Периметры всех фигур: Формулы периметра

Калькулятор среднего ускорения

Среднее ускорение — это изменение скорости объекта за определенный период времени. …

Калькулятор свободного падения

Когда объект падает на землю под действием гравитационной силы планеты, известно. ..

Перестановка

В математике перестановку можно объяснить как расположение объектов в определенном порядке. Это упорядоченный…

Периметр прямоугольника

Прямоугольник можно представить как четырехугольник с четырьмя сторонами, противоположные стороны которого равны. В прямоугольнике

Периметр треугольника

Треугольником называется трехсторонний многоугольник, имеющий три вершины и три угла. Равносторонний треугольник…

Видео-урок: Периметр составной фигуры

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся находить периметры составных фигур. Составная фигура – ​​это фигура, созданная из двух и более фигур. Так, например, здесь на экране мы составить составную фигуру, состоящую из двух прямоугольников. Мы также можем создавать более сложные составные фигуры, состоящие из треугольников, полукругов или других двумерных фигур, таких как параллелограммы или трапеции. Например, тот, что справа от экран, который состоит из треугольника и полукруга.

Давайте начнем с обзора некоторых ключевых формулы, необходимые для вычисления периметров двумерных фигур. И в этот момент мы также вспомним что периметр фигуры — это расстояние вокруг ее края.

Во-первых, квадрат. У квадрата четыре стороны все равны длина. Итак, если мы допустим длину стороны квадрат равен 𝑠 единицам, тогда периметр будет равен четырем 𝑠 единицам. Это 𝑠 плюс 𝑠 плюс 𝑠 плюс s. Во-вторых, прямоугольник. В общем, это будет иметь длину 𝑙 единиц и ширина 𝑤 единиц. Таким образом, периметр, расстояние все вокруг его края два 𝑙 плюс два 𝑤. В-третьих, для общего треугольника, если мы обозначьте три стороны как единицы 𝑎, 𝑏 и 𝑐, тогда периметр будет равен 𝑎 плюс 𝑏 плюс 𝑐 единиц. В частном случае равностороннего треугольников, у которых все три стороны имеют одинаковую длину, то периметр можно записать как три 𝑠, где 𝑠 — длина стороны треугольника.

Далее круг. Периметр, который мы чаще называем длина окружности равна 𝜋𝑑 или двум 𝜋𝑟, где 𝑑 — диаметр окружность, а 𝑟 — радиус. И, наконец, пока полукруг, чей периметр состоит из изогнутой части или дуги и прямой линии. Изогнутая часть составляет половину окружности полного круга. Таким образом, мы можем записать это как 𝜋 умноженное на радиус. А прямая часть это диаметр круг, который мы можем записать как два 𝑟, что дает периметр 𝜋𝑟 плюс два 𝑟.

Теперь, когда мы рассмотрели ключевые формулы нам понадобится, давайте посмотрим на несколько примеров.

Определить периметр фигуры ниже.

Мы видим, что форма, в которой мы были дана составная фигура. Он состоит из этих двух прямоугольников соединенные вместе, или, может быть, вот эти два прямоугольника. Мы могли бы также думать об этом как о большем прямоугольник, из которого вырезали меньший прямоугольник. В любом случае нам нужно определить его периметр.

Теперь при расчете периметра такой формы, как эта, хорошей идеей будет начать с одного угла и проследить весь путь. вокруг края формы, чтобы убедиться, что мы не пропустили ни одной длины. Начнем с точки 𝐴. Периметр будет равен 𝐴𝐵 плюс 𝐵𝐶 плюс 𝐶𝐷 плюс 𝐷𝐸 плюс 𝐸𝐹 плюс 𝐹𝐴. И это все длины, которые нам нужны include, поскольку мы вернулись к исходной точке.

