Определение что такое вектор: основные понятия и определения, формулы и онлайн калькуляторы

21.Определение вектора, противоположного вектора, длины вектора, нулевого и единичного векторов, коллинеарных. Равных и компланарных векторов.

Вектор – направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и направление.

Вектор, противоположный вектору , называется .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается .

Вектор, длина которого равна нуля, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор не имеет направления.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется орта вектора и обозначается .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначаются . Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены) и обозначаются и противоположно направлены — .

2 вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

22.Линейные операции над векторами.

1. Сумма векторов – это вектор, который можно найти по правилу треугольника или правилу параллелограмма. 3 вектора, не принадлежащие одной плоскости, можно найти по правилу параллелепипеда.

2. Разностью векторов и называют вектор , равный , такой, что вектор .

3. Произведением вектора на число α называется вектор имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Из определения произведения векторов следует, что

1. если и , то и коллинеарные, и наоборот, если векторы и – коллинеарные ( ), при некотором α верно равенство .

2. Если , то это означает, что каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Свойства линейных операций над векторами:

1.

a+b=b+a

2. a+(b+c)=(a+b)+с

3. α(a+b)=αa+αb

4. (α+β)a=αa+βa

5. (αβ)a=α(βa)

6. a+0=a

7. Для любого вектора a существует противоположный ему вектор, такой, что –a, то есть a+(-a)=0.

8. 0a=0

9. 1a=a

23.Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Выражение линейных операций над векторами в координатах.

Проекцией вектора на ось называется положительное число, если вектор и ось одинаково направлены, и отрицательное число, если вектор и ось противоположно направлены.

– ось абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат; — называются осями координат, взаимно перпендикулярны.

— Формула разложения вектора по ортам координатных осей.

Числа x, y, z называются координатами , то есть координаты вектора есть проекции на соответствующие координатные оси. Если вектор имеет начало в начале координат, то его координатами называют числа, являющиеся координатами его конца.

На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать, что модуль вектора равен сумме квадратов его проекций на оси.

– длина вектора.

Выражение линейных операций над векторами в координатах:

1. Суммой векторов называется вектор равный сумме соответствующих координат, складывающихся векторов.

Произведением векторов на число является произведение числа на соответствующие координаты.

Векторы называются равными, если их координаты равны.

Векторы называются коллинеарными, если их координаты пропорциональны.

Чтобы найти координаты вектора, нужно от координат его конца отнять координаты его начала.

Глава 15. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора

Величины, характеризующиеся только числовым значением (масса, объем, плотность, стоимость и другие), называются Скалярными.

Величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением (сила, скорость, момент силы и другие), называются

Векторными.

Определение

Вектор – это Направленный отрезок, на котором определены операции сравнения сложения и умножения на вещественное число. Векторы обозначаются так: A, , , . 
(Рис. 2.1.1)

Рис. 2.1.1	Рис. 2.1.2–а	Рис. 2.1.2–б

Определение

Модуль (Длина) вектора обозначается так: |A|, b, .

Определение

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются Коллинеарными.

Определение

Векторы Равны тогда и только тогда, когда они:

1. коллинеарны;

2. одинаково направлены;

3. имеют равные длины.

Вектор можно произвольно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Вектор, длина которого равна нулю, называется Нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение

Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются Компланарными. (Рис. 2.1.2–а и 2.1.2–б).

Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов.

Определение

Суммой двух векторов A и B называется вектор C = a + b, начало которого совпадает с началом вектора A, а конец – с концом вектора B при условии, что начало вектора B совпадает с концом вектора A (рис. 3–а). Это правило сложения векторов называется еще “Правилом треугольника”.

Рис. 2.1.3–а	Рис. 2.1.3–б

Вектор C = a + b можно построить также по “Правилу параллелограмма”: в точке O совместим начала векторов A И B и на этих векторах, как на сторонах, построим параллелограмм. Вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма с началом в точке O, и является вектором C (рис. 2.1.3–а).

Сумма векторов обладает как Переместительным свойством (рис. 2.1.3–б):

A + B = B + A

(2.1.1)

Так и Сочетательным (рис. 2.1.4):

(a + b) + c = a + (b + c).

(2.1.2)

Рис. 2.1.4

Подобно построению суммы трех векторов можно построить сумму любого конечного числа векторов.

2. Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора A на число L называется вектор C = LA, удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. A коллинеарен вектору A;

3. , если > 0 и , если < 0.

Определение

Вектор называется Противоположным вектору .

Можно убедиться, что произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

(2.1.3)

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется Единичным.

Определение

Вектор , имеющий длину, равную единице и параллельный вектору , называется Ортом вектора .

Из определения умножения вектора на число следует, что , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт (единичный вектор того же направления).

3. Вычитание векторов.

Определение

Разностью Векторов A и B называется такой вектор C = A – B, сумма которого с вычитаемым вектором B дает вектор A (рис. 2.1.5–а).

