Формулы для решения уравнений – Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратное уравнение, его виды

Определение 1

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a·x2+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9·x2+16·x+2=0;  7,5·x2+3,1·x+0,11=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение 2

Числа a, b и 

c – это коэффициенты квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x2, b – второго коэффициента, или коэффициента при x, а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6·x2−2·x−11=0 старший коэффициент равен 6, второй коэффициент есть −2, а свободный член равен −11. Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты bи/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6·x2−2·x−11=0, а не 6·x2+(−2)·x+(−11)=0.

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y2−y+7=0 старший коэффициент равен 1, а второй коэффициент есть −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Определение 3

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1. При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение являе

zaochnik.com

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

— это уравнение вида a x² + b x + c = 0, где a не равно 0.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения a x² + b x + c = 0 можно получить так:

• перенесем c в правую часть a x² + b x = — c
• умножим уравнение на 4a (2a x)² + 4a b x = — 4a c
• добавим b² к обоим частям (2a x)² + 4a b x + b² = b² — 4a c
• в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)² = b² — 4a c
• извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b² — 4a c
• перенесем b в правую часть 2a x = — b ± √b² — 4a c
• разделим уравнение на 2a

  x =	-b ± √b2 — 4a c
  	2 a

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное D = b² − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

  x1,2 =	-b ± √D
  	2 a

• при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
• при Dx_1,2 =  -b ± i√-D 2 a

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x² равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x² + px + q = 0, где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x₁ + x₂ = -p,      x₁x₂ = q.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax² + bx + c = a(x — x₁)(x — x₂)

Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x² + 5x + 3 = 0
D = 5² — 4·3·2 = 25 — 24 = 1

x1 =  —5 + √1  = -1, 2·2

x2 =  —5 — √1  = -1 1 2·2 2

Упражнения. Квадратные уравнения.

ru.onlinemschool.com

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax
  3 + bx² + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b³d + b²c² — 4ac³ + 18abcd — 27a²d²  (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y³ + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

• x= y — b/3a (3)
• p= — b²/3a² + c/a
• q= 2b³/27a³ — bc/3a² + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

• Q=(p/3)³ + (q/2)
  2
• α = (-q/2 + Q^1/2)^1/3
• β = (-q/2 — Q^1/2)^1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = — 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

• y₁= α + β
• y₂= — (α + β)/2 + (3^1/2(α — β)/2)i
• y₃ =- (α + β)/2 — (3^1/2(α — β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратн

dpva.ru

Корни квадратного уравнения | Формулы с примерами

Нахождение корней квадратного уравнения 8 класс

Формула
Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 можно найти по
формуле: , где — дискриминант

квадратного уравнения.

Возможны три правила:

Правило 1
1.  D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня:

Пример
2x² + 7x — 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7² — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0,

x₁ = -7 — ? 812 • 2 = — 4;

x₂ = -7 + ? 812 • 2 = 12.

Правило 2
2.  D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень.

Пример
x² — 4x + 4 = 0.

D = (-4)² — 4 • 1 • 4 = 0, x = —  -4 2 • 1 = 2.

Заметим, что x² — 4x + 4 = 0 x = 2.

Правило 3
3. D . Тогда уравнение не имеет корней, так как не существует ? D.

Пример
3x² — x + 7 = 0.

D = (-1)² — 4 • 3 • 7 = -83

С четным вторым коэффициентом

Правило, формулы
Если b = 2k, то корни уравнения ax² + 2kx + c = 0 находятся по формуле:

Где:

Пример 1
1.  x² + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.

D₁ = D4 = ( 182)² — 1 • 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:

x₁ = -9 -? 491 = -16, x₂ = -9 + 7 = -2.

Пример 2
2.  3x² + 2x + 1 = 0.

a = 3; b2 = 1; c = 1.

D₁ = D4 = 1² — 1 • 3 = -2

Пример 3
3.  196x² + 28x + 1 = 0.

a = 196; b2 = -14; c = 1.

D₁ = D4 = (- 14)² — 196 = 0, значит уравнение имеет один корень.

x =  14 196 =  1 14.

Формулы по алфавиту:

© 2019 Все права защищены
При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

formula-xyz.ru

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x — переменная,

a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 

Формула дискриминанта:

.

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

• D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
• D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
• D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х².

tehtab.ru

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Уравнение с синусом

Мы уже говорили о том, что все тригонометрические уравнения сводятся к решению четырех основных типов простейших уравнений.

В части 1 статьи мы научились решать уравнения вида .

Сейчас займемся решением уравнений вида .

В 3-й части статьи смотрите решение уравнений вида .

Уравнение вида 

 

Решим уравнение .

Находим на оси синусов на тригонометрическом круге :

Проводя горизонталь через точку оси синусов, выходим на точки круга   и :

Как мы знаем, за каждой из полученных точек скрывается бесконечно много других точек. Например, точка на тригонометрическом круге располагается  там же, где и , значит значение синуса в этой точке также равно .

На оси подходящие нам точки располагаются  так:

Графическое решение уравнения :

Мы уже знаем, что все подходящие точки взять в ответ нам позволяет счетчик. То есть мы вводим целое число

().

И записываем ответ так:

или

Эти две серии решений можно записать и в одну строку:

Поперебирайте различные значения , и вы убедитесь, что все нужные нам точки укладываются в эту формулу.

И все же,

…

  , то есть

 

  , то есть

  , то есть

и т.д.

Убедились?

Если бы мы решали, например,  уравнение ,

то решением бы было

или, что тоже самое,

 то есть

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.

 

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

, где  – из 

(в противном случае, когда – не из – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арксинус».

 

или, что тоже самое

 

 

Если нам встречается уравнение с нетабличным значением синуса, вроде этого , то ответ будет выглядеть так:

то есть

(согласно свойству функции арксинус).

Частные случаи решения уравнения 

1) 

Ответ прекрасно ложится в одну строку без всяких там за счет полукругового счетчика .

Имеем:

2)

У нас всего одна серия точек:

3) 

Аналогично примеру 2 имеем:

egemaximum.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 + + a2x + a3= 0,

(1)

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

      Таким образом,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0.

(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

      Тогда получим

x³ – 6x² – 6x – 2 =
= (y + 2)³– 6(y + 2)² –
– 6(y + 2) – 2 =
= y³ + 6y² + 12y + 8 – 6y² –
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y³ – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0.

(15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru