Кто-нибудь может помочь мне это сделать?
- комбинаторика
- многочлены
$\endgroup$
$\begingroup$
Просто найдите либо $\binom{n}{3}=1330$, либо $\binom{n}{4}=5985$. Я бы выбрал первый, так как он в конечном итоге потребует решения кубического полиномиального уравнения , а не последнего, который заканчивается 93$ равно 1330, тогда это должно быть $\dbinom{n}{3}$; аналогично, 5985 должно быть $\dbinom{n}{4}$. Теперь запишите определение $\dbinom{n}{3}$ в явном виде. Вы должны быть в состоянии взять его оттуда.
$\endgroup$
$\begingroup$
Известная информация говорит вам, что
$$
{n\выберите 3} = 1330, {n\выберите 4} = 5985.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Биномиальная теорема – объяснение и примеры
Многочлен – это алгебраическое выражение, состоящее из двух или более вычитаемых, сложенных или перемноженных членов. Многочлен может содержать коэффициенты, переменные, показатели степени, константы и операторы, такие как сложение и вычитание. Есть три типа многочленов, а именно мономиальные, биномиальные и трехчленные.
Одночлен — это алгебраическое выражение, содержащее только один член, а трехчлен — это выражение, содержащее ровно три члена.
Что такое биномиальное выражение?
В алгебре биномиальное выражение содержит два члена, соединенных знаком сложения или вычитания. Например, (x + y) и (2 – x) являются примерами биномиальных выражений.
Иногда нам может понадобиться расширить биномиальные выражения, как показано ниже.
( a + b ) 0 = 1
( a + b ) 1 = a + b
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + б 3
( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4
( a + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 и 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5
Вы поняли, что расширение биномиального выражения путем прямого умножения, как показано выше, довольно громоздко для более крупных и экспонентных выражений, как показано выше.
В этой статье мы узнаем, как использовать биномиальную теорему для расширения биномиального выражения без необходимости умножать все на длинном пути.
Что такое биномиальная теорема?
Следы биномиальной теоремы были известны людям с 4 -й век до н.э. Бином для кубов использовался в 6 -м -м веке нашей эры. Индийский математик Халаюдха объясняет этот метод, используя треугольник Паскаля в 10 -м -м веке нашей эры.
Четкая формулировка этой теоремы была сформулирована в 12 -м -м веке. Математики довели эти выводы до следующего этапа, пока сэр Исаак Ньютон не обобщил биномиальную теорему для всех показателей в 1665 году. +б) n на несколько терминов.
Mathematically, this theorem is stated as:
(a + b) n = a n + ( n 1 ) a n – 1 b 1 + ( n 2 ) A N — 2 B 2 + ( N 3 ) A N — 3 B 3 + ……… + B N
3 + ……… + B N
3 +… 1 ), ( n 2 ), … — биномиальные коэффициенты.
Основываясь на приведенных выше свойствах биномиальной теоремы, мы можем вывести биномиальную формулу следующим образом: n – 1)/2!] a n – 2 b 2 + [n (n – 1) (n – 2)/ 3!]a n – 3 b 3 + ………+ b n
В качестве альтернативы мы можем выразить биномиальную формулу следующим образом:
(a + b) n = n C 0 a n + n C 1 a n – 1 b + n C 2 a n – 2 b 2 + n C 3 a n – 3 b 3 + ………. + n C n b n
Где ( n r ) = n C r = n! / {р! (n – r)!} и (C) и (!) – комбинации и факториал соответственно.
Например:
- 3! = (3)(2)(1) =6
- 5! = (5)(4)(3)(2)(1) =120
- 4! /2! = (4)(3)(2)(1)/(2)(1) = 12
- 10 С 6 = 10! / (10 – 6)! 6! = 10! / 4! 6! = (1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 х 8 х 9 х 10) / 1 х 2 х 3 х 4 х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 = 7 х 8 х 9 х 10 /1 x 2 x 3 x 4 = 7 x 3 x 10 = 210
Как использовать биномиальную теорему?
Есть несколько вещей, которые вам нужно помнить, применяя биномиальную теорему.
Это:
- Показатели первого члена (a) уменьшаются от n до нуля
- Показатели второго члена (b) увеличиваются от нуля до n
- Сумма показателей показателей a и b равна n.
- Коэффициенты первого и последнего членов равны 1.
Давайте воспользуемся биномиальной теоремой для некоторых выражений, чтобы на практике понять теорему.
Пример 1
Расширение (A+B) 5
Решение
⟹ (A+B) 5 = A N + ( 5 1 ) a 5– 1 b 1 + ( 5 2 ) a 5 – 2 b 2 + ( 5 3 ) a 5– 3 b 3 + ( 5 4 ) a 5– 4 b 4 + b 5
= a 5 + 5 a 4 б + 10 а 3
б 2 + 10 а 2 B 3 + 5 AB 4 + B 5Пример 2
Expand ( x + 2) 6
( x + 2) 6
.
Решение
Учитывая a = x;
b = 2 и n = 6
Подставить значения в биномиальную формулу )/2!] а п – 2 b 2 + [n (n – 1) (n – 2)/ 3!]a n – 3 b 3 + ………+ b n
⟹ (x + 2) 6 = x 6 + 6x 5 (2) 1 + [(6)(5)/2!] (x 4 ) (2 2 ) + [(6)(5) (4)/3!] (x 3 ) (2 3 ) + [(6)(5)(4)(3)/4!] (x 2 ) (2 4 ) + [(6)(5)(4)(3)(2)/5!] (x) (2 5 ) + (2) 6
= x 6 + 12x 5 + 60x 4 +160x 3 + 240x 2 + 192x + 64
Example 3
Use the binomial theorem to expand (2 x + 3) 4
Solution
By сравнивая с биномиальной формулой, получаем
a = 2x, b = 3 и n = 4.
Подставляем значения в биномиальную формулу.
⟹ (2x + 3) 4 = x 4 + 4(2x) 3 (3) + [(4)(3)/2!] (2x) 2 (3) 2 + [(4)(3)(2)/4!] (2x) (3) 3 + (3) 4
= 16 x 4 + 96x 3 + 216x 2 + 216x + 81
Пример 4
Найти расширение (2x — y) 4
Раствор
(2x – Y) 40417
(2x – Y) 40417
(2x – Y)
(2x – Y) . ) + (−y) 4 = (2x) 4 + 4(2x) 3 (−y) + 6(2x) 2 (−y) 2 + 4(2x) (− у) 3 + (−y) 4
= 16x 4 − 32x 3 y + 24x 2 y 2 − 8xy 3 + y 4
Example 5
Используйте биномиальную теорему для расширения (2 + 3x) 3
Решение
Сравнивая с биномиальной формулой,
a = 2; b = 3x и n = 3
⟹ (2 + 3x) 3 = 2 3 + ( 3 1 ) 2 2 (3x) 1 + ( 3 2 ) 2 (3x) 2 + (3x) 3
= 8 + 36x + 54x 2 + 27x 3 994
4949494 45559594949494949494945955955955955955955955955955955 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000
Example 6 Expand (x 2 + 2) 6
Solution
(x 2 +2) 6 = 6 C 0 (x 2 ) 6 (2) 0 + 6 C 1 (x 2 ) 5 (2) 1 + 6 C 2 (x 2 ) 4 (2) 2 + 6 C 3 (x 2 ) ) 40094444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444. ). 2) 3 + 6 C 4 (x 2 ) 2 (2) 4 + 6 C 5 (x 2 ) 1
= x 12 + 12 x 10 + 60 x 8 + 160 x 6 + 240 x 4 .