Онлайн систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гаусса ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½: ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса

БистСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°:

ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ нашСго ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ задаСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚.Β Π΅. ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ коэффициСнтов ΠΈ свободных Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² размСрности [n : n+1] Π²ΠΈΠ΄Π°:

ОписаниС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Гаусса слСдуСт сразу Π·Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

PLANETCALC, РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса
РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса
8 3 4 5 31 14 4 33 23 17 15 4 23 7 22 4 11 17 1 51

БЛАУ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вычислСния

Π—Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой: 2

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Β 

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Β 

save Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ extension Π’ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π±Ρ‹Π» Π½Π°Π·Π²Π°Π½ Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ гСниального Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° XIX Π²Π΅ΠΊΠ° ΠšΠ°Ρ€Π»Π° Π€Ρ€ΠΈΠ΄Ρ€ΠΈΡ…Π° Гаусса. Π‘Π°ΠΌ Гаусс Π½Π΅ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° (ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π±Ρ‹Π» извСстСн ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ (Π΅Ρ‰Π΅ Π² I-II Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ Π½. э. ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ упоминался Π² китайском Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π΅ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² дСвяти ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ…Β»).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊ ступСнчатому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ

На ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ шагС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° коэффициСнтов ΠΈ свободных Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² приводится ΠΊ ступСнчатому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° прСвращаСтся Π² ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ΅Π½Ρ‡Π°Ρ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ элСмСнтарных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π° строк мСстами, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ строки Π½Π° коэффициСнт, слоТСниС строк.
Π’ нашСм ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ступСнчатому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ осущСствляСтся ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… строк ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° , Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… строк , ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° коэффициСнт , Π³Π΄Π΅ i β€” индСкс Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ строки (индСкс строки, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… строк).
ΠŸΡ€ΠΈ осущСствлСнии этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ трСбуСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ коэффициСнт Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π±Ρ‹Π» Π½Π΅ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ. Π’ случаС Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта, строка мСняСтся мСстами с любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ строкой, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π² Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΌ столбцС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля.

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ базисных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ΅Π½Ρ‡Π°Ρ‚ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ базисных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, для этого сначала выполняСтся Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ строки Π½Π° коэффициСнт , Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ производится ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… строк , этой строки , ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° коэффициСнт , Π³Π΄Π΅ j β€” индСкс Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ строки (индСкс строки, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… строк). ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ повторяСтся с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строкой, начиная ΠΎΡ‚ n-ΠΉ Π΄ΠΎ 1-ΠΉ.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
,
Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΠ² строки ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° коэффициСнт , Π² столбцС свободных Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ любой систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ нСизвСстных являСтся Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ достаточно простым ΠΏΡ€ΠΈ нСбольшом количСствС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ унивСрсалСн, Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚:

  • СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅;
  • бСсконСчноС мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ;
  • вовсС Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° состоит Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… эквивалСнтных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π² систСмС, ΠΊΠ°ΠΊ:

  • ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ мСстами;
  • ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй уравнСния Π½Π° любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 0;
  • ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… частСй Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· строк Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° пСрСмСнная xi.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса позволяСт Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ БЛАУ ΠΏΡ€ΠΈ нСбольшом числС Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

  • записываСм систСму Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹;
  • прямой Ρ…ΠΎΠ΄Β β€” ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ ступСнчатому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ;
  • ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ…ΠΎΠ΄Β β€” ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ступСнчатому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π° систСма ΠΈΠ· n ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с n нСизвСстными ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:
РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ основной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.

Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΠ· всСх ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ систСмы ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ…

1, начиная со 2-Π³ΠΎ, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ:

  • ΠΊΠΎ 2-ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 1-Π΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Β β€” Π°21/Π°11;
  • ΠΊ 3-ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 1-Π΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Β β€” Π°31/Π°11, ΠΈ Ρ‚.Π΄.;
  • ΠΊ n-ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 1-Π΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Β β€” Π°n1/Π°11.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ систСма приняла Π²ΠΈΠ΄:
РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
Π”Π°Π»Π΅Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ…2 ΠΈΠ· всСх ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, начиная с 3-Π³ΠΎ.

