Онлайн решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Содержание

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Многие студенты спрашивают «Как найти решение дифференциального уравнения?» Ответ возможно неординарен, но что Вы знаете о дифференциальных уравнениях (ДУ), их типах, какие распространенные схемы вычислений ДУ? С этого нужно начинать.
Сферы применения дифференциальных уравнений были в общем очерчены на предыдущем уроке. Здесь речь пойдет об одном из самых простых (в плане вычислений) типов ДУ первого порядка среди всех возможных уравнений что Вас ждут. Начнем с базовых понятий теории которые Вы должны знать и мы будем использовать в терминологии. Для одних это не нужно, потому что они ищут готовые ответы по дифференциальным уравнениям и думают, что таким образом решат все проблемы. Но это ошибка, потому что не знание элементарных понятий по теории ДУ сравнимо с тем, что Вы пытаетесь говорить, предварительно не изучив звуки и алфавит.
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать формулой
N(х)dx+М(у)dy=0 (1)
называют уравнением с разделенными переменными.
Их не трудно обнаружить среди других уравнений, основной признак — множители при dx и dy являются функциями (константами), которые зависят только от х при множителе dx и у при dy.
Чтобы найти общее решение (общий интеграл) уравнения с разделенными переменными необходимо проинтегрировать уравнение (1)
Int(N(x), x) + Int(M(y),y) = С,

Для понимания дифференциальное уравнение (1) можно принимать, как условие равенства нулю полного дифференциала некоторой функции двух переменных U(x,y)

Отсюда следует что функция U(x,y)=С=const равна постоянной.
Дифференциальное уравнение вида
f₁(x)*g₁(y)dx+f₂(x)*g₂(y)dy=0 (2)
называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной форме.
В уравнении (2) коэффициенты при дифференциалах dx и dy является произведениями двух функций: одна зависит только от x, а вторая — от y. В области, где g1(y), f2(x) принимают отличные от нуля значения в уравнение с разделяющимися переменными (2) сводится к уравнению с разделенными переменными

Звучит как игра слов: разделенными, разделяющимися, однако между ними как видите есть маленькая разница, и теперь Вы ее знаете.
Рассмотрим типичные для практики задания на диф. уравнения первого порядка, которые в достаточно простой способ можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Имеем дифференциальное уравнение первого порядка, по теории его можно назвать уравнением с разделяющимися переменными или уравнением в дифференциалах. Для его упрощения сгруппируем слагаемые, содержащие dx, dy по разные стороны знака равенства

Далее выделим общие множители для каждой суммы и перепишем уравнение в дифференциалах в форме

После этого все, что содержит y переносим к dy, то же самое проделываем с множителями которые содержат переменную x.
В результате придем к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

Теперь посмотрите почему данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными? — Возле dx имеем функцию зависимую только от «икс», у dy — только от y.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение

Выносим множители, чтобы при переменной в знаменателе стояли единицы. Также, чтобы в числителе получить дифференциалы знаменателя умножаем обе части на 2

Это позволяет упростить вычисления интеграла ДУ (после интегрирования получить логарифмы)

Константу рекомендуем внести в логарифм, для этого записывайте всегда ее в виде C₁=ln(C)

Чтобы раскрыть логарифмическое уравнение экспонируем (находим экспоненту) правую и левую сторону зависимости
(3)
Также выделяем значение функции

Конечная запись имеет двойной корень и является общим решением уравнения с разделяющимися переменными. Это не совсем хороший тон подавать ответ, лучше решение оставить в виде формулы (3), только тройку перенести в правую сторону.

Пример 2 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение:Имеем уравнение в дифференциалах первого порядка. Разделим в уравнении переменные, содержащиеся при dx, dy и перенесем их по разные стороны знака равенства

С первых скобок выносим общий для двух слагаемых множитель y за скобки

Далее разделим множители так, чтобы при dy получить функцию только от y, а при dx — функцию аргумента x. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

После интегрирования

получим корневую зависимость для y и арктангенс в результате вычисления интеграла по аргументу (правая сторона).

Общий интеграл можем оставить в такой форме или перенести артангенс в левую часть зависимости.
Так же можем записать решение дифференциального уравнения в виде зависимости y(x) (явном виде). Для этого возведем обе части к квадрату

и перенеся сталую в правую сторону, вычислим корень квадратный

Это и есть искомое решение дифференциального уравнения.

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Данное ДУ первого порядка необходимо свести под правило решения уравнений с разделенными переменными. Для этого второе слагаемое, что со знаком минус, переносим в правую сторону от знака равенства

и разделяем переменные

Проинтегрируем левую и правую сторону зависимости

В результате придем к логарифмическому уравнению вида

И снова обращаем Ваше внимание на то что в таком виде как правило не записывают.
Целесообразно, для компактности конечного решения, постоянную вносить под логарифм, то есть в форме

Взяв экспоненту от правой и левой части формулы придем к конечному виду решения дифференциального уравнения

Как Вы могли убедиться примеры достаточно просты, методика вычислений ДУ з разделенными переменными легкая для изучения.

Пример 4 Решить дифференциальное уравнениеРешение: Одно из слагаемых (не содержит производной) переносим за знак равенства

и записываем уравнение в дифференциалах..

Следующим шагом сводим зависимость к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Для заданного уравнения всего лишь перекрестным делением записываем корни в знаменатели

В таком виде можем интегрировать уравнения

Левая сторона содержит функцию которая при иртегрировании даст корневую зависимость, для правой стороны по формулам получим арксинус.

Выполняем манипуляции с корнем, чтобы получить зависимость вида y=y(x)

Решение дифференциального уравнения будет иметь вид

На этом вводный урок закончен и основные выводы Вы должны сделать самостоятельно.
Для закрепления темы рекомендуем самостоятельно решить несколько из следующих примеров.

Хотите верьте, а хотите — нет, но это самый простой тип дифференциальных уравнений, с которым Вам придетсяиметь дело на контрольной, экзаменах, практических занятиях, модулях. Это можно сказать важнейшая часть, поскольку сложные дифференциальные уравнения придется упрощать и сводить к уравнениям с разделенными переменными.
Схему вычислений должны заучить и знать на зубок — это один из основных методов решения сложных примеров на диф. уравнения.

