Перевод комплексного числа в тригонометрическую форму онлайн: Калькулятор преобразования формы комплексного числа

постройте его в комплексной плоскости.**0338 мнимая ось.

Построение комплексного числа на комплексной плоскости

Построение комплексного числа  2−3i 

на комплексной плоскости .

От исходной точки переместитесь на две единицы в положительном горизонтальном направлении и на три единицы в отрицательном вертикальном направлении. См. [ссылка].

Постройте точку 1+5i 

на комплексной плоскости.


Нахождение абсолютного значения комплексного числа

Первым шагом к работе с комплексным числом в полярной форме является нахождение абсолютного значения. Абсолютное значение комплексного числа такое же, как его величина , или \|z\|.

Измеряет расстояние от начала координат до точки на плоскости. Например, график  z=2+4i, 

в [ссылка], показывает \|z\|.

Абсолютное значение комплексного числа

Учитывая z=x+yi, 

комплексное число, абсолютное значение z 

определяется как

\|z\|=x2+y2

Это расстояние от начало координат в точку (x,y).

Обратите внимание, что абсолютное значение действительного числа дает расстояние числа от 0, а абсолютное значение комплексного числа дает расстояние числа от начала координат, (0, 0).

Нахождение абсолютного значения комплексного числа с радикалом

Найдите абсолютное значение  z=5−i.

Используя формулу, мы имеем

\|z\|=x2+y2\|z\|=(5)2+(−1)2\|z\|=5+1\|z\|= 6

См. [ссылка].

Найдите абсолютное значение комплексного числа z=12−5i.

13

Нахождение абсолютного значения комплексного числа

Дано z=3−4i, 

найти \|z\|.

Используя формулу, мы имеем

\|z\|=x2+y2\|z\|=(3)2+(−4)2\|z\|=9+16\|z\|=25\|z\|=5

Абсолютное значение  z 

равно 5. См. [ссылка].

Дано z=1−7i, 

найти \|z\|.

\|z\|=50=52

Запись комплексных чисел в полярной форме

Полярная форма комплексного числа выражает число через угол θ 

и его расстояние от начала координат r.

Дан комплексный номер в прямоугольной форме , выраженный как  z=x+yi, 

мы используем те же формулы преобразования, что и для записи числа в тригонометрической форме:

 x=rcos θ y=rsin θ  r=x2+y2

Мы рассматриваем эти отношения в [ссылка].

Мы используем термин по модулю для обозначения абсолютного значения комплексного числа или расстояния от начала координат до точки (x,y).

Таким образом, модуль равен  r, 

радиус в полярной форме. Мы используем  θ 

для указания угла направления (так же, как и с полярными координатами). Подставляя, имеем

z=x+yiz=rcos θ+(rsin θ)iz=r(cos θ+isin θ)

Полярная форма комплексного числа

При записи комплексного числа в полярной форме используются следующие формулы преобразования: yiz=(rcos θ)+i(rsin θ)z=r(cos θ+isin θ)

, где r 

— модуль , а θ

— аргумент . Мы часто используем сокращение  rcis θ 

для представления r(cos θ+isin θ).

Выражение комплексного числа с использованием полярных координат

Выражение комплексного числа  4i 

с использованием полярных координат.

На комплексной плоскости число  z=4i 

совпадает с  z=0+4i.

Записав это в полярной форме, мы должны сначала вычислить  r 

.

r=x2+y2r=02+42r=16r=4

Далее мы смотрим на x.

Если x=rcos θ, 

и x=0, 

, то θ=π2.

В полярных координатах комплексное число z=0+4i 

можно записать как z=4(cos(π2)+isin(π2)) 

или 4cis( π2).

См. [ссылка].

Выразите z=3i 

как  r цис θ 

в полярной форме.

z=3(cos(π2)+isin(π2))

Нахождение полярной формы комплексного числа

Нахождение полярной формы  −4+4i.

Сначала найдите значение  r.

r=x2+y2r=(−4)2+(42)r=32r=42

Найти угол θ 

по формуле:

cos θ=xrcos θ=−442cos θ=−12         θ=cos−1(−12)=3π4

Таким образом, решение равно (3π42cis).

Запишите  z=3+i 

в полярной форме.

z=2(cos(π6)+isin(π6))

Преобразование комплексного числа из полярной формы в прямоугольную

Преобразование комплексного числа из полярной формы в прямоугольную зависит от оценки того, что дано, и использования распределительного свойства. Другими словами, учитывая z=r(cos θ+isin θ), 

сначала вычислить тригонометрические функции cos θ 

и  sin θ.

