Из первого уравнения обратите внимание, что если у нас есть $A_2 = 0$, мы имеем уравнение Ляпунова, к которому обращен вопрос. В более общем случае, когда $A_2 \neq 0$, мы имеем одновременное уравнение «двумерного уравнения Ляпунова». Могу ли я преобразовать эту задачу в нормальное уравнение типа Ляпунова или Сильвестра?
- матрицы
- матричные уравнения
- уравнение Сильвестра
$\endgroup$
$\begingroup$
Я не вижу очевидного способа преобразовать вашу задачу в уравнение Сильвестра. Однако вы по-прежнему можете записать свою задачу в виде системы линейных уравнений, используя метод, который также можно использовать для решения уравнения Сильвестра. А именно, с помощью векторизации и произведения Кронекера. Используя это, ваши два уравнения также можно записать как
\begin{align} (I \otimes A_1 + A_1 \otimes I)\,\text{vec}(X_1) + (I \otimes A_2 + A_2 \otimes I)\,\text{vec}(X_2) &= \text{vec} (С_1), \\ (I \otimes B_1 + B_1 \otimes I)\,\text{vec}(X_1) + (I \otimes B_2 + B_2 \otimes I)\,\text{vec}(X_2) &= \text{vec} (С_2), \\ \end{выравнивание}
с $I$ единичной матрицей $n \times n$.
Это также можно объединить в следующую систему линейных уравнений
$$ \begin{bматрица} I \otimes A_1 + A_1 \otimes I & I \otimes A_2 + A_2 \otimes I \\ I \otimes B_1 + B_1 \otimes I & I \otimes B_2 + B_2 \otimes I \end{bmatrix} \begin{bматрица} \text{vec}(X_1) \\ \text{vec}(X_2) \end{bmatrix} = \begin{bматрица} \text{vec}(C_1) \\ \text{vec}(C_2) \end{bmatrix}, $$
которую можно решить с помощью любого решателя системы линейных уравнений.
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
