Окружность в радианах: The page cannot be found

Урок 2. Радианное измерение угловых величин

ВИДЕО УРОК

Помимо градусной меры углов существует так называемая радианная мера. Эта мера широко используется в тригонометрии, в математическом анализе и в его приложениях.

Рассмотрим произвольный положительный угол  α. Возьмём на стороне  ОА  этого угла

 произвольную точку  М, не совпадающую с вершиной  О  угла. Пусть 

– путь, который пройдёт точка  М, если произвести указанный поворот  α  от  ОА  к  ОВ.
Радианной мерой угла  α  называется отношение этого пути к радиусу  ОМ. Радианную меру угла условимся обозначать той же буквой, что и сам угол:

Если  α – отрицательный угол,

то радианной мерой назовём отрицательное число:

Радианная мера угла определяется только углом.

Единицей при радианном измерении углов служит радиан.

Радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна длине радиуса той же окружности.В основе определения радиана – всё равно окружность. Угол в  1  радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L) равна длине радиуса (R).

Соотношение между радианом и градусом.

На рисунке этот малюсенький угол имеет величину  1 градус:Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз ?

 Смотрим следующую картинку. Развёрнутый угол размером в  180°.

А теперь нарежем этот полукруг радианами.

 Видим, что в  180°  укладывается  3  с хвостиком радиана. Этот хвостик – 0,1415926 … .

Действительно, в  180°  укладывается  3,1415926. .. радиан. Всё время писать 3,1415926… неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

π

Вот теперь можно записать приближённое равенство:

180° ≈ 3,14 радиан

Или точное равенство:

180° = π радиан

Определим, сколько градусов в одном радиане. Если в  3,14  радианах  180°  градусов, то в  1  радиане в  3,14  раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула – это тоже уравнение!) на 3,14:

В одном радиане примерно  60°.

Человек видит «Пи» и считает, что это  180°. Но «Пи» – это число! Число  3,14, а никакие не градусы! Это «Пи» радиан = 180°!

Ещё раз: «Пи» – это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как  5  или  8. Можно, к примеру, сделать примерно «Пи» шагов. Три шага и ещё немножко. Или купить «Пи» килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся…

Перевод градусов в радианы и обратно.

Если угол задан в радианах с числом «Пи», всё очень просто. Мы знаем, что

«Пи» радиан = 180°.

Вот и подставляем вместо «Пи» радиан – 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов.

ПРИМЕР:

Нужно выяснить, сколько градусов в угле «Пи»/2 радиан.

Или:

Обратный перевод чуть сложнее. Если угол дан в градусах, мы должны знать, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов.

ПРИМЕР:

Чему равен  1°  в радианах ?

Смотрим на формулу и видим, что если  180° = «Пи» радиан, то  1°  в  180  раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула – это тоже уравнение!) на  180:

Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах.

ПРИМЕР: Или, аналогично:

Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов начисло минут – начисло секунд – наи сложить найденные произведения.

ПРИМЕР:

Выразить в радианах угол, равный  22°30‘.

РЕШЕНИЕ:

Искомое число радианов получим, умноживПРИМЕР:

Найти радианную меру угла  12°30‘  с точностью до четвёртого десятичного знака.

РЕШЕНИЕ:

Умножим  12  на  0,017453 

получим  ≈ 0,2094.

Умножим  30  на  0,000291 

получим  ≈ 0,00873.

12°30‘ ≈ 0,2094 + 0,00873 ≈ 0,2181 рад.

Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной  мере, надо умножить число радиан на(относительная погрешность результата составит 0,0004%, что составляет абсолютной погрешности  5»  для полного оборота  360°).

ПРИМЕР:

Выразить в градусах угол, равный  ^𝜋/₁₂радианов.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

ПРИМЕР:

Найти градусную меру угла  1,4 рад  с точностью до  1‘.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно найдём

1 рад ≈ 57°17‘45»,

0,4 рад ≈ 0,4×57°.296 = 22°.9184,

0°.9184×60 ≈ 55‘.104,

0‘.104×60 ≈ 6».