график дифференциального уравнения онлайн

Вы искали график дифференциального уравнения онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и диф уравнение онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «график дифференциального уравнения онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как график дифференциального уравнения онлайн,диф уравнение онлайн,диф уравнения онлайн,диф уравнения онлайн с подробным решением,дифур онлайн,дифуры онлайн,дифуры онлайн с решением,дифф уравнения онлайн,дифференциальное уравнение калькулятор онлайн,дифференциальное уравнение онлайн,дифференциальное уравнение онлайн калькулятор,дифференциальное уравнение онлайн решение,дифференциальное уравнение онлайн с подробным решением,дифференциальное уравнение первого порядка онлайн,дифференциальное уравнение решение онлайн,дифференциальные однородные уравнения онлайн,дифференциальные уравнения 1 порядка онлайн,дифференциальные уравнения 2 порядка онлайн,дифференциальные уравнения второго порядка онлайн,дифференциальные уравнения калькулятор,дифференциальные уравнения калькулятор онлайн,дифференциальные уравнения калькулятор онлайн с подробным,дифференциальные уравнения калькулятор онлайн с подробным решением,дифференциальные уравнения однородные онлайн,дифференциальные уравнения онлайн,дифференциальные уравнения онлайн второго порядка,дифференциальные уравнения онлайн калькулятор,дифференциальные уравнения онлайн калькулятор с подробным решением,дифференциальные уравнения онлайн однородные,дифференциальные уравнения онлайн первого порядка,дифференциальные уравнения онлайн решение,дифференциальные уравнения онлайн с подробным решением,дифференциальные уравнения онлайн с разделяющимися переменными онлайн,дифференциальные уравнения онлайн с решением,дифференциальные уравнения первого порядка калькулятор онлайн,дифференциальные уравнения первого порядка онлайн,дифференциальные уравнения первого порядка онлайн калькулятор,дифференциальные уравнения решение онлайн,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными калькулятор онлайн,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными онлайн,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными онлайн калькулятор,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными уравнения онлайн,дифференциальные уравнения с решением онлайн,дифференцированные уравнения онлайн,дифференцированные уравнения онлайн решение,диффуры онлайн,ду онлайн,ду онлайн решение,ду решить онлайн,задача коши для дифференциального уравнения онлайн,задача коши онлайн,задача коши онлайн для дифференциального уравнения,задача коши онлайн калькулятор,задача коши онлайн с подробным решением,изоклины онлайн,калькулятор диф уравнений,калькулятор диф уравнений онлайн,калькулятор дифференциалов онлайн,калькулятор дифференциальное уравнение онлайн,калькулятор дифференциальные уравнения,калькулятор дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными онлайн,калькулятор дифференциальных уравнений,калькулятор дифференциальных уравнений онлайн,калькулятор дифференциальных уравнений онлайн с подробным решением,калькулятор дифференциальных уравнений с подробным решением,калькулятор дифференциальных уравнений с подробным решением онлайн,калькулятор онлайн дифференциальное уравнение,калькулятор онлайн дифференциальные уравнения,калькулятор онлайн дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,калькулятор онлайн дифференциальных уравнений,калькулятор онлайн задача коши,калькулятор онлайн решения дифференциальных уравнений,калькулятор решения дифференциальных уравнений онлайн,коши калькулятор онлайн,коши онлайн калькулятор,линейные дифференциальные уравнения первого порядка онлайн решение,метод изоклин онлайн калькулятор,найдите общее решение дифференциального уравнения онлайн,найдите частное решение дифференциального уравнения,найти дифференциал второго порядка онлайн,найти общее и частное решение дифференциального уравнения калькулятор,найти общее решение,найти общее решение дифференциального уравнения,найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения калькулятор онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн калькулятор,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн с решением,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн с решением онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка онлайн,найти общее решение уравнения,найти общее решение уравнения онлайн,найти общие интегралы дифференциальных уравнений онлайн,найти общий интеграл дифференциального уравнения калькулятор онлайн,найти общий интеграл дифференциального уравнения онлайн,найти общий интеграл дифференциального уравнения онлайн калькулятор,найти общий интеграл дифференциального уравнения онлайн с решением,найти решение дифференциального уравнения онлайн с решением,найти решение задачи коши онлайн,найти решение задачи коши онлайн с подробным решением,найти решение задачи коши онлайн с решением,найти частное решение дифференциального уравнения калькулятор,найти частное решение дифференциального уравнения калькулятор с решением,найти частные решения дифференциальных уравнений онлайн,общее решение дифференциального уравнения онлайн,общее решение найти,общий интеграл дифференциального уравнения онлайн,общий интеграл дифференциального уравнения онлайн калькулятор,однородные дифференциальные уравнения онлайн,однородные дифференциальные уравнения первого порядка онлайн,оду решение,онлайн диф уравнение,онлайн дифференциальное уравнение первого порядка,онлайн дифференциальные уравнения второго порядка,онлайн калькулятор диф уравнений,онлайн калькулятор дифференциальное уравнение,онлайн калькулятор дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,онлайн калькулятор дифференциальных уравнений,онлайн калькулятор дифференциальных уравнений с подробным решением,онлайн калькулятор задача коши,онлайн калькулятор коши,онлайн калькулятор решения дифференциальных уравнений,онлайн найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка,онлайн решение диф уравнений,онлайн решение дифференциального уравнения,онлайн решение дифференциальное уравнение,онлайн решение дифференциальные уравнения,онлайн решение дифференциальных уравнений,онлайн решение дифференциальных уравнений 2 порядка,онлайн решение дифференциальных уравнений второго порядка,онлайн решение дифференциальных уравнений коши,онлайн решение дифференциальных уравнений первого порядка,онлайн решение дифференциальных уравнений с подробным решением,онлайн решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными,онлайн решение дифференциальных уравнений с решением,онлайн решение ду 2 порядка,онлайн решение линейных дифференциальных уравнений,онлайн решение однородных дифференциальных уравнений,онлайн решение однородных уравнений,онлайн решение систем дифференциальных уравнений,онлайн решение системы дифференциальных уравнений,онлайн решение уравнение коши,онлайн решение уравнений коши онлайн,онлайн решение уравнений с разделяющимися переменными,онлайн решения дифференциальных уравнений,онлайн частное решение дифференциального уравнения,определить тип дифференциального уравнения онлайн,проинтегрировать дифференциальное уравнение онлайн,решение диф уравнений онлайн,решение диф уравнений онлайн с полным решением,решение дифуров онлайн,решение дифф уравнений онлайн,решение дифференциального уравнения онлайн,решение дифференциальное уравнение онлайн,решение дифференциальные уравнения онлайн,решение дифференциальных однородных уравнений первого порядка онлайн,решение дифференциальных систем уравнений онлайн,решение дифференциальных уравнений 2 порядка онлайн,решение дифференциальных уравнений второго порядка онлайн,решение дифференциальных уравнений второго порядка онлайн с решением,решение дифференциальных уравнений коши онлайн,решение дифференциальных уравнений онлайн,решение дифференциальных уравнений онлайн коши,решение дифференциальных уравнений онлайн с подробным решением,решение дифференциальных уравнений онлайн с разделяющимися переменными,решение дифференциальных уравнений онлайн с решением,решение дифференциальных уравнений онлайн с решением в полном виде,решение дифференциальных уравнений первого порядка онлайн,решение дифференциальных уравнений первого порядка онлайн с решением,решение дифференциальных уравнений с подробным решением онлайн,решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными калькулятор,решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными онлайн,решение дифференциальных уравнений с решением онлайн,решение ду 2 порядка онлайн,решение ду онлайн,решение ду онлайн с полным решением,решение задачи коши онлайн с подробным решением,решение линейных дифференциальных уравнений онлайн,решение однородных дифференциальных уравнений онлайн,решение однородных уравнений онлайн,решение онлайн дифференциального уравнения,решение онлайн дифференциальное уравнение,решение онлайн дифференциальных уравнений первого порядка,решение онлайн дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными,решение онлайн линейных дифференциальных уравнений,решение онлайн уравнений с разделяющимися переменными,решение систем дифференциальных уравнений онлайн,решение системы дифференциальных уравнений онлайн,решение уравнение коши онлайн,решение уравнений с разделяющимися переменными онлайн,решения дифференциальных уравнений онлайн,решить диф уравнение онлайн,решить дифференциальное линейное уравнение онлайн,решить дифференциальное уравнение второго порядка онлайн с решением,решить дифференциальное уравнение онлайн,решить дифференциальное уравнение онлайн с подробным решением,решить дифференциальное уравнение онлайн с решением,решить дифференциальное уравнение первого порядка онлайн,решить дифференциальное уравнение первого порядка онлайн с решением,решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными онлайн,решить дифференциальное уравнение с решением онлайн,решить ду,решить ду онлайн,решить задачу коши онлайн,решить задачу коши онлайн калькулятор с подробным решением,решить задачу коши онлайн с решением,решить линейное дифференциальное уравнение онлайн,решить однородное дифференциальное уравнение онлайн,решить онлайн дифференциальное уравнение,решить онлайн ду,решить онлайн задачу коши,решить онлайн линейное дифференциальное уравнение,решить онлайн уравнение в полных дифференциалах,решить систему дифференциальных уравнений онлайн,решить уравнение y x y,решить уравнение в полных дифференциалах онлайн,система дифференциальных уравнений онлайн,система дифференциальных уравнений онлайн калькулятор с решением,уравнение в полных дифференциалах решить онлайн,уравнение коши онлайн,уравнение коши решение онлайн,уравнения с разделяющимися переменными онлайн,уравнения с разделяющимися переменными онлайн калькулятор,частное решение дифференциального уравнения калькулятор,частное решение дифференциального уравнения онлайн.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и график дифференциального уравнения онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, диф уравнения онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же график дифференциального уравнения онлайн Онлайн?

Решить задачу график дифференциального уравнения онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: примеры

В целом ряде обыкновенных ДУ 1-го порядка существуют такие, в которых переменные х и у можно разнести в правую и левую части записи уравнения. Переменные могут быть уже разделены, как это можно видеть в уравнении f(y)dy=g(x)dx. Разделить переменные в ОДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx можно путем проведения преобразований. Чаще всего для получения уравнений с разделяющимися переменными применяется метод введения новых переменных.

В этой теме мы подробно разберем метод решения уравнений с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными и ДУ, которые можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными. В разделе мы разобрали большое количество задач по теме с подробным разбором решения.

Для того, чтобы облегчить себе усвоение темы, рекомендуем ознакомиться с информацией, которая размещена на странице «Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений».

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Определение 1

Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.

Договоримся, что функции f(y) и g(x) мы будем считать непрерывными.

Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫f(y)dy=∫g(x)dx. Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф(x, y)=0 мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.

Пример 1

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y23dy=sin xdx.

Решение

Проинтегрируем обе части равенства:

∫y23dy=∫sin xdx

Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.

Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:

∫y23dy=35y53+C1∫sin xdx=-cosx+C2⇒∫y23dy=∫sin xdx⇔35y35+C1=-cosx+C2
где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Функция 35y35+C1=-cosx+C2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.

Получаем:

35y53+C1⇒y=-53cosx+C35, где C=53(C2-C1)

Общим решением данного ДУ является функция y=-53cosx+C35

Ответ:

Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫y23dy=∫sinxdx или 35y53+C1=-cosx+C2, или y=-53cosx+C35

Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф(x, y)=0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx

y’=dydx в тех случаях, когда у является функцией аргумента х.

В ДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)dx мы можем провести преобразования таким образом, чтобы разделить переменные. Этот вид ДУ носит название ДУ с разделяющимися переменными. Запись соответствующего ДУ с разделенными переменными будет иметь вид f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx.

Разделяя переменные, необходимо проводить все преобразования внимательно для того, чтобы избежать ошибок. Полученное и исходное уравнения должны быть эквивалентны друг другу. В качестве проверки можно использовать условие, по которому f2(y) и g1(x) не должны обращаться в ноль на интервале интегрирования. Если это условие не выполняется, то есть вероятность, что ы потеряем часть решений.

Пример 2

Найти все решения дифференциального уравнения y’=y·(x2+ex).

Решение

Мы можем разделить х и у, следовательно, мы имеем дело с ДУ с разделяющимися переменными.

y’=y·(x2+ex)⇔dydx=y·(x2+ex)⇔dyy=(x2+ex)dx при y≠0

При у=0 исходное уравнение обращается в тождество: 0’=0·(x2+ex)⇔0≡0. Это позволят нам утверждать, что у=0 является решением ДУ. Это решение мы могли не учесть при проведении преобразований.

Выполним интегрирование ДУ с разделенными переменными dyy=(x2+ex)dx:
∫dyy=∫(x2+ex)dx∫dyy=lny+C1∫(x2+ex)dx=x33+ex+C2⇒lny+C1=x33+ex+C2⇒lny=x33+ex+C

Проводя преобразование, мы выполнили замену C2-C1 на С. Решение ДУ имеет вид неявно заданной функции lny=x33+ex+C. Эту функцию мы в состоянии выразить явно. Для этого проведем потенцирование полученного равенства:

lny=x33+ex+C⇔elny=ex33+ex+C⇔y=ex33+ex+C

Ответ: y=ex33+ex+C, y=0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=f(ax+by),

a≠0, b ≠ 0

Для того, чтобы привести обыкновенное ДУ 1-го порядка y’=f(ax+by), a≠0, b≠0, к уравнению с разделяющимися переменными, необходимо ввести новую переменную z=ax+by, где zпредставляет собой функцию аргумента x.

Получаем:

z=ax+by⇔y=1b(z-ax)⇒y’=1b(z’-a)f(ax+by)=f(z)

Проводим подстановку и необходимые преобразования:

y’=f(ax+by)⇔1b(z’-a)=f(z)⇔z’=bf(z)+a⇔dzbf(z)+a=dx, bf(z)+a≠0

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения y’=1ln(2x+y)-2 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Решение

Введем переменную z=2x+y, получаем:

y=z-2x⇒y’=z’-2ln(2x+y)=ln z

Результат, который мы получили, подставляем в исходное выражение, проводим преобразование его в ДУ с разделяющимися переменными:

y’=1ln(2x+y)-2⇔z’-2=1ln z-2⇔dzdx=1ln z

Проинтегрируем обе части уравнения после разделения переменных:

dzdz=1ln z⇔ln zdz=dx⇔∫ln zdz=∫dx

Применим метод интегрирования по частям для нахождения интеграла, расположенного в левой части записи уравнения. Интеграл правой части посмотрим в таблице.

∫ln zdz=u=ln z, dv=dzdu=dzz, v=z=z·ln z-∫zdzz==z·ln z-z+C1=z·(ln z-1)+C1∫dx=x+C2

Мы можем утверждать, что z·(ln z-1)+C1=x+C2. Теперь, если мы примем, что C=C2-C1 и проведем обратную замену z=2x+y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции:

(2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x+C

Теперь примемся за нахождение частного решения, которое должно удовлетворять начальному условию y(0)=e. Проведем подстановку x=0 и y(0)=e в общее решение ДУ и найдем значение константы С.

(2·0+e)·(ln(2·0+e)-1)=0+Ce·(ln e-1)=CC=0

Получаем частное решение:

(2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x

Так как в условии задачи не был задан интервал, на котором необходимо найти общее решение ДУ, то мы ищем такое решение, которое подходит для всех значений аргумента х, при которых исходное ДУ имеет смысл.

В нашем случае ДУ имеет смысл при ln(2x+y)≠0,2x+y>0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fxy или y’=fyx

Мы можем свести ДУ вида y’=fxy или y’=fyx к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными путем выполнения замены z=xy или z=yx, где z – функция аргумента x.

Если z=xy, то y=xz и по правилу дифференцирования дроби:

y’=xy’=x’·z-x·z’z2=z-x·z’z2

В этом случае уравнения примут вид z-x·z’z2=f(z) или z-x·z’z2=f1z

Если принять z=yx, то y=x⋅z и по правилу производной произведения y’=(xz)’=x’z+xz’=z+xz’. В этом случае уравнения сведутся к z+xz’=f1z или z+xz’=f(z).

Пример 4

Решите дифференциальное уравнение y’=1eyx-yx+yx

Решение

Примем z=yx, тогда y=xz⇒y’=z+xz’. Подставим в исходное уравнение:

y’=1eyx-yx+yx⇔z+xz’=1ez-z+z⇔x·dzdx=1ez-z⇔(ez-z)dz=dxx

Проведем интегрирование уравнения с разделенными переменными, которое мы получили при проведении преобразований:

∫(ez-z)dz=∫dxxez-z22+C1=lnx+C2ez-z22=lnx+C, C=C2-C1

Выполним обратную замену для того, чтобы получить общее решение исходного ДУ в виде функции, заданной неявно:

eyx-12·y2x2=lnx+C

А теперь остановимся на ДУ, которые имеют вид:

y’=a0yn+a1yn-1x+a2yn-2×2+…+anxnb0yn+b1yn-1x+b2yn-2×2+…+bnxn

Разделив числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи, на yn или xn, мы можем привести исходное ДУ в виду y’=fxy или y’=fyx

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=y2-x22xy

Решение

В этом уравнении х и у отличны от 0. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи на x2:

y’=y2-x22xy⇒y’=y2x2-12yx

Если мы введем новую переменную z=yx, то получим y=xz⇒y’=z+xz’.

Теперь нам необходимо осуществить подстановку в исходное уравнение:

y’=y2x2-12yx⇔z’x+z=z2-12z⇔z’x=z2-12z-z⇔z’x=z2-1-2z22z⇔dzdxx=-z2+12z⇔2zdzz2+1=-dxx

Так мы пришли к ДУ с разделенными переменными. Найдем его решение:

∫2zdzz2+1=-∫dxx∫2zdzz2+1=∫d(z2+1)z2+1=lnz2+1+C1-∫dxx=-lnx+C2⇒lnz2+1+C1=-lnx+C2

Для этого уравнения мы можем получить решение в явном виде. Для этого примем -lnC=C2-C1 и применим свойства логарифма:

lnz2+1=-lnx+C2-C1⇔lnz2+1=-lnx-lnC⇔lnz2+1=-lnCx⇔lnz2+1=lnCx-1⇔elnz2+1=eln1Cx⇔z2+1=1Cx⇔z±1Cx-1

Теперь выполним обратную замену y=x⋅z и запишем общее решение исходного ДУ:

y=±x·1Cx-1

В даном случае правильным будет и второй вариант решения. Мы можем использовать замену z=xy Рассмотрим этот вариант более подробно.

Выполним деление числителя и знаменателя дроби, расположенной в правой части записи уравнения на y2:

y’=y2-x22xy⇔y’=1-x2y22xy

Пусть z=xy

Тогда y’=1-x2y22xy⇔z-z’xz2=1-z22z

Проведем подстановку в исходное уравнение для того, чтобы получить ДУ с разделяющимися переменными:

y’=1-x2y22xy⇔z-z’xz2=1-z22z

Разделив переменные, мы получаем равенство dzz(z2+1)=dx2x, которое можем проинтегрировать:

∫dzz(z2+1)=∫dx2x

Если мы разложим подынтегральную функцию интеграла ∫dzz(z2+1) на простейшие дроби, то получим:

∫1z-zz2+1dz

Выполним интегрирование простейших дробей:

∫1z-zz2+1dz=∫zdzz2+1=∫dtz-12∫d(z2+1)z2+1==lnz-12lnz2+1+C1=lnzz2+1+C1

Теперь найдем интеграл ∫dx2x:

∫dx2x=12lnx+C2=lnx+C2

В итоге получаем lnzz2+1+C1=lnx+C2 или lnzz2+1=lnC·x, где lnC=C2-C1.

Выполним обратную замену z=xy и необходимые преобразования, получим:

y=±x·1Cx-1

Вариант решения, при котором мы выполняли замену z=xy, оказался более трудоемким, чем в случае замены z=yx. Этот вывод будет справедлив для большого количества уравнений вида y’=fxy или y’=fyx. Если выбранный вариант решения подобных уравнений оказывается трудоемким, можно вместо замены z=xy ввести переменную z=yx. На результат это никак не повлияет.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

Дифференциальные уравнения y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 можно свести к уравнениям y’=fxy или y’=fyx, следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x0 , y0) — решение системы двух линейных однородных уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 и вводятся новые переменные u=x-x0v=y-y0. После такой замены уравнение примет вид dvdu=a1u+b1va2u+b2v.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=x+2y-3x-1.

Решение

Составляем и решаем систему линейных уравнений:

x+2y-3=0x-1=0⇔x=1y=1

Делаем замену переменных:

u=x-1v=y-1⇔x=u+1y=v+1⇒dx=dudy=dv

После подстановки в исходное уравнение получаем dydx=x+2y-3x-1⇔dvdu=u+2vu. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем dvdu=1+2vu.

Вводим новую переменную z=vu⇒v=z·y⇒dvdu=dzdu·u+z, тогда

dvdu=1+2vu⇔dzdu·u+z=1+2z⇔dz1+z=duu⇒∫dz1+z=∫duu⇔ln1+z+C1=lnu+C2⇒ln1+z=lnu+lnC, lnC=C2-C1ln1+z=lnC·u1+z=C·u⇔z=C·u-1⇔vu=C·u-1⇔v=u·(C·u-1)

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену u=x-1v=y-1:
v=u·(C·u-1)⇔y-1=(x-1)·(C·(x-1)-1)⇔y=Cx2-(2C+1)·x+C+2

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
написание лабораторных, рефератов и курсовых
выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию. {\prime}=f(x) \) называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Например: \(\ \frac{d y}{y}=\frac{(x+1) d x}{x} \)
Общее решение такого уравнения ищется с помощью интегрирования обеих частей равенства \(\ g(y) d y=f(x) d x \) : \(\ \int g(y) d y=\int f(x) d x \)
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными сводятся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными делением на произведение\(\ f_{1}(x) g_{2}(y) \) : \(\ f_{1}(x) g_{1}(y) d y=f_{2}(x) g_{2}(y) d x \Rightarrow \frac{g_{1}(y) d y}{g_{2}(y)}=\frac{f_{2}(x) d x}{f_{1}(x)} \)
ЗАМЕЧАНИЕ
Такое преобразование не приведет к появлению особых решений, если \(\ f_{1}(x) \neq 0 \), \(\ g_{2}(y) \neq 0 \) одновременно.
ПРИМЕР
Задание
Найти решение дифференциального уравнения \(\ (x+1) d y=y d x \)
Решение
Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их: \(\ (x+1) d y=y d x \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x+1} \)
Общий интеграл уравнения \(\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x+1} \)
Каждый из записанных интегралов найдем по отдельности: \(\ \int \frac{d y}{y}=\ln |y|+C_{1} \)
Тогда имеем, что \(\ \ln |y|=\ln |x+1|+\ln C \)
В данном случае в качестве константы интегрирования рациональнее (для дальнейших преобразований) взять ln C вместо привычного C. {\prime}=\frac{1}{3} \)
Получили уравнение с разделяющимися переменными (уравнение типа 3), разделим их: \(\ x_{1} \cdot \frac{d z}{d x_{1}}=\frac{1}{3} \Rightarrow d z=\frac{d x_{1}}{3 x_{1}} \)
Общий интеграл уравнения: \(\ \int d z=\int \frac{d x_{1}}{3 x_{1}} \)
отсюда \(\ z=\frac{\ln \left|x_{1}\right|}{3}+C \) (2)
Делаем обратную замену \(\ z=\frac{y_{1}}{x_{1}} \)
Тогда решение (2) принимает вид: \(\ \frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{\ln \left|x_{1}\right|}{3}+C \)
Переходим к исходным переменным \(\ x=x_{1}+2 \Rightarrow x_{1}=x-2 y=y_{1}-2 \Rightarrow y_{1}=y+2 \)
В результате получаем решение исходного дифференциального уравнения \(\ \frac{y+2}{x-2}=\frac{\ln |x-2|}{3}+C \)
Ответ \(\ \frac{y+2}{x-2}=\frac{\ln |x-2|}{3}+C \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Производная сложной функции Производная показательной функции Производная корня икс Производная частного

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды -примеры решения.

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.

№1 Найти неопределенные интегралы

а) , б) , в) , г)

Решение.

а)

При вычислении использовали табличные интегралы

, ,

б)

Используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

, где t = g(x)

В данном случае . Тогда

в)

Для вычисления данного интеграла будем использовать формулу интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Интеграл также вычислим при помощи формулы интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Тогда

г)

Ответ: а) , б) ,в) ,

г)

№2 Вычислить определенные интегралы

а) , б) , в) , г)

Решение.

а)

б)

При вычислении использовали табличный интеграл

в)

Используем метод интегрирования по частям:

Обозначим: , . Найдем v

Найдем :

Тогда

г)

Применяем подстановку , тогда

При x=0

При x=

Переходя к новой переменной, получаем

Ответ: а) , б) , в) , г)

№3 Найти общие решения дифференциальных уравнений

а) , б)

Решение.

а)

Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.

Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную y, а в правой неизвестную функцию x.

Равенство дифференциалов предполагает, что сами функции отличаются друг от друга на некоторую константу С, т.е.

б)

Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.

Ответ: а) , б)

№4 Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Решение.

Разделим уравнение на

Данное уравнение является линейным.