Для этого ΠΊ 3-ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ прибавляСм 2-Π΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Β β€” Π°32/Π°22 ΠΈ Ρ‚.Π΄. К n-ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 2-Π΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Β β€” Π°n2/Π°22.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ способом ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ…3 ΠΈΠ· всСх ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ систСмы, начиная с 4-Π³ΠΎ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ Ρ…ΠΎΠ΄ продолТаСтся, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π² послСднСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ останСтся СдинствСнная нСизвСстная. БистСма Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π°nn(n-1) Ρ…n = bn(n-1)

ПослС окончания прямого Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Гаусса — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ нСизвСстных, вычисляСм Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π² послСднСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ:

  • ΠΈΠ· послСднСго уравнСния систСмы Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ…n ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  • ΠΈΠ· прСдпослСднСго уравнСния Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ…n-1 ΠΈ Ρ‚.Π΄.
  • ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ…1.

ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСизвСстных, начиная с послСднСго уравнСния ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ, называСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ссли Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Π° нулСвая строка, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (свободный Ρ‡Π»Π΅Π½) Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0, систСма нСсовмСстима, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

Для быстрого ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ БЛАУ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.


РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса
123456 Β β€” количСство нСизвСстных
ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС раздСлитСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² числах: 0123456789101112

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

ΠšΠ°Ρ€Π» Π€Ρ€ΠΈΠ΄Ρ€ΠΈΡ… Гаусс — Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ, ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, астроном ΠΈ гСодСзист. Он считаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² всСх Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ‘Π½, Β«ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ»Ρ‘ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Β». И Π΄Π°ΠΆΠ΅ избирался иностранным ΠΏΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠΉ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊ. Для творчСства Гаусса Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Π° органичСская связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тСорСтичСской ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ, ΡˆΠΈΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π’Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ Гаусса ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ большоС влияниС Π½Π° Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, матСматичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ элСктричСства ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠ·ΠΌΠ°, Π³Π΅ΠΎΠ΄Π΅Π·ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² астрономии. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса являСтся самым Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ способом Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π½ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π² условиях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчноС количСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ нСсовмСстна. Однако ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСизвСстных, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² основу ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Гаусса, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм.

Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса

Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΡˆΡƒ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ «Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ логарифмичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ»

РСшим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ 2 ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, избавимся ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ \[x_2\] Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… уравнСниях:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ \[x_2\] ΠΈΠ· 3 ΠΈ 4 ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. К 3 строкС Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 2, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° \[\frac{1}{4}, \] Π° ΠΊ \[4 — 2,\] ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° \[\frac{7}{1}. \]

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ уравнСния ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ \[x_3\] ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Для этого ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ строкС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° \[-\frac{18}{18}=-1.\] ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹.

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]

Заданная систСма эквивалСнтна, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ получСнная ΠΈ данная систСмы — совмСстны ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹. ИскомоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ «Ρ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°». Из Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

\[x_4=-\frac{7}{18}.\]

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ подставляСм Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40,\]

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°

\[x_3=\frac{13}{9}.\]

Π”Π°Π»Π΅Π΅, подставляСм значСния \[x_3\] ΠΈ \[x_4\] Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы:

\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8,\]

Ρ‚.Π΅.

\[x_2=-\frac{43}{18}.\]

НаконСц, подстановка Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \[x_2, x_3, x_4\] Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚:

\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1,\]

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\[x_1=\frac {2}{3}.\]

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

\[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18}).\]

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ — это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² нашСй Π³Ρ€ΡƒΠΏΠ΅ Π’ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π΅ http://vk.com/pocketteacher. ВступайтС Π² Π½Π°ΡˆΡƒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ, ΠΌΡ‹ всСгда Ρ€Π°Π΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π²Π°ΠΌ.

РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса-Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½Π°

ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса–Жордана β€” ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ извСстных ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ примСняСмых ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΌ нСдостатком,
Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° detA = 0, Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ лишь СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ detA Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ 0. Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСдостатком являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ объСм матСматичСских вычислСний
Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… этих ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎ возрастаСт с ростом числа ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса практичСски свободСн ΠΎΡ‚ этих нСдостатков.

Алгоритм ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Гаусса

  1. На основании систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ составляСм Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ систСмы;
  2. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ Β«Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒΒ» Π²ΠΈΠ΄Ρƒ;
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π½Π³ΠΈ основной ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ΠΈ Π½Π° основании этого Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ совмСстности систСмы ΠΈ количСствС допустимых Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ;
  4. Π’ случаС, Ссли систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ подстановку ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ, Ссли систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ: Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ базисныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
    ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния;

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 2 ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Гаусса. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ всС элСмСнты располоТСнныС Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Для привСдСния исходной Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° свойства ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ:

Бвойство 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ своС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ссли ΠΊΠΎ всСм элСмСнтам ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ строки (столбца) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ строки (столбца), ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число.

