Объем квадрата: Oбъём прямоугольного параллелепипеда — урок. Геометрия, 10 класс.

Формулы площадей и объемов геометрических фигур

	Формулы площадей     1.Площадь многоугольника.     2.Площадь треугольника.     3.Площадь квадрата.     4.Площадь прямоугольника.     5.Площадь параллелограмма.     6.Площадь ромба.     7.Площадь трапеции.     8.Площадь четырехугольника.     9.Площадь круга.     10.Площадь кругового сектора.     11.Площадь эллипса. Формулы объемов     1.Объем куба.     2.Объем параллелепипеда.     3.Объем призмы.     4.Объем пирамиды.     5.Объем усеченной пирамиды.     6. Объем цилиндра.     7.Объем правильной треугольной пирамиды.     8.Объем конуса.     9.Объем усеченного конуса.     10.Объем тетраэдра.     11.Объем шара.     12.Объем шарового сегмента и сектора.
1 2 3 4 5 6 7 8
	Площадь многоугольника
	Рассчитать площадь многоугольника вписанного в круг и описанного около круга
	Площадь треугольника
	Рассчитать площадь треугольника Сторона а      Высота h              S =
	Сторона а     Сторона b      Угол ɣ (0-90°)  °            S =
	Площадь квадрата
	Рассчитать площадь квадрата Сторона а                      S =
	Площадь прямоугольника
	Рассчитать площадь прямоугольника Сторона а      Сторона b              S =
	Площадь параллелограмма
	Рассчитать площадь параллелограмма Сторона а      Высота h              S =
	Площадь ромба
	Рассчитать площадь ромба Сторона а      Угол α (0-90°)  °            S =
	Площадь трапеции
	Рассчитать площадь трапеции Сторона а      Сторона b     Высота h              S =
	Площадь четырехугольника
	Рассчитать площадь четырехугольника Диагональ d1      Диагональ d2     Угол  °            S =
	Площадь круга
	Рассчитать площадь круга, длину окружности Радиус r                   S =    L =
	Площадь кругового сектора, длина дуги
	Рассчитать площадь кругового сектора, длину дуги Радиус R      Угол α (0-360°)  °         S =    L =
	Площадь эллипса
	Рассчитать площадь эллипса Длина полуоси а      Длина полуоси b                 S =
	Репетитор: Васильев Алексей Александрович       Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.   2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.
	Объем куба
	Рассчитать объем и площадь поверхности куба Сторона а                   V =     S =
	Объем параллелепипеда
	Рассчитать объем параллелепипеда Площадь основания S      Высота h                 V =
	Объем призмы
	Рассчитать объем призмы Площадь основания S      Высота h                 V =
	Объем пирамиды
	Рассчитать объем пирамиды Площадь основания S      Высота h                 V =
	Объем усеченной пирамиды
	Рассчитать объем усеченной пирамиды Площадь S1      Площадь S2     Высота h                  V =
	Объем цилиндра
	Рассчитать объем цилиндра Радиус основания R      Высота h                 V =
	Объем правильной треугольной пирамиды
	Рассчитать объем правильной треугольной пирамиды Сторона а     Высота h                    V =
	Объем конуса
	Рассчитать объем конуса Радиус основания R      Высота H                 V =
	Объем усеченного конуса
	Рассчитать объем усеченного конуса Радиус R1      Радиус R2     Высота H                  V =
	Объем тетраэдра
	Рассчитать объем тетраэдра Сторона а                   V =
	Объем шара
	Рассчитать объем и площадь поверхности шара Радиус R                   V =   S =
	Объем шарового сегмента и сектора
	Рассчитать объем шарового сегмента Радиус R      Высота H                 V =
1 2 3 4 5 6 7 8

Формулы объема и площади поверхности многогранников: призма, пирамида, куб, параллелепипед

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	высота
Прямоугольный параллелепипед
Призма
Пирамида

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник),

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

Из прямоугольного имеем:

(по двум катетам), тогда следовательно

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды должна быть в 81 раз меньше, чем Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды

Решение.
Опустим из вершины высоту Н на основание

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно,

Имеем:

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна

Объем пирамиды

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть тогда

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Объем квадратного ящика

LearnPracticeDownload

Объем квадратного ящика — это пространство, занимаемое квадратным ящиком или кубом. Квадратный ящик — это трехмерный твердотельный объект, имеющий форму куба, а куб — ​​трехмерный твердотельный объект с шестью квадратными гранями. Куб также известен как правильный шестигранник и является одним из пяти платоновых тел. В этом разделе мы узнаем об объеме квадратного ящика вместе с несколькими решенными примерами и практическими вопросами.

