Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач
Отыскание максимумов и минимумов — одна из самых распространенных задач при исследованиях функций.
Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение, либо в критических точках (в точках, в которых производная обращается в нуль или не существует), принадлежащих исследуемому промежутке, или на его концах .
На практике нахождения максимумов и минимумов похоже на отыскания локального экстремума, только добавляются края промежутка. Возможны случаи, когда максимумы и минимумы функций находятся в точках локального экстремума, а возможные — на краях отрезка.
Рассмотрим ряд примеров, чтобы ознакомить Вас с методикой исследования.
————————————
Примеры.
Определить наибольшее и наименьшее значение фунции на промежутке.
Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах».
1. (4.55.б)
Функция определена на всем множестве действительных чисел
Найдем производную функции
Приравняем ее к нулю и определим критические точки
Проверим знак производной слева и справа от найденной точки
Производная при переходе через точку меняет знак с положительного на отрицательный , следовательно она является точкой локального максимума.
Найдем значение функции в точке
и на краях отрезка
Таким образом функция достигает максимума в точке локального экстремума и минимума на одном из краев отрезка .
2. (4.55.д)
На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную
Приравнивая нуля найдем критическую точку
Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках
Функция приобретает максимум и минимум в точках
3. (4.55.є)
Функция определена для всех значений аргумента .
Найдем производную
Из выражения видно, что производная отлична от нуля на промежутке определения, однако в точке она не существует.
Вычислим значение функции
Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в критической точке .
————————————
Приведем решения задач из сборника Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».
4. (5.770)
Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной
Приравняем ее к нулю и находим критические точки
Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках
Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка
5. (5.771)
На заданном интервале функция определена, проводим дифференцировку
Приравняв к нулю производную получим
Другую критическую точку найдем из условия, что производная не существует
Одна совпадает с началом отрезка. Вычислим значение функции на краях отрезка и в критических точках
Таким образом функция принимает максимальное значение в критической точке, а минимальное на конце отрезка
Из приведенных решений можно сделать выводы, что главным в исчислении является знание функций и умение дифференцировать. Все остальное сводится к отысканию значений функций в точках и анализа результатов. Изучайте свойства элементарных функций, правила нахождения производных, это Вам пригодится при решении примеров.
———————————————-
Посмотреть материалы:
yukhym.com
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 89Следующая ⇒
Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:
1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция непрерывна в точке справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной
– изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимостиСогласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .
Число также называют
В нашем случае:
Примечание: в теории распространены записи .
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно!Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!
Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо!
Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:
1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.
Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.
Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.
2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.
3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.
Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
– критические точки.
Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.
Первая критическая точка принадлежит данному отрезку:
А вот вторая – нет: , поэтому про неё сразу забываем.
Вычислим значение функции в нужной точке:
Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Результаты опять каким-либо образом выделяем.
3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.
Ответ:
Критическое значение на поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты.
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
В рассматриваемой задаче очень важно не допускать вычислительных ошибок, так как рецензент немедленно посмотрит, сами догадываетесь куда.
Другой существенный момент касается пункта №1.
Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Это очень хорошо – меньше вычислений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма.
Во-вторых, все критические точки (одна, две или бОльшее количество) могут не принадлежать отрезку. Замечательно. Пишем следующее: «критические точки (а) не принадлежат (ит) рассматриваемому отрезку». Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо.
В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол:
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
Решение: всё опять начинается дежурной фразой:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Да, критических точек тут и правда целая команда:
Первые две точки принадлежат нашему отрезку:
Но третья оказывается вне игры:
(надеюсь, все сумели сосчитать )
Вычислим значения функции в подходящих точках:
Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:
Ответ:
Время от времени критические точки могут совпадать с одним или даже с обоими концами отрезка, и в этом случае укорачивается второй этап решения. Следующий пример для самостоятельного изучения посвящен как раз такой ситуации:
Пример 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях:
Пример 5
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Решение: отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман.
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
Очевидный корень оказывается не в теме: .
Решаем уравнение:
Второй корень принадлежит нашему отрезку:
Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами.
Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Некоторую информацию о логарифмической функции и свойствах логарифма можно почерпнуть в статье Графики и свойства элементарных функций и методичке по школьным формулам.
Вычислим значение функции во второй критической точке:
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :
Вот теперь всё понятно.
