Площадь треугольника
Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.
Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)
Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)
— Вычисления (показано) (скрыто)
— примечания (показано) (скрыто)
Для всех треугольников
1
Площадь треугольника по основанию и высоте
Сторона a
Высота h
Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.
2
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
Сторона a
Сторона b
Угол α° между сторонами a и b
Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.
3
Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам
Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус r вписанной окружности
4
Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам
Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус R описанной окружности
5
Площадь треугольника по формуле Герона
Полупериметр:
Сторона
Сторона b
Сторона c
6
Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам
Сторона a
Угол β°
Угол α°
Для равнобедренных треугольников
7
Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию
Сторона a (a = b)
Сторона c
8
Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними
Боковая сторона a (a = b)
Угол α° между боковыми сторонами
9
Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними
Боковая сторона a (a = b)
Основание треугольника c
Угол β° между основанием и стороной
10
Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами
Основание треугольника c
Угол α° между боковыми сторонами
Для равносторонних треугольников
11
Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию
Основание треугольника c
Высота h
12
Площадь равностороннего треугольника по стороне
Сторона a (a = b = c)
13
Площадь равностороннего треугольника по высоте
Высота h
14
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности
Радиус r вписанной окружности
15
Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности
Радиус R описанной окружности
16
Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
Катет a
Катет b
17
Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол
Сторона c
Угол α
18
Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол
Сторона b
Угол α
19
Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
Отрезок d
Отрезок e
20
Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность
Сторона с
Радиус r
21
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
Полупериметр:
Сторона a
Сторона b
Сторона c
Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.
Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.
В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.
Таблица с формулами площади треугольника
Определения
Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.
Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.
Скачать формулы площади треугольника в виде картинки
Площадь треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a
и 
. Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание: 
Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника: 
Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.
Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.
Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.
Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе:
Вычислить векторное произведение векторов онлайн
Как известно, в результате скалярного произведения векторов получается число. Итогом векторного произведения векторов является вектор.
Итак, векторным произведением двух неколлинеарных векторов (а и b) называется третий вектор ©, имеющий следующие свойства:
1. длина его численно равняется площади параллелограмма, построенного на векторах а и b
2. вектор с перпендикулярный плоскости векторов а и b.
3. направление вектора с таково, что кратчайший поворот от вектора а к вектору b происходит против часовой стрелки, если посмотреть с конца вектора с.
В зависимости от направления вектора с тройка векторов а, b, с называется правой или левой. В данном случае тройка векторов а, b, с — правая.
Геометрический смысл произведения.
Модуль произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
Половина модуля векторного произведения двух векторов (a и b) равняется площади треугольника, построенного на этих векторах:
Векторное произведение можно представить в координатной форме через координаты векторов а и b. Пусть а = {ах;ау;az} и b = {bх;bу;bz}, тогда произведение двух векторов можно рассчитать по формуле:
Свойства векторного произведения векторов:
Векторное произведение двух параллельных между собой не нулевых векторов равняется нулевому вектору.
Векторное произведение произвольного вектора на нулевой равняется нулевому вектору.
Как найти площадь треугольника по векторам
Инструкция
Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы — он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника. Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то формулу площади треугольника можно записать так: S=|(X₁-X₃)•(Y₂-Y₃)-(X₂-X₃)•(Y₁-Y₃)|/2.Например, пусть даны такие координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Тогда, подставив числовые значения переменных в приведенную на предыдущем шаге формулу, вы получите: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.
Можно действовать по-другому — сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон. В этом случае сначала найдите длины сторон, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты). Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то длины сторон будут следующими: AB=√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²), BC=√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²), CA=√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²). Например, для координат вершин треугольника, приведенных на втором шаге, эти длины составят AB=√((-2-3)²+(2-3)²)=√((-5)²+(-1)²)=√(25+1)≈5,1, BC=√((3-5)²+(3-(-2))²)=√((-2)²)+5²)=√(4+25)≈5,36, CA=√((5-(-2))²+(-2-2)²)=√(7²+(-4)²)=√(49+16)≈8,06.
Найдите полупериметр, сложив известные теперь длины сторон и разделив результат на двойку: p=0,5•(√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²)+√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²)+√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²)). Например, для длин сторон, рассчитанных на предыдущем шаге, полупериметр будет приблизительно равен p≈(5,1+5,36+8,06)/2≈9,26.
Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)). Например, для образца из предыдущих шагов: S=√(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))=√(9,26•4,16•3,9•1,2)=√180,28≈13,42. Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на втором шаге — это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.
Калькулятор треугольников
Укажите 3 значения, включая хотя бы одну сторону в следующих 6 полях, и нажмите кнопку «Рассчитать». Если в качестве единицы измерения угла выбраны радианы, он может принимать такие значения, как пи / 2, пи / 4 и т. Д.
Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами. Вершина — это точка, где встречаются две или более кривых, линий или ребер; в случае треугольника три вершины соединены тремя отрезками, называемыми ребрами. Треугольник обычно называют его вершинами.Следовательно, треугольник с вершинами a, b и c обычно обозначается как Δabc. Кроме того, треугольники, как правило, описываются на основе длины их сторон, а также их внутренних углов. Например, треугольник, в котором все три стороны имеют равную длину, называется равносторонним треугольником, а треугольник, в котором две стороны имеют равную длину, называется равнобедренным. Когда ни одна из сторон треугольника не имеет одинаковой длины, он называется разносторонним, как показано ниже.
Отметки на краю треугольника — это обычное обозначение, которое отражает длину стороны, где одинаковое количество отметок означает одинаковую длину.Аналогичные обозначения существуют для внутренних углов треугольника, которые обозначаются разным количеством концентрических дуг, расположенных в вершинах треугольника. Как видно из треугольников выше, длина и внутренние углы треугольника напрямую связаны, поэтому имеет смысл, что равносторонний треугольник имеет три равных внутренних угла и три стороны равной длины. Обратите внимание, что треугольник, представленный в калькуляторе, не показан в масштабе; хотя он выглядит равносторонним (и имеет отметки угла, которые обычно воспринимаются как равные), он не обязательно является равносторонним и представляет собой просто представление треугольника.Когда введены фактические значения, выходные данные калькулятора будут отражать то, как должна выглядеть форма входного треугольника.
Треугольники, классифицируемые на основе их внутренних углов, делятся на две категории: прямые и наклонные. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90 °, и обозначается двумя отрезками прямой, образующими квадрат в вершине, составляющей прямой угол. Самый длинный край прямоугольного треугольника, противоположный прямому углу, называется гипотенузой.Любой треугольник, который не является прямоугольным, классифицируется как наклонный треугольник и может быть тупым или острым. В тупоугольном треугольнике один из углов треугольника больше 90 °, а в остром треугольнике все углы меньше 90 °, как показано ниже.
Факты, теоремы и законы о треугольнике
- Учитывая длины всех трех сторон любого треугольника, каждый угол можно рассчитать с помощью следующего уравнения.Обратитесь к треугольнику выше, предполагая, что a, b и c — известные значения.
Площадь треугольника
Существует несколько различных уравнений для вычисления площади треугольника в зависимости от того, какая информация известна. Вероятно, наиболее известное уравнение для вычисления площади треугольника включает его основание, b , и высоту, h . «Основание» относится к любой стороне треугольника, где высота представлена длиной отрезка линии, проведенного от вершины, противоположной основанию, до точки на основании, образующей перпендикуляр.
Учитывая длину двух сторон и угол между ними, следующую формулу можно использовать для определения площади треугольника. Обратите внимание, что используемые переменные относятся к треугольнику, показанному на калькуляторе выше. Для a = 9, b = 7 и C = 30 °:
Другой метод вычисления площади треугольника основан на формуле Герона. В отличие от предыдущих уравнений, формула Герона не требует произвольного выбора стороны в качестве основания или вершины в качестве начала координат.Однако для этого требуется, чтобы длина трех сторон была известна. Опять же, со ссылкой на треугольник, представленный в калькуляторе, если a = 3, b = 4 и c = 5:
Медиана, внутренний радиус и радиус окружности
Медиана
Медиана треугольника определяется как длина отрезка прямой, который проходит от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Треугольник может иметь три медианы, каждая из которых будет пересекаться в центре тяжести (среднее арифметическое положение всех точек в треугольнике) треугольника.См. Рисунок ниже для пояснения.
Медианы треугольника представлены отрезками m a , m b и m c . Длину каждой медианы можно рассчитать следующим образом:
Где a, b и c обозначают длину стороны треугольника, как показано на рисунке выше.
В качестве примера, учитывая, что a = 2, b = 3 и c = 4, медиана m a может быть рассчитана следующим образом:
Inradius
Inradius — это радиус наибольшего круга, который может поместиться внутри данного многоугольника, в данном случае треугольника.Внутренний радиус перпендикулярен каждой стороне многоугольника. В треугольнике внутренний радиус можно определить, построив две биссектрисы угла, чтобы определить центр треугольника. Внутренний радиус — это перпендикулярное расстояние между центром вращения и одной из сторон треугольника. Можно использовать любую сторону треугольника, если определено перпендикулярное расстояние между стороной и центром, поскольку центр, по определению, находится на равном расстоянии от каждой стороны треугольника.
В данном калькуляторе внутренний радиус рассчитывается с использованием площади (Area) и полупериметра (ов) треугольника по следующим формулам:
, где a, b и c — стороны треугольника
Круговой радиус
Радиус описанной окружности определяется как радиус окружности, проходящей через все вершины многоугольника, в данном случае треугольника.Центр этой окружности, где пересекаются все срединные перпендикулярные стороны каждой стороны треугольника, является центром описанной окружности и точкой, от которой измеряется радиус описанной окружности. Центр описанной окружности треугольника не обязательно должен находиться внутри треугольника. Стоит отметить, что у всех треугольников есть описанная окружность (окружность, проходящая через каждую вершину) и, следовательно, радиус описанной окружности.
В данном калькуляторе радиус описанной окружности рассчитывается по следующей формуле:
Где a — сторона треугольника, а A — угол, противоположный стороне a
Хотя используются сторона a и угол A, в формуле можно использовать любую из сторон и их соответствующие противоположные углы.
,Площадь треугольников
Есть несколько способов найти площадь треугольника.
Зная базу и высоту
Когда мы знаем основание и высоту, это легко.
Это просто половина b умножить на
Площадь = 1 2 bh
(Более подробная информация на странице «Треугольники»)
Самое главное, чтобы основание и высота были под прямым углом.Поиграйте здесь:
Пример: Какова площадь этого треугольника?
(Примечание: 12 — это высота , а не длина левой стороны)
Высота = h = 12
База = b = 20
Площадь = ½ bh = ½ × 20 × 12 = 120
Знание трех сторон
Существует также формула для определения площади любого треугольника, когда мы знаем длины всех трех его сторон.
Его можно найти на странице формул Герона.
Зная две стороны и угол наклона
Когда мы знаем две стороны и включенный угол (SAS), мы можем использовать другую формулу (фактически три эквивалентные формулы).
В зависимости от того, какие стороны и углы нам известны, формулу можно записать тремя способами:
Площадь = 1 2 ab sin C
Площадь = 1 2 до н.э. sin A
Площадь = 1 2 ca sin B
Это действительно та же формула, только с измененными сторонами и углом.
Пример: Найдите площадь этого треугольника:
Прежде всего мы должны решить, что мы знаем.
Нам известен угол C = 25º, а стороны a = 7 и b = 10.
Итак, приступим:
Площадь = (½) ab sin C
Введите известные нам значения: ½ × 7 × 10 × sin (25º)
Сделайте некоторую работу с калькулятором: 35 × 0,4226 …
Площадь = 14,8 с точностью до одного десятичного знака
Как помнить
Подумайте только о «abc»: Площадь = ½ a b sin C
Также хорошо помнить, что угол между двумя известными сторонами всегда равен , что называется «включенным углом».
Как это работает?
Мы знаем, как найти область, когда знаем базу и высоту:
Площадь = ½ × основание × высота
В этом треугольнике:
|
Получаем:
Площадь = ½ × (c) × (b × sin A)
Что (проще):
Площадь = 1 2 до н.э. sin A
Изменив метки на треугольнике, мы также можем получить:
- Площадь = ½ ab sin C
- Площадь = ½ ca sin B
Еще один пример:
Пример: Найдите сколько земли
Фермер Джонс владеет треугольным участком земли.
