Определение сходимости ряда: Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

определение числового ряда, сходимость и сумма ряда.

Числовой ряд – бесконечная последовательность чисел u1;u2;…un;…, соединённых знаком сложения u1+u2+u3+…+un+…=

ui-члены ряда, un-общий член ряда (n-ный)

S=

Ряд называется

сходящимся

, если существует предел последовательности его частичных сумм, а это число называется

суммой ряда

S.

u1+u2+u3+…+un+…=

S1=u1

Частичные суммы

S2=u1+u2

S3=u1+u2+u3

Sn=u1+u2+..+un

S-сумма ряда

Ряд расходящийся, если предел частичных сумм не существует (например, равен бесконечности). У расходящегося ряда сумма не определена.

2. Эталонные ряды: геометрический ряд, гармонический ряд и условия их сходимости.

Эталонный ряд — это ряд, сходимость которого нам известна.

3. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то предел его общего члена un при n равен нулю, т.е. =0.

Следствие: Если предел у un не равен нулю, то ряд расходится.

. 0, то расход.

Пример:

Замечание: Данная теорема выражает необходимый, но не достаточный признак сходимости: если =0, n , то из этого не следует, что ряд сходится.

4. Положительные ряды: определение, достаточные признаки сходимости(перечислить).

Положительные ряды – ряды, все члены которых неотрицательны. У такого ряда последовательность ( его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность ( была ограниченной. 

Достаточные признаки сходимости:

1. Признак Даламбера

Пусть для ряда un с положительными членами (от n=1 до бесконечности) существует предел

Д=

Тогда если Д<1 – ряд сходится;

Д>1 – ряд расходится;

Д=1 –признак не применяется

Признак Даламбера работает хорошо, когда есть степени и факториалы !!

2. Признак сравнения

пусть даны два ряда с положительными членами (ряд 1) (ряд 2)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т. е. при любом n un ≤ vn,

тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;

б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Для сравнения используют ряды:

1. если α>1 – сходится (например )

если α≤1 – расходится (например )

2. |q|<1 – ряд сходится

3. Предельный признак сравнения

Если И – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов(не равных 0) К= ≠ 0 ,то ряды одновременно сходятся, либо расходятся. Должен быть конечный предел.

4. Радикальный признак Коши

Если для ряда un существует предел = K,

то при K<1 – ряд сходится,

K>1 – ряд расходится,

K=1 – не идет.

5. Интегральный признак сходимости

Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т. е un >un+1 , а функция f(x), определенная при х≥1, непрерывная и невозрастает.

Полагаем что f(1)=u1, F(2)=u2, …f(n)=un,… тогда для сходимости ряда ряд необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл: .

5. Свойства сходящихся числовых рядов.

1. Если ряд u1+u2+…un+… сходится и имеет сумму S, то и ряд λu1+λu2+…λun+… (полученный умножением данного ряда на число λ (лямбда)) также сходится и имеет сумму λS.

2. Если ряды u1+u2+…un+… и v1+v2+…vn+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то и ряд (u1+v1)+(u2+v2)+..(представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна S1+S2.

Свойства 1 и 2 вытекают из свойств пределов числовых последовательностей

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

4. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ остаток ряда стремился к 0 т.е. чтобы

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2),

Тесты сходимости серии

Тесты сходимости серии

(Математика)

Определение Конвергенция и дивергенция в ряду

n ^th частичная сумма ряда a _n определяется как S _n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + . .. + a _n . Если последовательность этих частичных суммы {S _n } сходится к L, то сумма ряда сходится к L. Если {S _п } расходится, то и сумма ряда расходится.

Операции над сходящимся Серия

Если а _н = А, и b _n = B, то и следующие сходятся, как указано:

ca _n = ca
(а _н + б _н ) = А + В
(а _н — б _н

) = А — В

---

Алфавитный список тестов сходимости

Абсолютная конвергенция

Если ряд |a _n | сходится, то сходится и ряд a _n .

Испытание чередующейся серии

Если для всех n a _n положительно, не возрастает (т. е. 0 < a _n+1 <= a _n ) и приближается к нулю, затем чередующийся ряд
(-1) ^н а _н и (-1) ^н-1 а _п
оба сходятся.
Если знакопеременный ряд сходится, то остаток R _N = S — S _N (где S — точная сумма бесконечного ряда, а S _N — сумма первых N членов ряда) ограничен по |R _N | <= а _Н+1

Удаление первых N терминов

Если N — натуральное число, то ряд

№ и

а н н=N+1

оба сходятся или оба расходятся.

Тест прямого сравнения

Если 0 <= a _n <= b _n для всех n больше некоторого положительного целого числа N, то применяются следующие правила:
Если b _n сходится, то a _n сходится.
Если a _n расходится, то b _n расходится.

Геометрическая серия Конвергенция

Геометрический ряд определяется выражением
a r ⁿ = a + a r + a r ² + a r ³ + . ..
Если |r| < 1, то следующая геометрическая ряд сходится к а/(1 — г).

Если |r| >= 1, то указанный выше геометрический ряд расходится.

Интегральный тест

Если для всех n >= 1, f(n) = a _n , и f положительна, непрерывна и убывает тогда

и и

а н

либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Если вышеуказанный ряд сходится, то остаток R _N = S — S _N (где S — точная сумма бесконечный ряд, а S _N — сумма первых N членов ряд) ограничен 0< = R _Н <= (Н..) f(x)dx.

Сравнительный тест предельных значений

Если lim (n—>) (a _n / b _n ) = L,
где a _n , b _n > 0 и L конечно и положительно,
затем ряд а _н и б _н либо оба сходятся, либо оба расходятся.

n ^th -Терминальный тест на расхождение

Если последовательность {a _n } нет сходятся к нулю, то ряд a _n расходится.

Конвергенция серии p

Р-ряд определяется как
1/n ^p = 1/1 ^p + 1/2 ^p + 1/3 ^p + …
где p > 0 по определению.
Если p > 1, то ряд сходится.
Если 0 < p <= 1, то ряд расходится.

Проверка соотношения

Если для всех n, n 0, то применяются следующие правила:
Пусть L = lim (n — > ) | a _n+1 / a _n |.
Если L < 1, то ряд a _n сходится.
Если L > 1, то ряд a _n расходится.
Если L = 1, то тест неубедительный .

Корневой тест

Пусть L = lim (n — > ) | а _н | ^1/н .
Если L < 1, то ряд a _n сходится.
Если L > 1, то ряд a _n расходится.
Если L = 1, то тест неубедительный .

Сходимость ряда Тейлора

Если f имеет производные всех порядков в интервале I с центром в c, то Ряд Тейлора сходится, как указано:
(1/n!) f ⁽ⁿ⁾ (c) (x — c) ⁿ = f(x)
тогда и только тогда, когда lim (n—>) R _n = 0 для всех x в I.
Остаток R _N = S — S _N ряда Тейлора (где S — точная сумма бесконечного ряда, а S _N — сумма первых N членов ряда) равен (1 /(n+1)!) f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (z) (x — c) ⁿ⁺¹ , где z — некоторая константа между x и c.

Ratio Test — Расчет 2

Все ресурсы расчета 2

9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Следующая →

Исчисление 2 Помощь » Серия по исчислению » Конвергенция и дивергенция » Тест отношений

Найдите интервал сходимости следующего ряда

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Определить, сходится или расходится ряд:

Возможные ответы:

Серия диверсирует

, серия может абсолютно сблизиться, условно сходятся, или диверги

.

Объяснение:

Чтобы определить сходимость ряда, мы должны использовать критерий отношения, который утверждает, что для ряда и , если L больше 1, ряд расходится, если L равно 1, ряд может абсолютно сходятся, условно сходятся или расходятся, а если L меньше 1, то ряд (абсолютно) сходится.

Для нашего ряда мы получаем

Используя свойства радикалов и показателей степени для упрощения, мы получаем

L больше 1, поэтому ряд расходится.

Отчет о ошибке

Определите, сходится ли серия или диверги:

Возможные ответы:

условно сходятся или расходятся

Правильный ответ:

Ряд сходится

Объяснение:

Чтобы определить сходимость ряда, мы должны использовать критерий отношения, который утверждает, что для ряда и , если L больше 1, ряд расходится, если L равно 1, ряд может абсолютно сходятся, условно сходятся или расходятся, а если L меньше 1, то ряд (абсолютно) сходится.

Для нашего ряда получаем

Используя свойства радикалов и показателей степени для упрощения, мы получаем

L меньше 1, поэтому ряд сходится.

Сообщить об ошибке

Используйте тест отношения для данной серии и интерпретируйте результат.

 

 

 

Возможные ответы:

Ряд условно сходится.

Ряд либо расходящийся, либо условно сходящийся, либо абсолютно сходящийся.

Ряд сходится, но не сходится абсолютно.

Ряд расходится

Ряд абсолютно сходится, а значит сходится

Правильный ответ:

Ряд абсолютно сходится, а значит сходится

Объяснение:

____________________________________________________________________________

Тест отношения можно использовать, чтобы доказать, что бесконечный ряд  сходится или расходится. В некоторых случаях, однако, тест отношения может быть неубедительным.

Определить:

 

 Если…

 тогда ряд абсолютно сходится, а значит, сходится.

 тогда ряд расходится,

 тогда ряд либо условно сходится, либо абсолютно сходится, либо расходится.

______________________________________________________________

 

Чтобы вычислить предел, нам сначала нужно написать выражение для .

 

Теперь мы можем найти предел,

Теперь отрицательный множитель в числителе сократится с знаменателем, хотя это тривиально, поскольку мы берем абсолютное значение независимо от этого.

 

Продолжить упрощение, 

 

 

Следовательно, 

 

Это доказывает, что ряд абсолютно сходится, а значит, сходится.

Сообщить об ошибке

Для следующих серий выполните тест соотношения и интерпретируйте результаты.

 

Возможные ответы:

Расходящийся

Ряд бывает условно сходящимся, абсолютно сходящимся или расходящимся.

Условно сходящийся

Абсолютно сходящийся

Правильный ответ:

Ряд либо условно сходится, либо абсолютно сходится, либо расходится.

Объяснение:

 

______________________________________________________________

Тест отношения можно использовать для доказательства того, что бесконечный ряд  сходится или расходится. В некоторых случаях, однако, тест отношения может быть неубедительным.

Определить:

 Если…

 тогда ряд абсолютно сходится, а значит сходится.

 тогда ряд расходится,

 тогда ряд либо условно сходится, либо абсолютно сходится, либо расходится.

______________________________________________________________________

Разделение выше и ниже, в пределах ограничения на все термины, из -за того, что на всеуроки, из -за того, что на достопримечательности, из -за того, что на достопримечательности, из -за того, что на достопримечательности, из -за того, что на достопримечательности, из -за того, что на достопримечательности, из -за того, что на сроках, из -за того, что на сроках.