.

(2.1.4)

Если на векторах A и B построить параллелограмм, то одна из диагоналей совпадает с суммой A + B, а другая – с разностью A – B (рис. 2.1.5–б).

Определение

Углом между векторами

A И B называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым (рис. 2.1.6).

Рис. 2.1.6

Проекция вектора на ось

Пусть даны в пространстве вектор и ось L. Точки M1 и N1 являются проекциями на ось L точек M и N (рис. 2.1.7).

Рис. 2.1.7

Определение

Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , лежащего на этой оси, если параллелен L, и длине вектора , взятой со знаком “минус”, если антипараллелен L.

(2.1.5)

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:

, где – угол между и L, , .

(2.1.6)

Способы задания вектора

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат. Положение точки M (рис. 2.1.8) определяется с помощью координат x, y и z: M(x, y,z).

Рис. 2.1.8

(2.1.7)

Определение

Вектор называется Радиус–вектором точки M.

На каждой оси координат выберем единичный вектор, направленный также, как и ось. Обозначим эти векторы соответственно I, j, k. Совокупность этих векторов называется Базисом декартовой (прямоугольной) системы координат.

А) Задание вектора его координатами.

Определение

Координатами вектора A называются его проекции на координатные оси.

A = {ax, ay, az}

(2. 1.8)

Где ax = , ay = , az = .

Из свойств проекций вектора на ось следует, что, если A = {ax, ay, az},

B = {bx, by, bz}, то A + B = {ax+bx, ay+by, az+bz}, A = { Ax, Ay, Az}, A – B = {ax–bx, ay–by, az–bz}.

(2.1.9)

Зная координаты вектора A, можно вычислить его длину по формуле

(2.1.10)

Векторы A = {ax, ay, az} и B = {bx, by, bz} коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

(2.1.11)

Б) Задание вектора его разложением по базису.

Рассмотрим вектор A = (рис. 2.1.9).

Рис. 2.1.9

Тогда

MI + nJ + pK.

(2.1.12)

Легко убедиться, что

M = ПрxA = ax, n = ПрyA = Ay, k = ПрzA = az.

(2.1.13)

Окончательно

A = axI + ayJ + azK.

(2.1.14)

Такое представление вектора называется его Разложением по базису I, J, K.

В) Задание вектора координатами его начала и конца.

Пусть , где M(x1,y1,z1), N(x2,y2,z2) (рис. 2.1.10).

Рис. 2.1.10

Векторы и имеют такие же координаты, как и точки M и N соответственно:

={x1, y1, z1}, ={x2, y2, z2}.

(2.1.15)

Как следует из рис. 2.1.10, , тогда

A = {x2 x1, y2 y1, z2 z1}.

(2.1.16)

Следовательно

Ax = x2 x1, ay = y2 y1, az = z2 z1.

(2.1.17)

Расстояние между двумя точками определяется по формуле:

D = d(M, N) = .

Таким образом

D = .

(2.1.18)

Г) Задание вектора его модулем и направляющими косинусами.

Направляющими косинусами вектора называются углы, которые образует этот вектор с осями OX, OY и OZ. Они обозначаются , и (рис. 2.1.11).

Рис. 2.1.11

Если известны углы , , , а также модуль (длина) вектора A, то координаты вектора можно найти по формулам:

Ax = cos , ay = cos , az = cos .

(2.1.19)

Откуда

, , .

(2.1.20)

Определение

Cos , cos И cos Называются Направляющими косинусами вектора A.

Найдем сумму квадратов этих косинусов:

(2.1.21)

Формула cos2 + cos2 + cos2 = 1 выражает связь между направляющими косинусами.

Пример

Даны начало M(3,–2,4) и конец N(5,0,3) вектора A = . Найти координаты этого вектора и его длину.

Решение

Ax = xN – xM = 5–3=2; ay = yN – yM = 0–(–2)=2; az = zN – zM = 3–4=–1. Итак, вектор A = {2,2,–1}. Вычислим длину вектора A:

< Предыдущая		Следующая >

вектор — определение и значение

• Определить
• Связать
• Список
• Обсудить
• См.
• Услышать
• и Любовь

Определения

из Словаря английского языка American Heritage®, 5-е издание.

• сущ. Величина, такая как скорость, полностью определяемая величиной и направлением.
• существительное Одномерный массив.
• сущ. Элемент векторного пространства.
• сущ. Организм, такой как комар или клещ, который переносит болезнетворные микроорганизмы от одного хозяина к другому.
• сущ. Бактериофаг, плазмида или другой агент, переносящий генетический материал из одной клетки в другую.
• сущ. Сила или влияние.
• сущ. Курс или направление самолета.
• переходный глагол Направлять (например, пилота или самолет) посредством радиосвязи по векторам.

из словаря века.

• сущ. В кватернионах — величина, которая, прибавляясь к любой точке пространства, дает в сумме ту точку, которая находится на определенном расстоянии в определенном направлении от первой.
• сущ. Отсюда — директивная величина; количество, определяемое двумя числами, указывающими его направление, и третьим, указывающим его величину.
• сущ. То же, что радиус-вектор. См. радиус.
• Характера переносчиков или связанных с ними.

из версии GNU Collaborative International Dictionary of English.

• существительное То же, что радиус-вектор.
• сущ. (Матем.) Направленная величина в виде прямой линии, силы или скорости. Векторы называются равными, если их направления одинаковы и их величины равны. См. Скаляр.

из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

• существительное математика Направленная величина, имеющая как величину, так и направление; знаковая разница между двумя точками.
• сущ. математика Упорядоченный набор, представляющий направленную величину или разность со знаком между двумя точками.
• существительное математика Любой член (обобщенного) векторного пространства.
• сущ. авиация Выбранный курс или направление движения самолета.
• сущ. эпидемиология Переносчик возбудителя болезни.
• сущ. социология Человек или сущность, которая проходит через городскую легенду или другой мем.
• сущ. психология Повторяющаяся психосоциальная проблема, стимулирующая рост и развитие личности.
• сущ. Способ, которым глаза скользят по визуальному тексту. След, который книжная обложка может побуждать взгляд следовать от одних объектов к другим.
• сущ. вычисления, операционные системы Адрес памяти, содержащий адрес точки входа в код, обычно являющейся частью таблицы и часто разыменовываемой и на которую осуществляется переход во время выполнения прерывания.
• сущ. программирование Одномерный массив.
• глагол Направить (в частности, самолет) на курс к выбранной точке.

из WordNet 3.0 Copyright 2006 Принстонского университета. Все права защищены.

• сущ. отрезок прямой линии, длина которого является величиной, а ориентация в пространстве является направлением
• сущ. (генетика) вирус или другой агент, используемый для доставки ДНК в клетку
• сущ. любой агент (человек, животное или микроорганизм), который переносит и передает болезнь
• сущ. переменная величина, которая может быть разложена на компоненты

Этимологии

из Словаря английского языка The American Heritage®, 4-е издание

[лат., носитель, от vehere , vect- , нести; см. wegh- в индоевропейских корнях.]

из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License

Из латинского vector («носитель»), из vehō («Несу, несу»).

Поддержка

Помогите поддержать Wordnik (и сделайте эту страницу свободной от рекламы), приняв вектор слова.

Примеры

• Штамм

  DNY75, экспрессирующий либо человеческий HSF1 (+HSF1), либо пустой вектор (+вектор), высевали в лунки микротитра и инкубировали в присутствии растворителя HSF1A или ДМСО в течение 4 дней, а затем фотографировали.

  Биология PLoS: новые статьи

• Vectronaut — это блог, посвященный вектору , созданный Иваном, название произошло от сочетания * вектор* и * астронавт*, предлагающий учебные пособия и вдохновение . .. и все, что (Иван) _молодой иллюстратор_ знает о векторной графике.

  Планета Квайдер

• Термин переносчик болезней, переносимых в этом наборе слайдов, упоминается в его широком определении ВОЗ, т. е. тех болезней, передача которых существенно зависит от первичных и промежуточных позвоночных и беспозвоночных хозяев и животных-резервуаров патогенных организмов.

  1. Целевая аудитория, цели, объем и структура

• Вы должны понимать не только то, что вы строите, но и то, как программа будет развиваться (то, что я называю вектором изменений [17]).

  Гаджетер

• Он добавляет слова и тезаурус поверх базы данных терминов вектор , чтобы помочь вести поиск в контексте.

  Marketwire — Выпуски последних новостей

• В Mathematica 7 он был значительно улучшен, добавлены современные методы векторной визуализации данных и новые алгоритмы, разработанные в Wolfram Research.

  Блог Wolfram: 2009: Январь

• В Mathematica 7 он был значительно улучшен, добавлены современные методы векторной визуализации данных и новые алгоритмы, разработанные в Wolfram Research.

  Блог Wolfram: Визуализация погодных закономерностей в Mathematica 7

• С помощью генной терапии ученые пытаются исправить проблему, доставляя нормальный ген в организм, используя так называемый вектор для вставки гена в клетки — обычно это вирус, который генетически изменен, чтобы содержать человеческую ДНК.

  Генная терапия, используемая для лечения гемофилии B

• Сайт, запущенный ранее в этом году как сервис сравнения тарифных планов беспроводной связи, но с рекордно высоким уровнем личных долгов и рекордно низким уровнем личных сбережений, кредитная карта вектор потенциально еще более важный и полезный инструмент.

  Краткий обзор нового инструмента сравнения кредитных карт BillShrink.com — The Consumerist

• Понедельник, я вспомню, что способ преодоления этого нависания на новом белом маршруте — правая рука вверх, левая нога как можно выше, левая рука поперек тела по вектору от левой ноги, правая рука поперек левая рука, и левая рука к маленькой пицце.

  No related posts.