Алгебра — уравнения абсолютного значения
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Алгебра
/
Решение уравнений и неравенств
/ Уравнения абсолютного значения
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2.14: Уравнения абсолютного значения
В последних двух разделах этой главы мы хотим обсудить решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютные значения. В этом разделе мы рассмотрим уравнения с абсолютным значением, а в следующем разделе рассмотрим неравенства.
Прежде чем решать, мы должны сначала кратко обсудить, что такое абсолютное значение. Обозначение абсолютного значения \(p\) равно \(\left| p \right|\). Также обратите внимание, что столбцы абсолютных значений НЕ являются круглыми скобками и во многих случаях не ведут себя как скобки, поэтому будьте осторожны с ними.
Существует два способа определения абсолютного значения. Есть геометрическое определение и математическое определение. Мы рассмотрим оба.
Геометрическое определение
В этом определении мы будем думать о \(\left| p \right|\) как о расстоянии \(p\) от начала координат на числовой прямой. Кроме того, мы всегда будем использовать положительное значение расстояния.
Рассмотрим следующую числовую строку.
Отсюда мы можем получить следующие значения абсолютного значения.
\[\слева| 2 \право| = 2\hspace{0,25 дюйма}\влево| { — 3} \право| = 3\hspace{0,25 дюйма}\влево| {\ гидроразрыва {9{2}} \право| = \фракция{9}{2}\]
Все, что нам нужно сделать, это определить точку на числовой прямой и определить ее расстояние от начала координат. Обратите также внимание, что у нас также есть \(\left| 0 \right| = 0\).
Математическое определение
Мы также можем дать строгое математическое/формульное определение для абсолютного значения. Это,
\[\слева| р \право| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}p&{{\mbox{if}}p \ge 0}\\{ — p}&{{\mbox{if}}p < 0}\end{массив}} \right.\]
Это говорит нам посмотреть на знак \(p\), и если он положительный, мы просто опускаем полосу абсолютного значения. Если \(p\) отрицательное, мы опускаем столбцы абсолютного значения, а затем помещаем перед ним отрицательное значение.
Итак, давайте рассмотрим пару быстрых примеров.
\[\begin{выравнивание*}\left| 4 \право| & = 4\hspace{0.25in}{\mbox{потому что }}4 \ge 0\\ \left| { — 8} \право| & = — \left( { — 8} \right) = 8\hspace{0.25in}{\mbox{потому что}} — 8 < 0\\ \left| 0 \право| & = 0\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{потому что}}0 \ge 0\end{align*}\]
Обратите внимание, что они дают точно такое же значение, как если бы мы использовали геометрическую интерпретацию.
Один из способов представления абсолютного значения состоит в том, что оно берет число и делает его положительным. На самом деле мы можем гарантировать, что
\[\слева| р \право| \ge 0\]
независимо от значения \(p\).
Однако мы должны быть осторожны, чтобы не злоупотреблять ни одним из этих определений. Например, мы не можем использовать определение на
\[\слева| { — х} \справа|\]
, потому что мы не знаем значения \(x\).
Кроме того, не делайте ошибку, полагая, что абсолютное значение просто превращает все знаки минус в знаки плюс. Другими словами, не делайте следующую ошибку:
. \[\слева| {4x — 3} \право| \ne 4x + 3\]
Это просто неправда! Если вы не уверены, что верите в это, подставьте число вместо \(x\). Например, если \(x = — 1\), мы получим
\[7 = \влево| { — 7} \право| = \ влево | {4\влево( { — 1} \вправо) — 3} \вправо| \ne 4\влево( { — 1} \вправо) + 3 = — 1\]
Есть несколько проблем с этим. Во-первых, числа явно не совпадают, и это все, что нам действительно нужно, чтобы доказать, что два выражения не совпадают. Однако существует также тот факт, что правильное число отрицательно, и мы никогда не получим отрицательное значение из абсолютного значения! Это также гарантирует, что эти два выражения не совпадают.
Приведенные выше определения легко применить, если все, что у нас есть, это числа внутри полос абсолютного значения.
Однако, как только мы поместили в них переменные, мы должны начать быть очень осторожными.
