Из показательной в алгебраическую. Подробно
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Настройка.Решение задач и курсовых по электротехнике Сайт Электротехника и электроника на «пять»
- Главная
- Заказать
- Примеры решений
- Теория электротехники
- Оплата и гарантии
- Цены
- Контакты
- Сотрудничество
В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:
x = a + i*b
Но это математическая запись.
В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:
x = a+j*b
При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:
x = a+b*j
Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)
Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)
Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:
x=A*ejφ
Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени).
Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:
Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота
Еще один способ точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:
Тогда становится понятно — чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции — катеты. Тогда по закону Пифагора:
Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:
Можно легко определить нужный угол:
Разберем на практическом примере.
Пусть в алгебраической форме задано значение тока:
Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому — модуль тока):
Теперь рассчитаем угол поворота вектора:
Записываем результат:
Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:
С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:
Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:
Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:
При этом, если действительная часть числа отрицательна, к получившемуся значению добавляем 180 градусов (или величину π/2, если считаем в радианах)Электротехника — ТОЭ, ОТЦ — решение задач
Как преобразовать комплексное число в показательную форму?
Комплексные числа — это способ числового представления в форме a + ib, где a и b обозначают действительные числа, а обозначают мнимое число. Например, 2 + 5i — это комплексное число, в котором 2 и 5 — действительные числа вместо a и b. И я — мнимое число.
Различные формы комплексного числа
Комплексные числа делятся на три формы: прямоугольную, полярную и экспоненциальную. Среди этих трех общих форм прямоугольная форма считается стандартным и самым простым способом представления комплексного числа. Если кто-то хочет изменить форму комплексного числа с прямоугольной на любую другую форму. Во-первых, определите r и θ модуля.
Три различные формы для представления комплексного числа упомянуты ниже с их математическим представлением.
- Прямоугольная форма
z = A + IB
- Полярная форма
z = R (COSθ + ISINθ)
- Экспоненциальная форма
z = R Exp (Iθ)
9004 ClassificatКомплексные числа подразделяются на разные группы на основании вещественных и мнимых частей числа. На основе стандартной формы комплексных чисел комплексные числа z = a + ib подразделяются на четыре типа.
- Нулевые комплексные числа
a = 0 и b = 0
Форма комплексного числа будет 0 + i0.
Например, 0 (ноль)
- Чисто действительное число
a ≠ 0 и b = 0
Форма комплексного числа будет a.
Например, 2, 3, 7 и т. д.
- Чисто мнимое число
a = 0 и b ≠ 0
Форма комплексного числа будет ib.
Например: -7i, -5i, 3i и т. д.
- Мнимые числа
a ≠ 0 и b ≠ 0
Форма комплексного числа будет a+ib.
Например: (-1 – i), (1 + i), (1 – i) и т. д.
Как преобразовать комплексное число в показательную форму?
Решение:
Если существует комплексное число в полярной форме z = r(cosθ + isinθ), используйте формулу Эйлера, чтобы записать его в экспоненциальной форме, то есть z = re (iθ) . Давайте посмотрим на вывод:
Вывод экспоненциальной формы
- Экспоненциальная форма комплексного числа может быть записана как
z = re iθ
90 Комплексное число записывается как полярная форма
z = r(cosθ + isinθ)
- Теперь у нас есть формула Эйлера0088 iθ для получения экспоненциальной формы комплексного числа.
z = r(cos θ + isin θ)
z = re iθ
Примеры задач
Решение:
R = = √13
θ = TAN -1 (3/2) = 0,982Radians
в экспоненциальной форме,
RE Iθ = √13E 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8888 8888 88888888 гг.
я
я Вопрос 2: Преобразуйте комплексное число 16 + 51i в показательную форму.
Решение:
R = = 53,45
θ = Arctan (51/16) = 1,27Radians
в экспоненциальной форме,
Re Iθ = 53,45E 87777 Iθ = 53,45E 877777 = 53,45E 877777 = 53,45E 777777 = 53,45E 777 Вопрос 3: Преобразуйте комплексное число 12 + 87i в экспоненциальную форму.
Решение:
r = = 87,82
θ = arctan(87/12) = 1,43 радиана
В экспоненциальной форме
re iθ = 87,82e 1,43i
5. Экспоненциальная форма0901 комплексного числа
М. Борна
ВАЖНО:
В этом разделе `θ` ДОЛЖЕН быть выражен в радианы.
Мы используем важную константу
`e = 2,718 281 8.
в этом разделе.
9(1.77j)`РЕЗЮМЕ: Формы комплексного числа
Эти выражения имеют одно и то же значение . Это просто разные способы выражения одного и того же комплексного числа.
а. Прямоугольная форма
х + уй
б. Полярная форма
r (cos θ + j sin θ) = r цис θ = r ∠θ
θ может быть в градусах ИЛИ радианах для полярной формы.
9(4.93j)`
..`2. Выразите в экспоненциальной форме: `-1 — 5j`
Ответить
Это похоже на наш пример `-1 + 5j` выше, но на этот раз мы находимся в 3-м квадранте.
`r=sqrt(1+25)` `=sqrt(26)~~5.10`
`θ = π + 1,37 = 4,51` радиан
Граф для этого примера:
12-1-2-3-1-2-3-4-5Rjθ−1 − 5jОткрыть изображение на новой страницеКомплексное число `-1 — 5j`
Итак
`-1-5j=5.
