quad 2 ) 27-(-5)$
Решение. По правилу вычитания целых чисел первое выражение примет вид:
$$-27-13=-27+(-13)$$
По правилу сложения целых чисел это равно:
$$-27-13=-27+(-13)=-(|-27|+|-13|)=$$
$$=-(27+13)=-40$$
Второе выражение запишется в виде:
$$27-(-5)=27+(-(-5))=27+5=32$$
Ответ.
$-27-13=-40$
$27-(-5)=32$
Деление целых чисел
Частным от деления целого числа $m$ на целое число $n$ ( $n \neq 0$ ) называется целое число $p$, которое удовлетворяет правилу: $m=n \cdot p$ . О числе $p$ говорят, что оно получено в результате деления числа $m$ на число $n$, и пишут:
$$p=m : n$$
На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима — не для любой пары целых чисел существует частное.
Читать дальше: что такое частное чисел.
Целые числа и действия с ними — что это, определение и ответ
Целые числа – это натуральные числа, им обратные и 0.
Обратные числа – это одинаковые числа с разными знаками (например, 3 и -3).
СРАВНЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ:
Целые числа можно представить на координатной прямой, где справа от нуля находятся положительные числа, а слева от нуля – обратные им, отрицательные:
Числа на такой числовой прямой возрастают слева на право, поэтому глядя на прямую можно сказать, какое числе больше.
Например:
Сравним числа 1 и 4:
Мы знаем, что 4 больше, чем 1 и еще раз убедились в этом с помощью числовой прямой.
\(4 > 1\)
Сравним числа 3 и -1:
Если положительные числа справа от нуля, а отрицательные слева, тогда любое положительное числа будет правее отрицательного, а значит будет больше.
\(3 > — 1\)
Сравним числа -2 и -3:
Конечно, 3 больше 2, но, когда мы смотрим на отрицательные числа, получается, что -2 правее -3, а значит больше.
\(- 2 > — 3\)
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ:
Сложение целых чисел так же можно представить на числовой прямой. Знак «+» означает, что мы двигаемся в положительном направлении (вправо), знак «–» означает, что мы двигаемся в отрицательном направлении (влево).
Например:
Найдем сумму положительных чисел \(1 + 3\). Значит от координаты 1 пройдем 3 отрезка в положительном направлении:
Видим, что \(1 + 3 = 4.\)
Сумма положительных чисел – положительное число.
Найдем сумму отрицательных чисел \(- 1 + ( — 2).\) От координаты -1 пройдем 2 отрезка в отрицательном направлении. При сложении можно опустить знак «+» без изменения знаков слагаемых.
Получилось, что \(- 1 + ( — 2) = — 3\).
Если складываются 2 отрицательных числа, можно просто взять их абсолютные величины без учета знака, сложить, а потом поставить минус, вот так: \(- 1\ + \ ( — 2)\ = — (1\ + \ 2)\ = \ — 3.\)
Сумма отрицательных чисел – отрицательное число.
Найдем разность положительных чисел \(4–2\). Можно представить разность чисел как сумму положительного и отрицательного числа: \(4 + ( — 2).\) В любом случае нужно от координаты 4 пройти в отрицательном направлении 2 отрезка:
Получилось, что \(4–2 = 2.\)
Сумма положительного и отрицательного числа – положительное число, если из большего вычитают меньшее.
Найдем сумму \(2 + ( — 4).\) От координаты 2пройдем 4 отрезка в отрицательном направлении:
Получим, что\(\ 2–4 = — 2.\)
Можно осуществить действия в другом порядке: взять значения чисел без учёта знака (в данном случае 2 и 4), вычесть из большего меньшее (\(4 — 2 = 2\)) и перед результатом поставить знак большего по абсолютной величине числа (4 больше 2, и перед 4 стоит знак минус, значит, в итоге ставим знак минус, получается -2).
Сумма положительного и отрицательного числа – отрицательное число, если из меньшего вычитают большее.
Найдем разность \(1–( — 3).\) Если нужно пройти в отрицательном направлении дважды, то направление движения станет положительным, то есть \(1–( — 3) = 1 + 3:\)
Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.
Найдем сумму двух противоположных чисел \(3 + ( — 3).\) От координаты 3 пройдем 3 отрезка в отрицательном направлении:
Видим, что \(3 + ( — 3) = 0.\)
Сумма двух противоположных чисел \(\mathbf{= 0.}\)
УМНОЖНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ:
Целые числа умножаются и делятся не смотря на знак.
Если перемножались или делились числа с одинаковыми знаками, то в результате получается положительное число. Если перемножались числа с разными знаками, то в результате получается отрицательное число.
Например:
\(3 \bullet 4 = 12\)
\(- 6 \bullet ( — 5) = 30\)
\(7 \bullet ( — 2) = — 14\)
\(- 12 \bullet 3 = — 36\)
Разница между натуральными и целыми числами
Число определяется как любое математическое значение, которое используется для измерения или подсчета некоторых значений. Число в основном используется для математических вычислений. Число может быть любого типа, например, целое число, натуральное число, целые числа, рациональное число, иррациональное число, действительное число и комплексные числа. Десятичная система, которая в основном используется в математике, является одним из типов систем счисления.