Таким образом

0,4 рад ≈ 22°55‘6».

И тогда:

1 рад ≈ 57°17‘45»  +  0,4 рад ≈ 22°55‘6»

 = 1,4 рад ≈ 80°12‘51».

После округления этого результата до требуемой точности в  1‘  окончательно получим

1,4 рад ≈ 80°13‘.

В обозначении меры угла в радианах почти всегда опускают слово <<радиан>>.

Таким образом, записи

α = 2, α = ¹/₂, α = ⁷/₉

надо понимать как

α = 2 радиана,

α = ¹/₂ радиана,

α = ⁷/₉ радиана.

ПРИМЕР:

Выразить в градусах угол  α, равный  2.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

α ≈ 57°3 ∙ 2 ≈ 114°6.

Широко распространено соглашение, по которому под словом <<угол>> подразумевают не угол как геометрический образ, а число, измеряющее его в радианах или градусах.

ПРИМЕР:

Угол  ^π/₂, угол  36°, угол  1.

 В частности, в выражениях типа  <<угол поворота>> под словом <<угол>>  понимается обычно мера угла.

Таблица соотношений между градусным и радианным выражениями некоторых углов.

Для облегчения вычислительной работы при переходе от градусной меры угла к радианной и обратно пользуются специальными таблицами.

Отметим, что радианная мера одного полного оборота

 равна:

Если углы измерены в градусах, то один полный положительный оборот будет равен  360°. Отсюда вытекают следующие соотношения:

360° = 2π (≈ 6,2832) радианов,

270° = ^3𝜋/₂ (≈ 4,7124) радианов,

180° = π (≈ 3,1416) радианов,

 90° = ^𝜋/

2 (≈ 1,5708) радианов,

 60° = ^𝜋/₃ (≈ 1,0472) радианов,

 45° = ^𝜋/₄ (≈ 0,7854) радианов,

 30° = ^𝜋/₆ (≈ 0,5236) радианов.

Как пользоваться таблицами Брадиса ?

В книге В. Брадиса <<Четырёхзначные математические таблицы>> под номером  XVI  помещена таблица, которая озаглавлена <<Радианная мера>>.

Пометка в скобках расшифровывается так: дуга, содержащая  A°, равна

радианов.
В левом столбце таблицы под буквой  А  даны числа градусов, содержащихся в угле, а в верхней и самой нижней строках – числа минут, кратных  6.

Покажем на примерах как пользоваться этой таблицей.

ПРИМЕР:

Угол  71°24‘  перевести в радианы.

РЕШЕНИЕ:

На пересечении строки, начинающейся с  71°, и столбца, помещённого вверху  24‘, читаем:

1,2462

(число целых указывается в таблице в начале строки и дальше даются только десятичные знаки).

При переводе в радианы угла с любым числом минут, не кратным  6, пользуются соответствующими поправками, которые помещены в последних трёх столбцах под числами минут:

1‘, 2‘, 3‘.

ПРИМЕР:

Угол  23°20‘  перевести в радианы.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

Данный угол  23°20‘  равен  0,4073

  радиана. ПРИМЕР:

Найти градусное выражение угла, содержащего  1,0862 радиана.

РЕШЕНИЕ:

Имеем из таблицы:

Данный угол равен  62°14‘.Когда то в Древнем Египте мучились следующим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак… Всё получалось немного больше трёх. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя… В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили. Примерно. В  3,1415926… раз.

Это и есть число «Пи». После запятой – бесконечное число цифр без всякого порядка… Такие числа называются иррациональными. Это и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой:

π = 3,14.

Так как длина окружности больше диаметра в «Пи» раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

L = π d

где  L – длина окружности, а  d – её диаметр. 

При радианном измерении углов заметно упрощается ряд формул. Так, для окружности радиуса  r  длина  l  его дуги  α  радиан можно найти по формуле

l = αr,

площадь S  сектора круга радиусом  r, в дуге которого находится  α  радиан, вычислим по формуле

Эти формулы проще, чем аналогичные формулы

и

Для вычисления дуги окружности и площади сектора, дуги которых (величиной  n°) измеряются с помощью градусной меры. Эти особенности радианной меры привели к тому, что в тригонометрии отдают преимущество радианному, а не градусному измерении.

