Определитель матрицы рассчитать: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

Содержание

Вычисление определителя и обратной матрицы для заданной с помощью LU разложения

Другие предметы \ Ознакомительная практика

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Министерство образования и науки РФ

ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Кафедра МОП ЭВМ

Отчет №5

По дисциплине «Ознакомительная практика»

Выполнил: Сюй Н.А.

Группа: 4ВС-1

Проверил: Могильников Е.В.

Комсомольск-на-Амуре

2005

Вариант 9

Постановка задачи.

Вычислить определитель и обратную матрицу для заданной с помощью LU разложения.

Заданная система уравнений:

Алгоритм решения.

1. Вычисление матриц L и U. В программе, в которой вычисляются матрицы, сначала происходит обнуления всех элементов матрицы, а затем к соответствующим элементам прибавляются значения элементов, вычисленных по формулам:

Заполнение матриц происходит по столбцам (для матрицы L) и строкам (для матрицы U), т.к. для каждого столбца (матрица L) и для каждой строки (матрица U) накапливаются различные суммы.

Программа содержит аргумент k. Он может принимать значения 0 или 1. Если k=0, то результатом программы является матрица L, в противном случае – матрица U.

2. Для того, чтобы вычислить определитель матрицы А, мы должны перемножить определители матриц L и U. Матрицы являются треугольными, т.е. определитель равен произведению элементов главной диагонали. Т.к. в матрице U элементы главной диагонали равны единицам, то в программе поиска определителя матрицы А рассчитывается произведение элементов главной диагонали матрицы L.

3. Вычисление матриц, обратных матрицам L и U. В начале программы происходит обнуление элементов обоих матриц. Программа содержит переключатель k, если k равен нулю, то вычисляется и выводится матрица L^-1, в противном случае U^-1. При вычислении каждой из матриц происходит проверка, находится ли элемент на главной диагонали. Элементы главной диагонали вычисляются по формулам:

соответственно.

Остальные элементы вычисляются по следующим формулам:

, где

4. Обратная матрица вычисляется по формуле: .

Блок-схема программы для вычисления матриц L и U:

Блок-схема программы для вычисления матриц, обратных матрицам L и U:

Листинг программы:

Список использованной литературы:

Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 1990. – 544 с.

Информация о работе

Скачать файл

Функция МОПРЕД для нахождения детерминанта матрицы в Excel

Функция МОПРЕД в Excel используется для работы с прямоугольными матрицами. Задаваемыми в качестве статических массивов или диапазонов ячеек с числовыми данными, и вычисляет детерминант (определитель) исследуемой матрицы.

Матрица – математический объект, состоящий из совокупности строк из столбцов, каждый элемент которых содержит определенное числовое значение. Детерминант – один из основных вычисляемых параметров матрицы, характеризующих ее ключевые свойства.

Пример функции МОПРЕД для вычисления детерминанта матрицы в Excel

Примеры использования функции МОПРЕД в Excel.

Пример 1. Одним из свойств матриц является то, что определитель (детерминант) исходной матрицы соответствует определителю транспонированной матрицы.

Доказать справедливость этого суждения с использованием средств Excel.

Вид таблицы с данными:

Для получения транспонированной матрицы выделим соответствующий по количеству строк и столбцов диапазон ячеек и используем следующую формулу (формула массива CTRL+SHIFT+Enter):

=ТРАНСП(A2:C4)

A2:A4 – диапазон ячеек со значениями исходной матрицы.

В результате получим:

Рассчитаем детерминант для каждой матрицы отдельно:

=МОПРЕД(A2:C4)

=МОПРЕД(E2:G4)

A2:C4 и E2:G4 – диапазоны ячеек со значениями исходной и транспонированной матриц соответственно.

Полученные результаты:

Во избежание промежуточных вычислений можно было использовать формулу массива CTRL+SHIFT+Enter:

=МОПРЕД(ТРАНСП(A2:C4))

Результат вычислений:

В результате вычислений формул Excel детерминант – доказан!

Решение системы линейных уравнений по методу Крамера в Excel

Пример 2. Решить систему линейных уравнений с использованием метода Крамера. Для расчета необходимо найти определители нескольких матриц.

Вид таблицы данных:

Для нахождения решений методом Крамера выделим три матрицы.

Если детерминант первой матрицы равен нулю, исходная система уравнений имеет бесконечное число решений. Проверим это условие с помощью формулы:

=МОПРЕД(A6:B7)

Результат вычислений:

Так как детерминант основной матрицы (Матрица 1) не равен нулю, система имеет единственное решение. Для нахождения значения переменных X и Y используем формулы:

=МОПРЕД(C6:D7)/B8

=МОПРЕД(E6:F7)/B8

Результаты вычислений:

Принцип работы функции МОПРЕД в Excel

Функция МОПРЕД имеет следующую синтаксическую запись:

=МОПРЕД(массив)

Единственным аргументом рассматриваемой функции является массив, который обязателен для заполнения. Он может быть указан в виде статического массива или ссылки на диапазон ячеек.

