Определенный интеграл как считать: как решать, правила вычисления, объяснение

Содержание

Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Если для подынтегральной функции можно найти первообразную, то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

 —Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл как разность первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования, не вычисляя предела интегральной суммы

Можно выделить два этапавычисления определенного интеграла.

Примеры вычисления определенных интегралов можно найти в разделеПримеры выполнения обязательных заданий по теме 7 cучетом некоторых особенностей, сведенных в схему.

Особенности вычисления определенного интеграла

При замене переменных

(подстановках)

При интегрировании по частям

Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и

замену пределов интегрирования

Не следует забывать, что определенный интеграл – это число и при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все слагаемые формулы

где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ;

Вычисление площадей криволинейных фигур

Из задачи о площади криволинейной трапеции ясно, что с помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских криволинейных фигур. При этом следует различать два случая.

Площадь заключена между заданными кривыми.	Площадь лежит под (над) заданными линиями (между линиями и осью ОХ).

Тогда, определив точки пересечения линий, т.е. пределы интегрирования, можно найти площадь как разность площадей под вышележащей и нижележащей кривой.	По рисунку видно, что в данном случае общая площадь складывается из площадей под линией и
; по свойству линейности

Среди геометрических приложений определенного интеграла можно еще отметить :

Вычисление длины дуги кривой от точки А до точки В : .

Вычисление объемов тел вращения: , если вращение части дуги функциипроисходит относительно оси 0Х,

, если вращение происходит относительно оси 0У , .

Применение определенного интеграла в экономических задачах

Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции , произведенной за промежуток времени [0; Т].

Если производительность не изменяется с течением времени ( f(t) – постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени [t, t +t], находится по формуле: = f(t) t.

В общем случае справедливо приближенное равенство

f()t, где   [t, t+t], которое оказывается тем более точным, чем меньше t.

Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками:

0 = t₀< t₁< t₂<< t_n= T. Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени [t_i_—₁, t_i], имеем = f(_i) t_i

, где _i[t_i_—₁, t_i], t_i= t_i— t_i_—₁, i = 1, 2,,n.

Тогда

При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

По определению определенного интеграла, окончательно получаем:

т.е. если f(t) – производительность труда в моментt, тоесть объем выпускаемой продукции за промежуток [0; T].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени [0

; T], численно равен площади под графиком функции z = f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0; T].

Экономический смысл определенного интеграла — объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.

1. Если в функции Кобба-Дугласа^{^} считать, что затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит

Найдем объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

=	Объем произведенной продукции Q. Интегрируем по частям.
(у.ед.)

2. Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую ОВА), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения. Высокое значение этого коэффициента показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОВА может быть описана уравнением , гдех – доля населения, у – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини .

так как

Поэтому

С помощью замены, x=sin t можно вычислить

Интеграл от квадрата косинуса вычисляется по формуле понижения степени. При подстановке пределов в первообразную учтено, что и.

Итак, коэффициент Джини

Достаточно высокое значение показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

3. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время

t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) q, называется дисконтированием (см.

тему 4). Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть А_t – конечная сумма, полученная за t лет, и А – дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой.

Если проценты простые, то A_t= A×(1 + r t), где r = q / 100 – удельная процентная ставка. Тогда A = A_t/ (1 + r t). В случае сложных процентов

A_t= A×(1 + r t)^t и потому A = A_t/ (1 + r t)^t.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной r, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход A за время Т вычисляется по формуле

4.Пусть известна функцияt = t(x),описывающая изменение затрат времениtна изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, гдеx– порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время

t_ср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения отх₁дох₂изделий, вычисляется по теореме о среднем:

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t = t(x), то часто она имеет вид

где а – затраты времени на первое изделие, b – показатель производственного процесса.

Найдем среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х₁= 100 до х₂= 121 изделий, полагая в формуле а = 600 (мин.), b= 0,5.

Используя формулу, получаем

(мин.).

Численное вычисление интегралов

Численное вычисление интегралов 5.3. Численное вычисление определенных интегралов

Технология приближенного вычисления

Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:

Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подинтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла. Технологию численного вычисления определенного интеграла в Excel с использованием формулы трапеций рассмотрим на примере.

Пример 19. Требуется вычислить определенный интеграл Величина интеграла, вычисленная аналитически, равна 9.

Решение:

1. Табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 с шагом 0,2 (рис. 30)

Рисунок 30

2. В ячейку С2 введите формулу = (A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2, которая реализует часть приведенной выше формулы, размещенной правее знака суммы, т.е вычисляет величину элементарной площадки (трапеции).

3. Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С2 до значения ар-гумента х = 2,8.

4. В ячейке С17 просуммируйте с помощью автосуммирования полученные ре-зультаты. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной интеграла — 9.

Технология точного вычисления

Технология точного вычисления основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций. Применение этой технологии позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений. Для точного вычисления нужно выполнить следующие операции:

1. Определить на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде количества итераций. Положим для решения нашей задачи достаточно 10000 интервалов.

2. Выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций введем число 10000. Если установлен флажок Итерации, то выключим его. Закроем диалоговое окно Параметры.

3. В ячейки рабочего листа введем исходные данные и формулы для вычислений (рис. 31).

Рис. 31

В ячейке В6 формула =(B4-B2)/B5 вычисляет шаг интегрирования. В ячейке С3 формула = 0+C3+B6 – вычисляет текущее значение аргумента х. Значение 0 в формуле устанавливает нижний предел интегрирования. В формуле есть циклическая ссылка на эту же ячейку — С3 +В6, она реализует накопление величины х относительно нижнего предела.

В ячейке D3 записана формула, реализующая метод трапеций и накопление суммы площадей элементарных трапеций.

4. После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. Потребуется некоторое время для того, чтобы табличный процессор выполнил заданное количество циклов итераций и вычислил результат (рис. 44).

5. После завершения вычислений вновь вызовем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.

К предыдущей К следующей Открыть содержание темы

5.2: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 13803

OpenStax
OpenStax

9∗_i)Δx.\]

Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \(f(x)\) было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

Определение и обозначения

Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \(f(x)\) и определяем определенный интеграл следующим образом. Определение 9∗_i)Δx,\]

при условии существования предела. Если этот предел существует, то функция \(f(x)\) называется интегрируемой на [a,b] или является интегрируемой функцией.

Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы встречали похожие обозначения в главе о применении производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без a и b вверху и внизу) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала \([a,b].\) Числа a и b являются значениями x и называются пределами интегрирования ; в частности, a — это нижний предел, а b — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем предел слова двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при \(n→∞.\). Во-вторых, границы области называются 9∗_i)∆x\) существует и единственна. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

Непрерывные функции интегрируемы

Если \(f(x)\) непрерывна на \([a,b]\), то f интегрируема на \([a,b]. \)

Функции которые не непрерывны на \([a,b]\), все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемы функции с конечным числом скачков на отрезке.

Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 92dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

Решение

Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \(a=0\) и \(b=2\). Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет правильным разбиением \([0,2].\) Тогда

\[Δx=\ dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}.\]

Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции в точке правый конец интервала \([x_{i−1},x_i].\) Правый конец интервала равен \(x_i\), и, поскольку P является обычным разделом, 93_0(2x−1)dx\).

Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

Подсказка: Используйте стратегию решения из примера \(\PageIndex{1}\).

Ответить: \(6\)

Вычисление определенных интегралов

Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют собой площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси x.

Пример \(\PageIndex{2}\): использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов 94_2(2x+3)dx\).

Подсказка: Построить график функции \(f(x)\) и вычислить площадь под функцией на интервале \([2,4].\)

Ответить: 18 квадратных блоков

Площадь и определенный интеграл

Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности \(f(x)\). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \(f(x)\) отрицательно? 9∗_i)Δx=\]

(Площадь прямоугольников над осью x) − (Площадь прямоугольников под осью x)

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Для функция, которая является частично отрицательной, сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x.

Принимая предел как \(n→∞,\), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x за вычетом площади между кривой под осью x и x- оси, как показано на рисунке. Затем 9nf(c_i)Δx=A_1−A_2.\]

Величина \(A_1−A_2\) называется чистой областью со знаком .

Рисунок \(\PageIndex{3}\): В пределе определенный интеграл равен площади A1 минус площадь A2 или чистой площади со знаком.

Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью x больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью x больше, чистая площадь со знаком отрицательна. Если площади выше и ниже оси x равны, чистая площадь со знаком равна нулю.

Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение чистой площади со знаком

Найти чистую площадь со знаком между кривой функции \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \ ([−3,3].\)

Решение

Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от \(x=−3\) до \(x=0\), а другой от \(x=0\) до \(x=3\) (рисунок). Используя геометрическую формулу площади треугольника \(A=\dfrac{1}{2}bh\), площадь треугольника A1 над осью равна 93_{−3}2xdx=A_1−A_2=9−9=0.\)

Рисунок \(\PageIndex{4}\): Площадь над кривой и под осью x равна область под кривой и над осью x.

Анализ

Если A1 — это площадь над осью x, а A2 — площадь под осью x, то чистая площадь равна \(A_1−A_2\). Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Найдите чистую площадь со знаком \(f(x)=x−2\) на интервале \([0,6]\), показанном на следующем рисунке. .

Подсказка: Используйте метод решения, описанный в примере \(\PageIndex{3}\).

Ответить: 6

Общая площадь

Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \(v(t)\) представляет скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости. 92_075dt=150\).

Рисунок \(\PageIndex{5}\): Площадь под кривой \(v(t)=75\) говорит нам, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

В контексте перемещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок). Опять же, используя интегральное обозначение, мы имеем 95_2−40\,dt=120−120=0. \]

В этом случае смещение равно нулю.

Рисунок \(\PageIndex{6}\): Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

Предположим, мы хотим узнать, как далеко проезжает машина в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью x, независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется 95_240dt=120+120=240.\]

Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

Определение: чистая площадь со знаком

Пусть \(f(x)\) — интегрируемая функция, определенная на интервале \([a,b]\). Пусть \(A_1\) представляет собой площадь между \(f(x)\) и осью x, лежащей над осью, а \(A_2\) представляет площадь между \(f(x)\) и x -ось, лежащая ниже оси. Затем чистая область со знаком между \(f(x)\) и осью x определяется как 9b_a|f(x)|dx=A_1+A_2.\]

Пример \(\PageIndex{4}\): Нахождение общей площади

Найти общую площадь между \(f(x)=x−2\ ) и ось x на интервале \([0,6]. \)

Решение

Вычислить точку пересечения по оси x как \((2,0)\) (установить \(y=0,\ ) найти х). Чтобы найти общую площадь, возьмите площадь под осью x на подинтервале \([0,2]\) и добавьте ее к площади над осью x на подинтервале \([2,6]\) ( Фигура).

96_0|(x−2)|dx=A_2+A_1.\)

Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем

\(A_2=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac {1}{2}⋅2⋅2=2\)

\(A_1=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}⋅4⋅4=8\).

Общая площадь равна

\(A_1+A_2=8+2=10\).

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Найдите общую площадь между функцией \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \([−3,3].\)

Подсказка: Просмотрите стратегию решения в примере \(\PageIndex{4}\).

Ответить: \(18\)

Свойства определенного интеграла

Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

92_1f(x)dx.\)
Подсказка
Используйте стратегию решения из Примера \(\PageIndex{6}\) и правило о свойствах определенных интегралов.
Ответить
\(−7\)
Сравнительные свойства интегралов
Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция \(f(x)\) выше другой функции \(g(x)\), то площадь между \(f(x)\) и осью x больше, чем площадь между \(g(x)\) и осью x. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны как \(ab\). Однако следующие свойства относятся только к случаю \(a≤b\) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}\) и \(g(x)=\sqrt{1+x}\) на интервале \([0,1]\).
Решение
Построение графика этих функций необходимо для понимания того, как они сравниваются на интервале \([0,1].\) Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе \(f(x)\) кажется выше \(g(x)\) всюду. Однако на интервале \([0,1]\) графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \([0,1],g(x)\) выше \(f(x)\). Две функции пересекаются в точках \(x=0\) и \(x=1\) (рисунок). 91_0f(x)dx\) (рисунок). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале \([0,1].\)
Рисунок \(\PageIndex{9}\): ( а) Из графика видно, что на интервале \([0,1],g(x)≥f(x),\), где равенство выполняется только на концах интервала. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.
Основные понятия

Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью x за вычетом площади под осью x. Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.

Площадь под кривой многих функций можно рассчитать по геометрическим формулам. 9b_cf(x)dx\)
Глоссарий
определенный интеграл
первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью x на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
интегрируемая функция
функция является интегрируемой, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана, когда n стремится к бесконечности, существует
подынтегральная функция
функция справа от символа интегрирования; подынтегральная функция включает интегрируемую функцию
пределы интегрирования
эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому функция должна быть интегрирована
чистая площадь со знаком
область между функцией и осью x такая, что область ниже 9ось 0645 x вычитается из области над осью x ; результат такой же, как определенный интеграл функции
общая площадь
общая площадь между функцией и осью x рассчитывается путем сложения площади над осью x и площади под осью x ; результат такой же, как определенный интеграл от абсолютного значения функции
переменная интегрирования
указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это x , то за функцией в подынтегральном выражении следует dx
Авторы
Эта страница под названием 5. 2: The Definite Integral распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
да
Включено
да
Теги
среднее значение функции
расчетный участок: да
определенный интеграл
интегрируемая функция
подынтегральная функция
чистая область со знаком
общая площадь
переменная интегрирования
Определенные интегралы
Определенные интегралы
Предположим, вам нужно рассчитать скорость теплового потока через окно. Поток зависит от многих факторов. Оконная зона – одна из них. Как делать вы нашли этот район?
Для прямоугольного окна вы просто умножаете ширину окна на высота окна.
Напишем это в немного неуклюжей форме.
Пусть ось x будет горизонтальной осью, а ось y — вертикальной осью.
Пусть левый угол окна будет равен x ₁ , а правый угол — x ₂ .
Ширина окна ∆x = x ₂ — x ₁ .
Пусть высота окна равна y = f(x) = h.
Тогда площадь окна равна A = f(x)∆x = h(x ₂ — x ₁ ).
Теперь предположим, что окно не прямоугольное, а имеет параболическую форму. Основание окна по-прежнему простирается от x ₁ до x ₂ . Но для высоты y имеем
y = f(x) = (4h/∆x ² )[-x ² + (2x ₁ + ∆x)x — x ₁ (x ₁ + ∆x)].
Это уравнение параболы, которая пересекает ось x в точке x ₁ и x ₁ + ∆x и имеет высоту h.
Как найти площадь этого окна?
Найдем приблизительную площадь, разделив область между x ₁ и x ₂ на N равных интервалов ∆x _i , i = 1 до N.
Если N достаточно велико и, следовательно, ∆x _i достаточно мало, площадь окно над j-м интервалом ∆x _j очень близко к области прямоугольник f(x _j )∆x _j .
Затем мы можем найти площадь вдовы, просуммировав площади всех маленьких прямоугольников.
A = ∑ ₁ ^N f(x _i )∆x _i .
Сумма указана по всем i от 1 до N.
Мы можем сделать это, например, с помощью электронной таблицы. Чем меньше мы делаем ∆x _i , тем ближе наша расчетная площадь приближается к истинная площадь окна. Положив ∆x _i —> 0, мы преобразуем сумму в определенный интеграл .
Обозначение lim _∆xi—>0 ∑ _x1 ^x2 f(x _i )∆x _i = ∫ _x1 ^x2 f(x)dx. Здесь dx обозначает бесконечно малый интервал.
Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой f(x) из некоторой начальной позиции x _i в некоторую конечную позицию x _f .
Области над осью x положительны, а области ниже оси x отрицательны.
Электронная таблица (или другие компьютерные программы) может использоваться для оценки определенного интеграл численно путем преобразования его в сумму по большому количеству очень небольшие интервалы. Вычисление определенного интеграла аналитически (если возможно) является более быстрым способом нахождение площади под кривой.
Для многих общих функций f(x) вы можете найти формулу ∫f(x)dx в таблице интегралы или онлайн.
Например, если f(x) = c*x ⁿ , где c — константа, а n — любое число, не равно -1, тогда
∫f(x)dx = ∫c*x ⁿ dx = F(x) = c*x ⁿ⁺¹ /(n+1).
Определенный интеграл ∫ _x1 ^x2 f(x)dx находится по формуле вычисление F(x) в пределах интегрирования.
∫ _x1 ^x2 f(x)dx = F(x)| _x1 ^x2 = F(x ₂ ) — F(x ₁ ).
Например, ∫ _x1 ^x2 c*x ⁿ dx = c*x ₂ ⁿ⁺¹ /(n+1) — с*х ₁ ⁿ⁺¹ /(n+1).
Нахождение площади нашего окна с помощью
f(x) = (4h/∆x ² )[-x ² + (2x ₁ + ∆x)x — x ₁ (x ₁ + ∆x)],
интегрируем f(x) от x ₁ до x ₂ = x ₁ + ∆x.
∫f(x)dx = (4h/∆x ² )[-∫x ² dx + (2x ₁ + ∆x)∫x ¹ dx — х ₁ (х ₁ + ∆х) ∫х ⁰ дх]
=-(4h/∆x ² )[-x ²/3 + (2x ₁ + ∆x)x ²/2 — х ₁ (х ₁ + ∆x) х ¹ /1] = F(x)
∫ _x1 ^x2 f(x)dx = F(x ₂ ) — F(x ₁ ).
No related posts.

Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Особенности вычисления определенного интеграла

Вычисление площадей криволинейных фигур

Применение определенного интеграла в экономических задачах

Численное вычисление интегралов

5.2: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts

Определение и обозначения

Вычисление определенных интегралов

Площадь и определенный интеграл

Общая площадь

Свойства определенного интеграла

Сравнительные свойства интегралов

Основные понятия

Глоссарий

Авторы

Определенные интегралы

Добавить комментарий Отменить ответ