Пришло время подумать о том, как решать уравнения, содержащие абсолютные значения. Давайте начнем с довольно простого и посмотрим на следующее уравнение.
\[\слева| р \право| = 4\]
Теперь, если мы подумаем об этом с геометрической точки зрения, это означает, что чем бы ни было \(p\), оно должно находиться на расстоянии 4 от начала координат. Ну, есть только два числа, которые находятся на расстоянии 4 от начала координат, а именно 4 и -4. Итак, есть два решения этого уравнения,
\[p = — 4\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{или}}\hspace{0,25 дюйма}p = 4\]
Теперь, если подумать, мы можем сделать это для любого положительного числа, а не только для 4. Итак, это приводит к следующей общей формуле для уравнений, включающих абсолютное значение.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px сплошной черный]{{{\mbox{If}}\left| р \право| = b,\,\,\,b > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{тогда}}p = — b\,\,\ , {\ mbox {или}} p = b}} \] Обратите внимание, что для этого требуется , чтобы \(b\) было положительным числом.
Мы рассмотрим, что произойдет, если \(b\) равно нулю или отрицательно через бит.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 Решите каждую из следующих задач.
- \(\влево| {2x — 5} \вправо| = 9\)
- \(\влево| {1 — 3t} \вправо| = 20\)
- \(\влево| {5y — 8} \вправо| = 1\)
Показать все решения Скрыть все решения
Показать обсуждение
Теперь помните, что абсолютное значение не просто превращает все знаки минус в знаки плюс! Чтобы решить их, мы должны использовать приведенную выше формулу, поскольку во всех случаях число справа от знака равенства положительное.
a \(\left| {2x — 5} \right| = 9\) Показать решение
Здесь действительно нечего делать, кроме как использовать приведенную выше формулу, как указано выше.
Все, что нам нужно отметить, это то, что в приведенной выше формуле \(p\) представляет все, что находится внутри столбцов абсолютного значения, и поэтому в этом случае мы имеем
\[2x — 5 = — 9\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{или}}\hspace{0,25 дюйма}2x — 5 = 9\]
На данный момент у нас есть два линейных уравнения, которые легко решить.
\[\begin{align*}2x & = — 4\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{or}}\hspace{0,25 дюйма}2x = 14\\ x & = — 2\hspace{0,25 дюйма}{\ mbox{или}}\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,x = 7\end{align*}\]Итак, у нас есть два решения уравнения \(x = — 2\) и \(x = 7\).
b \(\left| {1 — 3t} \right| = 20\) Показать решение
Эта часть почти такая же, как и предыдущая, поэтому мы не будем вдаваться в подробности.
\[\begin{align*}1 — 3t & = — 20\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{или}}\hspace{0,25 дюйма}1 — 3t = 20\\ — 3t & = — 21\hspace{ 0.
25in}{\mbox{or}}\hspace{0.25in} — 3t = 19\\ t & = 7\hspace{0.25in}{\mbox{or}}\hspace{0.25in} t = — \frac {{19}}{3}\end{выравнивание*}\]
Два решения этого уравнения: \(t = — \frac{{19}}{3}\) и \(t = 7\).
c \(\left| {5y — 8} \right| = 1\) Показать решение
Опять же, не более того.
\[\begin{align*}5y — 8 & = — 1 & \hspace{0.25in}& {\mbox{or}} & \hspace{0.25in}5y — 8 & = 1\\ 5y & = 7 & \hspace{0,25 дюйма}& {\mbox{или}}& \hspace{0,25 дюйма} 5y & = 9\\ y & = \frac{7}{5}& \hspace{0,25 дюйма}& {\mbox{or}}& \hspace{0,25 дюйма} y & = \frac{9}{5}\end{align *}\]
В этом случае есть два решения: \(y = \frac{7}{5}\) и \(y = \frac{9}{5}\).
Теперь давайте посмотрим, как поступать с уравнениями, для которых \(b\) равно нулю или отрицательно. Мы сделаем это на примере.
Пример 2 Решите каждую из следующих задач.
- \(\влево| {10x — 3} \вправо| = 0\)
- \(\влево| {5x + 9} \вправо| = — 3\)
Показать все решения Скрыть все решения
a \(\left| {10x — 3} \right| = 0\) Показать решение
Давайте подойдем к этому с геометрической точки зрения. Это говорит о том, что количество в столбцах абсолютного значения имеет нулевое расстояние от начала координат. Есть только одно число, обладающее этим свойством, и оно само равно нулю. Итак, у нас должно быть,
\[10x — 3 = 0\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}x = \frac{3}{{10}}\]
В этом случае мы получаем единственное решение.
b \(\left| {5x + 9} \right| = — 3\) Показать решение
Теперь, в этом случае, давайте вспомним, что мы отметили в начале этого раздела, что \(\left| p \right| \ge 0\).