Примечания:

Диапазон ячеек или статический массив должен иметь равное количество строк и столбцов, иначе результатом работы функции МОПРЕД будет код ошибки #ЗНАЧ!.
Если диапазон ячеек или массив, переданные в качестве аргумента рассматриваемой функции, содержат текстовые данные или пустые значения, в результате будет возвращен код ошибки #ЗНАЧ!.
Функция МОПРЕД значительно упрощает процесс расчета детерминанта матрицы. Пользователь Excel может выполнить расчеты самостоятельно. Например, для прямоугольной матрицы, значения которой находятся в диапазоне A1:C3 рассчитать детерминант можно следующим способом: A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1).

Точность расчетов функции МОПРЕД составляет примерно 1E-16, то есть до 16 знаков после запятой. Для более точных расчетов (что требуется крайне редко) используют другие методы определения детерминанта матрицы.
Значение детерминанта используют для поиска решений системы линейных уравнений.

Правила расчета определителей и примеры

Правила

Правила расчета с определителями.

Перестановка двух строк Перестановка двух столбцов Фактор в строкеСложение строкСложение столбцовТеорема умноженияТеорема о транспозицииТеорема об обратной матрицеКоробка

Методы расчета определяющих значений.

Определяющее значениеОпределяющее значение 2×2Определяющее значение 3×3Определяющее значение NxNLaplace ExpansionGaussian Method

История определителей

Исторически определяющие факторы рассматривались до матриц. Первоначально определитель определялся как свойство системы линейных уравнений. Определитель «определяет», имеет ли система уравнений единственное решение (именно так и происходит, если определитель отличен от нуля). В этом контексте матрицы 2×2 были рассмотрены Кардано в конце 16 века, а более крупные матрицы — Лейбницем примерно 100 лет спустя.

Определитель

Каждой квадратной матрице можно присвоить уникальный номер, который называется определителем (det(A)) матрицы. В общем случае определитель матрицы NxN определяется формулой Лейбница:

det A=∑σ∈SnsgnσΠi=1nAiρi

здесь необходимо распространить сумму на все перестановки σ. Таким образом, из элементов множества A формируются все возможные произведения для каждого n-элемента таким образом, что каждое из произведений каждой строки и столбца содержит ровно один элемент. Эти продукты складываются, и сумма является определителем A. Знак слагаемых положительный для четных перестановок и отрицательный для нечетных перестановок.

Правила вычисления определителя

Перестановка двух строк определителя

Перестановка двух строк определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=-|a11a12…a1n⋮ak1ak2…akn⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|

Перестановка двух столбцов определителя местами

Перестановка двух столбцов определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=-|a11…a1k…a1j…a1na21…a2k…a2j…a2n⋮an1…ank…anj…ann |

Множитель в строке определителя

Извлечение общего множителя из строки. Общий множитель во всех элементах строки можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11a12…a1n⋮λaj1λaj2…λajn⋮an1an2…ann|=λ|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=λdet A’

Извлечение общего множителя из столбца. Общий множитель во всех элементах столбца можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11…λa1j…a1na21…λa2j…a2n⋮an1…λanj…ann|=λ|a11…a1j…a1na21…a2j…a2n⋮an1…anj…ann|=λdet A’

Добавление строк

Сложение строки определителя с кратным другой строки. Значение определителя не меняется, когда к строке добавляется кратное другой строки.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=|a11a12…a1n⋮aj1+λak1aj2+λak2…ajn+λakn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|

Сложение столбцов

Сложение столбца определителя с кратным другому столбцу. Значение определителя не меняется, когда к столбцу прибавляется кратное другому столбцу.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=|a11…a1j+λa1k…a1k…a1na21…a2j+λa2k…a2k…a2n⋮an1…anj+ λанк…анк…анн|

Теорема умножения

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц.

det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)

Также следует следующее соотношение.

det(Ak)=det(A)k

Теорема транспонирования

Определитель транспонированной матрицы равен определителю самой матрицы.

det(AT)=det(A)

Обратная матрица

Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя самой матрицы

det(A-1)=det(A)-1=1det A

Теорема о ящике

Имеет определитель, следующий за коробчатой структурой с квадратными ящиками B и D, тогда его определитель представляет собой произведение определителей направлений B и D .

det A=|BC0D|=det(B)det(D)det A=|B0CD|=det(B)det(D)

Вычисление значения определителя

Определитель матрицы 0x0

Определитель a Матрица 0x0 определяется как 1.

Определитель матрицы 1×1

Матрица 1×1 — это матрица, состоящая только из одного элемента, а определитель задается самим элементом.

det A=|a11|=a11

Определитель матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 определитель вычисляется следующим образом.

det A=|a11a12a21a22|=a11a22-a21a12

Определитель матрицы 3×3

Для вычисления определителя 3×3 существуют разные способы. С развитием Лапаса можно уменьшить определитель до 2х2 определителей. Прямой способ вычисления определителя — правило Сарруса. Правило Сарруса гласит, что определитель квадратной матрицы 3×3 вычисляется путем вычитания суммы произведений главных диагоналей из суммы произведений второстепенных диагоналей.