Сделаем подстановку , где — неизвестные функции от х. Тогда . Подставляя выражения и в данное уравнение, получаем:

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф. уравнение . Итак,

Ввиду свободы выбора функции , можно принять с=1. Отсюда Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получаем:

Возвращаясь к переменной , получаем решение

Ответ:

№5 Найти решение задачи Коши

Решение.

Данное уравнение является уравнением, допускающим понижение порядка.

Полагаем , получим . Подставим данные выражения в исходное уравнение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

Заменяя вспомогательную переменную р через , получим уравнение

Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные в полученное выражение

Тогда

Таким образом, частное решение имеет вид

Ответ:

№6 Решить уранение

Решение.

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение . Решаем его:

Тогда общее решение исходного уравнения есть

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. В данном случае частное решение ищем в виде

Найдем производные данной функции

Подставим данные выражения в исходное уравнение, получаем

Следовательно, частное решение имеет вид

Общее решение имеет вид

Ответ:

№7 Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.

Так как то ряд — сходится.

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера

№8 Найти области сходимости степенных рядов:

а) , б)

Решение.

а)

Найдем радиус сходимости по формуле

Где

то есть ряд сходится при , отсюда границы интервала сходимости

Исследуем отдельно точки

При х = имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, для которого не выполнены условия признака Лейбница:

Общий член ряда не стремится к нулю:

При х =1 имеем ряд

Данный ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости рядов

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является интервал

б)

Интервал сходимости находим из следующего условия:

Тогда

Следовательно, ряд сходится при

Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

При х =3 имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница:

1) Общий член ряда стремится к нулю:

2) Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

Следовательно ряд сходится условно по признаку Лейбница.

При х =5 имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [3,5].

Ответ: а) , б) [3,5].

№9 Разложить функцию в ряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда.

Решение.

Разложим функцию в ряд, для чего воспользуемся формулой

заменив в этой формуле x на . Получим:

Разложение функции имеет вид

Определим область сходимости. Поскольку разложение экспоненты

сходится при любом х, то область сходимости полученного ряда:

Ответ: ,

Разделяемые переменные — дифференциальные уравнения

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Дифференциальные уравнения Помощь » Дифференциальные уравнения первого порядка » Разделяемые переменные

Решить данное дифференциальное уравнение путем разделения переменных.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Для решения этого дифференциального уравнения используйте разделение переменных. Это означает, что все термины, содержащие , переместите в одну часть уравнения, а все термины, содержащие , — в другую.

Сначала умножьте каждую сторону на .

Теперь разделите на обе стороны.

Затем разделите на обе стороны.

Отсюда возьмите интеграл от обеих сторон. Запомните правила для логарифмических функций, поскольку они будут использоваться в этой задаче.

Сообщить об ошибке

Решите следующее дифференциальное уравнение Пояснение:

Итак, это разделимое дифференциальное уравнение. Первый шаг — переместить все члены x (включая dx) в одну сторону, а все члены y (включая dy) — в другую.

Итак, дифференциальное уравнение, которое мы получили:

Что в перестановке выглядит так:

В этот момент, чтобы найти у, нам нужно взять первообразную обеих сторон:

Что равно:

А поскольку это первообразная без границ, нам нужно включить общую константу C

Итак, находя y, мы возводим e в степень обеих сторон:

что в упрощенном виде дает нам наш ответ:

Сообщить об ошибке

Решите следующий разделимый дифференциал уравнение: с .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Самый простой способ решить разделимое дифференциальное уравнение — переписать как и, злоупотребив обозначениями, «умножить обе части на dt». Это дает

Затем мы получаем все члены y с помощью dy и все члены t с помощью dt и интегрируем. Таким образом,

Комбинируя константы интегрирования и возведения в степень, имеем

Плюс минус и могут быть объединены в другую произвольную константу, что даст .

Подключение к нашему первоначальному условию, мы получили

Отчет о ошибке

Решение общего решения для ODE:

Возможные ответы:

где C — произвольная константа

, где C является произвольной постоянной

, где C является произвольной константой

Правильный ответ:

, где C является арбитральной константой

4, где C является арбитрари

, где C является арбит -константом

Сначала дифференциальное уравнение можно разделить на:

А затем просто проинтегрировать до:

Сообщить об ошибке

Разделимо ли следующее дифференциальное уравнение? Если да, то как уравнение разделяется?

Возможные ответы:

Дифференциальное уравнение является разделимым и принимает следующий вид:

Дифференциальное уравнение является разделимым и принимает вид:

Это дифференциальное уравнение не является сепарабельным.

Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:

Правильный ответ:

Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:

Объяснение:

Используя экспоненциальные правила, мы замечаем, что становится . Это означает, что дифференциальное уравнение

эквивалентно следующему: ?

Возможные ответы:

Дифференциальное уравнение неразделимо.

Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:

Правильный ответ: 905

отделимый.

Объяснение:

Дифференциальное уравнение не может быть записано в виде и поэтому не является разделимым.

Сообщить об ошибке

Решить данное дифференциальное уравнение с разделением переменных.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Сначала умножьте каждую сторону на .

Теперь разделите на обе стороны.

Затем разделите на обе стороны.

Сообщить об ошибке

Решите следующую задачу с начальным значением: , .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Это разделимое дифференциальное уравнение. Самый простой способ решить эту проблему — сначала переписать как , а затем, злоупотребив обозначением, «умножить обе части на dt». Это дает . Затем сгруппируйте все термины y с помощью dy и проинтегрируйте, чтобы получить . Решая для y, мы имеем . Подставив наше условие, находим . Возводя обе части в степень -1/3, мы видим . Таким образом, наше окончательное решение равно

Сообщить об ошибке

Решите следующее уравнение Объяснение:

Это разделяемая ода, поэтому перестройка

Интеграция

Подключение в начальном условии и решение дает US

Решение для US

0004 Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Дифференциальные уравнения — уравнения с разделителями

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / DE первого порядка / Разделимые уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-2: Разделимые уравнения

Теперь мы собираемся начать рассмотрение нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Первый тип нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые мы рассмотрим, — это сепарабельные дифференциальные уравнения.

Разделимое дифференциальное уравнение — это любое дифференциальное уравнение, которое можно записать в следующей форме.

\[\begin{equation}N\left( y \right)\frac{{dy}}{{dx}} = M\left( x \right)\label{eq:eq1} \end{equation}\]

Обратите внимание, что для того, чтобы дифференциальное уравнение было разделимым, все \(y\) в дифференциальном уравнении должны быть умножены на производную, и все \(x\) в дифференциальном уравнении должны быть на другая сторона знака равенства.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы сначала проинтегрируем обе части по \(x\), чтобы получить

\[\int{{N\left( y \right)\frac{{dy}}{{dx}}\,dx}} = \int{{M\left( x \right)\,dx}}\ ]

Теперь вспомните, что \(y\) на самом деле \(y\left( x \right)\), поэтому мы можем использовать следующую замену:

\[u = y\left( x \right)\hspace{0.25in}du = y’\left( x \right)\,dx = \frac{{dy}}{{dx}}\,dx\]

Применяя эту замену к интегралу, получаем

\[\begin{equation}\int{{N\left( u \right)\,du}} = \int{{M\left( x \right)\,dx}} \label{eq:eq2} \ конец {уравнение}\]

Теперь мы можем (надеюсь) интегрировать обе стороны, а затем заменить \(u\) на левой стороне. Обратите внимание, что, как подразумевается в предыдущем предложении, на данный момент может быть невозможно вычислить один или оба интеграла. Если это так, то мы мало что можем сделать, чтобы продолжить использовать этот метод для решения дифференциального уравнения.

Описанный выше процесс является математически правильным способом решения этого дифференциального уравнения. Однако обратите внимание, что если мы также «отделим» производную, мы можем записать дифференциальное уравнение как

\[N\влево( у \вправо)dy = M\влево( х \вправо)dx\]

Очевидно, что мы не можем разделить производную таким образом, но давайте представим, что мы можем, и мы увидим, что приходим к ответу с меньшими усилиями.

Теперь интегрируем обе стороны, чтобы получить

\[\begin{equation}\int{{N\left( y \right)dy}} = \int{{M\left( x \right)dx}} \label{eq:eq3} \end{equation} \]

Итак, если мы сравним \(\eqref{eq:eq2}\) и \(\eqref{eq:eq3}\), мы увидим, что единственная разница находится слева, и даже тогда единственная реальная разница \(\eqref{eq:eq2}\) имеет интеграл в терминах \(u\) и \(\eqref{eq:eq3}\) имеет интеграл в терминах \(y\). В остальном реальной разницы нет. Интеграл слева точно такой же интеграл в каждом уравнении. Единственная разница заключается в букве, используемой в интеграле. Если мы интегрируем \(\eqref{eq:eq2}\), а затем обратно подставим \(u\), мы придем к тому же результату, как если бы мы просто интегрировали \(\eqref{eq:eq3}\) от начала.

Поэтому, чтобы немного облегчить работу, мы просто используем \(\eqref{eq:eq3}\) для нахождения решения дифференциального уравнения. Кроме того, после выполнения интегрирования у нас будет неявное решение, которое мы, надеюсь, сможем найти для явного решения \(y(x)\). Обратите внимание, что не всегда можно найти явное решение.

Напомним из раздела «Определения», что неявное решение — это решение, которое не имеет формы \(y = y\left( x \right)\), в то время как явное решение было записано в этой форме.

Нам также придется побеспокоиться об интервале действия многих из этих решений. Напомним, что интервал достоверности был диапазоном независимой переменной, \(x\), в данном случае, на котором решение действительно. Другими словами, нам нужно избегать деления на ноль, комплексных чисел, логарифмов отрицательных чисел или нуля, и т. д. . Большинство решений, которые мы получим из разделимых дифференциальных уравнений, не будут справедливы для всех значений \(x\ ).

Давайте начнем с довольно простого примера, чтобы мы могли увидеть процесс, не теряясь в деталях других проблем, которые часто возникают с этими проблемами. 92}x\hspace{0.25in}\,\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{{25}}\]

Показать решение

Надеюсь, ясно, что это дифференциальное уравнение сепарабельно. Итак, давайте разделим дифференциальное уравнение и проинтегрируем обе его части. Как и при линейном первом порядке официально мы подберем постоянную интегрирования в обе стороны от интегралов по обе стороны от знака равенства. Два могут быть перемещены на одну сторону и поглощены друг другом. Мы будем использовать соглашение, которое помещает единственную константу на сторону с \(x\), учитывая, что мы в конечном итоге будем находить \(y\), и поэтому константа в любом случае окажется на этой стороне. 92}}}\end{выравнивание*}\]

Теперь, что касается решений, у нас есть решение. Однако нам нужно начать беспокоиться об интервалах достоверности.