Система счисления
Система счисления определяется как представление чисел с использованием цифр или символов. Это система, которая представляет числа. В основном он определяет набор значений, которые должны быть представлены как количество. Числа, используемые в системе счисления, используются как цифры, обычно в диапазоне от 0 до 9.
. Система счисления — это математическая запись для представления чисел с помощью цифр.
Натуральные числа
Другое название натуральных чисел — счетные числа , так как натуральные числа можно считать руками. Натуральные числа составляют часть системы счисления, состоящую из положительных целых чисел, начиная с 1. Эти числа представлены в правой части числовой строки. Пример натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5,…N.
Нуль и отрицательные целые числа не являются частью натуральных чисел. Наименьшее возможное натуральное число равно 1, а наибольшее натуральное число может быть любым бесконечным положительным целым числом. Дроби, десятичные значения, комплексные числа и т. д. не являются натуральными числами.
Примеры натуральных чисел
- 23 — натуральное число, так как это целое положительное число
- -34 — не натуральное число, поскольку оно не является целым положительным числом
- 1,3 — не натуральное число, поскольку это десятичное значение.
- 4/5 не натуральное число, а дробь
Целые числа
Целые числа определяются как числа, которые включают положительные целые числа вместе с нулем, подобно натуральным числам, эти числа представлены справа числовой строки. Наименьшее возможное целое число равно нулю, а наибольшее натуральное число может быть любым бесконечным положительным целым числом. Натуральное число является подмножеством целых чисел, поскольку все натуральные числа являются целыми числами, но все целые числа не являются натуральными числами, за исключением нуля. Дроби, десятичные значения, комплексные числа и т. д. не являются целыми числами, примерами целых чисел являются 0,1, 2, 3, 4, 5,…N. Над целыми числами можно выполнять все арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и т. д.
Примеры целых чисел
- 232 — целое число, так как это положительное целое число
- -314 — не целое число, поскольку это не целое положительное число
- 1,23 — не целое число, поскольку это десятичное значение
- 4 /15 — это не целое число, а дробь
Разница между натуральными и целыми числами
Натуральные числа и целые числа имеют все общие числа, кроме нуля, и это основное различие между ними обоими.
Эта разница делает Натуральные числа счетными в природе.
| Натуральные номера | Целые номера | ||
| . Установка натуральных чисел составляет {1,2,… N} | . Установка целых чисел составляет {0,1,… n} | . Настройка целых номеров составляет {0,1,… N} | . …N} |
| Наименьшее натуральное число 1 | Наименьшее натуральное число 0 | ||
| Все ненулевые положительные целые числа являются частью натуральных чисел | Все положительные целые числа являются частью целых чисел | ||
| Натуральное число является подмножеством целого числа | Целое число является надмножеством натурального числа | ||
| Натуральные числа обозначаются буквой N | Целые числа обозначаются буквой W |
Разница между натуральными и целыми числами, примеры решения
Разница между натуральными и целыми числами очень мала.
Однако понимание разницы между натуральными и целыми числами очень важно.
В этой статье мы узнаем о разнице между натуральными и целыми числами, что такое натуральные числа, что такое целые числа с примерами решения и часто задаваемыми вопросами.
Что такое натуральные числа?
В алгебре натуральные числа — это те числа, которые используются для подсчета и упорядочивания. В общепринятой математической терминологии слова, используемые в разговорной речи для подсчета, называются «количественными числами», а слова, используемые для упорядочивания, — «порядковые числа». Натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1 и бесконечно увеличивающиеся на 1. Ноль не является натуральным числом.
Натуральные числа часто представляются равноотстоящими точками на числовой прямой, как показано на рисунке, бесконечно возрастающими в направлении стрелки. Натуральное число – это любое положительное целое число. Хорошее эмпирическое правило заключается в том, что если вы можете сосчитать его на пальцах, то это натуральное число (хотя двузначные и трехзначные числа тоже включены).
Отрицательные числа нельзя считать натуральными числами.
Например, 356 804 251 — натуральное число, а 356 804 251,5, 2/3 и -23 — нет.
Что такое целые числа?
Любое положительное число без дробной или десятичной части называется целым числом. Это означает, что все целые числа, такие как 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, являются целыми числами. Такие числа, как -3, 2,7 и \(3{1\over{2}}\), даже близко не являются целыми числами.
Целое число, а не отрицательное число (иногда называемое минус-числом), должно быть положительным. Это означает, что он должен иметь значение 0 или больше. Например, целыми числами являются 0, 1, 2 и 3, а -1, -2 и -3 — нет.
Любой дробный элемент не может быть включен в целое число. То есть такие цифры, как 1112, 314 и 756, не являются целыми числами, тогда как 1, 3 и 7 — целыми. В целом числе не может быть десятичных элементов. В результате такие цифры, как 3,4, 7,9 и 11,234, не являются целыми числами, хотя 3, 7 и 11 таковыми являются.
Также читайте о пределах и непрерывности здесь.
Целые числа — это те числа, которые не имеют дробной или десятичной части. Целые числа начинаются с цифры 0 и включают в себя все положительные целые числа от 0 до бесконечности.
Все целые числа являются целыми числами, но не все целые числа считаются целыми числами.
Причина, по которой не все целые числа являются целыми числами, заключается в том, что параметры целого числа включают отрицательные числа. Например, целые числа могут включать такие числа, как -2, -100 и -590. Эти числа не являются целыми числами, потому что они отрицательные.
Ознакомьтесь с другими темами по математике здесь.
Разница между натуральными и целыми числами
Разница между натуральными и целыми числами заключается в следующем:
| Натуральные номера | Целые числа |
| Натуральные числа могут быть определены как основные числа | |
| Натуральные числа могут быть представлены в виде множества как N = {1,2,…n} | Натуральные числа могут быть представлены в виде множества как W = {0, 1,2,…n} |
| Натуральные числа обозначаются буквой N | Целые числа обозначаются буквой W |
| Наименьшее натуральное число — 1 | Наименьшее натуральное число — 0 |
| Все ненулевые положительные целые числа являются частью натуральных чисел часть целых чисел | |
| Натуральное число является подмножеством целого числа | Целое число является надмножеством натурального числа |
| Все натуральные числа считаются целыми числами. | Все Целые числа не считаются натуральными числами. |
Решенные примеры натуральных чисел
Решенный пример: Выбрать все натуральные числа: 98, 56, -8, 0,78, \sqrt{2}, 34, 5.6, 2.
Решение:
Натуральное число — это любое положительное целое число.
Таким образом, натуральными числами являются: 98, 56,34, 2.
Решено Пример: Решите следующее, чтобы найти x, такой, что x является натуральным числом.
30x < 600
Решение:
30x < 600
x < 600 / 30
x < 20
Следовательно, 1 ниже, x — любое натуральное число , … 20}
Надеюсь, эта статья о разнице между натуральными и целыми числами была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Разница между натуральными и целыми числами Часто задаваемые вопросы
В.1 В чем разница между натуральными и целыми числами?
Ответ 1 Натуральные числа состоят исключительно из положительных целых чисел и находятся в диапазоне от 1 до бесконечности. С другой стороны, целые числа включают 0 и натуральные числа, начинаются с 0 и заканчиваются бесконечным значением. Натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1 и бесконечно увеличивающиеся на 1.
Ноль не является натуральным числом. Любое положительное число без дробной или десятичной части называется целым числом. Это означает, что все целые числа, такие как 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, являются целыми числами. Целое число, а не отрицательное число (иногда называемое минус-числом), должно быть положительным. Это означает, что он должен иметь значение 0 или больше.
Q.2 Что такое натуральные числа?
Ответ 2 Натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1 и бесконечно увеличивающиеся на 1. Ноль не является натуральным числом. Натуральные числа часто представляются равноотстоящими точками на числовой прямой, как показано на рисунке, бесконечно возрастающими в направлении стрелки. Натуральное число – это любое положительное целое число. Хорошее эмпирическое правило заключается в том, что если вы можете сосчитать его на пальцах, то это натуральное число (хотя двузначные и трехзначные числа тоже включены). Отрицательные числа нельзя считать натуральными числами.
В.3 Почему ноль — это целое число?
Ответ 3 Поскольку ноль не является ни отрицательным, ни положительным, это нейтральное целое число, которое находится в середине числовой строки между положительными и отрицательными числами. В результате ноль становится целым числом. Из-за своей нейтральной тенденции на числовой прямой оно не считается натуральным числом. У каждого целого числа, за исключением 0, есть ровно один непосредственный предшественник — число, стоящее перед ним. Кроме того, этот ноль устанавливает только самое фундаментальное различие между набором натуральных чисел и набором целых чисел.
В.4 Являются ли целые числа и натуральные числа одним и тем же?
Ответ 4 Натуральные числа состоят полностью из положительных целых чисел и находятся в диапазоне от 1 до бесконечности. С другой стороны, целые числа включают 0 и натуральные числа, начинаются с 0 и заканчиваются бесконечным значением. Натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1 и бесконечно увеличивающиеся на 1. Ноль не является натуральным числом. Любое положительное число без дробной или десятичной части называется целым числом. Это означает, что все целые числа, такие как 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, являются целыми числами. Целое число, а не отрицательное число (иногда называемое минус-числом), должно быть положительным. Это означает, что он должен иметь значение 0 или больше.
В.5 Что такое целые числа?
Ответ 5 Целое число, а не отрицательное число (иногда называемое минус-числом), должно быть положительным.