Неравенство дробей: Дробные рациональные неравенства

Решение линейных неравенств | Алгебра

Рассмотрим решение линейных неравенств на конкретных примерах.

   

Как и в случае линейных уравнений, решение линейных неравенств с дробями  удобно начинать с приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель здесь равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби. После умножения обеих частей неравенства на наименьший общий знаменатель знаменатели сокращаются и остается целое выражение

   

Как показывает практика, лучше не торопиться и записать произведение дополнительных множителей и числителей с помощью скобок:

   

только после этого раскрывать скобки

   

и приводить подобные слагаемые

   

Неизвестные — в левую часть, известные — в правую с противоположными знаками:

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку — 5 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:

   

   

   

Неравенство нестрогое, поэтому на числовой прямой 4,2 отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от 4,2 идёт вправо, на плюс бесконечность: 

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, 4,2 записываем в ответ с квадратной скобкой:

Ответ:

   

   

Умножаем обе части на наименьший общий знаменатель 20. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

   

Раскрываем скобки

   

Приводим подобные слагаемые

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 31 — положительное число, знак неравенства не изменяется.

   

   

Поскольку неравенство строгое, 1 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. Штриховка от 1 уходит вправо, на плюс бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 1 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

   

   

Умножаем обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 18. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

   

Раскрываем скобки

   

Приводим подобные слагаемые

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

   

   

Обратите внимание: хотя разность в левой части неравенства равна нулю, пишем 6x-6x=0x.

Получили частный случай линейного неравенства. Какое бы число мы не подставили вместо x, левая часть неравенства равна нулю. Неверно, что нуль меньше отрицательного числа -23. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: x ∈ Ø.  (решений нет).

   

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 8.

   

Раскрываем скобки

   

Приводим подобные слагаемые

   

Неизвестные переносим в одну сторону неравенства, известные — в другую с противоположным знаком

   

   

Получили частный случай линейного неравенства. Неравенство верно при любом значении x.

Ответ:

   

(или: x — любое число).

Рубрика: Линейные неравенства | Комментарии

Решение неравенств, содержащих линейные функции в числителе дроби в левой части

Решение неравенств, содержащих линейные функции в числителе дроби в левой части

Решение неравенств, содержащих линейные функции в числителе дроби в левой части Перенесем все в левую часть. Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены. Выносим знак минус из произведения. Следующее неравенство равносильно предыдущему. Изменим знаки выражений на противоположные. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. При делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется. Полученное решение отметим на рисунке. Указываем окончательный ответ: . Решим еще одно подобное неравенство: Перенесем все в левую часть. Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки Приводим подобные члены Изменяем порядок действий. Разложим числитель дроби на множители. Следующее неравенство равносильно предыдущему. При делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется. Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. Полученное решение отметим на рисунке. Окончательный ответ: Решим неравенство, в которой будет переменная а Перенесем все в левую часть. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Следующее неравенство равносильно предыдущему. Изменим знаки выражений на противоположные. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. Полученное решение отметим на рисунке. Указываем окончательный ответ:

PHP

Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства

Другое

Логарифмические, показательные уравнения , неравенства

Начала анализа

Планиметрия

Прогрессии

Стереометрия

Текстовые задачи

Тригонометрия

Числа и выражения

Неравенства с дробями

Грубо говоря, неравенства с дробями — это неравенства с одной или несколькими дробями, в которых неизвестная переменная (например, ) встречается в знаменателе или как в числителе, так и в знаменателе.
Сначала изучите тему «Уравнения с дробями», прежде чем продолжить эту тему о неравенствах.
В следующих примерах показано, как решать эти типы неравенств.

Пример 1

Решите:

Это простой пример. Числитель в левой части всегда положительный, тогда дробь будет положительной, если знаменатель также положителен.

Таким образом, дробь больше, чем если:

поэтому если:

Пример 2

Решите:

Решение этого неравенства найти немного сложнее. Дробь меньше, чем для тех значений, для которых числитель положительный, а знаменатель отрицательный, или наоборот. Но мы должны сделать больше.
Удобный подход заключается в следующем. Для каждого множителя как в числителе, так и в знаменателе проведите так называемую числовую прямую. Для каждого фактора найдите значения, при которых он положителен, равен или отрицателен.