Бвойство 2. ΠŸΡ€ΠΈ пСрСстановкС Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… столбцов ΠΈΠ»ΠΈ строк ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° опрСдСлитСля остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

На основании этих свойств ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ составим Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ прСобразования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:

  1. РассматриваСм строку i(начиная с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ). Если, элСмСнт aii Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, мСняСм мСстами i-ю ΠΈ i+1-ю строки ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π—Π½Π°ΠΊ опрСдСлитСля ΠΏΡ€ΠΈ этом измСнится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ. Если a11 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΡˆΠ°Π³Ρƒ;
  2. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строки j, Π½ΠΈΠΆΠ΅ i-ΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнта Kj=aji/aii;
  3. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ элСмСнты всСх строк j, располоТСнных Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ строки i, с использованиСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… коэффициСнтов ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: ajkΠ½ΠΎΠ².=ajk-Kj*aik;
    ПослС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ, возвращаСмся ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΡˆΠ°Π³Ρƒ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° ΠΈ рассматриваСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ строку, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ добСрСмся Π΄ΠΎ строки i=n-1, Π³Π΄Π΅ n β€” Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A
  4. Π’ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ расчитываСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх элСмСнтов Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Пaii, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ являтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ;

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΡΡƒΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Нам Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ всС элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ столбцС.
Для этого ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ строку, Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌ число (Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ± ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ноль Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ элСмСнтС строки), ΠΈΠ· всСх Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… строк.
Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ строки, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ столбцС Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. И Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ добСрСмся Π΄ΠΎ прСдпослСднСй строки.

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 3 ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Гаусса. Π Π°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° m Γ— n называСтся Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΉ порядок ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A обозначаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· r(A) = rangA = rankA.
ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ M (ΠΎΡ‚ латинского β€œminor” мСньший) k-Π³ΠΎ порядка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A называСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, составлСнной ΠΈΠ· элСмСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A, стоящих Π½Π° пСрСсСчСнии ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… k
строк ΠΈ k столбцов с сохранСниСм ΠΈΡ… порядка. Если Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° столбцов, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… располоТСн ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ с Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ строк, Ρ‚ΠΎ этот ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ называСтся Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ. КаТдая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° A порядка n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚
(Ckn)2 ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² k-Π³ΠΎ порядка. ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ 1-Π³ΠΎ порядка ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ сами элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° сравнСнии ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π½Π³ΠΎΠ² для основной ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ систСмы:

  • Ссли Ρ€Π°Π½Π³ основной систСмы Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ€Π°Π½Π³Ρƒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ систСмы (rangA=rangA’=n), Ρ‚ΠΎ систСма совмСстна ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅;
  • Ссли Ρ€Π°Π½Π³ основной систСмы Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ€Π°Π½Π³Ρƒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ мСньшС числа ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² систСмС (rangA=rangA’
  • Ссли Ρ€Π°Π½Π³ основной систСмы мСньшС Ρ€Π°Π½Π³Π° Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ (rangA

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Для удобства ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΊΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° нСзависимой Π±ΠΈΡ€ΠΆΠ΅. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ± условиях ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΊΠΈ Ρ‚ΡƒΡ‚.

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСизвСстныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² уравнСниях ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса?

Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Гаусса ΠΈΠ»ΠΈ рСдукция строки — это Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСтся ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Гаусса-Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½Π°. Он прСдставлСн ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, выполняСмых Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠšΠ°Ρ€Π»Π° Π€Ρ€ΠΈΠ΄Ρ€ΠΈΡ…Π° Гаусса (1777-1855), хотя Π±Ρ‹Π» извСстСн китайским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ.ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. НапримСр, сущСствуСт связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ систСмой Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ коэффициСнтов. $$ \ begin {align} & a_1x + b_1y + c_1z = {d_1} \\ & a_2x + b_2y + c_2z = {d_2} \\ & a_3x + b_3y + c_3z = {d_3} \\ \ end {align} \ quad \ longmapsto \ left ( \ BEGIN {массив} {} ссс {a_1} & b_1 & c_1 \\ {a_2} & b_2 & c_2 \\ {a_3} & b_3 & c_3 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с элСмСнтарными строками:

