МР по дисциплине Обыкновенные дифференциальные уравнения
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
«РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ»
Методическая разработка учебного занятия
«Обыкновенные дифференциальные уравнения»
ОУДП.12 Математика
Ростов-на-Дону 2022
рассмотрено УТВЕРЖДАЮ:
На заседании цикловой
комиссии Зам.
директора по НМР
Математики и естественнонаучных дисциплин ________________ И.В.Подцатова
Протокол
Председатель ЦК «____»______________2022 г.
___________________М.Ш.Джалагония
| Автор: | Небратенко.Л.В | преподаватель государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения Ростовской области «Ростовский-на-Дону колледж связи и информатики» |
Содержание
1.
Ведение…………………………………………………………..
4
2. Основная часть:…………………………………………………. 5 — 16
а) понятие о дифференциальных уравнениях;
б) виды дифференциальных уравнений и их решение;
в) составление дифференциальных уравнений по условию задачи;
г) применение дифференциальных уравнений.
3. Заключение………………………………………………………. 17
4. Список литературы………………………………………………. 18
Введение
При изучении темы «Дифференциальные уравнения» студенты
сталкиваются со многими проблемами, особенно это касается решения
дифференциальных уравнений.
Иногда они затрудняются правильно определить вид
дифференциального уравнения и его порядок, верно выбрать алгоритм решения.
Достаточно много вопросов возникает у студентов при нахождении общего и
частного решений дифференциального уравнения. Много ошибок допускается в
решении при разделении переменных и при интегрировании функций. Студенты не
всегда правильно делают математические преобразования, соблюдают
последовательность в решении. В результате многие непонятные вопросы у
студентов по решению дифференциальных уравнений остаются невыясненными.
Для
того, чтобы студенты самостоятельно выполнили решение того или иного
дифференциального уравнения, при этом выявили недочеты и исправили свои ошибки,
необходима постоянная помощь преподавателя. Однако эта задача может быть
решена самостоятельно студентами, если они в своей работе воспользуются
методическими указаниями, составленными преподавателем в помощь студентам по
данной теме. В данных методических указаниях подробно изложена методика решения
различных дифференциальных уравнений, сформулированы алгоритмы решений со
ссылками на теоретический материал.
1. Понятие о дифференциальных уравнениях
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие производные искомой функции или ее дифференциалы. Например, уравнения являются дифференциальными, т.к. они содержат производную Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения. При решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение, затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого необходимо:
· Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.
· Полученное числовое значение С подставить в общее решение.
Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши. Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, а общее решение – совокупностью интегральных кривых.
В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.
Порядок дифференциального уравнения
Дифференциальные
уравнения классифицируют в зависимости от порядка производной, входящей в
уравнение.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется
порядком дифференциального уравнения. Например, -дифференциальное
уравнение первого порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в него
– первый.
— дифференциальное уравнение второго порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в это уравнение – второй.
— дифференциальное уравнение третьего порядка.
2. Виды дифференциальных уравнений и их решение
а) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными
Уравнение вида , где и — данные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.
Рассмотрим на конкретном примере решение таких уравнений.
Пример №1. Найти частное решение дифференциального уравнения :
, если при
Задание | Последовательность решения | Методика решения |
Найти частное решение дифференциального уравнения: , если при Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными
|
| Интегрируем обе части уравнения |
Данное выражение получилось в результате интегрирования.
| ||
| Подставили в общее решение начальные условия
| |
Нашли С из предыдущего уравнения
| ||
Подставили С в общее решение и получили частное решение данного уравнения
|
Это и
есть общее решение данного уравнения
б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Уравнение вида, где — заданные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Решение таких уравнений осуществляется по следующему плану:
· Выражают производную функции через дифференциалы и
· Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства
и выносят дифференциал за скобку.
· Разделяют переменные.
· Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
· Если заданы начальные условия, то находят частное решение.
Примечание: в зависимости от вида уравнения некоторые пункты плана решения могут быть опущены.
