Онлайн продифференцировать функцию: Дифференцирование функции, заданной неявно

Найти производную функции первого порядка

Все калькуляторы

/

Учеба и наука

/

Математика

/   Найти производную функции первого порядка

Данный онлайн калькулятор предназначен для решения производных функций первого порядка.
Производная служит обобщенным понятием скорости изменения функции. Производная f’(x) функции f(x) в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Вам нет необходимости знать различные таблицы и формулы производных, так как для нахождения производной онлайн нужно ввести только исходную функцию, которую следует дифференцировать. В ответе выводится как найденная производная функция, так и график этой функции.

x

: Log[a, x]

: Log[x]

: cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x]

: tan[x] или Tan[x]

: cot[x] или Cot[x]

: sec[x] или Sec[x]

: csc[x] или Csc[x]

: ArcCos[x]

: ArcSin[x]

: ArcTan[x]

: ArcCot[x]

: ArcSec[x]

: ArcCsc[x]

: cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x]

: tanh[x] или Tanh[x]

: coth[x] или Coth[x]

: sech[x] или Sech[x]

: csch[x] или Csch[е]

: ArcCosh[x]

: ArcSinh[x]

: ArcTanh[x]

: ArcCoth[x]

: ArcSech[x]

: ArcCsch[x]

[19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Производные

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная.

4), {x,6}.

Select rating12345

Рейтинг: 5 (Голос 1)

Сообщить об ошибке

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

Производные функции	Математический анализ	Решение интегралов	Решение неравенств	Решение уравнений
Решение функций	Решение комплексных чисел	Графические построения	Решение логарифмов	Решение прогрессии

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Условимся заранее, что все функции f(x) и g(x), упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке x, иными словами, для любого x0=x∈X будет справедливо равенство f'(x)=lim∆x→0∆f(x)∆x, g'(x)=lim∆x→0∆g(x)∆x. Здесь ∆f(x)=f(x+∆x)-f(x), ∆g(x)=g(x+∆x)-g(x) считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как f(x+∆x)=f(x)+∆f(x), g(x+∆x)=g(x)+∆g(x).

Определение 1

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

1. Как вынести постоянный множитель за знак производной.
2. Как вычислить производную суммы и производную разности.
3. Как вычислить производную произведения функций.
4. Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

Разберем все эти случаи по порядку.

C·f(x)’=C·f'(x), C∈R(f(x)±g(x))’=f'(x)±g'(x)(f(x)·g(x))’=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)f(x)g(x)’=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Определение 2

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

C·f(x)’=C·f'(x), C∈R

Доказательство 1

Используя определение производной, запишем следующее:

C·f(x)’=lim∆x→0∆(C·f(x))∆x=lim∆x→0C·f(x+∆x)-C·f(x)∆x==lim∆x→0C·f(x+∆x)-f(x)∆x=lim∆x→0C·∆f(x)∆x

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела).

Значит, C·f(x)’=lim∆x→0C·∆f(x)∆x=C·lim∆x→0∆f(x)∆x=C·f'(x).

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение. 

Пример 1

Дана функция y=2·cos x. Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x’=-sin x.

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y’=2·cos x’=2·cos x’=-2·sin x

Ответ: y’=2·cos x’=2·cos x’=-2·sin x.

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Пример 2

Продифференцировать функцию f(x)=log3x2-1.

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f(x)=log3x2-1=2-1·log3x. Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

f(x)=log3x2-1’=2-1·log3x’==2-1·log3x’=2-1x·ln 3

Ответ: f(x)=2-1x·ln 3

Пример 3

Дана функция y=12-x+3. Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

y=12-x+3=12-x·23=2×23

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

y’=2×23’=123·2x’=123·2x·ln 2=2x-3·ln 2

Ответ: y’=2x-3·ln 2

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования f(x)±g(x)’=f'(x)±g'(x), нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

Определение 3

f(x)±g(x)’=lim∆x→0∆(f(x)±g(x))∆x==lim∆x→0fx+∆x±gx+∆x-(f(x)±g(x))∆x==lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)±(g(x+∆x)-g(x))∆x==lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x±lim∆x→0g(x+∆x)-g(x)∆x==lim∆x→0∆f(x)∆x±lim∆x→0∆g(x)∆x=f'(x)±g'(x)

Доказательство 2

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

f1(x)±f2(x)±…±fn(x)’=f1′(x)±f2’±. ..±fn'(x)

Пример 4

Вычислить производную y=x3+3x+1-ln xln5+3.