Напомним, что существуют два условия, определяющие интервал действия. Во-первых, это должен быть непрерывный интервал без разрывов или дыр. Во-вторых, он должен содержать значение независимой переменной в начальном условии, в данном случае x = 1 .

Итак, в нашем случае мы должны избегать двух значений \(x\). А именно, \(x \ne \pm \sqrt {\frac{{28}}{3}} \приблизительно \pm \,3,05505\), поскольку это даст нам деление на ноль. Это дает нам три возможных интервала достоверности.

\[- \ infty < x < - \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \ hspace {0,25 дюйма} - \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} < x < \ sqrt { \ frac {{28}} {3}} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} < x < \ infty \]

Однако только один из них будет содержать значение \(x\) из начального условия, поэтому мы можем видеть, что

\[ — \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} < x < \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \]

должен быть интервалом действия для этого решения.

Вот график решения.

Обратите внимание, что это не означает, что ни один из двух других интервалов, перечисленных выше, не может быть интервалом достоверности любого решения дифференциального уравнения. При правильном начальном условии любой из них мог бы быть интервалом достоверности.

Мы оставляем вам возможность проверить детали следующих утверждений. Если мы используем начальное условие

\[y\left( { — 4} \right) = — \frac{1}{{20}}\]

мы получим точно такое же решение, но в этом случае интервал действия будет первым.

\[ — \ infty < x < - \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \]

Аналогично, если мы используем

\[y\left( 6 \right) = — \frac{1}{{80}}\]

в качестве начального условия мы снова получаем точно такое же решение, и в этом случае третий интервал становится интервалом достоверности. 2} — 4x — 2} \right)} }}{2}\end{align*}\] 92} — 4x + 2} \end{align*}\]

Мы почти у цели. Обратите внимание, что на самом деле у нас здесь два решения («\( \pm \)»), и нам нужно только одно решение. На самом деле только один из признаков может быть правильным. Итак, чтобы выяснить, какой из них правильный, мы можем повторно применить к нему начальное условие. Только один из знаков даст правильное значение, поэтому мы можем использовать это, чтобы выяснить, какой из знаков правильный. Подстановка \(x\) = 1 в решение дает.

\[3 = y\left( 1 \right) = 2 \pm \sqrt {1 + 2 — 4 + 2} = 2 \pm 1 = 3,\,1\]

В данном случае похоже, что «+» — правильный знак для нашего решения. Обратите внимание, что вполне возможно, что «–» может быть решением (, т. е. с использованием начального условия \(y\left( 1 \right) = 1\)) поэтому не всегда ожидайте, что это будет один или другой. 2} — 4x + 2 \ge 0\]

Другими словами, нам нужно убедиться, что количество под радикалом остается положительным.

Используя систему компьютерной алгебры, такую как Maple или Mathematica, мы видим, что левая часть равна нулю при \(x\) = –3,36523, а также двум комплексным значениям, но мы можем игнорировать комплексные значения для интервала вычислений достоверности. Наконец, график количества под радикалом показан ниже.

Таким образом, чтобы получить реальные решения, нам потребуется \(x \ge — 3.{\mbox{36523 }}\), потому что это диапазон \(x\), для которого количество положительный. Заметьте также, что этот интервал также содержит значение \(x\), которое находится в начальном состоянии, как и должно быть. 92}\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что мы смогли возвести в квадрат обе части неравенства, потому что в этом случае обе стороны неравенства гарантированно положительны. Наконец, решая для \(x\), мы видим, что единственный возможный диапазон \(x\), который не дает деления на ноль или квадратных корней из отрицательных чисел, будет

. \[ — \ frac {{\ sqrt 5}} {2} < x < \ frac {{\ sqrt 5}} {2} \]

и, как ни странно, содержит начальное условие \(x=0\). Таким образом, этот интервал является нашим интервалом достоверности. 92} — 4x — 4 > 0\]

Квадратичный будет равен нулю в двух точках \(x = 2 \pm 2\sqrt 2 \). График квадратичного уравнения (показан ниже) показывает, что на самом деле есть два интервала, в которых мы получим положительные значения полинома, и, следовательно, могут быть возможные интервалы достоверности.

Итак, возможные интервалы действия

\[\begin{array}{c} -\infty < x < 2 - 2\sqrt 2 \\ 2 + 2\sqrt 2 < x < \infty \end{array}\]

Из графика квадратичного мы видим, что второй содержит \(x\) = 5, значение независимой переменной из начального условия. Таким образом, интервал действия для этого решения.

\[2 + 2\sqrt 2 < x < \ infty \]

Вот график решения. 2}}}{\theta}\hspace{0.25in}r\left( 1 \right) = 2\] 92}}}dr}} & = \int{{\frac{1}{\theta}d\theta}}\\ — \frac{1}{r} & = \ln \left| \ тета \ справа | + с\конец{выравнивание*}\]

Теперь применим начальное условие, чтобы найти \(c\).

\[ — \frac{1}{2} = \ln \left( 1 \right) + c\hspace{0.25in}c = — \frac{1}{2}\]

Итак, неявное решение

\[ — \frac{1}{r} = \ln \left| \ тета \ справа | — \фракция{1}{2}\]

Решение для \(r\) дает нам явное решение.

\[r = \frac{1}{{\frac{1}{2} — \ln \left| \тета \право|}}\]

Здесь есть две проблемы для нашего решения. Во-первых, нам нужно избегать \(\theta = 0\) из-за натурального логарифма. Обратите внимание, что из-за абсолютного значения \(\theta\) нам не нужно беспокоиться о том, что \(\theta \) будет отрицательным. Нам также нужно будет избегать деления на ноль. Другими словами, нам нужно избегать следующих моментов. 9{\ frac {1} {2}}} \\ \ theta & = \ pm \ sqrt {\ bf {e}} \ end {align *} \]

Итак, эти три точки разбивают числовой ряд на четыре части, каждая из которых может быть интервалом достоверности.

\[\begin{array}{c} — \infty < \theta < - \sqrt {\bf{e}} \\ - \sqrt {\bf{e}} <\theta <0\\ 0 <\theta < \ sqrt {\ bf {e}} \\ \ sqrt {\ bf {e}} < \ theta < \ infty \ end {array} \] 92} + 2t + 3} \right) + \frac{5}{2}\]

Невозможно найти явное решение этой задачи, поэтому нам придется оставить решение в его неявной форме. Нахождение интервалов достоверности из неявных решений часто может быть очень сложным, поэтому мы также не будем заниматься этим для этой задачи.

Как показал последний пример, не всегда возможно найти явные решения, поэтому будьте внимательны к этим случаям.

8.3: Разделимые дифференциальные уравнения — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы
10784

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

Использовать разделение переменных для решения дифференциального уравнения.
Решение приложений с использованием разделения переменных.

Теперь мы рассмотрим метод решения для нахождения точных решений класса дифференциальных уравнений, известных как разделимые дифференциальные уравнения. Эти уравнения распространены в самых разных дисциплинах, включая физику, химию и инженерию. Мы проиллюстрируем несколько приложений в конце раздела.

Разделение переменных

Начнем с определения и нескольких примеров.

автономным дифференциальным уравнением

Стратегия решения проблем: разделение переменных

Проверить любые значения \(y\), которые делают \(g(y)=0.\) Они соответствуют постоянным решениям.
Перепишите дифференциальное уравнение в виде \[ \dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx. \номер\]
Интегрируйте обе части уравнения.
Решите полученное уравнение относительно \(y\), если это возможно.

Если начальное условие существует, подставьте соответствующие значения \(x\) и \(y\) в уравнение и найдите константу.

93−12x}}{3}, \text{, где }C = \pm C_2\text{ или } C = 0.\nonumber \]

Обратите внимание, что при написании одного общего решения таким образом мы также допускаем \(C\) равным \(0\). Это дает нам сингулярное решение \(y = -\dfrac{2}{3}\) для данного дифференциального уравнения. Убедитесь, что это действительно решение этого дифференциального уравнения!

5. Начальное условие не задано, так что мы закончили.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Методом разделения переменных найти общее решение дифференциального уравнения 92+x}} \номер\]

Применение разделения переменных

Многие интересные задачи могут быть описаны с помощью разделимых уравнений. Мы иллюстрируем два типа задач: концентрации растворов и закон охлаждения Ньютона.

Концентрация раствора

Рассмотрим бак, наполненный раствором соли. Мы хотели бы определить количество соли, присутствующей в резервуаре, как функцию времени. Мы можем применить процесс разделения переменных для решения этой задачи и подобных задач, связанных с концентрации раствора .

Пример \(\PageIndex{3}\): Определение концентрации соли в зависимости от времени

В баке, содержащем \(100\) л солевого раствора, первоначально в растворе растворено \(4\) кг соли. В момент времени \(t=0\) в бак поступает другой соляной раствор со скоростью \(2\) л/мин. Этот солевой раствор содержит концентрацию \(0,5\) кг/л соли. При этом на дне бака открывается запорный кран, позволяя объединенному раствору вытекать со скоростью \(2\) л/мин, так что уровень жидкости в баке остается постоянным (рисунок \ (\PageIndex{2}\)). Найдите количество соли в баке как функцию времени (измеряется в минутах) и найдите предельное количество соли в баке, предполагая, что раствор в баке все время хорошо перемешивается.

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Солевой бак с начальным количеством солевого раствора принимает входной поток и обеспечивает выходной поток. Как меняется количество соли со временем?

Решение

Сначала мы определяем функцию \(u(t)\), которая представляет количество соли в баке в килограммах как функцию времени. Тогда \(\dfrac{du}{dt}\) представляет собой скорость, с которой количество соли в резервуаре изменяется в зависимости от времени. Кроме того, \(u(0)\) представляет количество соли в баке в момент времени \(t=0\), что составляет \(4\) килограммов.

Общая установка для дифференциального уравнения, которое мы будем решать, имеет вид при которой соль поступает в резервуар, а СКОРОСТЬ ВЫПУСКА представляет собой скорость, при которой соль покидает резервуар. Поскольку раствор поступает в бак со скоростью \(2\) л/мин, а каждый литр раствора содержит \(0,5\) килограмма соли, каждую минуту \(2(0,5)=1\) килограмма соли поступает в бак. бак. Следовательно, СКОРОСТЬ ПРИТОКА = \(1\).

