Парабола область определения функции: Квадратичная функция и ее свойства – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Содержание

Вариант № 23

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Найдём корни числителя . Так как ветви параболы направлены вверх, то при . Дробь будет положительной, если одновременно , т. е. . Отсюда находим первый интервал: . Далее, при или . Дробь будет положительной, если одновременно , т. е. . Отсюда находим второй интервал: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Область определения данной функции определена условием . Отсюда следует, что . Функция чётная. Поэтому достаточно построить график для , затем повторить его зеркально относительно оси OY в левой полуплоскости. Строим сначала график функции . Затем сдвигаем этот график вправо по оси OХ на 1 единицу и часть графика, лежащую в нижней полуплоскости, отражаем зеркально в верхнюю полуплоскость. Получили график функции . Зеркально достраиваем график в левой полуплоскости. Ответ: Последовательность построения графика представлен на рисунках.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Это гипербола. Строим сначала гиперболу . Затем сдвигаем график влево по оси ОХ на 2 единицы, затем поворачиваем его вокруг оси ОХ. Получим график функции .

Отметим, что точка по отношению к заданной функции является точкой устранимого разрыва. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Получили уравнение параболы , ветви которой направлены вниз, а вершина расположена в точке (0, 1). Парабола определена для , та как .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

При будет , и при будет . Это скручивающаяся спираль. Для построения графика сделаем таблицу.

φ	π/2	π	3π/2	2π
ρ	2	1	2/3	1/2

5π/2

3π

7π/2

4π

2/5

1/3

2/7

1/4

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Аналогично, . Тогда .

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞-∞)).

Приводим к общему знаменателю и разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Дополним числитель до разности кубов, умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы:

. Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: :

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

, так как . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения: . Таким образом, в точке X=0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен . Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Прямая является горизонтальной асимптотой.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция терпит разрыв второго рода.

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

По определению . Заменим ΔX на X—X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифми-

Руем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: . Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и — координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X):

. Или . Из этого равенства находим:

. Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0/0):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

Вычисляем последовательно:

Ответ: .

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых пяти производных в заданной точке:

,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как степенная функция пятой степени. Точка (0, 0) является точкой перегиба. Слева – интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет.

Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : (по правилу Лопиталя). Аналогично, . Следовательно, наклонных асимптот нет.

5. Первая производная . Производная в нуль не обращается. В точке производная не существует. При производная отрицательна – функция монотонно убывает, при производная положительна – функция монотонно возрастает. Следовательно, точка является точкой минимума, причём .

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точках и . В точке производная не существует. Имеем четыре интервала: интервал и интервал . 2

Функция у=х²

Рассмотрим функцию заданную формулой y = x 2.

На основании определения функции каждому значению аргумента х

из области определения R ( все действительные числа )
соответствует единственное значение функции y , равное x 2.

Например, при х = 3 значение функции y = 3 2 = 9 ,
а при х = −2 значение функции y = (−2) 2 = 4 .

Изобразим график функции   y =   x 2 . Для этого присвоим
аргументу   х   несколько значений, вычислим соответствующие значения
функции и внесем их в таблицу.

Если: x = –3 , x = –2 , x = –1 , x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 ,

то: y = 9 , y = 4 , y = 1 , y = 0 , y = 1 , y = 4 , y = 9 .

Нанесем точки с вычисленными координатами   (x ; y)   на плоскость и
соединим их плавной непрерывной кривой. Эта кривая, называющаяся
параболой, и есть график исследуемой нами функции.

На графике видно, что ось   OY   делит параболу на симметричные
левую и правую части (ветви параболы),   в точке с координатами   (0; 0)
(вершине параболы)   значение функции   x 2   — наименьшее.
Наибольшего значения функция не имеет. Вершина параболы — это
точка пересечения графика с осью симметрии   OY .

На участке графика при x ∈ (– ∞; 0 ] функция убывает,
а при x ∈ [ 0; + ∞) возрастает.

Функция у=-х²

Графиком функции y = – x 2 также является парабола, но её ветви направлены вниз.

Рассмотрим функцию заданную формулой y=аx 2.

Изобразим график функции y = 2x 2 :

Если: x = –3 , x = –2 , x = –1 , x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 ,

то: y = 18 , y = 8 , y = 2 , y = 0 , y = 2 , y = 8 , y = 18 .

Парабола y=2x 2 получается из параболы y= x 2 растяжением в 2 раза вдоль оси ОY.

Изобразим график функции y = 0,5 x 2 :

Если: x = –3 , x = –2 , x = –1 , x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 ,

то: y = 4,5 , y = 2 , y = 0,5 , y = 0 , y = 0,5 , y = 2 , y = 4,5 .

Парабола y=0,5

x 2

получается из параболы y=

x 2

сжатием в 2 раза вдоль оси ОY.

Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, а если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Домашнее задание

1 уровень
1. Выберите точки, которые принадлежат графику функции y = x2 .

1) A( 7; 49 ) ; 2) B( 3; –9 ) ; 3) C( 10; 100 ) ; 4) M( –6; –36 ) ; 5) N( –5; 25 ).

2. Изобразите график функции y= -3x 2 .

2 уровень
1. Выберите точки, которые принадлежат графику функции y = x2 .

1) A( 2; 4 ) ; 2) B( -3; –9 ) ; 3) C( -5; 25 ) ; 4) M( 6; 36 ) ; 5) N( 15; 225 ).

2. Изобразите график функции y= 0,4x 2 .

3 уровень
1. На одном чертеже изобразите графики функций y=0,2x²; y=x²; y=5x².
а) область определения;
б) множество значений;
в) промежуток убывания;
г) промежуток возрастания.

2. Найдите естественную область определения выражения:

3. На рисунке изображен график функции y=kx² . Укажите значение k.

4 уровень

1. На одном чертеже изобразите графики функций y=-3x²; y=x²; y=3x².
а) область определения;
б) множество значений;
в) промежуток убывания;
г) промежуток возрастания.

2. Найдите естественную область определения выражения:

3. На рисунке изображен график функции y=kx² . Укажите значение k.

Параболическая функция | Домен и диапазон квадратичной функции

Диапазон функции — это набор выходных значений, когда все значения x в пределах домена оцениваются в функции, обычно называемой значениями y. Это означает, что я хочу сначала найти домен, чтобы объяснить диапазон.

Нахождение диапазона квадратичной функции может быть немного сложнее, чем нахождение области определения квадратичной функции. Иногда вы можете использовать графический калькулятор, чтобы иметь точное представление о функции. И, если вы не хотите его использовать, я рекомендую вам набросать график.

В любом случае крайне важно, чтобы вы просто имели честное представление о том, как выглядит график, чтобы правильно описать диапазон функции.

Как найти область определения и область значений квадратичной функции?

Пошаговое руководство о том, как найти область определения и область значений квадратичной функции. Вот несколько примеров области определения и диапазона параболы.

Пример 1

Найдите область определения и диапазон линейной функции

Решение

Приведенное уравнение является чисто линейным уравнением, из которого следует, что коэффициент квадратной степени равен 0.

Это значительно упрощает анализ. .

Область определения квадратичной функции

Кроме того, при наблюдении не существует никаких значений x, которые сделали бы функцию несуществующей или недействительной, поскольку не существует знаменателя или квадратного корня.

Таким образом, доменом являются все значения x.

Область определения и область значений такой функции будут:

Область значений квадратичной функции

Поскольку функция является линейной, график будет представлять собой линию.

Диапазон: все значения y.

Конечно, он может идти как вверх, так и вниз без каких-либо ограничений.

Желательно смотреть графики для таких наблюдений:

Пример 2

Найти домен и диапазон квадратичной функции:

Решение

Домен квадратичной функции

. После того через. Итак, я могу сказать, что его доменом являются все значения x.

Но диапазон параболы немного сложнее.

Не все возможные значения y. При наблюдении за любой параболой и попытке определить область и диапазон параболы становится очевидным, что она имеет точку максимума или минимума на вершине кривой.

Диапазон квадратичной функции

График параболы имеет минимумы при y = 3 и может иметь значения выше этого. Таким образом, такая характеристика приводит к диапазону квадратичной функции: y ≥ 3,
Сводка области и диапазона параболы в табличной форме:

Пример 3

Как найти область определения и область значений квадратичной функции:

Решение

Область определения квадратичной функции

Эта квадратичная функция всегда будет иметь область определения всех значений x. Это было довольно легко.

Но теперь, чтобы найти диапазон квадратичной функции:

Диапазон квадратичной функции

Дана парабола в стандартной форме, y = ax² + bx + c. Поэтому мы должны упростить нашу задачу и преобразовать ее в вершинную форму.

Форма вершины, y = a (x-h)²+ k, где вершина равна (h,k)

Завершите квадраты:

Так как парабола открывается вверх, должны быть минимумы, которые оказались бы вершинами. Координата минимумов:

Эта парабола, очевидно, имеет минимальное значение при y = −5 и может доходить до положительной бесконечности.

Диапазон квадратичной функции: y ≥ −5.

Пример 4

Найти область определения и область значений квадратичной функции

Решение

Это тоже парабола, так как квадратичная функция.

Область определения квадратичной функции

Здесь оценка области определения параболы будет включать знание того, что она также будет иметь либо минимум, либо максимум.

Поскольку коэффициент квадратного члена x отрицателен, парабола открывается вниз и, следовательно, имеет максимум (верхнюю точку). Домен должен состоять из всех значений x, потому что нет значений, подстановка которых в функцию даст «плохие результаты».

Диапазон квадратичной функции

Здесь следует быть осторожным. Люди предполагают, что у параболы будет минимум и, следовательно, вершина будет им.

Внимательно изучите уравнение, отрицательный знак указывает на то, что парабола на самом деле направлена вниз, а вершина будет максимумом функции.

Таким образом, парабола имеет максимальное значение при y = 2 и может опускаться сколь угодно низко.
Размах параболы: y ≤ 2

Обобщение области и диапазона параболы следующее:

Обобщение

Этот урок посвящен уравнениям, включающим квадратичные функции, которые являются параболическими. Квадратные уравнения — это уравнения вида y = ax2 + bx + c или y = a(x — h)2 + k.

Форма графика квадратного уравнения — парабола. В первом разделе этой главы объясняется, как построить график любого квадратного уравнения вида y = a(x — h)2 + k, и показано, как изменение констант a, h и k растягивает и сдвигает график параболы. Затем мы переходим к фактическому нахождению области и диапазона параболы, используя различные примеры.
Можно легко наблюдать область параболы или область или квадратичную функцию, по которым можно вводить значения.
Диапазон параболы немного сложнее и требует помощи графика квадратичной функции.

Автор Gargi Shrivastava

Часто задаваемые вопросы

Как найти область определения и область значений квадратичной функции?

Область определения параболы или область определения квадратичной функции будет просто набором значений, для которых функция существует и действительна.

функций домен ограничения домена квадратичные функции линейные функции вершина парабола — Страница 1?s_name=алгебра — Домашнее задание Помощь Видео

Начните бесплатную пробную версию

Кто мы
Бесплатные видео
Лучшие учителя
предмета охвата
Членство

О
Математика
Наука
Английский
Подготовка к тесту
Колледж
Войти
Начните бесплатный пробный период

Все

73 Предварительный расчет

56 Алгебра 2

34 Расчет

26 Алгебра

18 Биология

17 Геометрия

15 Тригонометрия

4 AP Исчисление AB

3 Химия

2 AP Биология

Ограничения домена и функции, определенные кусочно
Предварительный расчет Введение в функции
Как ограничение домена влияет на график функции.
функцииобластьограничения областиквадратичные функциилинейные функциивершинапарабола
Нахождение области определения функции
Предварительный расчет Введение в функции
Как найти область определения функции, если она имеет рациональные или радикальные выражения.
functionsdomainparent functionsinequalityintervalnotation
Поиск точек пересечения, домена, диапазона и вершины параболы
Алгебра 2 Квадратные уравнения и неравенства
Как найти вершину, точки пересечения, домен и диапазон квадратичного графа.
interceptsdomainrangeparabolaquadratic
Нахождение точек пересечения, области, диапазона и вершины параболы
Предварительный расчет Уравнения линий, парабол и окружностей
Как найти вершину, точки пересечения, домен и диапазон квадратичного графа.
interceptsdomainrangeparabolaquadratic
Производные линейных функций
Исчисление Производная
Как определить производную линейной функции.
линейные функции, производная, наклон
Непрерывные функции
Исчисление Пределы и непрерывность
Как определить, является ли функция f(x) непрерывной всюду в своей области определения.
пределы определение непрерывной функции область определения функции степенные функции экспоненциальные функции логарифмические функции
Введение в рациональные функции
Предварительный расчет Полиномиальные и рациональные функции
Как определить рациональные функции и как определить их область определения и нули.
рациональные функцииполиномыдоменнули
Обозначение функций
Алгебра Графики и функции
Как писать уравнения в виде функций.
область ввода-выводафункция
Кусочные функции
Алгебра 2 Дополнительные темы
Как определить кусочную функцию.
абсолютное значение абсолютное значение график кусочная функция домен ограничение
Домен и диапазон
Алгебра 2 Функции
Как определить домен и диапазон.
диапазон доменов
Логарифмические функции
Предварительный расчет Экспоненциальные и логарифмические функции
Как построить график логарифмических функций.
логарифмические функцииэкспоненциальные функцииграфики логарифмических функцийопределение логарифма
Магнитные домены
Физика Магнетизм
Общие сведения о ферромагнитных веществах и магнитных доменах.
магнитные домены
Силовые функции
Предварительный расчет Полиномиальные и рациональные функции
Как мы определяем степенные функции и какие из наших родительских функций принадлежат к этому семейству.
функции питания, родительские функции
Экспоненциальные функции
Предварительный расчет Экспоненциальные и логарифмические функции
Как построить график экспоненциальной функции.
экспоненциальные функцииграфики экспоненциальных функцийасимптота
Домен и диапазон
Алгебра Графики и функции
Как найти домен и диапазон.
доменный диапазон ввода-вывода
Полиномиальная функция
Алгебра 2 Полиномы
Как вычислить полином в функциональной записи.
обозначение функцииf(x)полиномиальнаяпостояннаялинейнаяквадратичнаякубическая
Функция обратного синуса
Тригонометрия Расширенная тригонометрия
Как ограничить область определения синуса, чтобы он имел обратную функцию.
обратные функции один к одному обратный синусоидальный синус
Функция арккосинуса
Тригонометрия Расширенная тригонометрия
Как ограничить область определения косинуса, чтобы он имел обратную функцию.
обратные функции один к одному обратный косинус/косинус
Функция арктангенса
Тригонометрия Расширенная тригонометрия
Как ограничить область определения касательной, чтобы она имела обратную функцию.
No related posts.