Ответ:
Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:
Пример 6
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Полное решение и ответ в конце урока.
Стрелки часов приближаются к 9 утра, и побережье потихоньку заполняется всё бОльшим и бОльшим количеством стройных ног. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь:
Пример 7
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Решение:
1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:
– критические точки.
Обратите внимание, что точка обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. На этом случае я подробно останавливался в теоретической части и последнем примере урока Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
уже известно.
Ответ:
Раз, два, три, четыре, пять – мне пора верстать.
Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! …ну или с дипломом на груди… …ой, что-то я не то сказал =)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
– критические точки.
2)Вычислим значения функции на концах отрезка:
Ответ:
Пример 4: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
– критические точки.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
уже рассчитано в предыдущем пункте.
Ответ:
Пример 6: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
– критические точки.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Ответ:
18.Вопрос.Выпуклость и вогнутость прямой. Примеры.
Выпуклость функции, точки перегиба
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
mykonspekts.ru
Наибольшее и наименьшее значение функции 2 переменных в данной области. Контрольные онлайн
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в данной области
Найти и
для функции
в замкнутой области D, заданной системой неравенств . Сделать рисунок области DРешение
Своего наибольшего и наименьшего значений в заданной области функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданной области, либо на границе области.
Изобразим заданную область
Найдём стационарные точки функции из системы
Для заданной функции система примет вид или
Решая систему, находим координаты стационарной точки . Эта точка лежит на границе области D.
Исследуем функцию на границе области D.
На ОА и заданная функция становится функцией одного аргумента : .
Найдём стационарные точки функции : ;
при . Точка принадлежит ОА.
На ОВ и заданная функция становится функцией одного аргумента : .
Найдём стационарные точки функции : ;
при . Точка принадлежит ОВ.
На АВ и заданная функция становится функцией одного аргумента :
.
; при . При .
Эта стационарная точка совпадает с точкой .
Кроме стационарных точек М, N, P необходимо рассмотреть и точки «стыковки» границ области, так как эти точки являются границами областей для функций , и .
Вычислим значения функции в точках А, В, M, N, P:
, , ,
, ,
.
Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции , наибольшее значение .
www.matem96.ru
Задача 60 — наибольшее значение
Условие
Найдите наибольшее значение функции $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+3$ на отрезке [–13; –0,5].
Решение
Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:
- Найти область определения функции
- Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие заданному отрезку
- Найти значение функции в этих точках и на границах заданного отрезка
- Сравнить найденные значения — выбрать из них наибольшее
Областью определения данной функции является вся числовая прямая.
Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{‘}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:
\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{‘}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{‘}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{‘}}=0 \\ \end{align}\]
Получим:
\[\begin{align}& {y}’={{\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+3 \right)}^{‘}} \\ & {{y}^{‘}}=3{{x}^{2}}+4x+1 \\ \end{align}\]
Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.
Найдем корни уравнения ${{y}^{‘}}=0$:
\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}+4x+1=0 \\ & D=16-4\cdot 3\cdot 1=4 \\ & \sqrt{D}=2 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{-4+2}{2\cdot 3}=-\frac{1}{3} \\{{x}_{2}}=\frac{-4-2}{2\cdot 3}=-1\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{‘}}=3\left( x+1 \right)\left( x+\frac{1}{3} \right) \\ \end{align}\]
Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:
\[\begin{align}& x < -1 \\ & -1 < x < -\frac{1}{3} \\ & x > -\frac{1}{3} \\ \end{align}\]
Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:
Получаем:
при $x < -1$ ${{y}^{‘}} > 0$, $y$ возрастает, а значит, $y\left( -13 \right) < y\left( -1 \right)$,
при $-1 < x\le -\frac{1}{2}$ ${{y}^{‘}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит $y\left( -\frac{1}{2} \right) < y\left( -1 \right)$
Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ -13;-0,5 \right]$ функция принимает в точке $x=-1$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с + на–).
Найдем это значение:
\[y\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{3}}+2{{\left( -1 \right)}^{2}}-1+3=-1+2-1+3=3\]
Правильный ответ
3
Смотрите также:
- Как считать логарифмы еще быстрее
- Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
- Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
- Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
- Иррациональные неравенства. Часть 2
- Задача B4: Семья из трех человек ведет из Москвы в Нижний Новгород
www.berdov.com