Задания к уроку 2

что такое градус и радиан, как перевести градусы в радианы и обратно

Содержание:

• Что такое градус
• Что такое радиан
• Как перевести градусы в радианы
• Как перевести радианы в градусы
• Примеры

Содержание

• Что такое градус
• Что такое радиан
• Как перевести градусы в радианы
• Как перевести радианы в градусы
• Примеры

Что такое градус

Во многих задачах по геометрии, физике и другим дисциплинам приходится решать примеры, где по условию даны, либо неизвестны углы. Данные элементы в распространенных случаях измеряют в градусах или радианах. Упростить решение порой достаточно просто, если уметь переводить эти величины, то есть выражать градусы в радианах или наоборот. Существует ряд полезных формул и закономерностей, которые помогут справиться с подобными задачами.

Градусами (знак °), наряду с минутами и секундами, называют стандартизированные единицы, в которых определяют меру углов на плоскости. С помощью градусов также вводят данные величин в рамках картографической деятельности, вычисляют координаты, характерные для каких-либо точек на поверхности Земли, рассчитывают азимут.

Если представить себе некую окружность, то есть полноценный оборот, то ее мера будет соответствовать 360°. Развернутый угол, характеризующийся, как половина полного оборота, равен 180°. Из курса геометрии известно, что каждый прямой угол составляет 90°.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). {\circ }={\frac {400}{360}}градов=1,(1) градов=1,11111111111… градов \)

Что такое радиан

​Радиан является углом, который равен дуге с длинной, соответствующей ее радиусу.

Радианной мерой называют меру углов, которая предполагает использование единиц измерения углов в виде 1 радиана.

Таким образом, радианная мера какого-либо угла представляет собой соотношение данного угла к радиану. Согласно формулировке термина, полный угол по величине соответствует  \(2\pi \)  радиан.

Вычисление радианной меры заключается в определении того, как относится длина дуги окружности, расположенная между сторонами угла, к радиусу рассматриваемой окружности. При этом центральная точка окружности должна совпадать с вершиной этого угла.

В процессе решения примеров по геометрии, чтобы рассчитать, чему равна радианная мера угла, принято изображать единичную окружность, центральная точка которой совпадает с вершиной угла. В результате радианная мера угла составит величину длины дуги единичной окружности, заключенной между сторонами угла.

Заметим наличие пропорциональной зависимости между такими величинами, как длина дуги окружности и ее угловая мера с радиусом. Существует соотношение, характерное для длины дуги окружности, радиус которой равен R, а угловая величина соответствует \(\alpha\) и выражена в радианах:

\(\alpha \cdot R \)

Исходя из того, что угловая мера в радианах вычисляется, как отношение длины дуги окружности и длины радиуса рассматриваемой окружности, допустимо принять угол в радианном исчислении за величину безразмерного типа.

Как перевести градусы в радианы

Представим, что имеется некоторая окружность с радиусом r. Пусть на диаметр рассматриваемой окружности опирается угол, являющийся центральным. Если потребуется вычислить, чему равен этот угол в радианах, то целесообразно найти частное от деления длины дуги на длину радиуса окружности. Угол, речь о котором идет в примере, можно сопоставить с длиной дуги, которая определяется, как ½ от длины окружности:

\(\pi \cdot r \)

С помощью деления длины дуги на радиус получится выяснить, чему равен угол в радианах:

\(\frac{\pi \cdot r}{r} = \pi рад\). {\circ }\cdot 60’\cdot 60»}{2\pi }}\approx 206264{,}8»\).

Примеры

Задача 1

​Предположим, что имеется некий угол \alpha, радианная мера которого составляет 3,2 рад. Требуется перевести это значение в градусы.

Решение

Воспользуемся записанными ранее закономерностями и выполним перевод радиан в градусы:

\(3,2 рад = \frac{3,2 \cdot 180}{\pi } ° \approx \frac{3,2 \cdot 180}{3,14 } ° \approx \frac{576}{3,14 }\approx 183,4°\)

Ответ: 3,2 рад \(\approx 183,4°\).