Чтобы рассчитать скорость, с которой соль покидает резервуар, нам нужна концентрация соли в резервуаре в любой момент времени. Поскольку фактическое количество соли меняется со временем, меняется и концентрация соли. Однако объем раствора остается фиксированным и составляет 100 литров. Количество килограммов соли в баке в момент времени \(t\) равно \(u(t)\). Таким образом, концентрация соли составляет \(\dfrac{u(t)}{100}\) кг/л, а раствор выходит из бака со скоростью \(2\) л/мин. Следовательно, соль покидает резервуар со скоростью \(\dfrac{u(t)}{100}⋅2=\dfrac{u(t)}{50}\) кг/мин, а СКОРОСТЬ ВЫПУСКА равна \( \dfrac{u(t)}{50}\). Следовательно, дифференциальное уравнение принимает вид \(\dfrac{du}{dt}=1−\dfrac{u}{50}\), а начальное условие — \(u(0)=4.\). Начальная задача нужно решить

\[\dfrac{du}{dt}=1−\dfrac{u}{50},u(0)=4.\nonumber \]

Дифференциальное уравнение является разделимым уравнением, поэтому мы можем применить пятиступенчатая стратегия решения.

Шаг 1. Установка \(1−\dfrac{u}{50}=0\) дает \(u=50\) как постоянное решение. Поскольку начальное количество соли в баке составляет \(4\) килограмма, это решение не применимо.

Шаг 2. Перепишите уравнение как

\[\dfrac{du}{dt}=\dfrac{50−u}{50}.\nonumber \]

Затем умножьте обе части на \(dt\) и разделите обе части на \(50−u:\) 9{−t/50} \\ &=50−46(0)=50. \end{align*}\]

Обратите внимание, что это постоянное решение дифференциального уравнения. Если исходное количество соли в баке \(50\) килограммов, то оно остается постоянным. Если он начинается с менее \(50\) килограммов, то со временем приближается к \(50\) килограммам.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Бак содержит \(3\) килограммов соли, растворенной в \(75\) литрах воды. Солевой раствор с концентрацией \(0,4\) кг соли/л закачивают в бак со скоростью \(6\) л/мин и с такой же скоростью сливают. Найдите концентрацию соли в момент времени \(t\). Предположим, что резервуар постоянно хорошо перемешивается. 9{−t/50} \номер\]

Закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона гласит, что скорость изменения температуры объекта пропорциональна разнице между его собственной температурой и температурой окружающей среды (т. е. температурой окружающей среды). Если мы позволим \(T(t)\) представить температуру объекта как функцию времени, то \(\dfrac{dT}{dt}\) представляет скорость изменения этой температуры. Температура окружающей среды объекта может быть представлена \(T_s\). Тогда закон охлаждения Ньютона можно записать в виде

\[ \dfrac{dT}{dt}=k(T(t)−T_s) \nonumber \]

или просто

\[ \dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s). \nonumber \]

Температура объекта в начале любого эксперимента является начальным значением для задачи с начальными значениями. Мы называем эту температуру \(T_0\). Следовательно, начальная задача, которую необходимо решить, принимает вид

\[ \dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s) \label{newton} \]

с \(T(0)= T_0\), где \(k\) — константа, которую необходимо либо задать, либо определить в контексте задачи. Мы используем эти уравнения в примере \(\PageIndex{4}\).

Пример \(\PageIndex{4}\): Ожидание охлаждения пиццы

Пицца вынимается из духовки после тщательной выпечки, а температура духовки составляет \(350°F.\) Температура на кухне \(75°F\), а через \(5\) минут температура пиццы \(340°F\). Мы хотели бы подождать, пока температура пиццы не достигнет \(300°F\), прежде чем нарезать ее и подать на стол (рис. \(\PageIndex{3}\)). Сколько еще нам придется ждать?

Рисунок \(\PageIndex{3}\): Согласно закону охлаждения Ньютона, если пицца охлаждается \(10°F\) за \(5\) минут, через сколько времени она остынет до \(300°F\) ?

Решение

Температура окружающей среды (окружающая температура) равна \(75°F\), поэтому \(T_s=75\). Температура пиццы, когда она выходит из печи, равна \(350°F\), что является начальной температурой (то есть начальным значением), поэтому \(T_0=350\). Следовательно, уравнение \ref{newton} принимает вид

\[\dfrac{dT}{dt}=k(T−75) \nonumber \]

с \(T(0)=350.\)

Чтобы решить дифференциальное уравнение, мы используем пятишаговый метод для решения сепарабельных уравнений.

1. Приравняв правую часть к нулю, получаем \(T=75\) как постоянное решение. Поскольку пицца начинается при \(350°F\), это не то решение, которое мы ищем.

2. Перепишите дифференциальное уравнение, умножив обе части на \(dt\) и разделив обе части на \(T−75\):

\[\dfrac{dT}{T−75}=k\,dt . \nonumber \]

3. Интегрируем обе стороны:

\[\begin{align*} ∫\dfrac{dT}{T−75} &=∫k\,dt \\ \ln|T−75| &=kt+C.\end{align*} \nonumber \]

9{−0,007048t}=\ln\dfrac{9}{11}\nonumber \]

\[−0,007048t=\ln\dfrac{9}{11}\nonumber \]

\[t=−\ dfrac{1}{0.007048}\ln\dfrac{9}{11}≈28.5.\nonumber \]

Следовательно, нам нужно подождать еще \(23,5\) минут (после того, как температура пиццы достигнет \(340 °F\)). Этого времени должно быть достаточно, чтобы закончить этот расчет.

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Пирог достают из духовки после тщательной выпечки, а температура духовки составляет \(450°F\). Температура кухни \(70°F\), а через \(10\) минут температура торта \(430°F\).

Напишите соответствующую задачу с начальными значениями, чтобы описать эту ситуацию.
Решить начальную задачу для \(T(t)\).
Сколько времени потребуется, чтобы температура пирога стала в пределах \(5°F\) от комнатной температуры?

Подсказка: Определите значения \(T_s\) и \(T_0\), затем используйте уравнение \ref{newton}.
Ответить на: Начальная задача \[\dfrac{dT}{dt}=k(T−70),\quad T(0)=450\nonumber \] 9{кт}\номер\]
Ответ c: Приблизительно \(114\) минут.

Ключевые понятия

Разделимое дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в виде \(y’=f(x)g(y).\)
Метод разделения переменных используется для нахождения общего решения разделимого дифференциального уравнения.

Ключевые уравнения

Разделимое дифференциальное уравнение

\(y′=f(x)g(y)\)

Концентрация раствора

\(\dfrac{du}{dt}=\text{СКОРОСТЬ ПРИТОКА − СКОРОСТЬ ОТТОКА}\)

Закон охлаждения Ньютона

\(\dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s)\)

Глоссарий

автономное дифференциальное уравнение: уравнение, в котором правая часть является функцией только \(у\)

отделимое дифференциальное уравнение: любое уравнение, которое можно записать в виде \(y’=f(x)g(y)\)

разделение переменных: метод решения разделимого дифференциального уравнения

Эта страница под названием 8. 3: Дифференциальные уравнения с разделителями распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Включено
да
Теги
1. автономное дифференциальное уравнение
2. расчетный участок: да
3. Закон охлаждения Ньютона
4. Разделение переменных

Дифференциальные уравнения с разделителями – определение, примеры, решение, IVP

Дифференциальные уравнения с разделителями – это особый тип дифференциальных уравнений, в которых участвующие переменные можно разделить, чтобы найти решение уравнения. Разделимые дифференциальные уравнения можно записать в виде dy/dx = f(x)g(y), где x и y — переменные, явно отделенные друг от друга. После разделения переменных решение дифференциального уравнения можно легко определить, проинтегрировав обе части уравнения. Разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = f(x) g(y) после разделения переменных записывается как dy/g(y) = f(x) dx.

В этой статье мы поймем, как решать разделимые дифференциальные уравнения, начальные задачи разделимых дифференциальных уравнений и неразделимых дифференциальных уравнений с помощью решенных примеров для лучшего понимания.

1.	Что такое разделимые дифференциальные уравнения?
2.	Определение разделимых дифференциальных уравнений
3.	Решение разделимых дифференциальных уравнений
4.	Задача с начальными значениями Разделимые дифференциальные уравнения
5.	Часто задаваемые вопросы о разделимых дифференциальных уравнениях

Что такое разделимые дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения, в которых переменные могут быть отделены друг от друга, называются отделимыми дифференциальными уравнениями. Общая форма записи разделимых дифференциальных уравнений: dy/dx = f(x)g(y), где переменные x и y можно отделить друг от друга. Ниже приведены некоторые другие формы разделимых дифференциальных уравнений, которые помогут определить их при решении задач:

f(x)dx = g(y)dy
dy/dx = f(x)/g(y)
dy/dx = f(x) g(y)
г(у) dy/dx = f(x)

Обратите внимание, что все приведенные выше формы разделимых дифференциальных уравнений эквивалентны. Дифференциальное уравнение в приведенном выше виде может быть решено с помощью метода разделения переменных.

Определение разделимых дифференциальных уравнений

Разделимое дифференциальное уравнение определяется как дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x) g(y). Это означает, что f(x) и g(y) могут быть явно записаны как функции переменных x и y. Как следует из названия, в разделимых дифференциальных уравнениях производная может быть записана как произведение функции x и функции y по отдельности. Мы можем проверить, отделимо ли дифференциальное уравнение, проверив, может ли производная dy/dx быть выражена как функция x, умноженная на функцию y.

Некоторые примеры разделимых дифференциальных уравнений приведены ниже:

dy/dx = (x ² + 6)(y — 7)
у’ = cos x сек у
dy/dx = ye ^x
у’ = ху — 3х + 4у — 12
dy/dx = sin у

Решение разделимых дифференциальных уравнений

Теперь, когда мы знаем, как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения, мы научимся их решать. Мы решим разделимое дифференциальное уравнение, чтобы понять процесс их решения. Чтобы решить такие дифференциальные уравнения, выполните следующие основные шаги:

Шаг 1: Запишите производную как произведение функций отдельных переменных, т. е. dy/dx = f(x) g(y)
Шаг 2: Разделите переменные, записав их с каждой стороны равенства, т. е. dy/g(y) = f(x) dx
Шаг 3: Интегрируем обе части и находим значение y и, следовательно, общее решение разделимого дифференциального уравнения, т. е. ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

Пример: Рассмотрим разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = xy + 2 — 2x — y

Сначала мы напишем xy + 2 — 2x — y как произведение функции x и функции y.

dy/dx = xy + 2 — 2x — y

⇒ dy/dx = (x — 1)(y — 2)

⇒ dy/(y — 2) = (x — 1) dx [Разделение переменные]

⇒ ∫dy/(y — 2) = ∫(x — 1) dx [интегрирование обеих частей]

⇒ ln |y — 2| = x ² /2 — x + C ₁ , где C ₁ — постоянная интегрирования

⇒ y — 2 = e ^{x ² /2 — x + C ₁}

⇒ y = 2 + Ce ^{x ² /2 — x} , where e ^{C ₁} = C

Hence, y = 2 + Ce ^{x ² /2 — x} является общим решением разделимого дифференциального уравнения dy/dx = xy + 2 — 2x — y

Задача с начальными значениями Разделимые дифференциальные уравнения

Мы научились находить общее решение разделимых дифференциальных уравнений. Далее мы будем решать задачи с начальными значениями, включающие разделимые дифференциальные уравнения, которые задаются как dy/dx = f(x) g(y), y(x _o ) = y _o , где y _o является фиксированным значением y при x = x _o . Давайте решим пример, чтобы понять его применение и найти конкретное решение.