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

y=x3+3x+1-ln xln5+3=x3+3·3x-ln(5+3)·ln x

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

y’=(x3)’+3·3x’-ln5+3·ln x’

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

y’=(x3)’+3·3x’-ln5+3·ln x’==(x3)’+3·3x’-ln(5+3)·ln x’

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

y’=(x3)’+3·3x’-ln(5+3)·ln x’==3·x3-1+3·3x·ln 3-ln5+3x=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

Ответ: y’=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

Как вычислить производную произведения функций

Определение 4

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: fx·g(x)’=f'(x)·g(x)’+f(x)·g'(x)

Попробуем доказать его.  

Доказательство 3

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f(x+∆x)=f(x)+∆f(x), g(x+∆x)=g(x)+∆g(x), а lim∆x→0∆g(x)=0, lim∆x→0∆f(x)=0, то есть если приращение аргумента стремится к 0, то и приращение функции также будет к нему стремиться.

(f(x)·g(x))’=lim∆x→0∆(f(x)·g(x))∆x=lim∆x→0f(x+∆x)·g(x+∆x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0(f(x)+∆f(x))+(g(x)·∆g(x))-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)∆x==lim∆x→0g(x)·∆f(x)∆x+lim∆x→0f(x)·∆g∆x+lim∆x→0∆f(x)∆x·lim∆x→0∆g(x)==g(x)·lim∆x→0∆f(x)∆x+f(x)·lim∆x→0∆g(x)∆x+f'(x)·0==f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Пример 5

Продифференцируйте функцию y=tg x·arcsin x.

Решение

Здесь f(x)=tg x, g(x)=arcsin x. Можем воспользоваться правилом производной произведения:

y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’==arcsin xcos2x+tg x1-x2

Ответ: y’=arcsin xcos2x+tg x1-x2

Пример 6

Дана функция y=exx3. Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем f(x)=ex, g(x)=1×3=x-13. Значит,

y’=exx3=ex·x-13’=ex’·x-13+ex·x-13==ex·x-13+ex·-13·x-13-1=exx3-exx43=exx3·1-1x

Ответ: y’=exx3·1-1x

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Пример 7

Продифференцируйте функцию y=(1+x)·sin x·ln x.

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f(x) произведение (1+x)·sin x, а g(x) – ln x.

У нас получится следующее:

y’=((1+x)·sin x·ln x)’=1+x·sin x’·ln x+1+x·sin x·ln x’

Чтобы найти 1+x·sin x’, нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’==1’+x’·sin x+(1+x)·cos x=0+1·x1-1·sin x+(1+x)·cos x==(0+1)·sin x+1+x·cos x=sin x+cos x+x·cos x

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y’=1+x·sin x·ln x’=1+x·sin x’·ln x+(1+x)·sin x·(ln x)’==sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

Ответ: y’=sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Пример 8

Дана функция y=2·sh x-2x·arctg x, вычислите ее производную.

Решение 

Исходная функция является разностью выражений 2·sh x и 2x·arctg x, значит, y’=2·sh x-2x·arctg x’=2·sh x’-2x·arctg x’. Здесь можно вынести за знак производной число 2, а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

y’=2·sh x’-2x·arctg x’=2·sh x’-2x’·arctg x+2x·(arctg x)’==2·ch x-2x·ln 2·arctg x+2×1+x2=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2

Ответ: y’=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Определение 5

Данное правило выглядит следующим образом: f(x)g(x)’=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x).

Докажем его.  

Доказательство 4

Сразу отметим, что g(x) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

f(x)g(x)’==lim∆x→0∆f(x)g(x)∆x=lim∆x→0f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x)g(x)∆x=lim∆x→0f(x+∆x)·g(x)-g(x+∆x)·f(x)∆x·g(x+∆x)·g(x)==1g2(x)·lim∆x→0(f(x)+∆f(x))·g(x)-(g(x)+∆g(x))·f(x)∆x==1g2(x)·lim∆x→0f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)-f(x)·g(x)-f(x)·∆g(x)∆x==1g2(x)·lim∆x→0gx·∆f(x)-f(x)·∆g(x)∆x==1g2(x)·g(x)·lim∆x→0∆f(x)∆x-f(x)·lim∆x→0∆g(x)∆x==f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

Пример 9

Продифференцируйте функцию y=sin x2·x+1.

Решение

Эта функция является отношением двух выражений 2x+1 и sin x. Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

y’=sin x2·x+1’=sin x’·2·x+1-sin x·2·x+1’2·x+12

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

y’=sin x’·2·x+1-sin x·2·x+1’2·x+12==cos x·(2·x+1)-sin x·2x’+1′(2·x+1)2=cos x·(2·x+1)-sin x·(2·x’+0)(2·x+1)2==cos x·2·x+1-sin x·(2·1·x1-1+0)(2·x+1)2=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

Ответ: y’=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Пример 10

Дана функция y=3ex-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x, где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

y’=3·ex’-x2·ln x-2·xax’+2sin x·arccos x’

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет 3·ex’=3·ex’=3·ex.

Вычисляем второе:

x2·ln x-2·xax’=x2·ln x-2·x·ax-x2·ln x-2·x·ax’ax2==x2·ln x’-2·x’·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x·ln x+x-2·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax

Вычисляем третье слагаемое:

2sin x·arccos x’=2·sin x·arccos x’==2·sin x’·arccos x+sin x·arccos x’==2·cos x·arccos x-sin x1-x2

Теперь собираем все, что у нас получилось:

y’=3·ex’-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x’==3·ex-x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax++2·cos x·arccos x-sin x1-x2

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

н???

и затем дифференцирование результата.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.

Цель состоит в том, чтобы с помощью дифференцирования получить левую часть этого уравнения, точно соответствующую функции, которую мы получили. Когда мы дифференцируем, мы должны помнить о дифференцировании всех трех частей уравнения.

Мы постараемся максимально упростить сумму справа, и результатом будет представление нашей функции в виде степенного ряда. Если нам нужно, мы можем использовать представление степенного ряда, чтобы найти радиус и интервал сходимости.

Дифференциация для представления степенного ряда

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Учить больше

Использование дифференцирования для нахождения представления функции в виде степенного ряда

Пример

Выполните дифференцирование, чтобы найти представление функции в виде степенного ряда, затем найдите радиус сходимости. 9{n+1-n}\право|???

???L=\lim_{n\to\infty}\left|-1\cdot\frac{n+2}{n+1}\cdot x\right|???

???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+2}{n+1}\cdot x\right|???

Поскольку ограничение действует только на ???n???, мы можем вытащить ???x??? впереди.

???L=\left|x\right|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+2}{n+1}\right|???

???L=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+2)\left(\frac{1}{n}\right)}{(n+1 )\влево(\frac{1}{n}\вправо)}\вправо|???

???L =|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n}{n}+\frac{2}{n}}{\frac{n}{ n}+\frac{1}{n}}\right|???

???L=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\right |???

???L=|x|\left|\frac{1+\frac{2}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}}\right|???

???L=|x|\влево|\frac{1+0}{1+0}\вправо|???

???L=|x|???

Тест отношений говорит нам, что этот ряд сходится, когда ???L<1???. Поскольку мы знаем, что ???L=|x|???, мы будем говорить, что ряд сходится, когда

???|x|<1???

Это неравенство уже имеет вид ???|x-a|

???|x-0|<1???

, поэтому мы можем сказать, что радиус сходимости равен ???R=1???.

Получите доступ к полному курсу Calculus 2

Начать

Изучение математикиКриста Кинг 8 января 2021 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, вычисление 2, вычисление II, последовательности и ряды, степенные ряды, дифференцирование степенных рядов, представление степенных рядов

0 лайков

Калькулятор коэффициента разности — упрощение f(x+h)-f(x)/h

Калькулятор коэффициента разности онлайн позволяет определить коэффициент разности для заданной функции. Этот упрощенный дифференциальный калькулятор частных отображает пошаговые вычисления для измерения наклона секущей, проходящей через две точки. В этом контексте вы можете узнать, как найти частное разности, используя его формулу. Начнем с основ!

Что такое коэффициент разности?

В математических вычислениях коэффициент разности используется для измерения наклона секущей/кривой линии между двумя разными точками на графике функции. Функция — это кривая или линия, которая имеет одно значение «y» для каждого значения «x». Следовательно, наклон определяет вывод функции.

