Неравенства знаки: Знаки неравенств — урок. Алгебра, 8 класс.

Неравенства. Знаки «»

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

к учебнику «математика» 1 класс
по программе «Гармония»
Н.Б. Истоминой.

2. Цели урока:

• Познакомить со знаками «< » «>»;
с понятием неравенство;
• Учиться сравнивать числа с
помощью знаков «< » «>».

3. Неравенство

В математике вместо слова «больше»
между числами ставят знак «>», а вместо
слова «меньше» – знак «< ».
Неравенство
Уголок знака всегда указывает на
меньшее число.

4. Работаем с предметами.

5. Сравни. Какой предмет больше?

><
Нажми на знак

6. Сравни. Какой предмет меньше?

><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
<>
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак
Сравни количество предметов на картинках.
Подбери правильный знак.
><
Нажми на знак

15. Работаем с числами.

16. Рассмотрите числовой луч.

<
>
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Запомни: Чем ближе число к нулю, тем
оно меньше.
Соответственно, чем дальше число от
нуля, тем оно больше

17. Выражения, в которых используются знаки «< » «>» называют – неравенствами.

Рассмотри запись. Замени слова «больше»
и «меньше» на знаки «<» «>»
5 меньше
5<6 6
7 больше
7>3 3
6 больше
6>0 0
3 меньше
3<7 7
2 меньше
2<9 9
9 больше
9>7 7
Выражения, в которых используются
знаки «< » «>» называют – неравенствами.

18. Выбери числа больше 4

Нажми на число
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Выбери числа больше 4

19. Для этого выбери числа меньше 5.

Подбери ключи к двери.
8 1 6 5 4 10 2 7 0 3 9
Нажми на
число
Для этого выбери числа меньше 5.
>
<
5
Выбери верный знак и запиши получившиеся неравенства.

20. Найди неверное неравенство на вагончиках паровозика и он продолжит свой путь.

4>2
Молодцы!
2<4
Нажми на
паровозик

21. Чтобы узнать кто здесь живет найди числа меньше 6

Нажми на число
Сравни числа. Поставь
правильно знак
4
Нажми на знак
<
6
Сравни числа. Поставь
правильно знак
>
Нажми на знак
7
3
Сравни числа. Поставь
правильно знак
5
Нажми на знак
<
9
Сравни числа. Поставь
правильно знак
>
Нажми на знак
8
1
Сравни числа. Поставь
правильно знак
3
Нажми на знак
<
4
• Автор: Аксенова Нина Вадимовна,
учитель начальных классов МОУ «СОШ
№ 26» г. Энгельса Саратовской области
[email protected]
«Вы скачали эту презентацию на сайте — viki.rdf.ru»

English     Русский Правила

Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Тема 8: Неравенства

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств.

Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: a=b, a<b, a>b.

Пример 1. Сравним обыкновенные дроби 58 и 47.

Для этого приведем их к общему знаменателю: 58=3556; 47=3256.

Так как 35>32, то 58>47.

Пример 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675.

Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра 4, а во второй – цифра 5. Так как 4<5, то 3,6748<3,675.

Пример 3. Сравним обыкновенную дробь 920 и десятичную дробь 0,45. Обратив дробь 920 в десятичную, получим, что 920=0,45.

Пример 4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, -15>-23.

В зависимости от вида числа мы использовали тот или иной способ сравнения. Но есть универсальный способ сравнения, который охватывает все случаи.

Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число. Если разность а-b = 0, то числа а и b равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.

Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.

1. Если a>b, то b<a, если a<b, то b>a.

   Действительно, если разность a-b – положительное число, то разность b-a – отрицательное число, и наоборот.

2. Если a<b и b<c, то а<c.

   Докажем, что разность а-с – отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и –b и сгруппируем слагаемые:

   а-с = а-с+b-b = (а-b)+(b+c).

   По условию а<b и b<c. Поэтому слагаемые а-b и b-c – отрицательные числа.

   Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а<c.

3. Если a<b и c – любое число, то а+с<b+c.

   Преобразуем разность (а+с)-(b+c) = а-b

   По условию а<b, поэтому a-b – отрицательное число. Значит, и разность (а+с)-(b+c) отрицательна. Следовательно, a+c<b+c.

   Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

4. Если a<b и c – положительное число, то aс<bс. Если a<b и c – отрицательное число, то aс>bc.

   Представим разность ас-bc в виде произведения: ас-bc = с(а-b).