  • Π—Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… рядов;
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ строки Π½Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ число;
  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ строкС, ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ строкС.
ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… частСй. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ сводит Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ систСму ΠΊ \ underline {Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ эшСлона строк}. Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ эшСлона строк ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ систСмы Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ части ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ строковыС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° рядного эшСлона удовлСтворяСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ свойствам:
  • Π‘Ρ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строки Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ 1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€;
  • ВсС элСмСнты Π² столбцС Π½ΠΈΠΆΠ΅ $ 1 $ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ $ 0 $;
  • ВсС строки, содСрТащиС Π½ΡƒΠ»ΠΈ, находятся Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
НапримСр, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ эшСлона строк $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {} ΠΊΡƒΠ±.см 1 ΠΈ 5 \\ 0 ΠΈ 1 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа), \ quad \ left ( \ BEGIN {массив} {} сссс 1 ΠΈ 1 ΠΈ 0 ΠΈ 5 \\ 0 ΠΈ 1, 3 ΠΈ 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа), \ quad \ left ( \ BEGIN {массив} {} сссс 1 ΠΈ 2 ΠΈ 3 ΠΈ 4 \\ 0 ΠΈ 1, 3 ΠΈ 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° находится Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ сокращСнного эшСлона строк , Ссли, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ столбцС, содСрТащСм Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт, всС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ записи Π² этом столбцС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.НапримСр, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π² сокращСнной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ эшСлона строк. $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {} ΠΊΡƒΠ±.см 1 & 0 \\ 0 ΠΈ 1 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа), \ quad \ left ( \ BEGIN {массив} {} сссс 1 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа), \ quad \ left ( \ BEGIN {массив} {} сссс 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, получСнная ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ добавлСния столбцов Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.Π’ случаС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ коэффициСнтов ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ коэффициСнтов ΠΈ постоянной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, для систСмы Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ $$ \ begin {align} & a_1x + b_1y + c_1z = {d_1} \\ & a_2x + b_2y + c_2z = {d_2} \\ & a_3x + b_3y + c_3z = {d_3} \\ \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {Π’Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅} $$ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ систСмы зависит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π½Π³Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ систСму, ΠΈ Ρ€Π°Π½Π³Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.На основании Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π°-КапСлли любая систСма ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ссли Ρ€Π°Π½Π³ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π½Π³ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ коэффициСнтов. Если Ρ€Π°Π½Π³ΠΈ этих Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, систСма Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. РСшСниС ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π½Π³ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ количСству ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС, Ссли Ρ€Π°Π½Π³ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3 $. НапримСр, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса $$ \ begin {align} & 4x + 5y + 3z = {10} \\ & 3x + 6y + 7z = {8} \\ & 2x + 3y + 0z = {8} \\ \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {Π’Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅} $$ ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ постоянныС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ систСмы Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {} ссс 4 ΠΈ 5 ΠΈ 3 \\ 3 ΠΈ 6 ΠΈ 7 \\ 2 ΠΈ 3 ΠΈ 0 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа), \ quad \ left ( \ BEGIN {массив} {с} 10 \\ 8 \\ 8 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 4 ΠΈ 5 ΠΈ 3 ΠΈ 10 \\ 3 ΠΈ 6 ΠΈ 7 ΠΈ 8 \\ 2 ΠΈ 3 ΠΈ 0 ΠΈ 8 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту систСму, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ сокращСнной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ эшСлона строк ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ строку $ 1 $ Π½Π° $ 4 $ ($ R_1 = \ frac {R_1} 4) $, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 3 ΠΈ 6 ΠΈ 7 ΠΈ 8 \\ 2 ΠΈ 3 ΠΈ 0 ΠΈ 8 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$
  • Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ строку $ 1 $, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° $ 3 $, ΠΈΠ· строки $ 2 $ ($ R_2 = R_2-3R_1 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 0 & \ frac 94 & \ frac {19} 4 & \ frac 12 \\ 2 ΠΈ 3 ΠΈ 0 ΠΈ 8 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа) $$
  • Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ строку $ 1 $, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° $ 2 $, ΠΈΠ· строки $ 3 $ ($ R_3 = R_3-2R_1 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 0 & \ frac 94 & \ frac {19} 4 & \ frac 12 \\ 0 & \ frac12 & — \ frac 32 & 3 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа) $$
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ строку $ 2 $ Π½Π° $ \ frac 49 $ ($ R_2 = \ frac49 R_2 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\\ 0 & \ frac12 & — \ frac 32 & 3 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа) $$
  • Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ строку $ 2 $, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° $ \ frac 54 $, ΠΈΠ· строки $ 1 $ ($ R_1 = R_1- \ frac54 R_2 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & 0 & — \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & \ frac12 & — \ frac 32 & 3 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа) $$
  • Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ строку $ 2 $, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° $ \ frac 12 $, ΠΈΠ· строки $ 3 $ ($ R_3 = R_3- \ frac12R_2 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & 0 & — \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & 0 & — \ frac {23} 9 & \ frac {26} 9 \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ строку $ 3 $ Π½Π° $ — \ frac9 {23} $ ($ R_3 = — \ frac9 {23} R_3 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & 0 & — \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {26} {23} \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа) $$
  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ строку $ 3 $, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° $ \ frac {17} 9 $, Π² строку $ 1 $ ($ R_1 = R_1 + \ frac {17} 9R_3 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & 0 & 0 & \ frac2 {23} \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {26} {23} \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ справа) $$
  • Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ строку $ 3 $, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° $ \ frac {19} 9 $, ΠΈΠ· строки $ 2 $ ($ R_2 = R_2- \ frac {19} 9R_3 $), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ $$ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ( \ BEGIN {массив} {ссс | с} 1 & 0 & 0 & \ frac2 {23} \\ 0 & 1 & 0 & \ frac {60} {23} \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {26} {23} \\ \ {ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† массива} \ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°) $$ Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы: $ (x, y, z) = (\ frac {2} {23}, \ frac {60} {23}, — \ frac {26} {23}) $.
Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с устранСниСм Гаусса с шагами ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ пошаговоС вычислСниС для поиска Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с использованиСм ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса. Для любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ систСмы просто Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² качСствС коэффициСнтов Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΡƒΒ». Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса для создания Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ, ΠΈΠ»ΠΈ для эффСктивного выполнСния Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… прилоТСниях Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° этот ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Гаусса ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ вычислСния для ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. ,