В данном случае мы делаем это для факторов и .

—————————-(1)+++++++

—————(-2) ++++++++++++++

частное ++++++++(-2) ———(1)+++++++

Первая числовая строка показывает, что для , для и для ; вторая числовая строка показывает, что для , для  и для.

Третья строка является результатом двух других. Мы имеем дело с дробями и поэтому смотрим на результаты делений через определенные промежутки: , ,  и  . В этом случае мы получаем: для дроби положительна ; потому что дробь отрицательна, а для дробь снова положительна.
Этот метод довольно прост, и его также можно применять, если задействовано больше факторов, как мы можем видеть в следующем примере.
Приведенное выше неравенство выполняется для .

Пример 3

Решите:

Заметим, что числитель может быть записан следующим образом:

и, таким образом, мы должны решить:

Снова проводим числовую прямую для каждого множителя. Убедитесь, что цифры , , занимают правильные позиции.

х+2 ———-(-2)++++++++++++++++++

x-1 ————————————(1)+++++

x+1 ———————(-1)+++++++++ ++++

результат ———(-2)+++(-1)———-(1)++++++

Неравенство выполняется для:

или

Пример 4

Решите:

Этот пример несколько сложнее, потому что нужно складывать или вычитать дроби, прежде чем мы получим правильную форму неравенства.
Переносим дроби в левую часть:

Мы можем вычитать дроби, сделав знаменатели равными:

Теперь мы можем записать неравенство как:

или:

или:

Числитель можно разложить на множители:

2

2

В результате мы должны решить следующее неравенство:

Проведем числовые линии для каждого из четырех множителей (-0,4 и 2,4 являются приблизительными):

   ————-(-0,4)++++++ +++++++++++

   ——————————————(2.4)+++

  ————————————(0)+++++++++++

  ———–(-1)++++++++++++ ++++++++++

результат        +++++++(-1)——(-0,4)++++(0)————–(2,4)+++

Это неравенство выполняется, если:

или

Ранее мы упоминали, что перекрестное умножение дает неверные решения. Мы покажем это ниже.

Перекрестное умножение даст:

Сразу видно, что это неправильный ответ.

Уравнения и неравенства с исключением дробей

• Home /
• Алгебра /
• Уравнения и неравенство /
• Темы /
• Сложные уравнения /
• Устранение Фракции

Устранение

• .
  • Введение
  • Темы
  • Solutions to Equations
  • Solving Equations with One Variable
  • Complicated Equations
  • Simplifying Equations
  • Eliminating Fractions
  • Keeping Both Solutions
  • When You Get Stuck
  • Solving Equations with Multiple Variables
  • Single-Variable Inequalities
  • Решение неравенств
  • В реальном мире
  • Примеры
  • Упражнения
  • Задачи Math Shack
  • Условия
  • Лучшее из Интернета
  • викторины
  • Раздаточный материал
  • Содержание
  •  НАЗАД
  • СЛЕДУЮЩИЙ 

  Ой. .. что они с тобой сделали?

  Если используется много дробей, есть еще один способ упростить уравнение перед его решением: избавиться от дробей. Сметите их, упакуйте в мешки для мусора и выбросьте в залив. Но не совсем, потому что это мусор. Чтобы избавиться от дробей, мы выбираем полезное число и умножаем обе части уравнения на это число. Это число полезно, если при умножении удаляются все дроби.

  Кроме того, если число достаточно хорошо справляется с очисткой дробей, может быть, мы увидим, как оно работает с нашей спальней.

  Пример задачи

  Решите уравнение .

  Способ 1: Вычтите ² / ₃ с каждой стороны так, чтобы , затем упростите эту правую сторону.

  Способ 2: Найдите ЖК дробей — в данном случае 6. Умножьте левую часть уравнения на 6, а правую часть уравнения на 6, чтобы получить:

  Оу. Столько дробей и скобок, надо бы упростить этот лох. К счастью, это упрощается до:

  4 + 6 x = 1

  Гораздо лучше.

  No related posts.