   Так как a<b, то a-b – отрицательное число. Если с>0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас<bc. Если с<0, то произведение с(а-b) положительно, и, следовательно, ас>bc.

   Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.

   Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

   Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

   s

5. Если а и b – положительные числа и а<b, то 1a>1b.

   Разделим обе части неравенства a<b на положительное число ab: aab<bab. Сократив дроби, получим, что 1b<1a, т.е. 1а>1b.

   Приведем пример использования рассмотренных свойств неравенств.

   Пример 5. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2<a и a<54,3, и запишем результат в виде двойного неравенства.

   54,2·3 < 3a < 54,3·3,

   162,6 < 3a < 162,9.

   Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм.

   Рассмотрим теперь, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.

6. Если a<b и c<d, то a+c<b+d.

   Прибавив к обеим частям неравенства a<b число с, получим а+с<b+с. Прибавив к обеим частям неравенства с<d число b, получим b+c<b+d.

   То есть а+с<b+с<b+d. Из этого следует, что a+c<b+d.

   Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

7. Если a<b и c<d, где а,b,c,d – положительные числа, то ac<bd.

   Умножим обе части неравенства a<b на положительное число с, получим ac<bс. Умножив обе части неравенства c<d на положительное число b, получим bc<bd. Получим ac<bс<bd. Следовательно ac<bd.

   Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

   Из этой теоремы следует, что

   Если числа а и b положительны и a<b, то aⁿ<bⁿ, где n – натуральное число.

   Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.

   Пример 6. Известно, что 15<x<16 и 2<y<3. Требуется оценить сумму х+у, разность х-у, произведение ху и частное х/у.

   Сложим почленно неравенства 15<x<16 и 2<y<3, получим 17<x+y<19.

   Оценим разность. Для этого умножим 2<y<3 почленно на (-1). Получим -3<-y<-2.

   Теперь сложим почленно неравенства 15<x<16 и -3<-y<-2. Получим 12<x-y<14.

   Оценим произведение ху. Перемножим почленно неравенства 15<x<16 и 2<y<3. Получим 30<xy<48.

   Оценим частное. Для этого сначала запишем неравенство для 1у. Получится 13<1y<12. Теперь перемножим почленно 15<x<16 и 13<1y<12. Получим 5<xy<8.

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Простое примечание о символах неравенства

В математике неравенство представляет собой математическое выражение, в котором стороны не равны. Если отношение делает неодинаковое сравнение между выражениями или двумя числами, то это известно как неравенство в математике.

• В этом примере знак равенства «=» в выражении заменяется любым из символов неравенства, например символом больше, чем (>), намного меньше, чем символ (<), больше или равно символу (≥), меньше или идентично символу (≤) или больше не совпадает с изображением (≠). Исключительными формами неравенств в математике являются полиномиальное неравенство, рациональное неравенство и абсолютное неравенство.

• Символы «<» и «>» обозначают строгие неравенства, а символы «≤» и «≥» обозначают слабые неравенства.

Строгое неравенство

Неравенство является строгим, если замена любых знаков «меньше» и «больше» на одинаковые знаки никоим образом не дает истинного выражения. Например, x<=y не является строгим, тогда как x (больше чем) или < (меньше чем). То есть строгое неравенство — это неравенство, не имеющее условий равенства. Например, a>1 — строгое неравенство. Но a>=1 не всегда является строгим неравенством.

Примером хорошо известного строгого неравенства является неравенство треугольника, которое утверждает, что в невырожденном треугольнике ABC выполняется следующее соотношение: al Неравенство, которое утверждает что если х является реальной величиной, то х2 >= ноль. Это неравенство не всегда является строгим, так как имеет случай равенства: пока x = ноль, x2 = 0.

Неравенство слабости

Математические выражения, содержащие наиболее эффективные ‘≤’ или ‘≥’, называются неравенствами слабости.

Экземпляр: 2x + 8 ≤ 9 , 2x+ 4y ≥ 6

В приведенных выше примерах 2x + 8 ≤ 9 — это линейное неравенство с одной переменной, поскольку «x» — лучшая переменная, присутствующая в выражении.

Кроме того  2x+ 4y ≥ 6, является линейным неравенством в переменных из-за того, что в выражении присутствуют переменные «x» и «y».

Некоторые моменты, связанные со строгим и слабым неравенством 

• Неравенство описывает отношение между двумя уникальными значениями.

• Обозначение xy означает, что x строго больше y по размеру.