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€: ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса

БистСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ нашСго ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса систСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прСдставлСна ​​как Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, содСрТащая коэффициСнты уравнСния ΠΈ постоянныС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ [n: n + 1]:

PLANETCALC, Gaussian elimination
Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Гауссу
8 3 4 5 31 14 4 33 23 17 15 4 23 7 22 4 11 17 1 51

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вычислСния

Π¦ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ послС дСсятичной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: 2

ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚

Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Гауссу

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠšΠ°Ρ€Π»Π° Π€Ρ€ΠΈΠ΄Ρ€ΠΈΡ…Π° Гаусса, гСниального Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 19 Π²Π΅ΠΊΠ°.Π‘Π°ΠΌ Гаусс Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π» этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ строк Π±Ρ‹Π» извСстСн Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΠΌ китайским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» описан Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Β«Π”Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π² матСматичСского искусства», китайской ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠ·Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎ II Π²Π΅ΠΊΠ΅.

Ликвидация Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ этапом ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса являСтся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ строковой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. ЛСвая ниТняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ содСрТит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΈ всС Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ строки находятся Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… строк:

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΊ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ элСмСнтарных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ со строками: ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π΄Π²Π΅ строки, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ строку Π½Π° константу, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ строкС скалярноС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.
Наш ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡΡˆΠ΅Π»ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вычитания Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… строк, умноТСния Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ строки, умноТСния Π½Π°, Π³Π΄Π΅ i — вСдущая строка коэффициСнтов (вСдущая строка).
Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ нуля Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт. Если ΠΎΠ½ становится Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, строка замСняСтся Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½ΠΈΠ·ΠΊΡƒΡŽ с Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°

На этом этапС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с элСмСнтарными строками ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НаконСц, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° прСобразуСтся Π² сокращСнный Π²ΠΈΠ΄ эшСлона строк:
,
.

.