Задача 2

Градусная мера угла составляет 47°. Необходимо, используя правила перевода, преобразовать градусную меру в радианную и дать ответ в радианах.

Решение

С помощью уже знакомого правила перевода градусов в радианы выполним соответствующие вычисления:

\(47° \approx\frac{47 \cdot 3,14}{180} \approx 0,82 рад\).

Ответ: \(47° \approx 0,82\) рад.

Задача 3

С помощью соотношения, демонстрирующего зависимости единиц измерения углов, представить в радианах угол, градусная мера которого составляет \(5^\circ43’46»\). \circ43’46» = 0{,}1~\mathrm {rad}\).

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Преобразовать Окружность (круг) в Радиан (рад), Общие единицы измерения

Преобразование длины окружности (круг) в радиан (рад), Общие единицы измерения

RU ЕС ПТ RU FR

К сожалению… JavaScript отсутствует

К сожалению, ваш браузер не поддерживает JavaScript что необходимо для работы преобразователя.

Убедитесь, что JavaScript не отключен в настройки вашего браузера. В противном случае этот сайт не будет работать для тебя.

Преобразовать окружность (круг) в радиан (рад), Общие единицы

? Настройки преобразования:

x

Объяснение настроек преобразования

Прежде всего, вам не нужно изменять какие-либо настройки, чтобы использовать преобразователь. Это абсолютно необязательно.

Количество значащих цифр

Вам нужны округленные цифры или научно точные? Для повседневных преобразований мы рекомендуем выбирать 3 или 4 значащие цифры. Если вам нужна максимальная точность, установите число 9

Разделитель групп цифр

Выберите, как вы хотите, чтобы ваши группы цифр separated in long numbers:

1234567.89	none
1 234 567.89	space
1,234,567.89	comma
1.234.567,89	point

• Значимые фигуры: 1  23456789
• Разделитель групп цифр: нет  пробел  запятая  точка  

окружность (окружность)

Общие единицы измерения

радиан (рад)

Общие единицы измерения

На этой странице представлена ​​онлайн-конверсия из окружность к радиан . Эти единицы относятся к та же система измерения: Общие единицы .

Если вам нужно преобразовать длину окружности в другую совместимую единицу измерения, выберите нужную на странице ниже. Вы также можете переключиться на конвертер для радиан к длина окружности.

Другие единицы измерения, указанные выше значения равны

» показать »

» скрыть »

Общие единицы измерения

Чтобы ввести комбинированную единицу измерения градусов, минут, секунд , вы можете ввести * или o вместо символа градуса ° .

окружность к окружности (круг)
длина окружности → секстан
окружность в радиан (рад)
окружность в градус (град)
длина окружности в градусах, минутах, секундах (д°м’с″)
окружность в классе (град)
окружность в минута (′)
окружность с точностью до секунды (″)

Единицы: длина окружности (круг) / секстант / радиан (рад) / степень (градус) / градусы, минуты, секунды (д°м’с″) / оценка (град) / минута (′) / второй (″)

» показать »

» скрыть »

Единицы уклона (уровня)

Процентный уклон часто используется для отображения уклонов на транспорте (улицы, дороги), в строительстве и гражданском строительстве. Нулевой уклон означает плоскую горизонтальную дорогу. Уклон 100% отмечает дорогу, которая поднимается на одну длину за один пробег, то есть имеет угол 45 градусов к горизонтальной линии. Вертикальная линия имеет бесконечный наклон.

окружность → процент уклона (%)
окружность → промилле уклона (‰)

Единицы: процент уклона (%) / промилле уклона (‰)

» показать »

» скрыть »

Морской

длина окружности по морскому румбу

Единицы: морской румб

» показать »

» скрыть »

артиллерийский

Эти шкалы используются в некоторых военных прицелах и снаряжении. Название «тысячная» связано с тем, что единица измерения близка к 1/1000 радиана.