• Обозначение x ≤ y означает, что x меньше или равно y, а обозначение

x ≥ y означает, что x больше или равно y.

• Неравенства особенно полезны для решения проблем, связанных с минимальными или максимальными возможными значениями.

• Если каждую часть строгого или слабого неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то полученное неравенство будет истинным.

• Если каждую сторону строгого или слабого неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то направление полученного неравенства изменится.

Символ строгого неравенства меньше чем символ Подобно тому, как уравнения используют знак равенства =, чтобы показать, что значения равны, неравенства используют знаки, чтобы показать, что значения не идентичны, и объяснить их взаимосвязь. Символами строгого неравенства являются

< и >.

Строгие неравенства колеблются от обозначения а, не равного b, из-за этого, что а не равно b. Символ «не равно» теперь не говорит о том, что одно значение больше другого или даже о том, что их можно сравнивать по длине.

В двух видах строгих неравенств a не совпадает с b. Для оценки шкалы значений существуют типы отношений:

1. Обозначение x < y подразумевает, что x меньше y.

2. Обозначение x > y подразумевает, что x больше y.

Заключение 

Любые математические выражения, содержащие только символы < или >, называются строгими неравенствами. Принимая во внимание, что любые математические выражения, которые включают символы ≤ или ≥, как известно, являются слабыми неравенствами. Здесь мы подробно обсудили слабое неравенство и строгое неравенство. Мы также обсудили несколько важных фактов, связанных с слабым и строгим неравенством. Строгое неравенство — это отношение, которое содержит значения, когда они одного вида.

Символы неравенства

Символы неравенства — это символы, которые используются для обозначения отношений неравенства. Вместе с другими математическими символами, такими как знак равенства (=), который указывает на отношение равенства, их иногда называют символами отношения.

Строгие неравенства включают менее () символов, описанных ниже. Хотя знак равенства технически не является символом неравенства, он обсуждается вместе с символами неравенства, поскольку он включен как часть нестрогих неравенств, таких как больше или равно (≥) и меньше или равно (≤) .

Знак равенства: =

Знак равенства, обозначенный символом «=», указывает на равенство. Выражения по обе стороны от знака равенства либо имеют одинаковое значение, либо имеют одинаковое значение для определенных значений. Равенство (как и неравенство) является основой для решения алгебраических уравнений и неравенств.

2 = 2

5 + 3 = 1 + 7

x = x

Все приведенные выше уравнения верны. В случаях, когда значения не равны, мы можем использовать ряд различных символов неравенства, например, знак не равно.

Знак не равно: ≠

Знак не равно, также называемый знаком не равно, представляет собой символ, указывающий на неравенство значений или выражений по обе стороны от символа.

12 ≠ 17

x ² ≠ x ³

x — 7 ≠ x + 7

не говорите нам многого, кроме этого выражения по обе стороны от символа не равны. Существуют и другие, более конкретные отношения неравенства, подобные приведенным ниже.

Знак «больше»: >

Знак «больше» — это символ, указывающий на строгое неравенство между двумя значениями; в частности, что значение слева от знака «больше» больше, чем значение справа. Больше — это строгое неравенство, означающее, что значение слева от знака должно быть больше значения справа; они не могут быть равны. Допустимы следующие варианты использования знака «больше»:

5 > 4

x ² > x

x + 12 > x + 7

Как правило, при заданном

a > b

a должно быть больше b. Таким образом, если бы b было равно 4, то а могло бы быть любым значением больше 4, но не 4. В случаях, когда а также может равняться 4, вместо этого мы использовали бы знак больше или равно.

Знак «больше» или «равно»: ≥

Знак больше или равно — это символ, указывающий, что значение в левой части символа больше или равно значению справа. Это также можно прочитать, поскольку значение в левой части как минимум равно значению в правой части. Учитывая

a ≥ b

a может равняться b, в отличие от знака больше. Это связано с тем, что ≥ не означает строгого неравенства. Это единственная разница между «>» и «≥».

Знак меньше:

Знак «меньше» соответствует знаку «больше». Это указывает на строгое неравенство между двумя значениями; в частности, значение слева от знака «меньше» меньше значения справа. Ниже приведены допустимые варианты использования знака «меньше»:

3

х ² 4

х — 12

Как правило, учитывая

а

значение a должно быть меньше значения b. Они не могут быть равны. Если мы хотим обозначить, что a может быть меньше или равно b, мы должны вместо этого использовать знак меньше или равно (≤).