Π£Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ химичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса

с использованиСм ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса для опрСдСлСния стСхиомСтричСских коэффициСнтов химичСского уравнСния. Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Гаусса (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстноС ΠΊΠ°ΠΊ сокращСниС строк) — это числСнный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠšΠ°Ρ€Π»Π° Π€Ρ€ΠΈΠ΄Ρ€ΠΈΡ…Π° Гаусса (1777-1855).


ВсС химичСскиС уравнСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сбалансированы.Π§Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сбалансированным? Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ сохранСния массы. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ сохранСния массы гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ химичСской Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ матСрия Π½Π΅ создаСтся ΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ химичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ количСство Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π½Π° ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторонах уравнСния.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ нСсбалансированноС химичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ «Баланс» (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ca3 (po4) 2 (s) + h3so4 (aq) = h4po4 (aq) + caso4 (s)).

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  • Π’ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ элСмСнты с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон уравнСния
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ значСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ag no3 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ agno3
  • ВсС скобки ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Na2Zn3 [Fe (CN) 6] 2 * 9h3O
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ввСсти Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ заряда, просто Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ (Al3 +, Nh5 +, SO42-) ΠΈΠ»ΠΈ явно ΠΎΠ±ΡŠΡΠ²ΠΈΡ‚Π΅ (Hg2 ^ 2 +)
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ввСсти Π·Π½Π°ΠΊ уравнСния, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ символы Β«=Β», Β«->Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«β†’Β».
  • Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ строчными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ. Если элСмСнты Π² химичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ написаны с Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ смарт-кСйсов оставит ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ.
  • Для обозначСния физичСских состояний, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, (l) для ТидкостСй, (g) для Π³Π°Π·ΠΎΠ² ΠΈ (aq) для вСщСств, растворСнных Π² Π²ΠΎΠ΄Π΅.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ химичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
Балансировка ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π”Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ балансировании ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ матСматичСскими ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ:

1.Π£Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ матСматичСского ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ матСматичСски Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ химичСскими. Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ уравнСния ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ элСктронному балансу, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ количСство элСктронов, высвобоТдаСмых Π² Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ окислСния, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСству элСктронов, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ восстановлСния.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ измСнСния ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

2.УравнСния ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° часто Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΈ Π΅Π΅ ΠΈΠΎΠ½Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. H 2 O, H + ΠΈΠ»ΠΈ OH (Π² зависимости ΠΎΡ‚ срСды) ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ нСобходимости, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рСакция ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π² Π²ΠΎΠ΄Π΅. Напротив, матСматичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹, ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π±Ρ‹Π»ΠΈ явно ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ измСнСния ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

,{-1} $.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† 2 $ \ times $ 2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅

.

$ A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 3 \\ 2 & 7 \ end {array}} \ right]

долл. БША

РСшСниС:

Π¨Π°Π³ 1: ΠŸΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части $ A $:

$ A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 3 \\ 2 & 7 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {синиС} {1} & \ {Ρ†Π²Π΅Ρ‚ синСго} {0} \\ \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {синиС} {0} & \ {Ρ†Π²Π΅Ρ‚ синСго} {1} \ end {array}} \ right.} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ] $

Π¨Π°Π³ 2: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠΉΡ‚Π΅ ΠΊ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ со строками, ΠΏΠΎΠΊΠ° лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎ $ I $. ВычислСния:

$$ \ ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ {Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ} & \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {красный} {1} & \ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ {красный} {3} \\ {2 — \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {1}} & {7 — \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {3}} \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {красный} {1} & \ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ {красный} {0} \\ {0 — \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {1}} & {1 — \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {0}} \ end {array}} \ right.} \ right] \ \ Row2 = Row2 — \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {Row1} \\ & \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 3 \\ 0 & 1 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 \\ {- 2} & 1 \ end {array}} \ right.} \ right] \\ & \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {1 — \ color {blue} {3} \ cdot \ color {red} {0}} & {3 — \ color {blue} {3} \ cdot \ color {red} {1}} \\ \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {красный} {0} & \ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ {красный} {1} \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} {1 — \ color {blue} {3} \ cdot \ color {red} {(- 2)}} & {0 — \ color {blue} {3} \ cdot \ color {red} {1}} \\ \ color {красный} {- 2} & \ color {красный} {1} \ end {array}} \ right.{-1} = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 7 & {- 3} \\ {-2} & 1 \ end {array}} \ right] $

НСобратимая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Если $ A $ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠΎ , Ρ‚ΠΎ слСва появится нулСвая строка.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: НайдитС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅

$ A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & {- 3} \\ {- 2} ΠΈ 6 \ end {array}} \ right] $

РСшСниС:

Π¨Π°Π³ 1: ΠŸΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части A:

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & {- 3} \\ {- 2} ΠΈ 6 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {синиС} {1} & \ {Ρ†Π²Π΅Ρ‚ синСго} {0} \\ \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {синиС} {0} & \ {Ρ†Π²Π΅Ρ‚ синСго} {1} \ end {array}} \ right.} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ] $

Π¨Π°Π³ 2: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ со строками

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {1} & \ color {красный} {- 3} \\ {- 2 + \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {1}} & {6 + \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {(- 3)}} \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {красный} {1} & \ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ {красный} {0} \\ {0 + \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {1}} & {1 + \ color {blue} {2} \ cdot \ color {red} {0}} \ end {array}} \ right.} \ right] Row2 = Row2 + \ color {red} {2} \ cdot \ color {blue} {Row1} $

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & {- 3} \\ \ Π¦Π²Π΅Ρ‚ {красный} {0} & \ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ {красный} {0} \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right.} \ right] _ {\ color {red} {\ leftarrow ZERO \ \ ROW}} $

Π¨Π°Π³ 3: Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: Π­Ρ‚Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠ°.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 3 $ \ умноТСнная Π½Π° 3 $

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅

.

$ A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \ end {array}} \ right] $

РСшСниС:

Π¨Π°Π³ 1: ΠŸΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части A:

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right.} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ] $

Π¨Π°Π³ 2: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ со строками ΠΊ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎ I. ВычислСния:

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right.} \ right] \ mathop {- — — — — — — \ to} \ limits_ {R3 = R3 \ color {red} {-} R1} ^ {R2 = R2 — \ color {синий} {2} \ cdot R1} \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ {2 — \ color {blue} {2} \ cdot 1} & {5 — \ color {blue} {2} \ cdot 2} & {3 — \ color {blue} {2} \ cdot 3} \\ {1 \ color {red} {-} 1} & {0 \ color {red} {-} 2} & {8 \ color {red} {-} 3} \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ {0 — \ color {blue} {2} \ cdot 1} & {1 — \ color {blue} {2} \ cdot 0} & {0 — \ color {blue} {2} \ cdot 0} \\ {0 \ color {red} {-} 1} & {0 \ color {red} {-} 0} & {1 \ color {red} {-} 0} \ end {array}} \ right.{} \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & {- 3} \\ {0 \ color {blue} {+ 2} \ cdot 0} & {- 2 \ color {blue} {+ 2} \ cdot 1} & {5 \ color {blue} {+ 2} \ cdot (- 3) } \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ {- 2} & 1 & 0 \\ {- 1 \ color {blue} {+ 2} \ cdot (- 2)} & {0 \ color {blue} {+ 2} \ cdot 1} & {1 \ color {blue} {+ 2} \ cdot 0 } \ end {array}} \ right.} \ right] $

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & {- 3} \\ 0 & 0 & {- 1} \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ {- 2} & 1 & 0 \\ {- 5} & 2 & 1 \ end {array}} \ right.{} \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & {- 3} \\ 0 & 0 & 1 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ {- 2} & 1 & 0 \\ 5 & ​​{- 2} & {- 1} \ end {array}} \ right.} \ right] $

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & {- 3} \\ 0 & 0 & 1 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} 1 & 0 & 0 \\ {- 2} & 1 & 0 \\ {- 5} & {- 2} & 1 \ end {array}} \ right.{R1 = R1 — 3 \ cdot R3} \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} {- 14} & 6 ΠΈ 3 \\ {13} & {- 5} & {- 3} \\ 5 & ​​{- 2} & {- 1} \ end {array}} \ right.} \ right] $

$ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {массив} \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ | {\ BEGIN {массив} {* {20} {с}} {- 14} & 6 ΠΈ 3 \\ {13} & {- 5} & {- 3} \\ 5 & ​​{- 2} & {- 1} \ end {array}} \ right.{- 1} = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {- 40} & {16} & 9 \\ {13} & {- 5} & {- 3} \\ 5 & ​​{- 2} & {- 1} \ end {array}} \ right] $

,

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *