Онлайн вычисление комплексных чисел: Комплексные числа онлайн

Содержание

Комплексные числа — презентация онлайн

После изучения темы «Комплексные числа
учащиеся должны:
Знать:
алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы
комплексного числа.
Уметь:
•производить над комплексными числами операции сложения,
умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение
корня из комплексного числа;
•переводить комплексные числа из алгебраической формы в
геометрическую и тригонометрическую;
•пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
•в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с
действительными коэффициентами.

3. Какие числовые множества Вам знакомы?

I. Подготовка к изучению нового материала
Какие числовые множества Вам знакомы?
N
Z
Q
N Z Q R
R
Числовая система
Натуральные
числа, N
Целые числа, Z
Рациональные числа, Q
Действительные числа,
R
Комплексные
числа, C
Допустимые
алгебраические
операции
Сложение,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение, деление
Сложение, вычитание,
умножение, деление,
извлечение корней из
неотрицательных чисел
Все операции
Частично
допустимые
алгебраические
операции
Вычитание, деление,
извлечение корней
Деление,
извлечение корней
Извлечение корней из
неотрицательных
чисел
Извлечение корней
из произвольных
чисел
Минимальные условия, которым должны удовлетворять
комплексные числа:
С1) Существует квадратный корень из , т.

е. существует
комплексное число, квадрат которого равен .
С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные
числа.
С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления
комплексных чисел удовлетворяют обычным законам
арифметических действий (сочетательному, переместительному,
распределительному).
Выполнение этих минимальных условий позволяет определить
все множество С комплексных чисел.

6. Мнимые числа

i = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами
выполняются в соответствии с условием С3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми
числами таковы:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
где a и b — действительные числа.
2

7. Комплексные числа

Определение 1. Комплексным числом называют сумму
действительного числа и чисто мнимого числа.

z a bi C a R, b R,
i мнимая единица.
a Re z , b Im z
Определение 2. Два комплексных числа называют
равными, если равны их действительные части и равны
их мнимые части:
a bi c di a c, b d .

8. Классификация комплексных чисел

Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b=o
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Мнимые числа
b≠o
Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

9. Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) — (c + di) = (а — с) + (b — d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)( c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)( c di) c d
c d

10. Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить
действительную часть и поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число, сопряженное данному.

Если данное комплексное число обозначается буквой z, то
сопряженное число обозначается z :
z x yi z x yi
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они)
равны своим сопряженным числам.
Числа a + bi и a — bi называются взаимно сопряженными
комплексными числами.

11. Свойства сопряженных чисел

1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число
действительное.
z z ( a bi ) ( a bi ) 2a
z z (a bi )( a bi ) a 2 (bi ) 2 a 2 b 2
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно
произведению сопряженных данным числам.
z1z2 z1 z2

12. Свойства сопряженных чисел

5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z,
равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.

е.
z n ( z)n , n N
6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из
которых делитель отличен от нуля, равно частному
сопряженных чисел, т.е.
a bi a bi
c di c di

13. Степени мнимой единицы

По определению первой степенью числа i является
1
само
число i, а второй степенью – число -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Более высокие степени числа i находятся следующим
1
образом:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= — 1 и т.д.
Очевидно, что при любом натуральном n
i4n = 1;
i4n +2 = — 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = — i.

14. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

• Определение. Число w называют квадратным корнем из
2
комплексного числа z, если его квадрат равен z: w z
• Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число.
Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных
числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа
выражаются формулой:
w
a2 b2 a
i signb
2
a 2 b 2 a
, где
2
1, если b 0
signb 1, если b 0
0, если b 0
При b 0, a 0 имеем : w a , при b 0, a 0 имеем : w i a .

15. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексному числу z на координатной плоскости
соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их
радиусы-векторы
OM
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi
называют неотрицательное числоa 2 b2
,
равное расстоянию от точки М до начала
z a 2 b2
координат
cos
y
М (a, b)
b
φ
O
a
x
a
и sin
b
a2 b2
a2 b2
аргумент комплексно го числа
;

16. Тригонометрическая форма комплексного числа

z r cos i sin
где φ – аргумент комплексного числа,
r=
a 2 b2 — модуль комплексного числа,
cos
a
a2 b2
и sin
b
a2 b2

17. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема
Если
1.
z1 0, z2 0
и
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Теорема 2 (формула Муавра).

Пусть z — любое отличное от нуля
комплексное число, п — любое целое число.
Тогда
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

18. Извлечение корня из комплексного числа.

• Теорема. Для любого натурального числа n и
отличного от нуля комплексного числа z существуют
n различных значений корня n-степени.
Если
z r cos i sin ,
то эти значения выражаются формулой
2 k
2 k
wk r cos
i sin
,
n
n
где k 0,1,…, (n 1)
n

комплексных чисел — онлайн-калькуляторы

mathportal.org

Все калькуляторы
::
Комплексные числа

Калькулятор комплексных чисел

В этой категории 3 калькулятора

Унарные операции с комплексными числами

Калькулятор деления комплексных чисел

Упрощение сложных выражений

Калькулятор полиномов

Факторные полиномы
Полиномиальные корни
Синтетический отдел
Полиномиальные операции
Графические полиномы
Расширить и упростить
Генерировать из корней

Рациональные выражения

Упрощение
Умножение/деление
Сложение/вычитание

Подкоренные выражения

Рационализировать знаменатель
Упрощение

Решение уравнений

Квадратные уравнения (с шагами)
Полиномиальные уравнения
Решение уравнений — с шагами

Квадратное уравнение

Решение (с шагами)
Квадратичный плоттер
Факторинг трехчленов

Геометрия

Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник
Косой треугольник
Калькулятор площади
Калькулятор прямоугольника
Калькулятор круга
Калькулятор шестиугольника
Калькулятор ромба

Комплексные номера

Модуль, обратный, полярная форма
Подразделение
Упростить выражение

Системы уравнений

Система 2×2
Система 3х3
Система 4×4

Матрицы

Векторы (2D и 3D)
Сложить, вычесть, умножить
Калькулятор определителя
Матрица обратная
Характеристический полином
собственные значения
Собственные векторы
Разложение матрицы

Расчетные калькуляторы

Калькулятор лимита
Калькулятор производных
Интегральный калькулятор

Последовательности и серии

Арифметические последовательности
Геометрические последовательности
Найти n ^th Срок

Аналитическая геометрия

Расстояние и середина
Калькулятор треугольника
Графические линии
Пересечение линий
Двухточечная форма
Расстояние от линии до точки
Параллельно/Перпендикулярно
Уравнение окружности
Круг из 3 точек
Пересечение круговой линии

Тригонометрия

Градусов в Радиан
Триггер Уравнения

Номера

Длинная дивизия
Вычислить выражения
Калькулятор дробей
Наибольший общий делитель НОД
Наименее распространенное кратное LCM
Простые множители
Научная нотация
Калькулятор процентов

Dec / Bin / Hex

Финансовые калькуляторы

Простые проценты
Сложные проценты
Калькулятор амортизации
Калькулятор ренты

Прочие калькуляторы

Наборы
Проблемы с работой

Калькулятор комплексных чисел — ezcalc.

Этот онлайн-калькулятор комплексных чисел выполняет основные арифметические операции с двумя комплексными числами. При вводе мнимой части комплексного числа в соответствующее поле калькулятора следите за тем, чтобы символ ‘ i ’, обозначающий мнимую единицу, стоял рядом с числовой частью без пробела.

Комплексное число — это число, которое может быть представлено в виде \(x + yi\), где \(x\) (называемая действительной частью) и \(y\) (называемая мнимой частью) действительные числа, а \(i\) представляет собой мнимую единицу, удовлетворяющую уравнению \(i\) ² = −1.

В отличие от вещественных чисел комплексные числа не имеют естественного порядка, поэтому не существует аналога комплекснозначных неравенств. Поэтому они скорее рассматриваются как элементы комплексной плоскости, поскольку точки на плоскости также лишены естественного порядка.

Комплексные числа являются фундаментальными во многих аспектах научного описания мира, а также широко используются во многих прикладных науках и технике.