Пи на 3: Mathway | Популярные задачи

Почему пи равно 3
В конце своего поста о том, почему число π такое своеобразное, я сказал:

Саймон [Козенс] также спросил меня, почему получилось число около 3, а не чем около 5 или 57, и там я был в гораздо более шатком положении. Я сделал у меня не было никаких умных идей, и все, что я мог сделать, это перечислить кучу вещей, которые, казалось, имели отношение к этому вопросу. Вероятно, оно появится здесь в будущей статье.

Также, как я ответил М. Козенсу:

Я не знаю, как вычислить периметр круга не рассматривая его как предельный случай многоугольника с множеством очень коротких сторон, поэтому я думаю, что любое исследование того, почему число пи равно 3,14 и не что-то другое должно будет начаться здесь.

(Здесь возникает интересный вопрос: с 96-угольником можно было бы ожидать границы включают такие вещи, как √3, как это делает шестиугольник. Откуда берутся странные дроби 10/71 и 1/7? Ответ: граница типа 2√3 имел ограниченное применение у греков, потому что заменяет плохо понятное число π другим плохо понятное число √3. Итак, Архимед заменил сурд на рациональные приближения; например, вначале он заменяет √3 с рациональным приближением 265/153. (См. Др. Подробное объяснение расчета Архимеда, данное Чаком Линдси, и мое объяснение того, откуда берется число 265/153.) Я хотел бы пройти через это и посмотреть, что он придумал бы, если бы он сделал точную расчет, но это займет у меня некоторое время.)

Во всяком случае, другие предметы, которые я отправил М. Козенсу, были:

. 2. Кратчайшая кривая, которая может охватывать единицу площади, имеет длину 2π. (Или наоборот, наибольшая площадь, которую может охватить единица путь равен 1/4π.)

«Бессловесное» доказательство теоремы Пифагора показывает, что у меня будет быть очень осторожным в расширении от длины к площади в Манхэттен:

Независимый метрики, это доказательство показывает, что две маленькие белые штуковины слева имеют ту же площадь, что и большая белая штуковина справа. В евклидовом пространстве это равенство устанавливает теорема Пифагора. На Манхэттене этого лучше не делать, потому что теорема Пифагора неверна на Манхэттене; на диаграмме, c не равно √( a ² + б ² ), но к а + б .

Кажется, я убедил себя, что квадрат со стороной s в Площадь Манхэттена по-прежнему составляет s ² . И я уверен что эти две белые штуковины слева — квадраты, и поэтому районы а ² и б ² соответственно.

Но это означает, что большая белая вещь справа имеет площадь a ² + b ² , и поэтому не квадрат и не имеет площади c ² как помечены, потому что c = a + b , и c ² не равно a ² + б ² .

Квадраты на Манхэттене должны иметь ребра, параллельные оси координат. Я думаю. Я не знаю, куда идти дальше; может быть Я разберусь с этим сегодня по пути домой с работы.

Следующий пункт мой второй любимый, после наблюдение о вписанном шестиугольнике:

3. Если положить на стол копейку, то можно получить максимум шесть другие пенни, чтобы коснуться его в то же время. Это тесно связано с тем, что 6 — это наибольшее целое число, меньшее 2π. Аналогичные результаты справедливы и в более высоких измерениях. Площадь сферы равно 4π или примерно 12,5; вы можете получить 12 сфер, чтобы коснуться другой сферы одновременно, но не 13.

После этого пункта я был в значительной степени вне круга связанных с ним фактов. Так что я сменил тактику и попытался взглянуть на вещи, которые казались совершенно не связанные с кругами:

4. &pi удовлетворяет уравнению:

x — x ³ /6 + x ⁵ /120 — x ⁷ /5040 + … = 0

Это было единственное, что я мог придумать, что казалось одновременно и довольно элементарный, и в то же время хороший способ получить π не вставив его для начала.

Так что я начал пытаться придумать способы получить π, которые, казалось бы, ничего общего с кругами. Бесконечный многочлен был первым вещь, которую я придумал.

Это может быть связано с круги, но не легко, что я считаю преимуществом. Тебе нужно чтобы иметь возможность связать его с кругами, иначе он не говорит вам что-нибудь о том, почему периметр круга пи. Но это не должны быть слишком тесно связаны, потому что я думаю, что пункты 1-3 наверное исчерпывают то, что можно получить прямо с кругов.

Пункт 5 была проблема с иглой Бюффона, но я сказал что появление π там оказалось очевидным следствием того, что он выглядит как периметр единичного круга, так что давайте перейдем к к следующему.

6. Вероятность того, что два случайно выбранные целые числа взаимно просты 6/π ² . Я сказал:

Это выводит π, никуда его не вставляя очевидно, но не кажется мне элементарным. И как ты можно связать это с кругом, я понятия не имею.

Существует одно видимое дерево для каждого (рационального) направления, в котором вы можете смотреть в. Таким образом, между точками на окружности есть связь и видимые деревья.

(Отступление: если деревья имеют положительный диаметр, то только конечное число видны из начала. Если диаметр d , пусть количество видимых деревьев равно v ( d ). Оценка против . я думаю, что эта проблема все еще открыта. )

7. Следующим пунктом, который я упомянул, был что 1 + 1/4 + 1/9 + … = π ² /6. Это, вероятно, как-то связано с садом.

Может случиться так, что хорошее понимание этой идентичности приведет к к хорошему пониманию того, почему π немного больше 3. Это может также быть, что он имеет некоторые отношения с кругом. Но я сказал М. Козенс, если бы он хотел, чтобы кто-то понял это, «вам действительно нужно поговорить с кем-то, кто имеет опыт в аналитической теории чисел, а не мне». Я буду настаивать на этом.

8. Наконец, я указал, что π появляется не только в кругах; Это также появляется в сферах. Например, объем единичного шара равен 4π/3. К этому времени я чистил ствол. Симпатично очевидно, что π попадет в сферы, потому что сферы просто стопки кругов, а число π уже находится в кругах. Добавление вместе кучу отрезков, которые не имеют отношения больше сложно, чем квадратный корень, это одно; удивительно видеть π выйти из этого. Но сложив вместе кучу кругов, которые все включают π, и получить что-то, что снова включает π, не удивительно.