окружность в русские тысячные
окружность → Немецкие тысячные
окружность → Угловой мил (НАТО)
длина окружности → Угловой мил (Швеция)

Единицы: русский тысячный / немецкий тысячный / Угловой мил (НАТО) / Угловой мил (Швеция)

Не удалось найти единицу измерения?

Попробуйте поискать:

Другие варианты:

Проверьте список всех поддерживаемых единиц измерения

Задайте свой вопрос на нашей странице в Facebook

< Вернуться в меню всех конвертеров

Надеюсь, вы сделали все ваши преобразования и наслаждался Convert-me. Com. Приезжайте к нам вскоре!

 

 

! Преобразование является приблизительным.
Либо единица измерения не имеет точного значения,
, либо точное значение неизвестно. ? Это число? Извините, не могу разобрать. (?) Извините, мы не знаем этого вещества. Пожалуйста, выберите один из списка. *** Пожалуйста, выберите вещество.
Это влияет на результаты конвертации.

Подсказка: Не можете понять, где искать ваше устройство? Попробуйте найти название устройства. Поле поиска находится вверху страницы.

Нашли ошибку? Хотите предложить больше конверсий? Свяжитесь с нами на Facebook.

Нравится convert-me.com и хотите помочь? Мы ценим это! Давай, расскажи о нас своим друзьям. Используйте кнопки вверху, чтобы поделиться.

Действительно ли convert-me.com существует с 19 лет?96? На самом деле он еще старше. Мы запустили первую версию нашего онлайн-конвертера единиц измерения в 1995 году. В нем не было JavaScript, и все преобразования приходилось выполнять на сервере. Служба была медленной. Год спустя технология позволила нам создать сервис мгновенной конвертации единиц измерения, который стал прототипом того, что вы видите сейчас.

Для экономии места на странице некоторые блоки могут отображаться свернутыми. Коснитесь заголовка любого блока, чтобы развернуть/свернуть его.

Страница выглядит слишком переполненной с таким количеством единиц? Ненужные блоки можно скрыть, нажав на заголовок блока. Попробуй. Повторный щелчок развернет блок.

Наша цель — максимально упростить преобразование единиц измерения. Есть идеи, как сделать его лучше? Сообщите нам

? Пожалуйста, введите градусы, минуты и секунды, например 5°10’5″

Подождите, пока загружаются коэффициенты преобразования…

Радианы

Центральный угол окружности имеет угловую меру 1°, если он опирается на дугу, которая составляет 1/360 длины окружности окружности. Эта форма измерения угла довольно распространена. Другой формой угловой меры, которая используется, является радиан мера . Если центральный угол опирается на дугу, равную радиусу окружности (рис. ), то центральный угол имеет меру в один радиан.

   Рисунок 1
                 Радианы и стягиваемые дуги

Если центральный угол θ окружности с радиусом х опирается на дугу длиной х (рис. 1 ), то его мера в радианах определяется как 

Поскольку q и r выражены в одних и тех же единицах, при делении q на r в предыдущей формуле единицы измерения сокращаются. Таким образом, радиан является безразмерной мерой .

Пример 1: Какова мера радиана центрального угла в круге радиусом 6 м, если он опирается на дугу 24 м?

 

(Обратите внимание, что если единицы измерения угла не указаны, предполагается, что они указаны в радианах. )

Если θ — один полный оборот, то стягиваемая дуга — это длина окружности. В этом случае

Поскольку один полный оборот составляет 360°,

Чрезвычайно важен тот факт, что 180° равно π радианам. Исходя из этого отношения, можно использовать следующую пропорцию для преобразования между радианами и градусами:

Пример 2: Какова градусная мера 2,4 рад?

 

Пример 3: В каких радианах измеряется угол 63°?

Радианные меры многих специальных углов следуют непосредственно из соотношений радиан-градус. Некоторые из них приведены в Таблице 1 .

Площади секторов круга прямо пропорциональны мерам их центральных углов и прямо пропорциональны дугам, опирающимся на центральные углы (рис. 2 ).

   Рисунок 2
                  Площадь сектора.

Пример 4: Найдите r , учитывая, что α = 14π и θ = π/2.

No related posts.