Пример №2. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Задание
| Последовательность решения | Методика решения |
Найти общее решение дифференциального уравнения: Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными |
| Заменили |
| Умножили все члены равенства на
| |
| Сгруппировали все члены, содержащие и , и записали полученные выражения в разных частях равенства | |
| Разделили обе части равенства на выражение , т.
| |
Проинтегрировали обе части равенства | ||
| Нашли интегралы от левой и правой частей равенства
| |
| Воспользовались теоремой о логарифмах и преобразовали правую часть равенства
| |
| Воспользовались свойством логарифмов: если равны логарифмы чисел при данном основании, то равны и соответствующие им числа
| |
Нашли из последнего выражения. Данное выражение является общим решением дифференциального уравнения
|
е. разделили переменные
в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
вида, где — функции переменной или постоянные величины,
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
При решении
таких уравнений применяют метод Бернулли, который заключается в следующем:
· Приводят уравнение к виду
· Используя подстановку и подставляют это выражение в уравнение.
· Группируют члены уравнения, выносят одну из функций за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
· Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.
· Записывают общее решение, подставив выражение для найденных функций в равенство
· Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных
условий и подставляют в общее решение.
Пример №3. Решить дифференциальное уравнение:
Задание
| Последовательность решения | Методика решения |
Решить дифференциальное уравнение: Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка |
| Разделили все члены уравнения на |
| Подставили выражение в уравнение
| |
Вынесли общий множитель за скобки
| ||
| Приравняли к нулю выражение в скобках
| |
| Заменили и перенесли слагаемое в правую часть
| |
| Разделили переменные | |
| Проинтегрировали обе части уравнения | |
| Нашли интегралы от обеих частей равенства
| |
| Воспользовались свойством логарифмов: если равны логарифмы чисел при данном основании, то равны и соответствующие им числа
| |
| Переписали уравнение с учетом, что и
| |
| Заменили на
Нашли
Проинтегрировали обе части уравнения | |
| Нашли интегралы от обеих частей равенства
| |
| Подставили значения
| |
| Нашли общее решение дифференциального уравнения
|
г) Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнения,
содержащие производные или дифференциалы второго порядка, называются
дифференциальными уравнениями второго порядка.
Дифференциальное уравнение
второго порядка, разрешенное относительно имеет вид:
Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида Такое уравнение решается двукратным интегрированием:
Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функции , которую обозначим через F( или или
Интегрируем еще раз:
или
Данное выражение представляет собой общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные . Следовательно, решение дифференциальных уравнений вида осуществляется по следующему плану:
· Интегрируют обе части уравнения и находят .
· Интегрируя содержащее две произвольные постоянные.
· Если требуется найти частное решение, то определяют из начальных условий и подставляют их в общее решение.
Пример №4. Решить дифференциальное уравнение:
Задание | Последовательность решения | Методика решения |
Решить дифференциальное уравнение:
Данное уравнение является простейшим дифференциальным уравнением второго порядка |
| Заменили на
Умножили обе части уравнения на
|
| Проинтегрировали обе части уравнения | |
| Нашли интегралы от обеих частей уравнения | |
| Заменили на | |
| Умножили обе части уравнения на | |
Проинтегрировали обе части равенства | ||
Нашли
интегралы от обеих частей равенства.
|
Данное выражение является общим решением
данного уравнения
д) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где — постоянные величины. Решение таких дифференциальных уравнений производится по следующему плану:
· Записывают дифференциальное уравнение в виде
· Составляют его характеристическое уравнение .
· Вычисляют дискриминант :
а) если , то уравнение имеет два разных корня и , а общее решение записывается в виде:
б) если , то уравнение имеет два равных корня = , а общее решение записывается в виде:
в) если , то уравнение имеет комплексные корни , а общее решение записывается в виде:
Пример № 5. Найти частное решение дифференциального уравнения:
, если
Задание | Последовательность решения | Методика решения |
Найти частное решение дифференциального уравнения: , если Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами | Составили характеристическое уравнение
| |
, 2 корня | Нашли дискриминант в характеристическом уравнении
| |
= | Решили характеристическое уравнение и получили корни и
| |
Записали общее решение дифференциального уравнения
| ||
Подставили начальные условия в общее решение и нашли
| ||
Подставили значения в общее решение и нашли частное решение дифференциального уравнения
|
Пример
№6.