Затем умножьте на r.

Преобразование полярной формы в прямоугольную

Преобразование полярной формы заданного комплексного числа в прямоугольную:

z=12(cos(π6)+isin(π6))

Начнем с вычисления тригонометрических выражений.

cos(π6)=32 and sin(π6)=12 

После подстановки комплексное число равно

z=12(32+12i)

Применим свойство распределения:

z=12(32+12i)  =(12)32+(12)12i =63+6i

Прямоугольная форма данной точки в комплексной форме равна 63+6i.

Нахождение прямоугольной формы комплексного числа

Нахождение прямоугольной формы комплексного числа при данных r=13 

и tan θ=512.

Если tan θ=512, 

и tan θ=yx, 

, мы сначала определяем r=x2+y2=122+52=13.

Затем мы находим  cos θ=xr 

и  sin θ=yr.

z=13(cos θ+isin θ)   =13(1213+513i)   =12+5i

Прямоугольная форма данного числа в комплексной форме равна 12+5i.

Преобразование комплексного числа в прямоугольную форму:

z=4(cos11π6+isin11π6)

z=23−2i

Нахождение произведений комплексных чисел в полярной форме

Теперь, когда мы можем преобразовывать комплексные числа в полярную форму, мы научимся выполнять операции над комплексными числами в полярной форме. В оставшейся части этого раздела мы будем работать с формулами, разработанными французским математиком Абрахамом 9.0309 де Муавр (1667-1754). Эти формулы сделали работу с произведениями, частными, степенями и корнями комплексных чисел намного проще, чем кажется. Правила основаны на умножении модулей и добавлении аргументов.

Произведения комплексных чисел в полярной форме. =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2cis(θ1+θ2)

Обратите внимание, что произведение требует умножения модулей и сложения углов.

Нахождение произведения двух комплексных чисел в полярной форме +isin(145°)).

Следуйте формуле

z1z2=4⋅2[cos(80°+145°)+isin(80°+145°)]z1z2=8[cos(225°)+isin(225°)]z1z2=8 [cos(5π4)+isin(5π4)]z1z2=8[−22+i(−22)]z1z2=−42−4i2

Нахождение частных комплексных чисел в полярной форме

Частное двух комплексных чисел в полярной форме — это частное двух модулей и разность двух аргументов.

Части комплексных чисел в полярной форме cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)],  z2≠0z1z2=r1r2cis(θ1−θ2),  z2≠0 

Обратите внимание, что модули делятся, а углы вычитаются.

Даны два комплексных числа в полярной форме, найдите частное.

1. Разделить р1р2.
2. Найти θ1−θ2.
3. Подставьте результаты в формулу: z=r(cos θ+isin θ).

   Заменить

   г 

   с

   r1r2, 

   и заменить

   θ 

   с

   θ1−θ2.
4. Вычислить новые тригонометрические выражения и умножить на р.

Нахождение отношения двух комплексных чисел

Найдите частное  z1=2(cos(213°)+isin(213°)) 

и  z2=4(cos(33°)+isin(33°)).

Используя формулу, имеем

z1z2=24[cos(213°-33°)+isin(213°-33°)]z1z2=12[cos(180°)+isin(180°)]z1z2= 12[−1+0i]z1z2=−12+0iz1z2=−12

Найдите произведение и частное  z1=23(cos(150°)+isin(150°)) 

и z2=2(cos(30°)+isin(30°)).

 z1z2=−43;z1z2=−32+32i 

Нахождение степеней комплексных чисел в полярной форме

Нахождение степеней комплексных чисел значительно упрощается с помощью Теорема де Муавра . В нем говорится, что для положительного целого числа n,zn 

находится путем возведения модуля в  n-ю 

степени и умножение аргумента на n.

Это стандартный метод, используемый в современной математике.

Теорема де Муавра. n 

— целое положительное число.

Вычисление выражения с помощью теоремы Муавра

Оцените выражение (1+i)5 

, используя теорему Муавра.

Поскольку теорема Муавра применима к комплексным числам, записанным в полярной форме, мы должны сначала записать  (1+i) 

в полярной форме. Найдем р.

r=x2+y2r=(1)2+(1)2r=2

Затем находим θ.

Использование формулы  tan θ=yx 

дает

tan θ=11tan θ=1        θ=π4

Используйте теорему де Муавра для вычисления выражения.