Пример: Решить дифференциальное уравнение с разделителями dy/dx = (x — 2)(y ² — 9), y(0) = -1

Решение: dy/dx = (x — 2) )(y ² — 9)

⇒ dy/(y ² — 9) = (x — 2)dx

⇒ ∫ (1/(y ² — 9)) dy = ∫(x — 2)дх

⇒ (1/6) ∫ [1/(y — 3)] — [1/(y + 3)] dy = x ² /2 — 2x + C ₁ [С помощью метода интегрирования частичных дробей ]

⇒ (1/6) [пер |у — 3| — ln |y + 3|] = x ² /2 — 2x + C ₁

⇒ ln |y — 3| — пер |у + 3| = 3x ² — 12x + C ₂ , [6C ₁ = C ₂ ]

⇒ ln|(y — 3)/(y + 3)| = 3x ² — 12x + C ₂

⇒ |(y — 3)/(y + 3)| = е ^{3x ² — 12x + С ₂}

⇒ (Y — 3)/(Y + 3) = C ₃ E ^{3x ² — 12x} [C ₃ = ± E ^{C ₂}

3 = ± E ^{C ₂ = ± E ^{C ₂ = ± E ^{C ₂ = ± E ^{C _{2 = ± E ^{C ₂}
= ± E ^{C ₂}. абсолютный знак] — (1)
⇒ y — 3 = C ₃ (y + 3) (e ^{3x ² — 12x} )
⇒ y — 3 = y (C _{93 93 E ^{3x ² — 12x}) + 3 (C ₃ E ^{3x ² — 12x})}
⇒ Y (1 — C ₃ E ^{3x ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 ^{2 2 )1374 — 12x}) = 3 (1 + C ₃ E ^{3x ² — 12x})}}}}}}}}}}}}}}
⇒ y = 3 (1 + C ₃ E ^{3x ² — 12}}}}}}

^{3x ² — 1277777) (7). — C ₃ e ^{3x ² — 12x} )
Теперь, чтобы определить значение C ₃ , подставим начальное значение в общее решение разделительного дифференциального уравнения. Мы можем поместить начальное значение в другое эквивалентное уравнение общего уравнения, которым является уравнение (1). Следовательно, у нас есть
(у — 3)/(у + 3) = С ₃ e ^{3x ² — 12x}
⇒ (-1 — 3)/(-1 + 3) = C ₃3 e9 e9 3(0) ² — 12(0)
⇒ -2 = C ₃
Следовательно, решение начальной задачи есть y = 3(1 — 2 _{e ^{3x ^{4 —3 12x} )/(1 + 2 _{e ^{3x ² — 12x} )}}}
Важные замечания по разделимым дифференциальным уравнениям
и т. д.
Общая форма разделимого дифференциального уравнения: y’ = f(x) g(y)
Метод, используемый для решения разделимых дифференциальных уравнений, называется методом разделения переменных.
Связанные темы по разделимым дифференциальным уравнениям
Правила дифференцирования
Формула дифференцирования и интегрирования
Формула правила продукта
Формула цепного правила
Часто задаваемые вопросы о разделимых дифференциальных уравнениях
Что такое разделимые дифференциальные уравнения в математическом анализе?
Дифференциальные уравнения, в которых переменные могут быть отделены друг от друга, называются разделимыми дифференциальными уравнениями . Общая форма записи разделимых дифференциальных уравнений: dy/dx = f(x)g(y), где переменные x и y можно отделить друг от друга.
Как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения?
Любое дифференциальное уравнение, которое может быть записано в любой из следующих форм, является разделимым дифференциальным уравнением:
f(x) dx = g(y) dy
dy/dx = f(x)/g(y)
dy/dx = f(x) g(y)
г(у) dy/dx = f(x)
Как решать дифференциальные уравнения с разделителями?
Чтобы решить разделимые дифференциальные уравнения, мы можем выполнить следующие основные шаги, указанные ниже:
Шаг 1: Запишите производную как произведение функций отдельных переменных, т. е. dy/dx = f(x) g(y)
Шаг 2: Разделите переменные, записав их с каждой стороны равенства, т. е. dy/g(y) = f(x) dx
Шаг 3: Интегрируем обе части и находим значение y и, следовательно, общее решение разделимого дифференциального уравнения, т. е. ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx
Как узнать, является ли дифференциальное уравнение разделимым?
Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x) g(y), является разделимым дифференциальным уравнением. Следовательно, мы можем проверить, можно ли записать дифференциальное уравнение в заданной форме.
В чем разница между линейными и раздельными дифференциальными уравнениями?
Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, в которых степень производной dy/dx равна 1 и в дифференциальном уравнении не фигурируют никакие другие производные большей степени. С другой стороны, разделимое дифференциальное уравнение определяется как дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x)g(y).
Что такое неразделимые дифференциальные уравнения?
Дифференциальные уравнения, которые нельзя записать в виде dy/dx = f(x) g(y), являются неразделимыми дифференциальными уравнениями. Другими словами, мы можем сказать, что те дифференциальные уравнения, которые не являются сепарабельными, называются несепарабельными дифференциальными уравнениями.
Разделимые уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f ( x , y ) называется разделимым уравнением, если функция f ( x , y ) может быть разложена в произведение . две функции x и y :
\[f\влево({x,y}\вправо) = p\влево(x\вправо)h\влево(y\вправо),\]
, где p ( x ) и ч ( y ) — непрерывные функции.
Рассматривая производную \({y’}\) как отношение двух дифференциалов \({\frac{{dy}}{{dx}}},\), мы перемещаем \(dx\) вправо и делим уравнение на \(h\left( y \right):\)
\[\frac{{dy}}{{dx}} = p\left( x \right)h\left( y \right),\;\; \Rightarrow \frac{{dy}}{{h\left( y \right)}} = p\left( x \right)dx. \]
Конечно, нам нужно убедиться, что \(h\left( y \right) \ne 0.\) Если существует число \({y_0}\) такое, что \(h\left( {{y_0}} \right) = 0,\), то это число также будет решением дифференциального уравнения. Деление на \(h\left( y \right)\) приводит к потере этого решения.
Обозначая \(q\left( y \right) = {\frac{1}{{h\left( y \right)}}},\), запишем уравнение в виде
\[q\влево(у\вправо)dy = p\влево(х\вправо)dx.\]
Мы разделили переменные, так что теперь мы можем интегрировать это уравнение:
\[\int {q\left( y \right)dy} = \int {p\left( x \right)dx} + C,\]
, где \(C\) — постоянная интегрирования.
Вычисляя интегралы, получаем выражение
\[Q\влево(у\вправо) = P\влево(х\вправо) + С,\] 92} + 4} \right)y’ = 2xy.\]
Пример 1.
Решить дифференциальное уравнение \[\frac{{dy}}{{dx}} = y\left( {y + 2} \right).\]
Раствор.
В данном случае \(p\left( x \right) = 1\) и \(h\left( y \right) = y\left( {y + 2} \right). \) Разделим уравнение на \(h\left( y \right)\) и переместить \(dx\) вправо:
\[\frac{{dy}}{{y\left( {y + 2} \right)}} = dx.\]
Можно заметить, что после деления мы можем потерять решения \(y = 0\) и \(y = -2\), когда \(h\left( y \right)\) становится равным нулю. На самом деле, давайте посмотрим, что \(y = 0\) является решением дифференциального уравнения. Очевидно,
\[y = 0,\;\;dy = 0.\]
Подстановка этого в уравнение дает \(0 = 0.\) Следовательно, \(y = 0\) является одним из решений. Точно так же мы можем проверить, что \(y = -2\) также является решением.
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, интегрируем его:
\[\int {\frac{{dy}}{{y\left( {y + 2} \right)}}} = \int {dx} + C.\]
Мы можем вычислить левый интеграл, используя дробное разложение подынтегральной функции:
\[
\frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{A}{y} + \frac{B}{{y + 2}},\;\; \Правая стрелка
\frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{{A\left( {y + 2} \right) + By}}{{y\left( {y + 2} \справа)}},\;\; \Правая стрелка
1 \эквив Ay + 2A + By,\;\; \Правая стрелка
1 \equiv \left( {A + B} \right)y + 2A,\;\; \Правая стрелка
\left\{ {\ begin {массив} {* {20} {c}}
{А + В = 0}\\
{2А = 1}
\end{массив}} \right. ,\;\; \Правая стрелка
\left\{ {\ begin {массив} {* {20} {c}}
{А = \фракция{1}{2}}\\
{В = — \фракция{1}{2}}
\end{массив}} \right..\]
Таким образом, мы получаем следующее разложение рационального интеграла:
\[\frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{y} — \frac{1 }{{у + 2}}} \справа).\]
Следовательно,
\[\ frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{y} — \frac{1}{{y + 2}}} \right)dy} = \int {dx } + С,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{dy}}{y}} — \int {\frac{{dy}}{{y + 2}}}} \right ) = \int {dx} + C,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\ln \left| y \right| — \ln \left| {y + 2} \right|} \right) = x + C,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = х + С,\;\; \стрелка вправо \ln \влево| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = 2х + 2С.\]
Константу можно переименовать: \(2C = {C_1}.\) Таким образом, окончательное решение уравнения запишется в виде
\[\ln \влево| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = 2x + {C_1},\;\; у = 0,\;\; у = — 2. \]
Здесь общее решение выражено в неявной форме. В данном случае мы можем преобразовать выражение, чтобы получить ответ в виде явной функции \(y = f\left( {x,{C_1}} \right),\), где \({C_1}\) — константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений. 92} + 4} \справа).\]
Когда \(C = 0\), оно становится \(y = 0.\)
Дополнительные проблемы см. на стр. 2.
AC Разделимые дифференциальные уравнения
Мотивирующие вопросы
Что такое разделимое дифференциальное уравнение?
Как найти решение разделимого дифференциального уравнения?
Разделимы ли некоторые дифференциальные уравнения, возникающие в приложениях?
В разделах 7.2 и 7.3 мы рассмотрели несколько способов аппроксимации решения задачи с начальным значением. Учитывая частоту, с которой дифференциальные уравнения возникают в окружающем нас мире, нам хотелось бы иметь некоторые методы для нахождения явных алгебраических решений некоторых задач с начальными значениями. В этом разделе мы сосредоточимся на конкретном классе дифференциальных уравнений (называемых сепарабельными ) и разработаем метод нахождения алгебраических формул для их решений.
Разделимое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, алгебраическая структура которого позволяет разделять переменные определенным образом. Например, рассмотрим уравнение
\begin{уравнение*}
\frac{dy}{dt} = ty\text{.}
\end{уравнение*}
Мы хотели бы разделить переменные \(t\) и \(y\) так, чтобы все вхождения \(t\) отображались справа, а все вхождения \(y\) — слева , умноженное на \(dy/dt\text{.}\) В этом примере мы разделим обе части на \(y\), так что
\begin{уравнение*}
\frac1y \frac{dy}{dt} = t\text{.}
\end{уравнение*}
Обратите внимание, что когда мы пытаемся разделить переменные в дифференциальном уравнении, мы требуем, чтобы одна часть была произведением, в котором производная \(dy/dt\) является одним множителем, а другой множитель был исключительно выражением, включающим \(y\ текст{. }\)
Не каждое дифференциальное уравнение разделимо. Например, если мы рассмотрим уравнение
\begin{уравнение*}
\frac{dy}{dt} = t-y\text{,}
\end{уравнение*}
может показаться естественным разделить его записью
\begin{уравнение*}
y + \frac{dy}{dt} = t\text{.}
\end{уравнение*}
Как мы увидим, это бесполезно, поскольку левая часть не является произведением функции \(y\) на \(\frac{dy}{dt}\text{.}\)
Предварительный просмотр 7.4.1.
В этом предварительном упражнении мы исследуем, являются ли определенные дифференциальные уравнения разделимыми или нет, а затем вернемся к некоторым ключевым идеям из предыдущих работ по интегральному исчислению. 92}{2} + С?
\end{уравнение*}
Предположим, мы знаем, что некоторая функция \(f\) удовлетворяет уравнению
\begin{уравнение*}
\int f'(x)~dx = \int x~dx\text{.}
\end{уравнение*}
Что вы можете сказать о \(f\text{?}\)}