Нам дали на схеме первое четыре из этих длин. Их пять, семь, три и три сантиметров соответственно. Но нам не дали длины 𝐸𝐹 или 𝐹𝐴. Хотя мы можем их решить. Во-первых, 𝐸𝐹 будет разница между двумя вертикальными сторонами этой фигуры, 𝐴𝐵 минус 𝐶𝐷. Это пять минус три, что равно до двух сантиметров. 𝐹𝐴 будет разница между горизонтальные стороны фигуры. Это 𝐵𝐶 минус 𝐷𝐸, семь минус три, что равно четырем сантиметрам.

Теперь у нас есть длины всех шести края нашей составной фигуры, и поэтому мы можем сложить их вместе. Пять плюс семь плюс три плюс три плюс два плюс четыре равно 24.

Теперь обратите внимание, что этот периметр на самом деле такой же, как периметр полного прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐺, если бы мы не удалили меньший прямоугольник 𝐹𝐸𝐷𝐺. И причина этого в том, что 𝐸𝐷 совпадает с длиной, которую мы удалили, 𝐹𝐺, а 𝐸𝐹 совпадает с длиной, которую мы удалили, 𝐷𝐺.

По этой причине мы могли бы вычислили периметр этой конкретной составной фигуры, используя формулу дважды длина плюс удвоенная ширина периметра исходного прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐺.

Теперь рассмотрим пример с участием круги.

Определить периметр фигуры, используя 22 на семь, чтобы приблизить 𝜋.

Цифра, которую нам дали, составная фигура. Он состоит из двух полукругов, соединенных к любой стороне прямоугольника. Отслеживая наш палец полностью вокруг края фигуры из заданной точки, мы видим, что периметр состоит из прямой край; полукруглая дуга; еще одна линейка такой же длины, как и первая; и второй полукруглая дуга, той же длины, что и предыдущая.

Из рисунка видно, что длина каждого прямого края 42 сантиметра. Таким образом, мы можем заменить эти значения напрямую. А как насчет длины этих двух полукруглые дуги? Ну а вместе эти две дуги сформируют полный круг. И мы знаем формулу расчета периметр или длина окружности в 𝜋 раз больше ее диаметра. Из рисунка мы видим, что диаметр нашего круга 49 сантиметров. Итак, длина окружности равна 49𝜋.

Теперь в вопросе сказано, что мы следует использовать 22 на семь в качестве приближения для 𝜋. Это дает 49, умноженное на 22. Семь. И тогда мы можем сократить фактор семь в знаменателе с коэффициентом семь в числителе, что дает семь, умноженное на 22. Мы можем решить это, используя любой метод умножения, который мы выбираем. Здесь я показал метод столбца, и он дает 154. Таким образом, периметр фигуры становится равным 42. плюс 154 плюс 42. Это 238. Единицы измерения периметра те же. как единицы, указанные для отдельных длин в вопросе. Значит, это сантиметры. Обратите внимание, что поскольку мы использовали 22 вместо семи в качестве приближения для 𝜋 нам не нужно было использовать калькулятор в этом вопросе.

Теперь рассмотрим другой пример с составная фигура, состоящая из треугольника и полукруга.

Используйте 3.14, чтобы аппроксимировать 𝜋 и рассчитать периметр фигуры.

В этом вопросе нас попросили вычислить периметр составной фигуры, которая немного похожа на мороженое конус. У нас есть полукруг, который находится сверху треугольник. Обратите внимание, что разделительная линия между эти две фигуры — это третья сторона треугольника или прямой край полукруг — не является частью периметра, потому что он не является частью внешней стороны полного фигура. Периметр состоит из полуокружности и двух сторон треугольника.

Из рисунка видно, что эти линии здесь, что треугольник равносторонний. Все его стороны имеют одинаковую длину. Таким образом, каждая из двух прямых сторон равна 35 сантиметров в длину. Для дуги полукруга напомним, что длина окружности в 𝜋 раз больше диаметра. Значит, длина дуги полукруга будет половина этого. Уже 𝜋𝑑 больше двух. Диаметр этой окружности равен как длина стороны треугольника. Это 35 сантиметров. Значит длина дуги полукруга равна 35𝜋 более двух или 35 более двух 𝜋.

Теперь в вопросе сказано, что мы необходимо использовать 3,14 в качестве приближения для 𝜋. Итак, наш периметр равен 35 на два. умножить на 3,14 плюс 35 плюс 35. Чтобы получить 35 на два, умножить на 3,14 без калькулятора, мы можем сначала разделить 3,14 на два, чтобы получить 1,57, а затем умножить 35 на 1,57, используя любой удобный для нас метод умножения. Здесь я использовал метод сетки, чтобы найти что 35 умножить на 1,57 равно 54,95. Итак, у нас есть 54,95 плюс 70 — это 35 плюс 35 — что равно 124,95. И единицы для этого периметра такие же, как единицы длины в вопросе. Это сантиметры.

Потому что мы использовали 3,14 для аппроксимации 𝜋 тогда в этом вопросе не было нужды в калькуляторе. Хотя у нас были некоторые разумные сложные десятичные вычисления, чтобы работать.

Теперь рассмотрим немного больше сложный пример, когда вся фигура, периметр которой мы хотим вычислить, состоит из частей кругов.

На данном рисунке показаны два полукруга и две четверти другого круга. Найдите периметр заштрихованной области, принимая 3,14 в качестве приблизительного значения для 𝜋.

В этом вопросе у нас есть два разные размеры круга. Отслеживание нашего пальца или ручки на всем пути вокруг края фигуры мы видим, что она состоит сначала из дуги полукруг. Тогда дуга разнокалиберной четверти круг. Тогда дуга полуокружности, которая конгруэнтное первому. И, наконец, дуга четверти окружности которая конгруэнтна другой четверти окружности.

Итого то, что у нас есть, это полная окружность меньшего круга — это оранжевый — и половина окружности больший круг — это розовый. Мы знаем, что окружность Окружность можно найти по формуле 𝜋𝑑, где 𝑑 — диаметр окружности. Так что нам просто нужно определить диаметр каждого из этих кругов.

Из рисунка видно, что меньший круг имеет диаметр 39 сантиметров. Таким образом, его окружность и его вклад по периметру полной фигуры 39𝜋. Когда мы думаем о розовом круге, однако это измерение в 39 сантиметров является радиусом этого круга. То есть диаметр в два раза больше. Это 78 сантиметров. Окружность полного розового круга тогда будет 78𝜋. Но помните, у нас есть только половина длина окружности. Значит, длина полуокружности равна 78𝜋 больше двух.

На самом деле, тогда мы находим, что два значения подобные. Обе окружности полностью оранжевые круг и длина дуги полукруга для розового круга 39𝜋. В сумме имеем точный периметр из 78𝜋. Но оглядываясь назад на предоставленную информацию в вопросе нас просят использовать 3,14 в качестве приблизительного значения для 𝜋.

Мы можем использовать метод столбца для разработки 314 умножить на 78, что даст 24492. Затем нам нужно разделить это значение на 100, чтобы дать ответ на десятичный расчет 3,14, умноженный на 78. Это дает значение 244,92. И единицы для этого периметра такие же, как единицы, указанные для отдельных длин в вопросе. Они сантиметры.

Давайте рассмотрим последний пример, который требует немного больше подхода к решению проблем.

На данном рисунке показан круг 𝑀 вписан в квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. Площадь заштрихованной области цифра составляет два и одну треть квадратных сантиметров. Используя приближение 𝜋 равно 22 более семь, найдите периметр заштрихованной области.

Итак, первое, что мы замечаем, это то, что мы на схеме вообще не указаны размеры. На самом деле, единственная информация, которую мы получили с учетом того, что площадь заштрихованной области составляет две и одну треть квадратных сантиметров. Эта площадь будет равна площади прямоугольника 𝐴𝐸𝐹𝐷 минус площадь полукруга.

Посмотрим, сможем ли мы использовать это для решения некоторую информацию о размерах квадрата или круга. Начнем с того, что радиус нашего окружность равна 𝑟. Теперь этот радиус составляет половину диаметра круг. А так как диаметр круга равна длине стороны квадрата, то длина стороны квадрата будет равна двум 𝑟. Этот прямоугольник, 𝐴𝐷𝐹𝐸, поэтому имеет ширина 𝑟 единиц и длина две 𝑟 единиц. Его площадь, используя формулу длины умноженная на ширину площади прямоугольника, равна двум 𝑟 в квадрате.

Площадь полукруга будет равна половине площадь полного круга радиуса 𝑟. Итак, 𝜋𝑟 в квадрате больше двух. Итак, мы имеем уравнение, включающее радиус нашего круга. Два 𝑟 в квадрате минус 𝜋𝑟 в квадрате больше два равно двум и одной трети. Мы можем разложить 𝑟 в квадрате из условий в левой части, что дает два минус 𝜋 на два, все умноженное на 𝑟 в квадрате равно двум и одна треть.

Теперь, в этот момент, мы помним, что мы попросили использовать приближение 𝜋 равно 22 на семь. Итак, 𝜋 разделить на два или 𝜋 умножить на половина — это то же самое, что 22 на семь, умноженное на половину, то есть 11 на семь. В то же время мы можем думать о целое число два как дробь 14 на семь. Итак, термины в скобках стать 14 на семь минус 11 на семь, что упрощается до просто три на семь или три седьмых.

Затем мы можем преобразовать смешанное число в правую часть нашего уравнения, два и одну треть, в неправильную дробь. И это равно семи больше трех. Тогда, чтобы решить это уравнение, нам нужно разделите обе части на три седьмых, чтобы оставить 𝑟 в квадрате слева сторона. Предоставление 𝑟 в квадрате равно семи на три разделить на три седьмых.

Но мы помним, что разделить на вместо дроби мы можем умножить ее на обратную. Итак, деление на три седьмых равно эквивалентно умножению на семь третей. И у нас есть, что квадрат 𝑟 равен семь на три умножить на семь на три. это 49больше девяти. Или мы можем написать семь вместо трех умножить на семь на три, как семь на три, все в квадрате.

Если 𝑟 в квадрате больше семи три в квадрате, затем, чтобы найти значение 𝑟, мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнение. И мы используем только положительное значение как 𝑟 является длиной. Итак, мы имеем, что 𝑟 больше семи. три. И мы нашли радиус нашего круг.

Теперь, когда мы знаем радиус круг, мы также знаем длину стороны квадрата. Это вдвое больше этого значения, то есть на 14 больше. три. И теперь мы можем вычислить периметр заштрихованной области. Выбираем точку по периметру — так Я выбрал точку 𝐹 — и далее, путешествуя по заштрихованной области, мы видим, что это периметр состоит из 𝐹𝐷, 𝐷𝐴, 𝐴𝐸, а затем дуги полукруга. 𝐹𝐷 и 𝐴𝐸 семь больше трех сантиметров, а 𝐷𝐴 составляет 14 на три сантиметра.

Вспомним, что окружность полный круг равен двум 𝜋𝑟. Значит длина дуги полукруга равна половине это. Это просто 𝜋𝑟. Длина дуги полукруга равна поэтому 𝜋 умножить на семь на три.

Опять же, напомним, что нам нужно используйте 22 на семь как наше приближение для 𝜋. И тогда мы можем сократить фактор семь из числителя и знаменателя этих дробей. У нас осталось семь на три плюс 14 больше трех плюс семь больше трех плюс 22 больше трех. И так как все эти дроби имеют общие знаменатель трех, они в сумме дают 50 на три. Затем мы можем преобразовать это в смешанный количество. Это 16 и две трети. И единицы для этого периметра будут сантиметры.