Итак, подводя итог, мы видим, что если \(b\) равно нулю, то мы можем просто отбросить столбцы абсолютного значения и решить уравнение. Точно так же, если \(b\) отрицательно, то не будет решения уравнения.
До сих пор мы рассматривали только уравнения, в которых абсолютная величина равна числу, но нет причин думать, что по другую сторону знака равенства должно быть только число. Точно так же нет причин думать, что в задаче может быть только одно абсолютное значение. Итак, нам нужно взглянуть на пару таких уравнений.
Пример 3 Решите каждую из следующих задач.
- \(\влево| {x — 2} \вправо| = 3x + 1\)
- \(\влево| {4x + 3} \вправо| = 3 — x\)
- \(\влево| {2x — 1} \вправо| = \влево| {4x + 9} \вправо|\)
Показать все решения Скрыть все решения
Показать обсуждение
На первый взгляд, формула, которую мы использовали выше, здесь нам не поможет.
Это требует, чтобы правая часть уравнения была положительным числом. Оказывается, мы все еще можем использовать ее здесь, но нам придется быть осторожными с ответами, так как использование этой формулы иногда приводит к неправильному ответу. Итак, пока мы можем использовать формулу, нам нужно убедиться, что мы проверяем наши решения, чтобы убедиться, что они действительно работают.
a \(\left| {x — 2} \right| = 3x + 1\) Показать решение
Итак, мы начнем с использования приведенной выше формулы, как и в предыдущих задачах, и решим два линейных уравнения.
\[\begin{align*}x — 2 & = — \left( {3x + 1} \right) = — 3x — 1 & \hspace{0,25in} &{\mbox{or}}& \hspace{0,25 in}x — 2 & = 3x + 1\\ 4x & = 1&\hspace{0.25in}&{\mbox{or}} &\hspace{0.25in} — 2x & = 3\\ x & = \frac{ 1}{4}&\hspace{0,25 дюйма}&{\mbox{или}}&\hspace{0,25 дюйма} x &= — \frac{3}{2}\end{align*}\] 9? — \frac{7}{2}\\ \frac{7}{2} & \ne — \frac{7}{2}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{НЕ ОК}}\end{align* }\]
Получаем одинаковое число с каждой стороны, но с противоположными знаками.
Это будет происходить при случае, когда мы решаем такого рода уравнения с абсолютными значениями. Обратите внимание, что здесь нам действительно не нужно было подставлять решение ко всему уравнению. Все, что нам нужно было сделать, это проверить часть без абсолютного значения, и если оно было отрицательным, то потенциальное решение на самом деле НЕ будет решением, а если оно положительное или нулевое, оно будет решением.
Мы предоставим вам проверить, что первое потенциальное решение действительно работает, и поэтому существует единственное решение этого уравнения: \[x = \frac{1}{4}\] и обратите внимание, что это меньше 2 (как требовало наше предположение) и, следовательно, является решением уравнения с абсолютным значением в нем.
Итак, все вместе существует единственное решение этого уравнения: \[x = \frac{1}{4}\].
b \(\left| {4x + 3} \right| = 3 — x\) Показать решение
Этот будет работать почти так же, поэтому мы не будем вдаваться в подробности.
\[\begin{align*}4x + 3 & = — \left( {3 — x} \right) = — 3 + x & \hspace{0,25in} & {\mbox{or}} & \hspace{0,25 in}4x + 3 & = 3 — x\\ 3x & = — 6 & \hspace{0,25in} & {\mbox{or}} & \hspace{0,25in} 5x & = 0\\ x & = — 2 & \hspace{0,25 дюйма} & {\mbox{или}} & \hspace{0,25 дюйма} x & = 0\end{align*}\]
Теперь, прежде чем мы проверим каждый из них, мы должны сделать быстрое предупреждение. Не делайте предположения, что поскольку первое потенциальное решение отрицательное, оно не будет решением. Мы исключаем потенциальное решение только в том случае, если оно делает часть без баров абсолютного значения отрицательной. В этом случае оба возможных решения сделают часть без баров абсолютного значения положительной, и, таким образом, оба являются фактически решениями.
Итак, в этом случае, в отличие от первого примера, мы получаем два решения: \(x = — 2\) и \(x = 0\).
c \(\left| {2x — 1} \right| = \left| {4x + 9} \right|\) Показать решение
Этот случай сильно отличается от всех предыдущих задач, над которыми мы работали до сих пор, и в этом случае формула, которую мы использовали, вообще не работает.