Проще говоря, коэффициент разности измеряет скорость изменения функции f(x) по отношению к x в заданном интервале [x, x + h].

(Изображение)

Однако онлайн-калькулятор секущей поможет вам найти секанс заданного угла в градусах, радианах или π радианах.

Формула разностного коэффициента:

Уравнение разностного частного измеряет приближенную форму производной как:

$$ f(x) = f(x + h) – f(x) / h $$

Где «h» — размер шага, а f(m) — функция. Это вычисляет скорость изменения данной функции f (x) на интервале [x, x + h].

Как найти коэффициенты разности?

Вот несколько шагов, которые следует помнить при измерении коэффициентов разности:

• Оцените выражение f (m + h), подставив m в f (m) на m + h.
• Теперь оцените выражение f (n), подставив f (m) вместо n.
• Затем оцените разницу между двумя точками и разделите данное выражение на h.

Ну, вам не нужно запоминать формулы и шаги, если вы используете это, упростите калькулятор коэффициента разности. Просто замените данную функцию, и она быстро предоставит пошаговое решение. 92 + 4 — это ч + 2х. Вы можете найти его, подставив эти значения в упрощенный калькулятор коэффициента разности.

Пример #2:

Найдите и упростите разностное частное функции f(x) = 4x – 5.
Решение:
Используя формулу разностного частного,
Разностное частное функции f(x)
= [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ (4(x + h) – 5) – (4x – 5) ] / h
= [ 4x + 4h – 5 – 4x + 5 ] / ч
= [ 4ч ] / ч
= 4
Следовательно, разностное отношение f(x) равно 4,
Вы можете проверить приведенные выше результаты с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора нахождения разности коэффициентов.

Однако онлайн-калькулятор производных позволяет вычислить производную функции по заданной переменной.

Симметричные коэффициенты разности:

В математике формула коэффициента разности дает аппроксимацию вывода функции. Существует множество разностных коэффициентов, таких как симметричный и односторонний разностный коэффициент. Они связаны друг с другом и дают хорошее приближение, чем другие из-за этого отношения.

Симметричная производная является обобщением обычной производной, которую можно определить как:

Lim_{h → 0} \frac {f (a + h) – f (a – h)} {2h}

Функция дифференцируема в точке «а», если ее производная существует в этой конкретной точке. Выражение под пределом называется симметричным разностным частным.

Кроме того, f(x+h)-f(x)/h — это формула, являющаяся функцией предельного определения производной (основные принципы).
Предельное определение производной функции f(x) определяется как:
f'(x) = lim ₕ → ₀ [ f(x + h) – f(x) ] / h.

Кроме того, попробуйте наш онлайн-калькулятор f(x+h)-f(x)/h, чтобы определить предел определения производной функции.

Как работает пошаговый калькулятор коэффициента разности?

Онлайн-калькулятор разности частных вычисляет наклон кривой между двумя разными точками, следуя этим инструкциям:

Ввод:

• Введите функцию (f) относительно любой переменной из раскрывающегося списка. .
• Нажмите кнопку расчета, чтобы продолжить процесс.

Вывод:

• Калькулятор предельного коэффициента разности отображает коэффициенты разности для данной функции.
• Калькулятор упрощения коэффициента разности предоставляет формулу для расчета коэффициентов разности с помощью пошаговых вычислений.

Часто задаваемые вопросы:

Кто нашел разность коэффициентов?

Разностное частное также известно как частное Ньютона. Исаак Ньютон (1671 г.) использовал ноль (0) в своем процессе флюксий, что является бесконечно малым приращением независимой переменной.

Совпадает ли средняя скорость изменения с наклоном?

Средняя скорость изменения – это преобразование значений переменных y в изменение значений переменных x. Если скорость изменения линейна и постоянна, то это наклон линии. Наклон изогнутой линии может быть отрицательным, положительным, нулевым или неопределенным.

Что такое частное?

Функция quotient возвращает целую часть деления. Есть два аргумента, знаменатель — это делитель, а числитель — делимое.

Заключение:

Используйте этот онлайн-калькулятор коэффициента разности с шагами для нахождения производной частных, которая представляет собой коэффициент разности между двумя разными точками по мере их сближения. Этот бесплатный решатель разностных коэффициентов аппроксимирует численное дифференцирование и быстро находит f(x+h)-f(x)/h для разностного частного.