Определитель матрицы 3×3 по правилу Сарруса

Определитель вычисляется по правилу Сарруса следующим образом. Схематически первые два столбца определителя повторяются, так что большая и малая диагонали могут быть виртуально соединены линейной линией. Затем делают произведения главных диагональных элементов и добавляют эти произведения. С второстепенными диагоналями вы должны сделать то же самое. Разница между ними дает определитель матрицы.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|a11a12a21a22a31a32|=a11a22a33+a12a23a31+a33a21a32-(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12)

Determinant of NxN Matrix

Laplace Expansion Theorem

The Laplacian development theorem provides a method for calculating the determinant, in which the определитель развивается после строки или столбца. Размерность уменьшается и может быть уменьшена далее шаг за шагом до скаляра.

det A=∑i=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Разложение по j-му столбцу )

det A=∑j=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Разложение по i-й строке )

где A _ij , подматрица A, которая возникает, когда i-я строка и j- й столбец удален.

Пример разложения Лапласа по первой строке матрицы 3×3.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

Первый элемент задается коэффициентом a ₁₁ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a11|a22a23a32a33|

Второй элемент задается коэффициентом a ₁₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a12|a21a23a31a33|

Третий элемент задается коэффициентом a ₁₃ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a13|a21a22a31a32|

С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.

Важно учитывать, что знаки элементов чередуются следующим образом.

|+-+-+-+-+|

Пример разложения Лапласа по второму столбцу матрицы 3×3.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

Первый элемент задается коэффициентом a ₁₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a12|a21a23a31a33|

Второй элемент задается коэффициентом a ₂₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a22|a11a13a31a33|

Третий элемент определяется коэффициентом а ₂₃ и поддетерминант, состоящий из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a23|a11a13a21a23|

С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.

Важно учитывать, что знаки элементов чередуются следующим образом.

|+-+-+-+-+|

Пример разложения по j-й строке определителя NxN.

Расширение Лапласа сводит определитель NxN к сумме (N-1)x(N-1) определителей.

Метод Гаусса

В методе Гаусса определитель преобразуется таким образом, что элементы нижней матрицы треугольника становятся равными нулю. Для этого вы используете правила коэффициента строки и добавление строк. Добавление строк не меняет значения определителя. Факторы ряда должны рассматриваться как множители перед определителем. Если определитель треугольный и элементы главной диагонали равны единице, то множитель перед определителем соответствует значению самого определителя.

det A=|a11a12…a1naj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=λ|1a12…a1n01…ajn⋮00…1|=λdet A’=λ

Правило Крамера

Правило Крамерса использует определители для решения системы линейных уравнения. Для случая линейной (N×N) системы уравнений с det(A), не равным 0, решение можно представить в следующем виде:

х=А-1б

xi=1det A|a11…b1…a1na21…b2…a2n⋮an1…bn…ann|

xi=DiD

Определитель в числителе D _i от D = det A показан i-й колонкой в D заменен на b.

Определения

Матрица A называется Обычной , если определитель A не равен 0.

Матрица A называется сингулярной , если определитель матрицы A равен 0.

Матрица A является обратимой , если определитель матрицы A не равен 0.

Выводы из теоремы умножения:

дет(А⋅В)=дет(В⋅А)

det(C-1AC)=det(A)

Калькулятор определителей матрицы

Если вы хотите вычислить определители матрицы , вы находитесь в нужном месте. Этот решатель определителя вычисляет определитель матриц 4×4, 3×3 и 2×2.

Но какое значение имеют детерминанты? Детерминанты имеют множество применений, о которых мы упомянем в следующем разделе. Например, решить систему уравнений 3×3 — это то же самое, что вычислить определитель матрицы 3×3 . Продолжайте читать, чтобы узнать об этом больше!

Зачем нужно вычислять определители матрицы?

Вот некоторые из приложений определителей:

Например, мы можем описать системы линейных уравнений с помощью матриц. Использование правила Крамера является примером использования определителей для решения систем линейных уравнений.
При использовании матриц для описания линейного преобразования часто бывает лучше диагонализовать их . Мы делаем это, вычисляя определители матриц, конечно.
Определитель говорит нам, есть ли у матрицы обратная и можем ли мы аппроксимировать эту обратную псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза.
Обычно нам нужны собственных значений ранее упомянутого преобразования. Для их получения также необходимо вычислить определители матриц.

А зачем нам матрицы? Ну, матрицы описывают многие физические величины, такие как напряжение, деформация, турбулентность или круг Мора.

Ну, определители важны, это понятно. Теперь давайте посмотрим, как их вычислить .

Вычисление определителя матриц 4×4, 3×3 и 2×2

Ниже приведены формулы для вычисления определителя матриц.