Подраздел 7.

Перед тем, как мы обсудим общий подход к решению дифференциального уравнения с разделителями, полезно рассмотреть пример.

Стратегия примера 7.4.1 может быть применена к любому дифференциальному уравнению вида \(\frac{dy}{dt} = g(y) \cdot h(t)\text{, }\) и любое дифференциальное уравнение такого вида называется сепарабельным . Мы пытаемся решить разделимое дифференциальное уравнение, написав

\begin{уравнение*} \frac{1}{g(y)} \frac{dy}{dt} = h(t)\text{,} \end{уравнение*}

, а затем интегрируем обе части относительно \(t\text{.}\). После интегрирования мы пытаемся решить алгебраически для \(y\), чтобы записать \(y\) как функцию \(t\ текст{.}\)

Пример 7.4.2.

Решить дифференциальное уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} =3y\text{.} \end{уравнение*}

Раствор.

Следуя той же стратегии, что и в примере 7. 4.1, мы имеем

\begin{equation*} \frac 1y \frac{dy}{dt} = 3\text{.} \end{equation*}

Интегрирование обеих частей по \(t\text{,}\)

\begin{equation*} \int \frac 1y\frac{dy}{dt}~dt = \int 3~dt\text{,} \end{уравнение*}

и, следовательно, 9{3т}\текст{.} \end{equation*}

Есть еще одно техническое замечание. Обратите внимание, что \(y=0\) является равновесным решением этого дифференциального уравнения. При решении вышеприведенного уравнения мы начинаем с деления обеих частей на \(y\text{,}\), что недопустимо, если \(y=0\text{.}\). Поэтому, чтобы быть предельно осторожным, мы должны рассмотреть равновесные растворы отдельно. В этом случае обратите внимание, что окончательная форма нашего решения отражает равновесное решение, допуская \(C=0\text{.}\)

Мероприятие 7.4.2.

Предположим, что население города постоянно растет со скоростью 3% в год.

Пусть \(P(t)\) будет населением города в год \(t\text{.}\) Напишите дифференциальное уравнение, описывающее годовой темп роста.
Найдите решения этого дифференциального уравнения.
Если известно, что население города в год 0 составляет 10 000 человек, найдите население \(P(t)\text{.}\)
9\circ\) Комната F. Если \(T\) — это температура кофе в градусах Фаренгейта в момент времени \(t\) в минутах, закон охлаждения Ньютона гласит, что
\begin{уравнение*} \frac{dT}{dt} = -k(T-75)\text{,} \end{уравнение*}
, где \(k\) — константа пропорциональности.
1. Предположим, вы измеряете, что кофе охлаждается со скоростью один градус в минуту в то время, когда кофе приносят в комнату. Используйте дифференциальное уравнение, чтобы определить значение константы \(k\text{.}\) 92 + 1}\text{,}\) \(y(0) = 4\)
Подраздел 7.4.2 Резюме
- Разделимое дифференциальное уравнение — это уравнение, которое можно переписать так, чтобы все вхождения зависимой переменной умножались на производную, а все вхождения независимой переменной — в другую часть уравнения.
- Мы можем найти решения некоторых разделимых дифференциальных уравнений путем разделения переменных, интегрирования по \(t\text{,}\) и окончательного решения полученного алгебраического уравнения относительно \(y\text{.}\) 9{6} \end{equation*}
  и чей \(y\)-перехват равен \(3\text{.}\)
  \(y(x) =\) .
  6.
  Масса радиоактивного образца распадается со скоростью, пропорциональной его массе.
  1. Выразите этот факт в виде дифференциального уравнения для массы \(M(t)\), используя \(k\) в качестве константы пропорциональности.
  2. Если исходная масса равна \(M_0\text{,}\), найдите выражение для массы \(M(t)\text{.}\)
  3. период полураспада образца — это количество времени, необходимое для распада половины массы. Зная, что период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет, найдите значение \(k) для образца углерода-14.
  4. Сколько времени требуется, чтобы образец углерода-14 уменьшился до одной четверти своей первоначальной массы?
  5. Углерод-14 естественным образом встречается в окружающей среде; любой живой организм поглощает углерод-14, когда ест и дышит. Однако после смерти организм больше не поглощает углерод-14. Предположим, вы нашли остатки доисторического кострища. Анализируя обгоревшую древесину в яме, вы определяете, что количество углерода-14 составляет всего 30% от количества в живых деревьях. Оцените возраст костра. ²
  7.
  Рассмотрим задачу с начальным значением
  \begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = -\frac ty, \ y(0) = 8 \end{уравнение*}
  1. Найдите решение начальной задачи и нарисуйте его график.
  2. Для каких значений \(t\) определено решение?
  3. Каково значение \(y\) при последнем определении решения?
  4. Глядя на дифференциальное уравнение, объясните, почему мы не должны ожидать решения со значением \(y\), которое вы указали в (c).
  8.
  Предположим, что цилиндрический резервуар для воды с отверстием в дне наполнен водой. Вода, конечно, вытечет и высота воды уменьшится. Пусть \(h(t)\) обозначает высоту воды. Физический принцип, называемый Законом Торричелли , подразумевает, что высота уменьшается со скоростью, пропорциональной квадратному корню из высоты.
  1. Выразите этот факт, используя \(k\) как константу пропорциональности.
  2. Предположим, у вас есть два резервуара, один с \(k=-1\), а другой с \(k=-10\text{.}\) Какие физические различия вы ожидаете обнаружить?
  3. Предположим, у вас есть резервуар, высота которого уменьшается со скоростью \(20\) дюймов в минуту, когда вода заполняется до глубины \(100\) дюймов. Найдите значение \(k\text{.}\)
  4. Решите задачу о начальных значениях для резервуара в части (c) и нарисуйте полученное решение на графике.
  5. Через какое время вода вытечет из бака?
  6. Является ли найденное решение действительным на все времена \(t\text{?}\) Если да, объясните, откуда вы это знаете. Если нет, объясните почему.
  9.
  Уравнение Гомперца — это модель, которая используется для описания роста определенных популяций.
  No related posts.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

график дифференциального уравнения онлайн

Где можно решить любую задачу по математике, а так же график дифференциального уравнения онлайн Онлайн?

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: примеры

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=f(ax+by),

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fxy или y’=fyx

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Объединение сервисов в одну систему

Принцип работы

За счет чего будет развиваться сервис

Преимущества для заказчиков

Преимущества для решающих задания

Преимущества для владельца сервиса

Что необходимо для создания сервиса

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды -примеры решения.

Разделяемые переменные — дифференциальные уравнения

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения — уравнения с разделителями

Раздел 2-2: Разделимые уравнения

8.3: Разделимые дифференциальные уравнения — Математика LibreTexts

Цели обучения

Разделение переменных

Стратегия решения проблем: разделение переменных

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Применение разделения переменных

Концентрация раствора

Пример \(\PageIndex{3}\): Определение концентрации соли в зависимости от времени

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Закон охлаждения Ньютона

Пример \(\PageIndex{4}\): Ожидание охлаждения пиццы

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Ключевые понятия

Ключевые уравнения

Глоссарий

Дифференциальные уравнения с разделителями – определение, примеры, решение, IVP

Что такое разделимые дифференциальные уравнения?

Определение разделимых дифференциальных уравнений

Решение разделимых дифференциальных уравнений

Задача с начальными значениями Разделимые дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы о разделимых дифференциальных уравнениях

Что такое разделимые дифференциальные уравнения в математическом анализе?

Как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения?

Как решать дифференциальные уравнения с разделителями?

Как узнать, является ли дифференциальное уравнение разделимым?

В чем разница между линейными и раздельными дифференциальными уравнениями?

Что такое неразделимые дифференциальные уравнения?

Разделимые уравнения

Пример 1.

AC Разделимые дифференциальные уравнения

Мотивирующие вопросы

Предварительный просмотр 7.4.1.

Подраздел 7.

Пример 7.4.2.

Мероприятие 7.4.2.

Подраздел 7.4.2 Резюме

6.

7.

8.

9.

Добавить комментарий Отменить ответ