Найти общее решение уравнения:
Задание | Последовательность решения | Методика решения |
Найти общее решение уравнения:
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами | Составили характеристическое уравнение
| |
— уравнение имеет два равных корня | Нашли дискриминант в характеристическом уравнении
| |
Нашли корни характеристического уравнения
| ||
Нашли общее решение дифференциального уравнения
|
Пример № 7.
Найти общее решение уравнения:
Задание | Последовательность решения | Методика решения |
Найти общее решение уравнения:
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
| Составили характеристическое уравнение
| |
D<0 – уравнение имеет комплексные корни | Нашли дискриминант в характеристическом уравнении
| |
| Нашли корни характеристического уравнения | |
| Нашли общее решение дифференциального уравнения
|
3.
Составление дифференциальных
уравнений по условию задачи
Составление дифференциальных уравнений по условию задачи напоминает составление алгебраических уравнений. Дифференциальное уравнение задачи составляют по ее условию и в зависимости от этого условия оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используют геометрический, физический или механический смысл производной. Решение таких задач необходимо выполнять по следующему плану:
· Из переменных величин выделяют функцию и аргумент, устанавливают физический смысл функции и ее производной.
· Используя известные сведения из физики, механики, электротехники и других дисциплин, выражают зависимость между функцией, ее производной и аргументом, т.е. составляют дифференциальное уравнение.
·
Определяют, к какому типу
относится составленное уравнение и находят его общее решение.
· Если в задаче даны начальные условия, то получается частное решение уравнения.
Пример № 8. Рассмотрим применение дифференциального уравнения на примере решения конкретной задачи.
Задание | Последовательность решения | Методика решения |
Концентрация лекарственного вещества в крови человека уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент времени. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.
| Данным соотношением связана скорость изменения концентрации с
концентрацией в любой момент времени.
| |
| Разделили переменные, т.е. умножили обе части уравнения на и разделили обе части уравнения на
| |
| Проинтегрировали обе части уравнения | |
| Нашли интегралы от левой и правой частей последнего равенства
| |
| Воспользовались теоремой о логарифмах и нашли из последнего равенства
| |
мг/л
| Подставили в последнее равенство концентрацию лекарственного вещества при и нашли
| |
| Из формулы при и нашли
| |
Подставили в формулу значения и получили закон изменения концентрации
|
Знак минус поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени.
Получилось дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными
4.
Применение дифференциальных уравнений
В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.
Заключение
Данные методические указания способствуют формированию у студентов
навыков самостоятельности, самообучения и самоорганизации. В результате у них
развивается логическое мышление, улучшается зрительная память, появляется
активный интерес к изучаемой теме.
Задания, выполненные студентами
самостоятельно, способствуют активизации творческих возможностей и повышению
качества знаний. Используя методические указания, студенты могут без помощи
преподавателя ответить на многие вопросы изучаемой темы и уточнить
последовательность решения. Данные указания стимулируют студентов к активным
действиям по изучению, усвоению и закреплению знаний, приучают их к вдумчивой и
углубленной работе.
Литература
1. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / С.Г.Григорьев, С.В.Иволгина; под ред. В.А.Гусева. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2021. – 416 с.
2.
Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл.
общеобразоват.
Учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; под ред.
А.Н.Колмогорова.- 15-е изд. – М.: Просвещение, 2020. – 384 с.
3. Математика: Учебник – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2019. – 304 с.
4. Математика: учебное пособие / В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова. – Ростов н/Д.: Феникс, 2021. – 380 с.
Дифференциальные уравнения
1. Какие уравнения называются дифференциальными? Приведите примеры?
2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?
3. Какое решение дифференциального уравнения называется — общим и какое — частным?
4. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?
5. Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?
6. Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?
7.
Как проверить,
правильно ли найдено решение
дифференциального уравнения?
8. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического уравнения?
9. В чём заключается задача Коши? Каков его геометрический смысл?
10. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделёнными переменными.
Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
1. Выражают производную функции через дифференциалы и .
2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
3. Разделяют переменные.
4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
5. Если заданны начальные условия, то находят частное решение.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка.
1. Определить вид дифференциального уравнения первого порядка:
А)
Б) , где .
2. В зависимости от вида уравнения выбрать алгоритм:
А)
А.1. Используя подстановку , находят и подставляют эти выражения в уравнение:
Данное уравнение примет вид: .
А.2. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы вынести за скобку:
;
Из скобки, приравняв её к нулю, найти функцию .
А.3. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят функцию .
А.4. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство :
А.5. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.
Б.1. Определить значения и ,
и записать общее решение в виде: .
Дифференциальное уравнение Бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли решают тем же методом, что и линейные дифференциальные уравнения (т.е. сводятся к последовательности уравнений с разделяющимися переменными по той же схеме, что и линейное уравнение — подстановкой).
Алгоритм решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах .
1.Проверить условие: .
2. Найти функцию , решив систему уравнений:
3. Записать общее решение в виде
Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представим в виде таблицы.
Дифференциальное уравнение | |||
Характеристическое уравнение | |||
Дискриминант | |||
Корни характеристического уравнения | |||
Множества решений | |||
Ряды
1.
Дайте определение
числового ряда.
2. Что такое частичная сумма ряда?
3. Какой ряд является сходящимся (расходящимся)?
4. Как определяется сумма числового ряда?
5. Запишите необходимый признак сходимости ряда.
6. Запишите предельный признак сравнения числовых рядов с положительными членами.
7. Запишите признак Даламбера сравнения числовых рядов с положительными членами.
8. Запишите радикальный признак Коши сравнения числовых рядов с положительными членами.
9. Запишите интегральный признак Коши – Маклорена сравнения числовых рядов с положительными членами.
10. Запишите признак абсолютной сходимости числового ряда.
11. Какой числовой ряд является условно сходящимся?
12. Дайте определение степенного ряда.
13.Как определяется радиус сходимости степенного ряда?
Блог Эдди по математике и калькуляторам: Дифференциальные уравнения #10: Критические точки
Критические точки и определение того, что происходит
В этой записи блога мы работаем с системой двух уравнений:
x’ = f(x,y) )
y’ = g(x,y)
, где x и y — функции независимой переменной, например, t.
Хорошо относитесь к t как к переменной времени.
Сегодняшний блог будет посвящен процессу, состоящему из трех шагов:
1. Поиск критических точек
2. Определение матрицы Якоби
3. Нахождение собственных значений этой матрицы Якоби
1. Поиск критических точек
Найти критические точки системы относительно легко. Добавьте, что необходимо сделать, это установить x’ = 0 и y’ = 0. Следующий шаг — найти x и y.
2. Определение матрицы Якоби
Матрица Якоби системы равна
Подсказка: если система
x’ = Ax + By 92 — след * λ + определитель = 0
Где:
* след сумма диагональных элементов матрицы
* определитель определитель матрицы
Решающие корни и определить поведение критической точки.
Типы критических точек:
* источник: решения отдельных кривых x(t) и y(t) — траектории, уходящие от критической точки
* сток: решения отдельных кривых x(t) и y(t) — траектории движения к критической точке
* седловая точка: критическая точка действует как сток для некоторых траекторий и источник для других траекторий
* центр: траектории вращаются вокруг критической точки, наиболее вероятно круговые или эллиптические орбиты
Определение типа критических точек:
* λ1 и λ2 вещественны и положительны: критическая точка является источником.
* λ1 и λ2 действительные и отрицательные: критическая точка является стоком
* λ1 и λ2 действительные и имеют противоположные знаки: критическая точка является седлом
* λ является двойным корнем и положительным: критическая точка является источником
* λ — двойной корень, отрицательный: критическая точка — сток
* λ = S ± Ti, S положителен: точка — источник, траектории — спиральные сток, траектории спиральные
* λ = ± Ti: критическая точка – центр
Источник: http://kaharris.org/teaching/216/Lectures/lec28/lec28.pdf
Поработаем с некоторыми примерами.
1.
x’ = x + 4y
y’ = 2x + 3y
Критическая точка:
0 = x + 4y 92 — 4*λ — 5 = 0
(λ — 5)(λ + 1) = 0
λ1 = 5, λ2 = -1
Действительные и противоположные знаки, критическая точка (0,0) является седловой точкой.
2.
x’ = x + 2y — 6
y’ = 6x — 3y + 24
Критическая точка:
0 = x + 2y — 6
0 = 6x — 3y + 24
система
x + 2y = 6
6x — 3y = -24
Решение системы дает критическую точку (-2, 4).
С
f = x + 2y — 6
df/dx = 1
df/dy = 2 92, dg/dx = 1, dg/dy = -4y
Критическая точка (0,0):
J = [[2, 3] [1, 0]]
И собственные значения J равны -1 и 3
Критическая точка (0,0) является седловой точкой.
Критическая точка (9/8, -3/4):
J = [[2, 3] [1, 3]]
Собственные значения равны (5 ± √13)/2. Приблизительные значения: 4,302776 и 0,697224. Критическая точка (9/8, -3/4) является источником.
Надеюсь, это поможет, и мы поговорим в следующий раз. Пожалуйста, не стесняйтесь оставлять вопросы и комментарии.
Эдди
Этот блог является собственностью Эдварда Шора. 2013
Специальная дифференциальная-уравнение-уравнение-Google Suce
ALLBILDERVIDEOSBüchermApsNewshopping
Sucoptionen
Уравнение Обычной дифференциации (ODE)-Symbolab
66666666.
Бесплатный калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — шаг за шагом решайте обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
Неоднородные · Дифференциальные уравнения второго порядка… · Разделимые дифференциальные… · Точные
Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор — MathDF
mathdf.com › dif
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений. С удобным вводом и шаг за шагом!
Калькулятор дифференциальных уравнений — eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › дифференциально-уравнени…
Калькулятор попытается найти решение заданного ОДУ: первого порядка, второго порядка, n-го порядок, сепарабельный, линейный, точный, бернуллиевский, однородный или.
Ähnliche Fragen
Как найти частное решение дифференциального уравнения?
Как решить частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка?
Как найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка?
Wolfram|Alpha Widgets: «Решение общих дифференциальных уравнений»
www.wolframalpha.com › виджеты › просмотр
01.
08.2010 · Получите бесплатно виджет «Решение общих дифференциальных уравнений» для вашего сайта, блога, WordPress, Блоггер или iGoogle.
Решить дифференциальные уравнения онлайн
mathforyou.net › онлайн › исчисление › ода
Наш онлайн-калькулятор может найти как общее решение дифференциального уравнения, так и частное. Чтобы найти конкретное решение, …
Калькулятор общих решений + онлайн-решатель с бесплатными шагами
www.storyofmathematics.com › математические калькуляторы
Bewertung 5,0
(5)
Калькулятор общих решений работает взяв в качестве входных данных дифференциальное уравнение, представленное как y = f(x), и вычислив результаты дифференциального …
Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений — SnapXam
www.snapxam.com › калькуляторы › дифференциальное уравнение…
Калькулятор дифференциальных уравнений онлайн с решением и шагами.
Подробные пошаговые решения ваших задач по дифференциальным уравнениям онлайн с помощью нашего …
Калькулятор дифференциальных уравнений с начальным условием
Idealcalculator.com › дифференциальное-уравнение-вычисление…
Чем выше порядок дифференциального уравнения , тем больше произвольных констант необходимо добавить к общему решению. Уравнение первого порядка будет иметь один, …
Решение дифференциальных уравнений шаг за шагом онлайн — Мистер Экзамен
calculate-online.org › дифференциальное уравнение
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; y’ + 7*y = sin(x) … Что может калькулятор дифференциальных уравнений? Подробное решение …
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений — Math34.pro
math34.pro › Differential_equation
Используйте Math34.pro для решения дифференциальных уравнений любого типа здесь и сейчас. … Бесплатный калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — решение обычных .