1.	Каков объем квадратной коробки?
2.	Объем квадратной коробки Формула
3.	Расчет объема квадратной коробки
4.	Часто задаваемые вопросы об объеме квадратной коробки

Каков объем квадратной коробки?

Объем квадратного ящика (V) можно определить как пространство, занимаемое квадратным ящиком или кубом. Мы можем найти объем квадратного ящика, просто зная длину его стороны. Объем квадратного ящика равен кубу длины стороны квадратного ящика.

Формула объема: V = s ³ , где «s» — длина стороны квадратного прямоугольника.

Объем квадратной коробки Формула

Объем квадратной коробки равен кубу длины стороны коробки. Формула объема квадратного ящика: V = s ³ , где s — длина стороны ящика. Мы также можем вычислить объем квадратной коробки или куба, если знаем длину диагонали коробки.

Формула объема квадратной коробки или куба с диагональю ‘d’ равна V = (√3 × d ³ )/9

Расчет объема квадратной коробки

Объем квадратной коробки равен V = s ³ . Следуя шагам, указанным ниже, мы можем найти объем квадратного ящика.

• Шаг 1 : Рассчитайте длину любой стороны коробки.
• Шаг 2 : Найдите куб длины стороны. Или используйте формулу V = (√3 × d ³ )/9, когда известна длина диагонали ‘d’.
• Шаг 3 : Представьте ответ в кубических единицах длины.

Важные замечания по объему квадратного ящика

• Объем квадратного ящика, если дана его сторона s, V = s ³
• Объем квадратного ящика, если дана длина его диагонали d, V = (√3 × d ³ )/9
• Объем квадратного ящика при заданных площади основания и высоте, V = площадь основания × высота

Темы, связанные с объемом квадратной коробки

• Объем призмы
• Объем прямоугольной призмы
• Калькулятор объема куба

 

Решенные примеры для объема квадратного ящика

1. Пример 1: Длина стороны квадратного ящика равна 5 дюймов. Найдите объем квадратного ящика.

   Решение:

   Длина стороны, s = 5 в

   Используя формулу для объема квадратного ящика: V = s ³
   ⇒ V = 5 ³
   ⇒ V = 125

   Ответ: Объем квадратной коробки 125 кубических дюймов.

2. Пример 2: Длина диагонали квадратного прямоугольника составляет √3 единицы. Найдите объем ящика.

   Решение:

   Длина диагонали = √3 единиц

   Используя формулу для объема квадратной коробки: V = (√3 × d ³ )/9
   ⇒ V = [√3 × √(3 ³ )]/9 = 1

   Ответ: Объем ящика равен 1 куб.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по объему квадратной коробки

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об объеме квадратной коробки

Что означает объем квадратной коробки?

Объем квадратного ящика относится к общему пространству, занимаемому квадратным ящиком в трехмерной плоскости. Выражается в кубических единицах.

Как найти объем квадратной коробки тремя способами?

Три способа найти объем квадратного ящика следующие:

• Метод 1: Используя формулу объема с заданной длиной ребра: V = s ³
• Метод 2: Используя формулу объема, где дана длина диагонали: V = (√3×d ³ )/9
• Метод 3: Умножение площади основания на высоту объекта: V = площадь основания × h

Какова формула объема квадратной коробки?

Объем квадратной коробки можно рассчитать, используя длину стороны коробки. Объем квадратной коробки равен s ³ , где s — длина коробки.

Объем квадратной коробки измеряется в квадратных единицах?

Нет, объем квадратного ящика не измеряется в квадратных единицах, а рассчитывается в кубических единицах с использованием таких единиц, как см ³ , ³ , м ³ , фут ³ и т. д.

Что такое квадратная коробка?

Трехмерный объект с шестью квадратными гранями называется квадратным блоком или кубом.

Сколько вершин в квадратной рамке?

В квадрате 8 вершин. Квадрат — это куб с 8 вершинами, 6 гранями и 12 ребрами.

Сколько граней у квадратной коробки?

Квадрат имеет 6 граней, поэтому он также известен как шестигранник и является одним из платоновых тел.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Volume Worksheet 93$ .

Квадратная коробка — это коробка кубической формы. Таким образом, в квадратной коробке размеры длины, ширины и высоты равны. Квадратный блок — это твердотельный трехмерный объект, который имеет:

• 6 квадратных граней
• 8 вершин
• 12 ребер

Объем — это пространство, занимаемое трехмерной фигурой. Он также определяется как количество единичных кубов (куб со стороной в 1 единицу), которые можно в него поместить.