(a+bi)n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]    (1+i)5=(2)5[cos(5⋅π4)+isin(5⋅π4)]    (1+ i)5=42[cos(5π4)+isin(5π4)]    (1+i)5=42[−22+i(−22)]    (1+i)5=−4−4i

Нахождение корней комплексных чисел в полярной форме

Чтобы найти n -й корень комплексного числа в полярной форме, мы используем  n-й 

Корневая теорема или Теорема де Муавра и возведите комплексное число в степень с рациональным показателем. Есть несколько способов представить формулу для нахождения  n-го 

корня комплексных чисел в полярной форме.

Теорема *n*th о корне

Чтобы найти  n-й 

корень комплексного числа в полярной форме, используйте формулу, представленную в виде

z1n=r1n[cos(θn+2kπn)+isin(θn+2kπn)]

где k=0,  1,  2,  3, . . . ,  n−1.

Прибавляем  2kπn  

к  θn 

, чтобы получить периодические корни.

Нахождение *n*го корня комплексного числа

Вычисление кубических корней  z=8(cos(2π3)+isin(2π3)).

Имеем

z13=813[cos(2π33+2kπ3)+isin(2π33+2kπ3)]z13=2[cos(2π9+2kπ3)+isin(2π9+2kπ3)]

Будет три корня: k=0,  1,  2. 

Когда k=0, 

имеем

z13=2(cos(2π9)+isin(2π9))

Когда k=1, 

имеем

z13=2[cos(2π9+6π9)+isin(2π9+6π9) ]    Добавьте 2(1)π3 к каждому углу. (2π9+12π9)]Добавить 2(2)π3 к каждому углу.z13=2(cos(14π9)+isin(14π9))

Не забудьте найти общий знаменатель, чтобы упростить дроби в подобных ситуациях. Для  k=1, 

угловое упрощение равно

2π33+2 (1) π3 = 2π3 (13) +2 (1) π3 (33) = 2π9+6π9 = 8π9

Найдите четыре корня четвертой степени из  16(cos(120°)+isin(120°)).

z0=2(cos(30°)+isin(30°))z1=2(cos(120°)+isin(120°))z2=2(cos(210°)+isin(210°)) z3=2(cos(300°)+isin(300°))

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики работы с полярными формами комплексных чисел.

• Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме
• Теорема де Муавра

Ключевые понятия

• Комплексные числа в форме a+bi 

  наносятся на комплексную плоскость аналогично тому, как прямоугольные координаты наносятся на прямоугольную плоскость. Пометьте ось x- как реальную ось , а ось y- как воображаемую ось . См. [ссылка].

• Абсолютное значение комплексного числа совпадает с его величиной. Это расстояние от начала до точки: \|z\|=a2+b2.

  См. [ссылка] и [ссылка].

• Чтобы записать комплексные числа в полярной форме, мы используем формулы х=rcos θ, y=rsin θ, 

  и

  г=х2+у2.

  Затем

  z=r(cos θ+isin θ).

  См. [ссылка] и [ссылка].

• Чтобы преобразовать полярную форму в прямоугольную, сначала вычислите тригонометрические функции. Затем умножить на р.

  См. [ссылка] и [ссылка].

• Чтобы найти произведение двух комплексных чисел, умножьте два модуля и сложите два угла. Оцените тригонометрические функции и умножьте, используя распределительное свойство. См. [ссылка].
• Чтобы найти частное двух комплексных чисел в полярной форме, найдите частное двух модулей и разность двух углов. См. [ссылка].
• Чтобы найти степень комплексного числа zn, 

  поднять

  г 

  в степени

  п,

  и умножить

  θ 

  на

  н.

  См. [ссылка].

• Поиск корней комплексного числа аналогичен возведению комплексного числа в степень, но с использованием рационального показателя степени. См. [ссылка].

Секционные упражнения

Устный

Комплексное число  a+bi.

Объясните каждую часть.

a — действительная часть, b — мнимая часть и  i=−1

Что представляет абсолютное значение комплексного числа?

Как комплексное число преобразуется в полярную форму?

Полярная форма преобразует действительную и мнимую части комплексного числа в полярную форму, используя  x=rcosθ 

и  y=rsinθ.

Как найти произведение двух комплексных чисел?

Что такое теорема Муавра и для чего она используется?

zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ)) 

Используется для упрощения полярной формы, когда число возведено в степень.

Алгебраический

В следующих упражнениях найдите абсолютное значение заданного комплексного числа.