Однако, если мы немного подумаем об этом, мы увидим, что мы все равно сделаем что-то подобное здесь, чтобы получить решение.
Обе части уравнения содержат абсолютные значения, поэтому две стороны равны только в том случае, если две величины внутри столбцов абсолютных значений равны или равны, но с противоположными знаками. Или, другими словами, у нас должно быть
. \[\begin{align*}2x — 1 & = — \left( {4x + 9} \right) = — 4x — 9 & \hspace{0,25in} & {\mbox{or}} & \hspace{0,25 in}2x — 1 & = 4x + 9\\ 6x & = — 8 & \hspace{0,25in} & {\mbox{or}} & \hspace{0,25in} — 2x & = 10\\ x & = — \frac{8}{6} = — \frac{4}{3} & \hspace{0.25in}& {\mbox{or}}& \hspace{0.25in} x & = — 5\end{align* }\]
Теперь нам не нужно проверять наши решения здесь, как мы это делали в предыдущих двух частях этой задачи. Оба с be решения, если мы решили два уравнения правильно. Тем не менее, вероятно, будет хорошей идеей проверить их в любом случае, просто чтобы показать, что метод решения, который мы использовали здесь, действительно работает правильно.
? \влево| {4\влево({- 5}\вправо) + 9? \влево| { — 11} \right|\\ 11 & = 11\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OK}}\end{align*}\]
В этом случае мы получили одно и то же значение внутри баров абсолютного значения.
Итак, как предложено выше, оба ответа действительно работают, и оба являются решениями уравнения.
Итак, как мы видели в предыдущем наборе примеров, нам нужно быть немного осторожными, если по обе стороны от знака равенства есть переменные. Если одна сторона не содержит абсолютного значения, нам нужно посмотреть на два возможных ответа и убедиться, что каждый из них на самом деле является решением.
Уравнения с абсолютной величиной и… Пошаговое решение математических задач
2.8 Уравнения с абсолютной величиной и неравенства
В этом разделе мы описываем методы решения уравнений и неравенств, использующих абсолютное значение. Вспомним из главы 1, что абсолютное значение числа а, записанное |а|, дает расстояние от а до 0 на числовой прямой.
По этому определению уравнение модуля |x| = 3 можно решить, найдя все действительные числа на расстоянии 3 единиц от 0. Как показано на рис. 2.15, существуют два числа, удовлетворяющие этому условию, 3 и -3, так что множество решений уравнения |x| = 3 есть множество {3,-3}.
Рис. или |b-a|, представляет собой расстояние между точками на числовой прямой с координатами a и b. (Проверьте это для 3 и -3 на рис. 2.15.) Эта концепция используется в простых уравнениях, включающих абсолютное значение.
Пример 1.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ АБСОЛЮТНОГО УРАВНЕНИЯ
Решить |p-4|=5.
Выражение |p-4| представляет собой расстояние между p и 4. Уравнение |p-4|=5 можно решить, найдя все действительные числа, отстоящие от 4 на 5 единиц. Как показано на рисунке 2.16, эти числа равны -1 и 9. Набор решений {-1,9}.
РИСУНОК 2.16
Определение абсолютного значения приводит к следующим свойствам абсолютного значения, которые можно использовать для алгебраического решения уравнений абсолютного значения.
Решение Уравнения абсолютных значений
Решите каждое уравнение
(a) | 5-3M | = 12
Свойство (1) выше, с = 5-3 м. -3м=12 или 5-3м=-12.
Решите каждое уравнение
5-3M = 12
-3M = 7
M = -7/3
или
5-3M = -12
-3M = -17
М = 17/170004
-3M = -17
M = 17/17/ 3
Набор решений {-7/3,17/3}.
(b) |4m-3|=|m+6|
По свойству (2) выше, это уравнение будет истинным, если
4m-3=m+6 или 4m-3=-(m+6).
Решите каждое уравнение.
4M-3 = M+6
3M = 9
M = 3
или
4M-3 =-(M+6)
4M-3 = -M-6
5M = -3
m=-3/5
Набор решений |4m-3|=|m+6| таким образом {3,-3/5}.
АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Метод, используемый для решения уравнений с абсолютными значениями, может быть расширен для решения неравенств с абсолютными значениями.
Пример 3.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДЛЯ АБСОЛЮТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
(a) Решите |x|<5.
Поскольку абсолютное значение дает расстояние между числом и 0, неравенству |x|<5 удовлетворяют все действительные числа, расстояние от которых до 0 меньше 5. Как показано на рис. 2.17, решение включает все числа от -5 до 5 или . В интервальных обозначениях решение записывается как открытый интервал (-5,5). Граф множества решений показан на рис. 2.17.
РИСУНОК 2.17
(b) Решите |x|>5.
По аналогии с панорамированием (а) мы видим, что решение |x|>5 состоит из всех действительных чисел, расстояние которых от 0 больше 5. Сюда входят числа больше 5 или меньше -5 😡<-5 или x>5. РИСУНОК 2.18
Набор решений показан на рис. 2.18.
Следующие свойства абсолютного значения, которые можно получить из определения абсолютного значения, используются для решения абсолютных неравенств.
РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА
Для любого положительного числа b
1. |a|
2. |a|>b тогда и только тогда, когда a<-b или a>b.
Пример 4
РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА
Решить |x-2|<5.
Этому неравенству удовлетворяют все действительные числа, расстояние от которых до 2 меньше 5. Как показано на рис. 2.19, набором решений является интервал (-3, 7). Свойство (1) выше можно использовать для решения неравенства следующим образом. Пусть a=x-2 и b=5, так что |x-2|<5 тогда и только тогда, когда
-5 Добавление 2 к каждой части этого трехчастного неравенства дает -3 , что дает интервальное решение (-3,7). РИСУНОК 2.19 Пример 5 РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА Решите |x-8|>=1. Все числа, расстояние которых от 8 больше или равно 1, являются решениями. x-8<=-1 или x-8> =1 x<=7 или x>=9. Множество решений (-∞,7) {объединение} (9,∞) показано на рис. 2.20 РИСУНОК 2.20 Приведенные выше свойства для решения абсолютных неравенств требуют, чтобы выражение абсолютного значения было единственным на одной стороне неравенства. В примере 6 показано, как выполнить это требование, если сначала это не так. Пример 6 РЕШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НЕРАВЕНСТВА, ТРЕБУЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Решить |2-7m|-1>4. Чтобы использовать приведенные выше свойства абсолютного значения, сначала добавьте l к обеим сторонам; это дает |2-7м|>5. Теперь используйте свойство (2) выше. По этому свойству |2-7m|>5 тогда и только тогда, когда 2-7m<-5 или 2-7m>5. Решите каждое из этих неравенств отдельно, чтобы получить набор решений (-∞,-3/7) {объединение} (1,∞). Если уравнение абсолютного значения или неравенство записаны с 0 или отрицательным числом на одной стороне. такие как |2-5x|>=-4, мы не решаем, применяя методы предыдущих примеров. Используйте тот факт, что абсолютное значение любого выражения должно быть неотрицательным числом, чтобы решить уравнение или неравенство. Пример 7 РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ АБСОЛЮТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Используйте тот факт, что абсолютное значение всегда равно неравенству. способами неотрицательными для решения каждого уравнения или неравенства. (a) |2-5x|>=-4 Поскольку абсолютное значение числа всегда неотрицательно, |2-5x|>=-4 всегда верно. Набор решений включает все действительные числа, записанные (-∞,∞). (b) |4x-7|<-3 Абсолютное значение любого числа никогда не будет меньше -3 (или меньше любого отрицательного числа). По этой причине множество решений этого неравенства {пусто}. (c) |5x+15|=0 Абсолютное значение числа будет равно нулю только в том случае, если это число равно 0. Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров. Решите похожую задачуВведите свою задачу Пример 8 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕРАВЕНСТВ АБСОЛЮТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОПИСАНИЯ РАССТОЯНИЙ Запишите каждое утверждение, используя неравенство абсолютного значения. (a) k не менее 5 единиц из 8. Поскольку расстояние от k до 8, записанное |k-8| или |8-к|. не меньше 5, расстояние больше или равно 5. Запишите это как |k-8|>=5. (b) n находится в пределах 0,001 от 6. Это утверждение указывает, что n может быть на 0,001 больше 6 или на 0,001 меньше 6.
Чтобы найти решение, используя вышеприведенное свойство (2), пусть a = x — 8 и b = 1, так что |x-8|>=1 тогда и только тогда, когда Таким образом, это уравнение эквивалентно 5x+15=0, которое имеет набор решений {- 3}.
Мы заканчиваем этот раздел примером, показывающим, как некоторые утверждения, связанные с расстоянием, могут быть описаны с помощью абсолютных неравенств.