Длина забора АВ составляет 150 м. Длина забора БЦ 231 м.
Угол между упором AB и ограждением BC составляет 123º.
Сколько земли принадлежит фермеру Джонсу?
Прежде всего, мы должны решить, какие длины и углы нам известны:
- AB = c = 150 м,
- BC = a = 231 м,
- и угол B = 123º
Итак, мы используем:
Площадь = 1 2 ca sin B
Введите известные нам значения: ½ × 150 × 231 × sin (123º) м 2
Сделайте некоторую работу с калькулятором: 17,325 × 0.838 … м 2
Площадь = 14530 м 2
Фермер Джонс владеет 14530 м 2 земли
,Площадь треугольника (метод сторона-угол-сторона) с калькулятором
Площадь треугольника (метод стороны-угла-стороны) с калькулятором — Math Open Reference где a, b — две известные стороны, а C — включенный угол.
Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждый
вершина
чтобы изменить форму треугольника. Показанная формула пересчитает площадь с использованием этого метода. Площадь треугольника, обычно называемого методом «бокового угла», определяется по формуле ниже.Хотя
он использует функцию синуса тригонометрии, он работает с любым треугольником, а не только
прямоугольные треугольники. , где
a и b — длины двух сторон треугольника
C — включенный угол (угол между двумя известными сторонами)
Калькулятор
Используйте калькулятор выше, чтобы вычислить площадь треугольника с учетом двух сторон и угла между ними.
Как это работает
Этот метод на самом деле является продолжением обычного метод «половина основания, умноженная на высоту».
На рисунке выше площадь определяется по формуле Но нам не дана h — высота. Но нам даны сторона a и угол C. Мы знаем, что Транспонирование Подставляя это в верхнее уравнение, мы получаем
Методы определения площади треугольника
Попробуй
- На рисунке выше нажмите «скрыть детали»
- Перетащите вершины треугольника, чтобы создать новую форму
- Рассчитать площадь с помощью этого метода
- Нажмите «Показать подробности», чтобы подтвердить свой ответ.
Другие темы треугольника
Общий
Периметр / Площадь
Типы треугольников
Центры треугольника
Конгруэнтность и сходство
Решение треугольников
Треугольник викторины и упражнения
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Площадь треугольника (традиционный метод) с калькулятором
Площадь треугольника (традиционный метод) с калькулятором — Math Open Reference Количество квадратных единиц, необходимое для того, чтобы точно заполнить интерьер треугольник. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину чтобы изменить форму треугольника. Показанная формула пересчитает площадь с использованием этого метода.Самый распространенный метод
Площадь треугольника, которую обычно называют «половина основания, умноженная на высоту», определяется по формуле ниже. где b — длина базаa — длина соответствующего высота над уровнем моря
Вы можете выбрать любую сторону, чтобы быть основание. Это не обязательно должен быть тот, который нарисован внизу треугольника. Высота должен быть тот, который соответствует выбранной вами базе. Высота — это линия, перпендикулярная выбранному основанию от противоположной вершины.
На рисунке выше одна сторона была выбрана в качестве основания и показана соответствующая высота.
Калькулятор
Воспользуйтесь калькулятором выше, чтобы вычислить площадь треугольника.
Введите любые два значения, и другое будет вычислено.Например: введите базу и высоту и нажмите «Рассчитать». Площадь будет рассчитана.
Точно так же, если вы введете область и базу, будет рассчитана высота, необходимая для получения этой области.
Методы определения площади треугольника
Что стоит попробовать
На рисунке выше нажмите «высота замораживания». Когда вы теперь перетаскиваете точку A, обратите внимание, что область не меняется. Площадь зависит от основания и высоты, и ни один из них не меняется, когда вы перемещаете верхнюю вершину из стороны в сторону.Следовательно, все треугольники, которые вы можете создать таким образом, имеют одинаковую площадь.
Другие темы треугольника
Общие
Периметр / Площадь
Типы треугольников
Центры треугольника
Конгруэнтность и сходство
Решение треугольников
Треугольник викторины и упражнения
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.