−7+i

52

2−6i

38

2.2−3.1i

14,45

Для следующих упражнений запишите комплексное число в полярной форме.

8−4i

45цис(333,4°)

−12−12​i

3+i

2цис(π6)

Для следующих упражнений преобразуйте комплексное число из полярной формы в прямоугольную.

z=7цис(π6)

732+i72

z=2цис(π3)

z=4cis(7π6)

−23−2i

г=7цис(25°)

z=3cis(240°)

−1,5−i332

z=2cis(100°)

Для следующих упражнений найдите  z1z2 

в полярной форме.

z1=23cis(116°); z2=2цис(82°)

43цис(198°)

z1=2цис(205°); z2=22цис(118°)

z1=3cis(120°); z2=14цис(60°)

34цис(180°)

z1=3цис(π4); z2=5цис(π6)

z1=5цис(5π8); z2=15цис(π12)

53цис(17π24)

z1=4цис(π2); z2=2цис(π4)

Для следующих упражнений найдите  z1z2 

в полярной форме.

z1=21цис(135°); z2=3цис(65°)

7цис(70°)

z1=2цис(90°); z2=2cis(60°)

z1=15cis(120°); z2=3cis(40°)

5cis(80°)

z1=6цис(π3); z2=2цис(π4)

z1=52цис(π); z2=2цис(2π3)

5цис(π3)

z1=2цис(3π5); z2=3цис(π4)

В следующих упражнениях найдите степени каждого комплексного числа в полярной форме.

Найдите  z3 

, когда  z=5cis(45°).

125 цис (135°)

Найдите  z4 

, когда  z=2cis(70°).

Найдите  z2 

, когда  z=3cis(120°).

9цис(240°)

Найдите  z2 

, когда  z=4cis(π4).

Найдите  z4 

, когда  z=cis(3π16).

цис(3π4)

Найдите  z3 

, когда  z=3cis(5π3).

В следующих упражнениях оцените каждый корень.

Вычислите кубический корень из  z 

, когда  z=27cis(240°).

 3цис(80°),3цис(200°),3цис(320°) 

Вычислите квадратный корень из  z 

, когда  z=16cis(100°).

Вычислите кубический корень из  z 

, когда z=32cis(2π3).

 243цис(2π9),243цис(8π9),243цис(14π9)

Вычислите квадратный корень из  z 

, когда  z=32cis(π).

Вычислите кубический корень из  z 

, когда  z=8cis(7π4).

22цис(7π8),22цис(15π8)

Графический

Для следующих упражнений нанесите комплексное число на комплексную плоскость.

−3−3i


−1−5i


2i


6−2i


1−4i


Технология

Для следующих упражнений найдите все ответы, округленные до сотых.

Используйте функцию прямоугольного преобразования в полярную на графическом калькуляторе, чтобы преобразовать  5+5i 

в полярную форму.

Используйте функцию преобразования прямоугольной в полярную на графическом калькуляторе, чтобы изменить  3−2i 

в полярную форму.

 3,61e−0,59i 

Используйте функцию прямоугольного преобразования в полярную на графическом калькуляторе, чтобы преобразовать −3−8i 

в полярную форму.

Используйте функцию преобразования полярной формы в прямоугольную на графическом калькуляторе, чтобы преобразовать  4cis(120°) 

в прямоугольную форму.

 −2+3,46i 

Используйте функцию преобразования полярной формы в прямоугольную на графическом калькуляторе, чтобы преобразовать  2cis(45°) 

в прямоугольную форму.

Используйте функцию преобразования полярных координат в прямоугольные на графическом калькуляторе, чтобы изменить  5cis(210°) 

прямоугольной формы.

 −4,33−2,50i 

Глоссарий

аргумент

угол, связанный с комплексным числом; угол между линией от начала до точки и положительной действительной осью

Теорема де Муавра

Формула

, используемая для нахождения nth 

степени или n -й корней комплексного числа; утверждает, что для положительного целого числа

n,zn 

находится путем возведения модуля в

nth 

степень и умножение углов на

п 

модуль

абсолютное значение комплексного числа или расстояние от начала до точки (х, у);

также называется амплитудой

полярная форма комплексного числа

комплексное число, выраженное через угол θ

и его расстояние от начала координат

р;

можно найти с помощью формул преобразования

х=rcos θ,  y=rsin θ,  

и

г=х2+у2

Вы также можете бесплатно скачать на http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

• По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].
• Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, алгебра и тригонометрия. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].
• Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».
• Если вы распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx.

  No related posts.