| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | sin(30 град. ) | ||
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Попытка использовать Raspberry Pi 4 в качестве десктопа. Часть 2, Ubuntu / Хабр
Привет, Хабр.В первой части была рассмотрена возможность использования Raspberry Pi 4 в качестве десктопа с установленной «родной» операционной системой Raspbian. Но как известно, с недавних пор в Ubuntu v20.10 Groovy Gorilla имеется официальная поддержка Raspberry Pi 4, и как было заявлено, Raspberry Pi теперь для этой версии «first-class citizen».
Что из этого получилось и насколько «first class» соответствует действительности, подробности под катом.
Установка: Ubuntu 20.04.1 LTS
Процесс установки мало чем отличается от стандартной установки Raspbian — нужно скачать образ системы, залить его на карту памяти и запустить устройство. Сами образы можно скачать с ubuntu.com/download/raspberry-pi:
Я решил пройти все шаги с нуля и выбрать консольную версию Ubuntu Server 64-bit Ubuntu 20.04.1 LTS, т.к. именно эта версия имеет статус «RECOMMENDED», а недостающие компоненты установить самостоятельно. Скачиваем, загружаемся, попадаем в стандартную консоль Ubuntu.
Сначала нужно настроить WiFi, для чего редактируем файл 50-cloud-init.yaml командой sudo nano /etc/netplan/50-cloud-init.yaml. Добавляем в него параметры точки доступа:
network:
ethernets:
eth0:
dhcp4: true
optional: true
version: 2
wifis:
wlan0:
optional: true
access-points:
"MYWIFIPOINT":
password: "12345678"
dhcp4: trueПосле перезагрузки можно проверить наличие сети с помощью ping 8.8.8.8, и если все работает, можно установить ubuntu-desktop. Запускаем команды sudo-apt-get update, sudo apt-get upgrade и наконец, sudo apt-get install ubuntu-desktop. Процесс занимает где-то полчаса, после чего можно перезагрузить систему и получить полноценный UI:
Первые впечатления
Самое первое впечатление — система достаточно сырая. Для версии 20.04.1 можно просто открывать окно за окном и записывать баги:
— WiFi. Сам WiFi работает, но в настройках системы он не показывается, выдается WiFi Unavailable и список сетей пуст.
При этом ifconfig показывает нормально работающий адаптер wlan0 в статусе running и ip-адрес.
— Дисплей. Разрешение монитора определилось некорректно, пришлось вписать параметры HDMI в файл конфигурации.
— Звук. По умолчанию почему-то активен выход для наушников — на динамиках дисплея звука нет. Переключить звук на HDMI можно в настройках, но после перезагрузки всё становится как было.
— Клавиатура. Кнопку переключения раскладки почему-то не поменять. Всплывающее окно появляется, но на нажатия кнопок оно не реагирует. В итоге переключаться между раскладками Ru/En можно только сочетанием клавиш Win+пробел. Зато в отличие от Raspbian, есть значок языка в трее, что радует. С другой стороны, есть еще один странный баг — после переключения раскладки иногда пропадает первая набираемая буква.
— Встроенный менеджер программ выглядит вполне красиво:
Но установить ни одну из программ так и не удалось, процесс «зависает» в статусе Pending:
Впрочем, старый добрый apt-get из консоли работает нормально.
Браузер
Вернемся к браузеру — на него были основные надежды, т.к. встроенный Chromium ограничен в функционале. Действительно, гугл дает возможность скачать Chrome для Ubuntu:
Однако при попытке установки пакета выдается ошибка «package architecture (amd64) does not match system (arm64)». В общем, похоже версии Chrome под ARM пока нет. А значит все написанное в первой части актуально и здесь, т.к. и под Ubuntu Chromium остается основным браузером. И «вишенка на торте» — тест web.basemark.com показал результат всего лишь 36.4 против 64.8 у Chromium в Raspbian:
На этом тест версии 20.04.1 было решено остановить, т.к. рекомендовать кому-либо ставить версию, которая не только имеет множество багов, но и вдвое медленнее стандартной версии Raspbian, у меня желания нет.
Установка: Ubuntu Desktop 20.10
Эта версия на момент написания текста имеет статус «latest development release with nine months of support, until July 2021», т.е. пока что это не окончательный релиз. Но по сравнению с тем что было, хуже точно не будет.
И действительно: разработчики Ubuntu проделали большую работу! Баг с WiFi исправлен, панель приложений теперь работает корректно, разрешение дисплея определилось правильно, ну и по ощущениям, отзывчивость системы заметно возросла. Фоновая картинка также поменялась, в целом все выглядит вполне стильно.
Результат бенчмарка в Chromium вырос, но все же до оригинального Raspbian пока не дотягивает:
В остальном, логика работы браузера ничуть не изменилась, т.к. это тот же Chromium, все написанное в первой части, актуально и здесь.
Как подсказали в комментариях, браузер Firefox имеет лучшую поддержку аппаратного ускорения. На практике, ответ оказался не столь однозначным. Youtube действительно проигрывается заметно более плавно, но бенчмарк показал в Firefox лишь 44.3, т.е. даже чуть меньше. Вывод простой — Firefox ускоряет лишь видео, но все остальное в нем ничуть не быстрее, даже наоборот. В общем, для работы с текстами Raspberry Pi 4 в принципе как-то подходит (этот текст полностью написан на Raspberry Pi под Ubuntu), а вот в плане развлекательного и медиа-центра «малина» пока что не очень — это скорее борьба с системой, чем получение удовольствия от её использования. Youtube, к чести их создателей, работает в Firefox нормально (c установленным плагином h364ify), а на остальных сайтах — как получится. Где-то видео не показывается вообще, где-то показывается лишь в низком качестве. Но есть и позитивный момент: загрузка ЦП при воспроизведении видео в браузере несколько снизилась:
В Raspbian она стабильно держалась на 95-100%. Температура металлического корпуса кстати, не превышает 50С даже при стресс-тестах:
Из багов, которые пока так и не были исправлены в последней версии — звук при каждой загрузке опять воспроизводится на наушники, ну и с переключением клавиатуры остались те же проблемы. Но в целом, версия 20.10 гораздо лучше 20.04, так что желающим поэкспериментировать самостоятельно можно посоветовать начать с неё. Вероятно, была проделана немалая работа по улучшению драйверов, т.к. отзывчивость интерфейса, плавность при перетаскивании окон и прочие «мелочи» улучшились значительно.
Заключение
Если честно, окончательное мнение насчет Raspbian vs Ubuntu пока что так и не сложилось. Raspbian работает более стабильно, но последняя версия Ubuntu выглядит гораздо привлекательнее в плане дизайна, да и скорость и плавность интерфейса в последней версии заметно возросли.
Что касается субъективного мнения об использовании Raspberry Pi в качестве десктопа: потенциал для этого есть, но пока что система слишком сырая. Устройство в принципе можно использовать для работы с текстом (учитывая конечно, что от ПК ценой 50$ не стоит ожидать комфорта и быстродействия Core i7). Для просмотра видео возможности более ограничены — Youtube работает, при использовании Firefox с установленным плагином h364ify удалось добиться наилучшего качества картинки, но не на всех других сайтах видео открывается нормально. Google Chrome под Ubuntu существует, но версии под ARM пока нет. Сайты с платным контентом (было проверено на Amazon Prime) могут требовать поддержки DRM, которой официально пока нет (описание установки плагина с помощью сторонних скриптов добавлено в первую часть). Так что возможности устройства в плане «развлекательного центра» несколько ограничены. С другой стороны, компактность, бесшумность и малое электропотребление это неплохо. Также Raspberry Pi 4 может быть полезной для обучения программированию и для изучения Linux, ну и как подарок школьнику или студенту на Новый Год/Рождество (если конечно он увлечен компьютерами и ИТ).
Raspberry Pi 4 model B. Обзор, впечатления. Установка Raspbian (+Видео). Linux статьи
Недавно я стал обладателем одноплатного компьютера Raspberry Pi 4 Model B.
В этом материале представлен небольшой обзор новинки, я расскажу зачем я ее купил, расскажу о своих впечатлениях. Мы рассмотрим, как установить и настроить дистрибутив Raspbian, а также расскажу с какой проблемой я столкнулся.
Видео
Большое видео про Raspberry Pi 4 Model B: Установка Raspbian. Первичная настройка. Подключение Raspberry Pi.
Что такое Raspberry Pi
Raspberry Pi представляет собой настоящий компьютер, который выполнен в виде всего одной платы.
Raspberry Pi разрабатывается английской компанией Raspberry Pi Foundation.
Почему «малина»
«Raspberry» в переводе с английского, означает — «малина», поэтому компьютер очень часто называют малинкой.
Логотип Raspberry Pi — изображение ягоды малины. В символике платы и графическом оформлении материалов и аксессуаров часто применяют изображение малины.
Название «Raspberry» было выбрано по аналогии с названиями других компаний, которые также имеют съедобные названия — Apple (яблоко), Apricot (мандарин) Computers, Tangerine (мандарин) Computer Systems и другие.
«Pi» происходит от первоначальной идеи сделать маленький компьютер для работы с языком Python (Пайтон).
Модели Raspberry Pi
Система наименований различных моделей Raspberry Pi может немного запутать новичков, но на самом деле все очень просто.
Pi 1, Pi 2, Pi 3 и Pi 4 означают поколение модели.
- Pi 1 — это модели 2012-2014 г.
- Pi 2 — модели 2015-2016 г.
- Pi 3 — модели 2016-2018 г.
- Pi 4 — текущая модель 2019 г.
Индексы A, A+, B и B+ можно ассоциировать с характеристиками устройства. Модели B, в рамках одного поколения, более производительные и более «навороченные», чем модели A.
«+» добавлялся к моделям, которые имели совсем незначительные изменения по сравнению с моделью без индекса «+», например, Pi 1 B отличается от Pi 1 B+ наличием функции POE (Power over Ethernet).
Также есть Zero-версии платы. Они в прямом и переносном смысле «урезаны».
Характеристики Raspberry Pi 4 Model B
Одноплатный компьютер Raspberry Pi 4 model B был представлен 24 июня 2019 г. Модель пришла на смену Raspberry Pi 3+. Новинка получила множество обновлений и превосходит свою предшественницу по производительности.
Основные порты Raspberry Pi 4 Model B
Таблица основных характеристик.
| Описание | |
| Название: | Raspberry Pi 4 Model B |
| Процессор: | Broadcom BCM2711 4 ядра Cortex-A72 (ARMv8) 64-bit SoC @ 1.5 GHz |
| RAM: | На выбор модели (LPDDR4-2400 SDRAM): |
| Питание: | USB Type-C (5V, минимум 3А). Возможно питание через GPIO (5V, минимум 3А). |
| Порты и разъемы | 2 порта Micro-HDMI (одновременная поддержка двух мониторов с разрешением 4K) |
| 2 порта USB 2.0 | |
| 2 порта USB 3.0 | |
| 1 порт Gigabit Ethernet (RJ45, 1000Base-T) | |
| 1 порт microSD (для операционной системы и хранения данных). Рекомендуется использовать карты объемом минимум 8Gb. Протестирована работа с картами до 128Gb. | |
| 40 пиновый GPIO (интерфейс ввода/вывода общего назначения). Полностью совместим с предыдущими платами. | |
| 3.5мм Audio и Composite Output Jack | |
| CSI Display Connector | |
| CSI Camera Connector | |
| Power over Ethernet (PoE). Требуется внешний PoE HAT. | |
| Беспроводные интерфейсы: | Двухдиапазонный WiFi (2.4 GHz и 5.0 GHz IEEE 802.11ac/n) |
| Bluetooth 5.0, BLE (Bluetooth Low Energy) | |
| Индикаторы: | Встроенные светодиоды: индикация питания, работа с microSD картой, режим работы Ethernet. |
| Эксплуатация при температурах: | от 0 до 50°C |
| Цена: | в России около 4000-6000 руб в зависимости от объема RAM. В США: 35$ за модель с 1Gb RAM, 45$ — 2Gb, 55$ — 4Gb. |
Характеристики впечатляют. Производитель отдельно делает акцент на том, что плату можно использовать в качестве настольного компьютера с подключением двух мониторов. Конечно, нужно отдавать себе отчет в том, что сравнивать малинку с обычным компьютером можно с определёнными ограничениями, но для ряда задач она вполне может заменить настольный компьютер. Пользователь получает крошечный, абсолютно бесшумный компьютер, со встроенным WiFi, Ethernet-портом и четырьмя USB, два из которых USB 3.0.
Что нужно для запуска
Сразу стоит обратить внимание на то, что никакого блока питания в комплекте нет. Покупателю предлагается самому позаботиться обо всех дополнительных аксессуарах. Такой подход абсолютно правильный со стороны производителя. Так как сфер применения Raspberry Pi может быть очень много, то и комплектацию каждый должен подобрать для себя сам.
Выбор конкретной модели, то есть, по факту выбор RAM, зависит от того, как вы собираетесь использовать вашу плату. Помимо выбора модели платы, стоит также подумать о том, что еще нужно докупить.
Как минимум, чтобы вы смогли запустить и протестировать плату, вам желательно иметь следующее:
- Блок питания USB-C (5V / 3A)
- Кабель MicroHDMI-Standrd HDMI для подключения к телевизору или монитору.
- Карту памяти microSD, на которую будет установлена система.
- Клавиатуру и мышь (можно беспроводные).
Карту памяти лучше выбирать 10 класса или более производительную. Иначе, из-за низкой скорости доступа, у вас будут проблемы с производительностью.
Блок питания должен выдавать честные 5V и 3А. Можно использовать блок питания на 2.5А, но только, если подключённое оборудование потребляет в сумме менее 500мА.
Также рекомендуется купить еще и корпус, чтобы защитить плату от внешних повреждений.
Что я купил и первые впечатления
Какая же она маленькая
Так как до этого у меня никогда не было подобных устройств, то опишу свои первые впечатления.
Продается малинка в красной очень маленькой коробочке. Комплектация, можно сказать, нулевая. Внутри только сама плата и небольшая инструкция в виде свернутой в несколько раз бумажки с черно-белым текстом.
До покупки я знал, что малинка будет маленькой, но когда я впервые ее увидел, я был удивлен, насколько все-таки она маленькая. Даже просматривая различные обзоры с фотографиями, она всегда казалась мне больше, чем на самом деле.
Размеры платы 8,5см на 5,6см. То есть это чуть больше стандартной пластиковой карты.
Когда к плате подключено множество проводов, то выглядит это довольно необычно и напоминает паука.
Зачем я ее купил
Как я уже написал, сфер применения Raspberry Pi очень много. У меня было три основных цели. Во-первых, я уже очень давно хотел пощупать и вживую протестировать, что же такое Raspberry Pi. То есть, мне захотелось очередной игрушки. Во-вторых, я собираюсь использовать малинку в качестве медиа-центра, подключенного к телевизору. И в-третьих, хочется попробовать использовать малинку, как игровую ретро-консоль.
Исходя из этих требований, я купил модель с 4Gb оперативной памяти. На мой взгляд, меньший объем стоит покупать только если вы собираетесь использовать малинку для задач с малым потреблением ресурсов. Например, в качестве управляющего устройства (например, в робототехнике), или, например, в качестве торрент-качалки.
Что и где купил
Я покупал плату на Алиэкспрессе с доставкой из Китая. Ссылку давать не будут, их там легко найти. Отдельно в комментариях к заказу просил продавца получше упаковать посылку. Доставка заняла около 3 недель, посылка пришла без повреждений.
Обычно продавцы на Али предлагают готовые наборы, включающие саму плату и ряд аксессуаров. Я купил один из таких наборов. В него входило:
- Сама плата Raspberry Pi 4 Model B 4Gb.
- Блок питания с европейской вилкой. Если будете заказывать из Китая, то обязательно проверяйте какая вилка и указывайте желаемую в комментариях к заказу.
- Безымянная карта памяти microSDHC на 32Gb. Заявленный класс — 10.
- Кабель microHDMI-HDMI.
- Подобие корпуса из прозрачного пластика.
- Четыре крошечных радиатора.
Из набора я использовал только блок питания, саму плату и кабель HDMI. Безымянную карту памяти я протестировал, но в итоге остановился на той, которая у меня уже была от известного производителя (тоже 32Gb), к ней все-таки больше доверия. Корпус и радиаторы я пока не использовал.
Дистрибутив Raspbian
Существует целый ряд дистрибутивов Linux, которые поддерживают работу с Raspberry Pi. Каждый из них имеет свои особенности. Среди них на первое место всегда ставят дистрибутив Raspbian.
Raspbian — это дистрибутив Linux, который основан на Debian. Его разработкой занимается сама Raspberry Pi Foundation и именно его рекомендует к использованию.
Raspbian использует среду рабочего стола PIXEL (Pi Improved Xwindows Environment, Lightweight). PIXEL основана на LXDE и OpenBox, но имеет определенные отличия и доработки.
Новичкам я рекомендую начинать знакомство именно Raspbian, так как он хорошо протестирован и должен работать без каких-либо проблем.
Ниже мы рассмотрим установку дистрибутива Raspbian.
Сделаю небольшое отступление. Очень часто, в отношении сборок Linux для Raspberry Pi не используют понятие дистрибутив, а называют их просто операционной системой. Стоит также отметить, что в Raspberry Pi используется процессор ARM, поэтому на малинку нельзя установить привычные нам дистрибутивы, которые мы используем на персональных компьютерах. Дистрибутивы для Raspberry Pi специально собираются под процессоры ARM и включают необходимые драйвера и программные компоненты, которые обеспечивают поддержку аппаратных частей платы.
Можно ли установить Windows
Нет, привычный Windows не будет работать. Однако, есть Windows 10 Internet of Things (IoT) Core — это специальная версия Windows для «интернета вещей» и ее можно установить на Raspberry Pi. Данная система разработана исключительно для встроенного использования. Она не включает графический интерфейс и не может работать, как настольная операционная система.
Установка операционной системы Raspbian
Raspberry Pi не имеет внутренней памяти для размещения файлов и операционной системы. Операционная система устанавливается на microSD карту, с которой и выполняется загрузка платы. У такого решения есть как плюсы, так и минусы.
К минусам стоит отнести более низкую скорость обмена данными, по сравнению со встроенной памятью (если бы она была). К плюсам можно отнести возможность выбора объема карты памяти под свои нужды. А также легкость восстановления — если вдруг что-то пошло не так, достаточно перезаписать систему на карте памяти. То есть превратить плату в «кирпич» очень сложно. К тому же можно иметь несколько разных карт с разными системами и при необходимости просто подключать нужную.
Процесс установки Raspbian
Почему-то раньше я думал, что установка системы для Raspberry Pi это сложное занятие, сопряженное с долгой настройкой и подготовкой платы к работе. Но, к счастью, я очень сильно ошибался. Установить Raspbian не просто, а очень просто. Это сделать проще, чем установить обычный дистрибутив Linux на персональный компьютер.
Процесс установки включает следующие шаги:
- Скачивание образа Raspbian (файл представлен в виде zip-архива).
- Запись образа на micoSD карту.
- Вставка microSD карты в Raspberry Pi (просто вставить карту в слот на плате).
- Включение Raspberry Pi и выполнение нескольких простых первичных шагов.
- Всё. Raspbian готов к работе.
Скачиваем Raspbian
Первым шагом необходимо скачать образ дистрибутива Raspbian. Его можно скачать с официального сайта Rasspbery Pi.
Для загрузки доступны три вида образов (три редакции):
- Raspbian with desktop and recommended software — Редакция с графическим окружением и предустановленным набором утилит и некоторыми программами. Рекомендуется для большинства пользователей.
- Raspbian with desktop — Редакция с графическим окружением, но с минимальным набором предустановленных программ.
- Raspbian Lite — Минимальная редакция. Версия без графического интерфейса.
Если вы новичок, то рекомендую использовать первую редакцию — Raspbian with desktop and recommended software. Образ системы сжат в формате ZIP. Скачайте ZIP-архив или используйте torrent.
После того, как вы записали образ на microSD, необходимо вставить карту в Raspberry Pi.
Что такое NOOBS
Для справки: Вы могли заметить, что на странице загрузки Raspbian также предлагается скачать NOOBS. NOOBS (New Out Of the Box Software) представляет собой архив, содержащий утилиту для установки системы на Raspberry Pi. Пользователю достаточно скачать NOOBS и скопировать файлы на пустую карту, а затем вставить карту в Raspberry Pi. После запуска, в данной утилите можно выбрать систему, которую вы хотите установить. Предлагается Raspbian и некоторые другие системы. Мы не будем использовать NOOBS, так как на предыдущем шаге мы уже скачали образ Raspbian и нам достаточно записать его на карту (см. следующий шаг).
Запись образа на microSD
Теперь необходимо записать загруженный образ Raspbian на microSD карту. Для этого можно воспользоваться очень простой и бесплатной программой Etcher. Она доступна для Linux, Windows и MacOS.
Запишите загруженный образ (ZIP-архив), используя программу Etcher на карту.
Инструкция: Как создать загрузочную флешку
Если вы используете другую программу для записи образа, то, скорее всего, вам нужно будет предварительно распаковать загруженный ZIP-архив. Внутри архива находится файл .IMG, который и нужно будет записать на карту.
Подключение карты памяти
После того, как вы записали образ системы на карту, необходимо вставить карту в слот, который расположен на обратной стороне платы Raspberry Pi.
Первый запуск
Теперь можно приступать к включению платы. Подключите малинку к телевизору или монитору, используя кабель HDMI. Подключите кабель блока питания в порт USB type-C и вставьте вилку блока питания в розетку. На плате должен загореться красный светодиод, который означает, что питание подключено. Начнется загрузка платы.
На черном фоне в левом верхнем углу должны появиться малинки:
Затем появится рабочий стол и запустится мастер первичной настройки. Мастер можно закрыть, но я рекомендую пройти первичные шаги настройки, тем более их там совсем немного.
Мастер первичной настройки
В мастере первичной настройки нужно выполнить несколько простых шагов. Первое окно выглядит следующим образом. Просто нажимаем Next
Выбираем страну, язык и часовой пояс. В этом же окне установите галочку напротив пункта Use US keyboard, так как на следующем шаге вам нужно будет задать пароль (а его лучше всегда задавать на английском) и по необходимости подключиться к WiFi сети, где тоже нужно будет ввести пароль (на английском языке).
Введите пароль, который будет использоваться для выполнения административных задач. Также можно будет использовать этот пароль для входа в систему. По умолчанию используется пароль «pi».
На следующем шаге вас просят поставить галочку, если вы видите черную рамку по краям экрана, чтобы мастер выполнил настройку разрешения. У меня рамки не было, поэтому я просто нажал Next.
Далее, если у вас есть WiFi сеть, то выберите ее из списка и на следующем шаге введите пароль для доступа к ней.
Выбор сети WiFiВвод пароля WiFiНа следующем шаге предлагается выполнить обновление системы. У меня почему-то обновление не запустилось, и выскочила ошибка. Но потом я без каких-либо проблем обновлялся уже, используя терминал (см. ниже).
В конце появится сообщение с предложением перезагрузить малинку. Для перезагрузки нажимаем Restart
На этом первичная настройка завершена.
Добавление русской раскладки клавиатуры
К сожалению, процесс добавления дополнительных раскладок клавиатуры в Raspbian отработан не совсем хорошо. Можно использовать разные подходы, но я использую следующий метод.
Щелкните правой кнопкой мыши по верхней панели и выберите пункт Добавить/убрать элементы панели
В открывшемся окне перейдите на вкладку Апплеты панели. Нажмите кнопку Добавить
Выберите из списка пункт Обработчик раскладки клавиатуры
На панели появится флаг, который соответствует текущей раскладке.
Убедитесь, что в списке апплетов выбран пункт Обработчик раскладки клавиатуры. Нажмите кнопку Параметры
Откроется окно, в котором можно редактировать список раскладок. Снимите галочку у пункта Сохранить системные раскладки и нажмите кнопку Добавить
В открывшемся окне выберите раскладку, которую вы хотите добавить и нажмите ОК
Новая раскладка появится в списке. Под списком раскладок нажмите кнопку, которая откроет окно выбора сочетания клавиш для смены раскладки.
Выберите в списке желаемое сочетание и нажмите ОК. По умолчанию используется сочетание Shift+CapsLock
Закройте окно нажав крестик (кнопка Закрыть у меня почему-то не работала).
Обновление Raspbian
Чтобы выполнить полное обновление системы и ее компонентов до более свежих версий откройте терминал и введите следующие команды:
sudo apt update
sudo apt full-upgradeИногда после обновления требуется перезагрузить систему.
Температура Raspberry Pi и троттлинг
Еще до покупки Raspberry Pi я читал про то, что малинка имеет некоторые проблемы, связанные с перегревом. Ничего странного в этом нет. У платы отсутствуют какие-либо встроенные средства отвода тепла, например, радиаторы или вентиляторы.
Однако, все не так страшно. В обычном режиме, когда открыт только рабочий стол, температура процессора у меня была около 55°C.
Если открыть несколько программ, включая браузер с проигрыванием ролика на YouTube и приложения LibreOffice, то температура возрастает до 60-65°C, что тоже абсолютно нормально. И что самое важное, она не продолжает расти, а остается на этом уровне.
То есть при использовании малинки, скажем так, с рядовыми программами никаких проблем с перегревом я не наблюдал.
Но так как в мои планы входит создание из малинки медиа-центра, то я установил медиаплеер Kodi. И тут я уже ощутил нагрев платы. Когда Kodi запущен, температура поднимается уже выше 75°C. А вот это уже многовато. И в правом верхнем углу экрана начинает моргать красный значок градусника, что очень неприятно.
Помимо создания медиа-центра, я бы хотел запускать на малинке различные игры, то есть использовать ее, как игровую (ретро-)консоль. Очевидно, что нагрузка на процессор при таком использовании будет существенная и температура подскочит еще выше.
Для защиты от перегрева процессор в Raspberry Pi выполняет троттлинг, то есть начинает принудительно пропускать часть тактов, чтобы снизить нагрузку и в результате понизить температуру. При троттлинге снижается производительность и эффективность процессора. Все это приводит к замедлению работы системы. В играх это будет выражаться общими тормозами и снижением FPS.
Чтобы решить проблемы перегрева необходим хороший отвод тепла. Я не стал использовать маленькие радиаторы, которые положил продавец из Китая, так как читал, что никакого результата они все равно не дают. В следующем материале про Raspberry Pi я расскажу, как решил проблему перегрева.
Raspberry Pi в качестве настольного компьютера
Как я писал выше, Raspberry Pi 4 можно использовать в качестве настольного компьютера. По моим тестам это вполне реально. Конечно, для каких-то тяжелых задач малинка не годится. Но с базовыми задачами — браузер, офис, просмотр фото и так далее — малинка должна справиться.
Я запускал несколько программ одновременно, открывал несколько вкладок в Chrome и система работала. Оперативной памяти хватало, температура процессора держалась на приемлемом уровне.
Да, иногда есть подтормаживания, да, программы открываются не мгновенно. Но не нужно сравнивать малинку с быстрым и современным компьютером. Если мы сравним ее с каким-нибудь средним компьютером прошлых лет, то она вполне сможет потягаться.
Но и не нужно питать иллюзий. Все-таки вряд ли малинка заменит вам ваш основной компьютер. Да и задачи у нее обычно другие.
Заключение
Материал получился довольно объемный. Мы познакомились с Raspberry Pi, научились устанавливать Raspbian и выполнять первичную настройку. И, конечно, затронули тему перегрева.
В заключение хочу сказать, что я остался очень доволен этой малышкой. Обязательно буду ее тестировать и попробую реализовать задуманное. Планирую написать еще одну или несколько статей по дальнейшему «укрощению» Raspberry Pi.
Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/». См. также полезные материалы: Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов. Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианахПриведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан. Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам. Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 . Примеры : 2. Косинус пи . 3. Тангенс пи Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач. Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов (цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)
|
Тестирование Raspberry Pi 4 на нагрев
Raspberry Pi 4 стала гораздо холоднее! За последние четыре месяца обновления прошивки уменьшили энергопотребление в ждущем режиме на 1/2 Вт и почти на 1 Вт под полной нагрузкой. Гарет Халфакри провёл тепловое тестирование платы для журнала MagPi.
Raspberry Pi 4 Model B
Raspberry Pi 4 выпустили, снабдив её большим количеством новых свойств, чтобы соблазнить пользователей на обновление: более мощные CPU и GPU, больше памяти, гигабитный Ethernet, поддержка USB 3.0. Увеличение процессорной мощности влечёт увеличение энергопотребления, а Raspberry Pi 4 – самый жадный до энергии член семейства.
Запуск каждой новой модели Raspberry Pi – это лишь начало истории. Разработка платы идёт постоянно, и обновления ПО и прошивок улучшают каждый вариант платы ещё долго после того, как она выходит за пределы фабрики.
Обновления Raspberry Pi 4
Raspberry Pi 4 не является исключением: с момента её выхода уже было выпущено несколько обновлений, уменьшивших её энергопотребление, и в результате – нагрев. И эти обновления подходят к Raspberry Pi 4 вне зависимости от того, купили вы её в день выхода или же заказываете только сегодня.
В данной статье мы рассмотрим, как каждое последующее обновление улучшало Raspberry Pi 4, при помощи искусственной программной нагрузки (не реальной задачи), чтобы как можно скорее разогревать систему на кристалле (СнК) до максимально возможной температуры.
И вот каких чудес способно достичь простое обновление прошивки.
Как мы тестировали обновления прошивки Raspberry Pi 4
Чтобы проверить, насколько хорошо каждая прошивка справляется с нагревом, мы разработали искусственную, требовательную к потреблению высокую нагрузку, имитирующую самый плохой вариант. Утилита stress-ng постоянно нагружает все четыре ядра CPU. Тем временем утилита glxgears загружает работой GPU. Утилиты устанавливаются командой:
sudo apt install stress-ng mesa-utils
Нагрузить CPU можно командой:
stress-ng —cpu 0 —cpu-method fft
На установках по умолчанию команда будет работать весь день; для отмены нажмите CTRL+C.
Нагрузить GPU можно командой:
glxgears –fullscreen
Программа покажет 3D-анимацию шестерёнок, заполняющую экран целиком. Чтобы закрыть её, нажмите ALT+F4.
Подробности работы команд читайте тут:
man stress-ng
man glxgears
Во время тестирования обе нагрузочные программы работали вместе 10 минут. После этого Raspberry Pi 4 остывала 5 минут.
Фотографии с тепловизора были сделаны в режиме ожидания, а потом через 60 секунд после нагрузки одной командой stress-ng.
Показатели для базового уровня: Raspberry Pi 3B+
Устройство Raspberry Pi 3B+ получило широкое признание, и чтобы обойти его по данным показателям, нужно было постараться.
До выхода Raspberry Pi 4, Raspberry Pi 3 Model B+ была обязательным к покупке одноплатным компьютером. Эта модель получила все преимущества, достигнутые при разработке предыдущей, Raspberry Pi 3 Model B, плюс обновлённое железо, и до сих пор является популярным устройством.
Давайте сначала посмотрим, как она ведёт себя, перед тем, как испытывать Raspberry Pi 4.
Энергопотребление
Эффективный процессор и улучшенная по сравнению с предшественником схема цепи питания позволяет Raspberry Pi 3B+ потреблять меньше энергии: в режиме ожидания это всего 1,91 Вт, а под искусственной нагрузкой идёт увеличение до 5,77 Вт.
Снимки с тепловизора
В режиме ожидания
Под нагрузкой
Тепловизор показывает, на что уходит энергия. В режиме ожидания СнК относительно холодная, и горячим местом является контроллер USB/Ethernet справа в середине. Под нагрузкой, после 60 секунд интенсивной работы CPU, СнК становится самым горячим компонентом, достигая температуры в 58,1 °C.
Тепловой пропуск тактов [thermal throttling]
На графике показана скорость и температура Raspberry Pi 3B+ CPU во время десятиминутной нагрузки. Тесты идут одновременно на CPU и GPU, а затем следует пятиминутное остывание. Raspberry Pi 3B+ быстро достигает точки «мягкого пропуска тактов» при температуре 60°C, который призван не дать СнК достичь жёсткого ограничения в 80°C, и CPU продолжает работать в таком режиме на частоте 1,2 ГГц всё время, пока работает измерение.
Прошивка Raspberry Pi 4, шедшая с самого начала
Самая быстрая плата из серии требовала больше всего энергии
Raspberry Pi 4 Model B вышла, имея несколько улучшений по сравнению с Raspberry Pi 3B+, включая значительно более мощный CPU, новый GPU, увеличение объёма памяти до 4 раз, и порты USB 3.0. Но у всего этого железа есть своя цена: увеличение энергопотребления и нагрева. Давайте посмотрим, как Raspberry Pi 4 вела себя с начала продаж.
Энергопотребление
Сомнений нет, Raspberry Pi 4 сразу после выхода была голодной зверюгой. Даже в режиме ожидания на рабочем столе Raspbian плата потребляет 2,89 Вт, достигая максимума в 7,28 Вт в случае искусственной нагрузки CPU и GPU – значительно больше, чем у Raspberry Pi 3 B+.
Снимки с тепловизора
В режиме ожидания
Под нагрузкой
Снимки с тепловизора показывают, что Raspberry Pi 4 с прошивкой первого дня выпуска греется даже в режиме ожидания, и самыми горячими местами служат USB-контроллер справа в середине, и цепь управления питанием слева внизу. Под сильной нагрузкой СнК на 60-й секунде достигает температуры в 72,1°C.
Тепловой пропуск тактов
У Raspberry Pi 4 получается работать дольше, чем у Raspberry Pi 3 B+, прежде чем искусственная нагрузка заставляет его перейти в режим пропуска тактов. Однако она всё же переходит в этот режим – на 65-й секунде. При работающей нагрузке CPU падает с 1,5 ГГц до стабильных 1 ГГц, а потом к концу проседает до 750 МГц.
Прошивка Raspberry Pi 4 VLI
В первом крупном обновлении прошивки Raspberry Pi 4 было сделано управление питанием USB-контроллера Via Labs Inc. Контроллер работает с двумя портами USB 3.0, и прошивка позволила ему меньше нагреваться при работе.
Энергопотребление
Даже без подсоединения чего-либо к портам Raspberry Pi 4 видно улучшения в прошивке VLI: потребление в режиме ожидания упало до 2,62 Вт, а под нагрузкой доходит максимум до 7,01 Вт.
Снимки с тепловизора
В режиме ожидания
Под нагрузкой
Неудивительно, что наибольшее влияние на температуру прошивка оказывает в районе чипа VLI справа посередине; также она помогает уменьшать температуру СнК в центре и цепь правления питанием слева внизу. СнК достиг 71,4 °C под нагрузкой – небольшое, но измеримое улучшение.
Тепловой пропуск тактов
Управление питанием VLI кардинально изменило поведение карты под нагрузкой: точка включения пропуска тактов отодвинулась до 77-й секунды, CPU больше времени работает на максимальной частоте 1,5 ГГц, и вообще не падает до 750 МГц. СнК к концу теста также охлаждается заметно быстрее.
Прошивка Raspberry Pi 4 VLI, SDRAM
Следующая прошивка, разработанная для использования одновременно с управлением питанием VLI, изменяет работу памяти Raspberry Pi 4 — LPDDR4 SDRAM. Не влияя на производительность, она помогает ещё уменьшить энергопотребление как в режиме ожидания, так и под нагрузкой.
Энергопотребление
Как и в случае обновления VLI, обновление SDRAM приносит желанное падение в энергопотреблении как в режиме ожидания, так и под нагрузкой. Теперь Raspberry Pi 4 потребляет 2,47 Вт в режиме ожидания и 6,79 Вт под нагрузкой – серьёзное улучшение по сравнению с первоначальной 7,28 Вт.
Снимки с тепловизора
В режиме ожидания
Под нагрузкой
Снимки с тепловизора показывают самое серьёзное улучшение из всех, и как СнК, так и цепь управления питанием греются в режиме ожидания значительно меньше. После 60 секунд нагрузок СнК остаётся значительно холоднее, 68,8°C – почти на 3 градуса меньше по сравнению с обновлением VLI.
Пропуск тактов
Более холодный СнК положительно влияет на работу платы: точка пропуска тактов под нагрузкой отодвинулась до 109 секунд, а после этого Raspberry Pi 4 продолжает скакать между 1,5 ГГц и 1 ГГц в течение десяти минут – это значительно увеличивает быстродействие.
Прошивка Raspberry Pi 4 VLI, SDRAM, Clocking, и Load-Step
В сентябрьском обновлении 2019 года есть несколько изменений, включая и предыдущие улучшения с VLI и SDRAM. Самое большое изменение состоит в том, как BCM2711B0 увеличивает и уменьшает тактовую частоты в ответ на запросы и температуру.
Энергопотребление
Улучшения сентябрьской прошивки постепенные: потребление в режиме ожидания уменьшилось до 2,36 Вт, а под нагрузкой – до 6,67 Вт, безо всякого снижения быстродействия или потери функциональности.
Снимки с тепловизора
В режиме ожидания
Под нагрузкой
Улучшение управления тактовой частотой значительно снижает температуру в режиме ожидания. Под нагрузкой улучшается всё – СнК доходит до максимума в 65°C через 60 секунд нагрузки, а чип VLI и цепь управления питанием остаются явно более холодными.
Пропуск тактов
С этой прошивкой точка пропуска тактов у Raspberry Pi 4 под нагрузкой отодвигается до 155 секунд – более чем в два раза увеличивая время по сравнению с первой прошивкой. Общая средняя скорость также растёт благодаря более агрессивному возврату до частоты 1,5 ГГц.
Прошивка Raspberry Pi 4 Beta
Однако в Raspberry Pi никто не собирается почивать на лаврах. Идёт тестирование бета-прошивки, которую скоро собираются выпускать. В ней есть множество улучшений, включая более точное управление рабочим напряжением СнК и оптимизация тактовой частоты для конечных автоматов HDMI.
Для обновления вашей Raspberry Pi до последней прошивки, напишите в терминале:
sudo apt update
sudo apt full-upgrade
И перезапустите плату:
sudo shutdown — r now
Энергопотребление
Бета прошивки уменьшает энергопотребление в режиме ожидания, чтобы уменьшить энергопотребление в целом, и подстраивает напряжение СнК, чтобы уменьшить энергопотребление при нагрузках без вреда производительности. В итоге происходит падение до 2,1 Вт в режиме ожидания, и до 6,41 Вт под нагрузкой – наилучшие на сегодня показатели.
Снимки с тепловизора
Улучшения явно видны на снимках с тепловизора. Большая часть платы Raspberry Pi 4 не греется выше 35°C, что было минимумом для первой прошивки. Через 60 секунд нагрузки тоже есть небольшое, но измеримое улучшение, и пиковая температура достигает 64,8°C.
Пропуск тактов
Хотя Raspberry Pi 4 с новой прошивкой всё же переходит в режим пропуска тактов из-за высокой нагрузки синтетического теста, она показывает наилучшие на сегодня результаты: пт происходит на 177-й секунде, а новая система управления тактовой частотой увеличивает среднюю скорость. Также прошивка позволяет чаще увеличивать тактовую частоту в режиме ожидания, ускоряя фоновые задачи.
Улучшайте охлаждение Raspberry Pi 4 её правильной ориентацией
Обновления прошивки обеспечивают отличные результаты, но что если мы повернём Raspberry Pi 4 вертикально?
Хотя самая последняя прошивка способна значительно уменьшить энергопотребление и нагрев, есть ещё один трюк, позволяющий достичь ещё лучших результатов: изменить ориентацию платы. Для данного теста мы поставили Raspberry Pi 4 с последней прошивкой вертикально, так, что интерфейсы GPIO оказались внизу, а порты HDMI наверху.
Пропуск тактов
Простой вертикальный поворот Raspberry Pi 4 даёт мгновенные результаты: СнК в режиме ожидания на 2°C холоднее, чем раньше, и греется медленнее. под нагрузкой плата работает дольше, не переходя в режим пропуска тактов, и поддерживая значительно более высокую скорость.
Тут работает несколько факторов: вертикальная ориентация улучшает конвекцию, позволяя окружающему воздуху быстрее отводить тепло, а поднятие задней части платы с изолирующего тепло стола значительно увеличивает теплоотводящую поверхность.
Время перехода к пропуску тактов
На диаграмме показано, сколько времени потребовалось для перехода на пропуск тактов под нагрузкой. Raspberry Pi 3B+ показала наихудший результат, переходя на пропуск тактов всего через 19 секунд. Каждое последующее обновление прошивки для Raspberry Pi 4 отодвигало эту точку всё дальше и дальше. Однако наиболее серьёзного улучшения можно достичь, поменяв ориентацию платы.
Проверка под реальной нагрузкой
Оставим синтетические нагрузки, и зададимся вопросом – как платы справляются с реальной нагрузкой?
Из всего вышенаписанного сложно сделать вывод о реальной разнице в быстродействии между Raspberry Pi 3B+ и Raspberry Pi 4. Синтетические измерения выполняют требовательные к энергии вычисления, которые редко встречаются в реальных задачах, а кроме того, они бесконечно повторяются.
Компилируем Linux
В данном тесте Raspberry Pi 3B+ и Raspberry Pi 4 получают задание скомпилировать ядро Linux из исходников. Это хороший пример нагрузок на CPU, встречающихся в реальном мире, и гораздо более реалистичная задача, чем синтетические нагрузки из предыдущего теста.
Компиляция ядра: Raspberry Pi 3B+
Raspberry Pi 3B+ совсем рано переходит в режим пропуска тактов и остаётся на 1,2 ГГц до краткого периода охлаждения, когда компилятор переключается с нагрузки на CPU на нагрузку на накопитель, что позволяет плате кратковременно перейти обратно на 1,4 ГГц. Компиляция закончилась за 5097 секунд – один час, 24 минуты, 57 секунд.
Компиляция ядра: Raspberry Pi 4 model B
Явно видно разницу между синтетическими задачами и реальными: Raspberry Pi 4 ни разу не достигает высокой температуры, которая бы заставила её перейти на пропуск тактов, и всю дорогу работает на 1,5 ГГц – за исключением, как и в случае с Raspberry Pi 3 B+, краткого периода, когда изменение работы компилятора позволяет плате упасть до скоростей в режиме ожидания. Компиляция закончилась за 2660 секунд – 44 минуты и 20 секунд.
собираем платформу для сервера Home Assistant / Комфортный дом и бытовая техника / iXBT Live
Здравствуйте друзья
Этот обзор будет посвящен аппаратной платформе на базе одноплатного компьютера Raspberry Pi 4B, которую я собрал для сервера управления умным домом Home Assistant. Я расскажу полностью о всех ее частях, вплоть до выбора кабеля питания, а о установке операционной системы и сервера Home Assistant — можно будет узнать из видеоурока на моем канале youtube
Ссылки на все компоненты показанные в обзоре —
Raspberry Pi 4B
Начну с главного — с одноплатника. На сегодняшний день существует 3 версии, отличающиеся объемом оперативной памяти, 1, 2 и 4 GB. Я выбрал максимальную версию — на 4 GB, сэкономить несколько долларов на более легких версиях не видел смысла.
В базовой поставке имеется только одноплатник размером 88 x 58 мм и инструкции, все остальные компоненты, про которые я расскажу далее, нужно покупать отдельно.
Сердцем устройства является 64х разрядный, 4х ядерный процессор Broadcom BCM2711, частотой 1,5 ГГц, графический процессор VideoCore VI с OpenGL ES 1.1, 2.0, 3.0 Как я уже сказал — в моей версии установлено 4 GB оперативной памяти. Одноплатник оснащен интерфейсами CSI и DSI для подключения камеры и дисплея, а также 40 пиновым разъемом GPIO
Разъем питания — в формате USB Type C, что облегчает покупку кабеля, к которой нужно отнестись внимательно — устройство достаточно мощное. Разъемов для видео — теперь два, в формате microHDMI (до 4Kp60). Так же имеется композитный 3.5 jack для вывода звука/видео
Четыре порта USB, два из которых стандарта 3.0 и гигабитный порт Ethernet, беспроводные коммуникации представлены двухдиапазонным Wi-Fi адаптером (2.4GHz / 5GHz) стандарта IEEE 802.11 b/g/n/ac, и Bluetooth 5.0 BLE
Встроенной памяти, к сожалению, в устройстве нет, штатный способ установки носителя — слот формата micro SD. На данный момент, напомню, поддержки загрузки с USB — нет. Хотя можно использовать карту памяти только для загрузки, а операционную систему устанавливать на внешний диск, либо, так поступил я, использовать EMMC память с разъемом под micro SD
Корпус
Мой личный опыт, показывает, что корпус и охлаждение лучше совмещать, это весьма эффективно, к тому же позволяет обходится без активных элементов — вентиляторов. Такой корпус я и приобрел для своей платформы. Цвет выбрал черный, он лучше смотрится в моих условиях.
Этот вариант корпуса — полностью закрытый, сделан из металла, отверстия имеются только для интерфейсных разъемов.
Он собирается из двух частей, видно что для отвода тепла изнутри сделаны специальные отводы точно над самыми горячими точками одноплатника.
Сначала устройство устанавливается в нижнюю часть корпуса, с той стороны теплоотводов нет. Все отверстия идеально совпадают с разъемами
Благодаря специальным выступам совпадающих с отверстиями на плате миникомпа — он отлично фиксируется на одном месте
Вид со стороны Ethernet и USB портов — все совпадает с точностью до миллиметра.
4 теплоотвода предназначены для процессора, чипа оперативной памяти, беспроводного и сетевого контроллера. Это главные горячие точки.
Стоит ли говорить о том, что в этом случае тоже все совпадает идеально.
В комплекте с корпусом имеются и теплопроводящие накладки, для плотного и надежного контакта поверхности чипов с теплоотводами. не забываем перед установкой снять защитные бумажные стикеры.
Теперь можно соединить обе части корпуса, как видим — качество сборки на высоте, все совпадает, все отверстия там, где и должны быть
На одном из торцов имеется узкая вентиляционная щель выполняющая роль воздухозаборника, при этом пыль в нее попадать не будет
Части корпуса соединяются при помощи четырех винтов, которые идут в комплекте. Кроме соединения корпуса, они обеспечивают фиксацию платы и надежный тепловой контакт с чипами.
Шестигранник тоже нашелся в коробке с корпусом, никаких дополнительных инструментов не понадобится. Плотно завинчиваем все четыре винта
Теперь мини компьютер в сборе и почти готов к установке операционной системы и сервера умного дома
EMMC to micro SD
Вместо ненадежной карты памяти, я приобрел более надежный модуль EMMC с адаптером для установки в слот micro SD. Упакован он был во много слоев пузырьковой пленки.
Модуль памяти и адаптер под micro SD — сделаны раздельно, в комплекте еще есть пара крепежных винтов, правда они мне не пригодились
Соединяются они между собой через 20 контактный разъем, на модуле с памятью есть наклейка где указан его объем
Модуль в сборе — довольно громоздкий, и будет торчать из корпуса, но такова плата за надежность.
Еще один момент, для записи на этот модуль нужно иметь внешний USB картридер. У меня нашелся вот такой, все подошло замечательно.
Через встроенный в ноутбук картридер — увидеть память не получилось. C USB — все отлично.
При использовании этого картридера я получил вот такие показатели скорости, но думаю тут основное бутылочное горлышко — сам картридер, в малину модуль ставится напрямую
Кабель питания
Я не поленился купить и отдельный кабель питания для одноплатника, обратившись к многократно проверенному производителю — Ugreen
Кабель имеет заявленную пропускную способность по току до 3А, я взял полуметровой длины, мне достаточно.
Я специально выбрал вариант с Г образным разъемом, кстати точно такие же кабеля но micro USB используется у меня для 3х версий raspberry
В случае с USB Type C — все гораздо удобнее, так как разъем симметричен и может подключаться любой стороной.
Например если нужны разъемы micro HDMI — то его можно развернуть его таким образом
Я их не использую поэтому развернул кабель в сторону Ethernet и USB портов.
Из за громоздкости модуля EMMC я посчитал что удобнее будет расположить корпус, так сказать вверх ногами, хотя это конечно понятие относительное.
Видеоверсия обзора
Спасибо за внимание
Raspberry Pi 4 обзор: самый мощный пи когда-либо — Пк
Изображение 1 из 10
Наша рейтинговая цена при пересмотре 34 с НДС
Квантовый скачок вперед для Raspberry Pi 4, но ваши ожидания будут реалистичными
Плюсы Основные аппаратные проблемы SuperSpeed USB Поддержка двух экранов Минусы Не серьезная замена рабочего стола РекламаЯ не буду лгать. Когда я услышал, что Raspberry Pi 4 Model B, по словам его создателей, обеспечит «производительность настольного компьютера, сравнимую с компьютерными системами x86 начального уровня», я испытал волнение всезнайки.
Облегченный дизайн Raspberry Pi имеет тенденцию ограничивать его хобби-проектами и ролями IoT, а не обязанностями основного настольного компьютера или домашнего сервера, но Raspberry Pi 4 Model B, возможно, является наиболее значительным обновлением в истории платформы. Неужели скромный Пи действительно собирается покорить рабочий стол?
ЧИТАЙТЕ СЛЕДУЮЩИЙ: Raspberry Pi 3 B + обзор
Обзор Raspberry Pi 4: что нужно знать
Модель Raspberry Pi 4 Model B физически практически идентична прошлогодней модели Pi 3 Model B +, но оборудование было обновлено несколькими способами. Вместо старого разъема HDMI в нем теперь есть два порта micro-HDMI, способных управлять парой 4K-дисплеев с частотой 60 Гц. Розетка питания также была обновлена до современного разъема USB Type-C, и два из четырех портов USB теперь поддерживают SuperSpeed USB 3.
Изображение 2 из 10
Внутри Pi 4 получает более мощный процессор и, хотя 1 ГБ ОЗУ остается по умолчанию, впервые вы можете дополнительно указать 2 ГБ или даже 4 ГБ ОЗУ. В общем, это пакет, который устраняет многие ограничения предыдущего аппаратного обеспечения Pi.
Купить у Фарнелл
Обзор Raspberry Pi 4: цена и конкуренция
Стандартная Raspberry Pi 4 поставляется с 1 ГБ ОЗУ и стоит столько же, сколько Raspberry Pi 3 Model B +, что означает, что вы можете заплатить около 34 фунтов стерлингов за пустую плату. Версии на 2 ГБ и 4 ГБ должны стоить около £ 44 и £ 54 соответственно.
Если вам не нужна вся мощь нового Pi, урезанный Raspberry Pi 3 Model A + по-прежнему доступен всего за £ 23, Без сомнения, это будет заменено на Raspberry Pi 4 Model A в какой-то момент, но, если предыдущие выпуски будут каким-либо руководством, это может произойти только на другой стороне Рождества.
Более изящные альтернативы включают Raspberry Pi Zero WH и ностальгия BBC micro: немногоОба доступны онлайн менее чем за £ 20. Или более влиятельные претенденты включают Asus Tinker Board (ваша за 60 фунтов стерлингов с 2 ГБ оперативной памяти) и мощная Udoo X86 II на базе Intel, которая может быть оснащена 4 ГБ встроенной памяти примерно за 230 фунтов стерлингов.
Raspberry Pi 4 обзор: особенности и дизайн
Один взгляд, и в этом нет никаких сомнений: это Raspberry Pi. Он поставляется в виде пустой платы, сохраняя привычный форм-фактор 85,6 x 56,5 мм, фирменный 40-контактный разъем GPIO платформы и слот для карт памяти microSD для хранения системы.
Смотрите связанные Raspberry Pi 3 Model B + обзор: новый Pi получает долгожданное повышение производительности Raspberry Pi 3 Model A + обзор: меньше, дешевле и самый заманчивый PiНо это далеко не тот же самый старый, такой же старый. Для начала, Raspberry Pi 4 Model B, наконец, выводит SuperSpeed USB на платформу Raspberry Pi. Два порта USB 3 ограничены 5 Гбит / с, но это все же на порядок быстрее, чем устаревшие порты USB 2, которые находятся рядом с ними.
Тем временем встроенный модуль Bluetooth был обновлен с версии 4.2 до версии 5, а также включает поддержку Bluetooth Low Energy. Гигабитный Ethernet по-прежнему присутствует и исправен (как и возможность использовать PoE через HAT), и композитный A / V, дисплей DSI и порты камеры также сделали скачок.
Двухдиапазонный контроллер 802.11ac Wi-Fi также остается неизменным, но соединение Gigabit Ethernet больше не ограничено скоростью 300 Мбит / с, как в предыдущем поколении, и теперь может отправлять и получать данные с полной скоростью 1000 Мбит / с. В сочетании с появлением USB 3 это открывает новые возможности для использования Pi в качестве сетевого хранилища данных.
Изображение 3 из 10
Несколько других настроек означают, что новый Pi не будет идеально работать с чехлами и аксессуарами, разработанными для более старых моделей, но мы думаем, что изменения того стоят. С одной стороны, появление двух портов micro-HDMI вместо старого полноразмерного разъема HDMI означает, что вам может потребоваться приобрести новый кабель, но также означает, что теперь вы можете легко настроить конфигурацию с двумя дисплеями, поддерживается разрешение до 4K при 60 Гц.
Разъем питания micro-USB также был заменен разъемом USB Type-C. Это хороший вызов, так как старый порт больше не является универсально удобным, и должно быть проще найти источник питания типа C с достаточным количеством сока, чтобы поддерживать работу Raspberry Pi 4 Model B на полной скорости. Однако стоит отметить, что из-за некоторых странных дизайнерских решений некоторые адаптеры питания USB Type-C и кабели, которые не будут работать должным образом с Raspberry Pi 4особенно те, которые являются более мощными и имеют «электронную маркировку».
Это подводит меня к обновлению ядра. 1,5-ГГц процессор Broadcom BCM2711 Raspberry Pi 4 может показаться не таким уж большим шагом вперед по сравнению с 1,4-ГГц BCM2837 последнего поколения, но тактовая частота не говорит об этом полностью. Старая модель была основана на микроархитектуре ARM Cortex A53 среднего уровня, в то время как новая модель использует дизайн A72, оптимизированный для производительности.
Это дает Raspberry Pi 4 Model B существенный прирост скорости по сравнению с предыдущими моделями, как мы увидим ниже. Это также означает, что вы получаете более мощный графический процессор, чем когда-либо прежде, который поддерживает графику OpenGL ES 3 (по сравнению со старым стандартом ES 2) и получает возможность декодировать видео 4K H.265 со скоростью 60 кадров в секунду, помимо поддержки более старой версии Pi для декодирования и кодирования потоков H.264.
В довершение всего, дополнительные опции ОЗУ обеспечивают запас для больших и более сложных задач — хотя обратите внимание, что модули памяти припаяны к плате, поэтому вы не сможете начать с малого и обновить позже.
Изображение 9 из 10
Обзор Raspberry Pi 4: Производительность
Raspberry Pi 4 Model B, безусловно, быстрее, чем его предшественники; последние синтетические тесты показывают значительные улучшения практически во всех типах операций. Это намного больший шаг, чем предыдущая прогрессия, от Raspberry Pi 3 Model B до B +.
Все идет нормально. Однако, как я уже упоминал, это обновление не сводится только к сокращению числа пользователей. Фонд Raspberry Pi говорил о потенциале Raspberry Pi 4 в качестве настольного компьютера общего назначения, и поэтому, наряду с нашим обычным набором тестов, я также попытался запустить наши стандартные тесты для настольных компьютеров. Это было приятно сделать, поскольку они основаны на бесплатных инструментах ImageMagick, Handbrake и VLC, которые включены в последнюю версию Raspbian.
Здесь Пи споткнулся немного. Хотя модернизированный ЦП имеет свои сильные стороны, система в целом явно не предназначена для жевания больших наборов данных, а топовая версия Raspberry Pi 4 объемом 4 ГБ набрала всего 4,9 балла в тесте редактирования изображений, 8,3 — в тест на редактирование видео и 7 в тесте многозадачности, для общего балла 7. Чтобы поместить это в контекст, наш базовый ПК (настольный компьютер Core i5-4670K) обработал нашу папку, полную 40-мегапиксельных изображений, за 1 мин 44 сек, в то время как Пи заняло около 35 минут. На Пи 1 Гб тесты вообще не запускались, вылетая сразу же с ошибкой нехватки памяти.
Изображение 4 из 10
Наши тесты также показали, что процессор Pi 4 довольно быстро нагревается при интенсивной нагрузке. Во время выполнения тестов постоянно появлялся значок предупреждения о перегреве, указывая на то, что тактовая частота была уменьшена для предотвращения перегрева. Если вы действительно хотите получить максимум от аппаратного обеспечения Pi 4, вам нужно решить проблему с нагревом.
К счастью, в соответствии с философией Пи, есть много дешевых и очаровательных решений. У Pi нет официальной системы охлаждения, но я смог купить клейкий радиатор без клейма и компактный вентилятор на thepihut.com за общую сумму 3 фунта.
Изображение 10 из 10
Так как стандартная плата Pi и корпус не имеют никаких креплений для вентилятора, в итоге я снял крышку корпуса и приклеил шахту непосредственно к плате с помощью Blu Tack: для более аккуратного, более постоянного решения вам может потребоваться настроить корпус, или заплатите немного больше за вентилятор, который разработан специально для Pi.
Хотя моё решение для охлаждения не было элегантным, оно успешно исключило индикатор дросселирования. Оценка редактирования изображения практически не улучшилась, поднявшись только с 4,9 до 5, но производительность в требовательных тестах по редактированию видео и многозадачности более или менее удвоилась, до 18,6 и 13,6 соответственно, в результате чего общий балл составил 13,9.
Очевидно, что поклонник вторичного рынка является ключом к реализации полного потенциала производительности Pi — хотя даже тогда довольно сложно назвать Raspberry Pi достойной заменой настольного компьютера. Также помните, что вентилятор соединит выводы питания 5 В вашего разъема GPIO (если вы не используете внешний источник питания), и здесь нет хитрой технологии для изменения скорости в соответствии с потребностями системы: недорогая модель, которую я пытался сделать слышимый жужжащий звук в течение всего времени, когда Пи был включен.
Мне также стало интересно, можно ли улучшить ситуацию, уменьшив зависимость Pi от хранилища microSD с низкой пропускной способностью. Поскольку Raspberry Pi 4 дает вам возможность подключать высокоскоростной внешний носитель через USB 3, я попытался экспериментально повторить тест редактирования изображения с исходными и целевыми файлами, расположенными на внешнем SSD (твердотельный накопитель Adata SU900, подключенный через Seagate GoFlex). USB-SATA кабель, если вы должны знать полную информацию). В этом случае это мало что изменило: результаты теста были подняты лишь незначительно до 5,3.
Обновление производительности
Через неделю после выпуска Raspberry Pi 4 Фонд Raspberry Pi выпустил обновление прошивки, предназначенное для уменьшения воздействия теплового дросселирования.
Обновление предназначено не для ЦП, а для нового USB-контроллера VL805 SuperSpeed. Это один из самых горячих компонентов Raspberry Pi 4 Model B при поставке, и он значительно повышает внутреннюю температуру (особенно, если ваш Pi заключен в футляр).
В новой микропрограмме контроллер USB работает круче, сохраняя при этом полную производительность. Это оставляет больше термического запаса для процессора, позволяя ему работать дольше. Тестируя без вентилятора, я увидел увеличение нашего теста редактирования изображений на 14% и улучшение теста редактирования видео на 19%, в то время как даже интенсивный тест многозадачности завершился на 5% быстрее.
Чтобы поместить это в контекст, тем не менее, обновление берет Pi 4 с общего результата теста от 7 до 7,5. Это определенное улучшение, но Raspberry Pi 4 остается далеко от производительности типичного рабочего стола.
Купить у Фарнелл
Raspberry Pi 4 отзыв: вердикт
Является ли Raspberry Pi 4 Model B жизнеспособным в качестве настольного ПК? Ну, возможно. Когда вы перемещаетесь по рабочему столу Raspbian, все становится приятным и отзывчивым, а улучшенное видеооборудование позволяет вам наслаждаться HD-фильмами на одном мониторе, а вы работаете на втором. Если вы выбираете модель 2 ГБ или 4 ГБ, вы также можете открыть приличное количество вкладок браузера.
Тем не менее, несмотря на то, что это самый быстрый Pi, он все еще намного медленнее, чем основной рабочий стол. Это может быть неочевидным, когда вы пишете электронные письма или сочиняете clerihews в LibreOffice, но запускают среднюю рабочую нагрузку — например, редактирование фотографий, кодирование MP3 или архивирование файлов — и разрыв в производительности не может быть пропущен. Может пройти всего несколько поколений, прежде чем Pi действительно можно будет назвать основным персональным компьютером, но мы еще не там.
Так что давайте отбросим такие нереальные амбиции. Raspberry Pi изначально задумывался как забавная, доступная и, прежде всего, доступная платформа для программирования, проектов домашней автоматизации или просто работы с Linux. Raspberry Pi 4 Model B делает все это в более удобной упаковке, чем когда-либо, за ту же самую низкую цену, что и оригинальная модель.
Посмотрите на это так, и невозможно чувствовать разочарование. Нет, Raspberry Pi не готова заменить ваш основной компьютер, но, по его собственным словам, это фантастическое обновление того, что уже было неотразимым маленьким компьютером.
Raspberry Pi 4 технические характеристики | |
|---|---|
| процессор | 1,5 ГГц четырехъядерный процессор Broadcom BCM2711B0 (ARMv8-A) |
| Графика | Broadcom VideoCore VI |
| ОЗУ | 1 ГБ / 2 ГБ / 4 ГБ LPDDR4 |
| Место хранения | MicroSD |
| беспроводной | Двухдиапазонный 802.11ac Wi-Fi; Bluetooth 5 и LE |
| Ethernet | Полноскоростной Gigabit Ethernet |
| GPIO | 40-контактный разъем |
| Габаритные размеры | 88 х 58 х 19,5 мм |
| Порты | 2 x micro-HDMI (4K 60 Гц), 2 x USB 3, 2 x USB 2, Gigabit Ethernet, USB Type-C (только питание) 3,5-мм аудиоразъем с поддержкой композитного видео, последовательный интерфейс камеры, последовательный интерфейс дисплея |
— как мне доказать, что $ \ sin (\ pi / 4) = \ cos (\ pi / 4) $? Реальный анализ
— как доказать, что $ \ sin (\ pi / 4) = \ cos (\ pi / 4) $? — Обмен математическим стекомСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange- 0
- +0
- Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 3к раз
$ \ begingroup $Странно, что я еще не определил касательную функцию.
как мне доказать, что $ \ sin (\ pi / 4) = \ cos (\ pi / 4) $?
Я доказал, что $ \ tan: (- \ pi / 2, \ pi / 2) \ rightarrow \ mathbb {R} $ является строго возрастающей непрерывной биекцией. (Еще не доказано, что это гомеоморфизм; думаю, я могу показать, что arctan вогнутая на $ (0, \ infty) $)
Во всяком случае, я понятия не имею, как доказать, что $ \ tan (\ pi / 4) = 1 $ .. Пожалуйста, помогите
Создан 24 фев.
Число 9Номер 91,9351111 серебряных знаков2222 бронзовых знака
$ \ endgroup $ 5 $ \ begingroup $Подсказка: Тригонометрия — это все о треугольниках.В данном случае треугольник представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник. Теперь подумайте о синусе и косинусе относительно сторон треугольника. Думаю, вы нашли необходимое доказательство.
Доказательство 2: $ \ sin \ dfrac {\ pi} {4} = \ cos \ bigg (\ dfrac {\ pi} {2} — \ dfrac {\ pi} {4} \ bigg) = \ cos \ dfrac {\ pi} {4}
долл. СШАПодсказка 3: Постарайтесь увидеть симметрию графиков функции синуса и косинуса в интервале $ [0, \ frac {\ pi} {2}] $. Наблюдая за симметрией, вы можете обнаружить, что два графика разрезаются в средней точке данного интервала, поэтому они принимают одинаковое значение в этой конкретной точке.
Создан 24 фев.
Ястреб5,9642222 серебряных знака6363 бронзовых знака
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $Как насчет того, чтобы просто показать, что $ \ sin (\ pi / 4) = \ frac {\ sqrt 2} {2} = \ cos (\ pi / 4) $?
Создан 24 фев.
5xum5xum10k66 золотых знаков108108 серебряных знаков176176 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 2 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScriptВаша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
Вычислить lim x → π / 4 (sinx-cosx) / (x-π / 4)
В этой предельной задаче косинус угла $ x $ вычитается из синуса угла $ x $ в числителе, а угол сорок пять градусов вычитается из угла $ x $ в знаменателе.Предел частного из них должен быть вычислен, поскольку значение $ x $ стремится к пи на четыре.
Давайте попробуем найти предел $ \ sin {x} $ минус $ \ cos {x} $ на $ x $ минус $ \ pi $ на $ 4 $, поскольку значение $ x $ ближе к пи на четыре на методом прямой подстановки.
$ = \, \, \, $ \ dfrac {\ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} — \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)}} {\ dfrac {\ pi} {4} — \ dfrac {\ pi} {4}}
долларов США$ = \, \, \, $ \ dfrac {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} — \ dfrac {1} {\ sqrt {2}}} {\ dfrac {\ pi} {4} — \ dfrac {\ pi} {4}}
долларов США$ = \, \, \, $ \ dfrac {0} {0} $
Он показывает, что предел данного рационального выражения неопределен.Следовательно, эту предельную задачу следует решать с помощью другого математического подхода.
На самом деле, эту тригонометрическую предельную задачу можно решить тремя разными способами. Итак, давайте изучим каждый метод, чтобы узнать, как найти предел данной рациональной функции, поскольку значение $ x $ ближе к пи на четыре.
Логический метод
Выражение в числителе является тригонометрическим выражением, которое выражает, что косинус угла $ x $ должен быть вычтен из синуса угла $ x $.Фактически, они обе являются тригонометрическими функциями, поэтому мы не сможем найти разницу между ними, если не знаем значение угла $ x $.
$ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x}} {x — \ dfrac {\ pi} {4}}}
долларов СШАНапомним все тригонометрические тождества. Существует только одно тригонометрическое тождество, в котором функции синуса и косинуса участвуют в вычитании, и это тождество разности углов синуса, но тригонометрическое выражение в числителе не совсем то же самое, что расширение формулы разности углов синуса.\ circ $. Итак, давайте попробуем включить обе функции в тригонометрическое выражение числителя.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (1 \ times \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов США$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} \ times \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ dfrac {\ sqrt {2} \ times 1} {\ sqrt {2}} \ times \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов США$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times (\ sin {x} — \ cos {x})} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)} $
Теперь свойство распределения можно использовать для распределения единицы на квадратный корень из двух вычитанием функций синуса и косинуса.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {x} — \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {x}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов СШАСогласно тригонометрии, синус угла $ 45 $ градусов и косинус угла сорок пять градусов равны мультипликативной обратной величине квадратного корня из двух.
$ (1). \, \, \, $ \ Sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \, = \, \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} $
$ (2).\, \, \, $ $ \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \, = \, \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} $
Теперь мы можем заменить каждое значение, обратное квадратному корню из двух, указанными выше тригонометрическими функциями.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {\ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \ times \ sin {x} — \ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg) } \ times \ cos {x}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов СШАКоммутативное свойство умножения может быть использовано здесь для создания тригонометрического выражения в числителе как разложения правила синуса разности углов.
$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {\ sin {x} \ times \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} — \ cos {x} \ times \ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi } {4} \ bigg)}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларов СШАНаконец, тригонометрическое выражение в числителе выражает расширение синуса тождества разности углов.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {\ sin {\ bigg (x- \ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}} \ bigg)}
долларовОтрегулируйте функцию в соответствии с правилом тригонометрического предела
В исчислении у нас есть правило тригонометрических пределов в терминах синусоидальной функции.Итак, давайте попробуем преобразовать упрощенную функцию в форму правила тригонометрических пределов. Во-первых, давайте отделим мультипликативную константу от функции в соответствии с правилом постоянных множественных ограничений.
$ = \, \, \, $ \ sqrt {2} \ times \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ bigg (x- \ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}}}
долларовЕсли $ x \, \ to \, \ dfrac {\ pi} {4} $, то $ x- \ dfrac {\ pi} {4} \, \ to \, \ dfrac {\ pi} {4} — \ dfrac {\ pi} {4} $, поэтому $ x- \ dfrac {\ pi} {4} \, \ to \, 0 $, который очищает это, когда $ x $ приближается к $ \ dfrac {\ pi} { 4} $, значение $ x- \ dfrac {\ pi} {4} $ ближе к нулю.
$ = \, \, \, $ \ sqrt {2} \ times \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, — \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4} \ Large \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ bigg (x- \ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)}} {x- \ dfrac {\ pi} {4}}} $
Вычислить предел тригонометрической функции
Для удобства возьмем $ y \, = \, x- \ dfrac {\ pi} {4} $ и выразим всю функцию через $ y $.
$ = \, \, \, $ \ sqrt {2} \ times \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {y}} {y }}
долларов СШАСогласно правилу тригонометрического предела в синусоидальной функции, частное синуса угла $ y $ на $ y $, поскольку значение $ y $ ближе к нулю, равно единице.
$ = \, \, \, $ $ \ sqrt {2} \ times 1 $
$ = \, \, \, $ \ sqrt {2} $
Фундаментальный метод
Мы также можем оценить предел частного вычитания $ \ cos {x} $ из $ \ sin {x} $ путем вычитания числа пи на четыре из значения $ x $ по мере приближения переменной $ x $ к числу пи на четыре сочетанием обоих тригонометрических тождеств и правила тригонометрического предела.
Методика разложения тригонометрических функций
Тригонометрические функции $ \ sin {x} $ и $ \ cos {x} $ не могут быть расширены.Итак, если мы сделаем некоторые настройки для расширения каждой функции, то мы сможем легко упростить тригонометрическое выражение в числителе данного рационального выражения, и это поможет нам легко найти предел этой функции.
$ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x}} {x — \ dfrac {\ pi} {4}}}
долларов СШАВозьмем $ y \, = \, x- \ dfrac {\ pi} {4} $, затем $ x \, = \, \ dfrac {\ pi} {4} + y $. Теперь мы можем записать данную функцию в терминах $ y $.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \ normalsize \, + \, \ dfrac {\ pi} {4} \ Large \, \ to \, \ normalsize \ dfrac { \ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} + y \ bigg)} — \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4}) + y \ bigg)}} {y}}
долларовЕсли $ y + \ dfrac {\ pi} {4} \, \ to \, \ dfrac {\ pi} {4} $, то $ y + \ dfrac {\ pi} {4} — \ dfrac {\ pi} { 4} \, \ to \, \ dfrac {\ pi} {4} — \ dfrac {\ pi} {4} $. Следовательно, $ y \, \ to \, 0 $. Это означает, что когда $ y + \ dfrac {\ pi} {4} $ приближается к $ \ dfrac {\ pi} {4} $, значение $ y $ стремится к нулю.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4}) + y \ bigg)} — \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} + y \ bigg)}} {y}}
долларовТригонометрические функции синус и косинус появляются с составными углами в числителе.Таким образом, они могут быть расширены с помощью тождества суммы углов sin и формулы суммы углов cos.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4}) \ bigg)} \ cos {y} + \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \ sin {y} — \ Bigg (\ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi}) {4} \ bigg)} \ cos {y} — \ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \ sin {y} \ Bigg)} {y}} $
.Упростите тригонометрическое выражение в числителе
Тригонометрическое выражение в числителе необходимо упростить, чтобы найти предел функции.
$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4}) \ bigg)} \ cos {y} + \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \ sin {y} — \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \ cos {y} + \ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} \ sin {y}} {y}} $
.Теперь заменим значения синуса пи на четыре и косинуса пи на четыре в выражении для упрощения тригонометрического выражения.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {y} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y} — \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {y} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов США$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {y} — \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {y} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов США$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ cancel {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {y}} — \ cancel {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ cos {y}} + 2 \ times \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов США$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {2 \ times \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {2 \ times 1} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {2} {\ sqrt {2}} \ times \ грех {y}} {y}} $
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {(\ sqrt {2}) ^ 2} {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {\ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} } {\ sqrt {2}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {\ cancel {\ sqrt {2}} \ times \ sqrt {2}} {\ cancel {\ sqrt {2}}} \ times \ sin {y}} {y}}
долларов$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sqrt {2} \ times \ sin {y}} {y }}
долларовВычислить предел тригонометрической функции
Процесс упрощения завершен успешно, и пора найти предел упрощенной функции.
$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ bigg (\ sqrt {2} \ times \ dfrac {\ sin {y}) } {y} \ bigg)}
долларов СШАПеред тем, как оценивать предел, мы должны отделить константы от функции, и это можно сделать с помощью правила постоянных множественных ограничений.
$ = \, \, \, $ \ sqrt {2} \ times \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large y \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {y}} {y }}
долларовМы можем оценить предел рациональной функции с помощью правила тригонометрического предела в синусоидальной функции.
$ = \, \, \, $ $ \ sqrt {2} \ times 1 $
$ = \, \, \, $ \ sqrt {2} $
Правило L’Hôpital
Предел данного тригонометрического рационального выражения не определен, поскольку значение переменной $ x $ стремится к $ \ pi $ на $ 4 $. Следовательно, для определения предела можно использовать правило L’Hospital.
Используйте правило L’Hospital
Согласно правилу Л’Опиталя, предел рационального выражения может быть оценен путем нахождения предела рационального выражения после дифференцирования тригонометрического выражения $ \ sin {x} — \ cos {x} $ в числителе и алгебраической выражение в знаменателе.
$ \ подразумевает $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {x} — \ cos {x }} {x- \ dfrac {\ pi} {4}}} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} { 4}} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {d} {dx} {\ big (\ sin {x} — \ cos {x} \ big)}} {\ dfrac {d} {dx} {\ bigg ( x- \ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)}}}
долларов СШАДифференцируйте математические выражения
Производная может быть распределена по каждому члену каждого выражения в математическом выражении в форме отношения посредством распределительного свойства умножения над вычитанием.
$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {d} {dx} {\ big (\ sin {x} \ big)} — \ dfrac {d} {dx} {\ big (\ cos {x} \ big)}} {\ dfrac {d} {dx} {\ большой (x \ big)} — \ dfrac {d} {dx} {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)}}}
долларов СШАДифференцирование может выполняться по правилам производной синуса, косинуса, переменной и константы.
$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ cos {x} — \ big (- \ sin {x} \ big)} {1-0}}
долларов США$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ dfrac {\ cos {x} + \ sin {x}} {1}}
долларов США$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Large x \, \ to \, \ normalsize \ dfrac {\ pi} {4}} {\ normalsize \ big (\ cos {x} + \ sin {x} \ big)}
долларов СШАВычислить предел тригонометрической функции
Данное рациональное выражение становится тригонометрическим выражением путем дифференцирования, и его предел может быть вычислен методом прямой подстановки, когда значение $ x $ приближается к числу pi на $ 4 $.
$ = \, \, \, $ \ cos {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} + \ sin {\ bigg (\ dfrac {\ pi} {4} \ bigg)} $
Теперь мы можем подставить значения косинуса угла в 45 градусов и синуса угла в сорок пять градусов. 2}} {\ cancel {\ sqrt {2}}} $
$ = \, \, \, \ sqrt {2}
$Четыре пи для любого числа! — Помните о своих решениях
Это забавная задача для Дня числа Пи.Напишите уравнение, используя ровно четыре числа π, которые равны 0. Затем проделайте то же самое для 1, 2, 3 и посмотрите, сколько вы сможете решить. Для реальной задачи напишите выражение, которое может быть равно любому целому числу n .
Вы можете использовать обычные математические операции. Ограничьтесь кнопками / функциями ниже (из стандартного калькулятора Android).
Как обычно, посмотрите видео для решения.
Решение задачи четырех пи!
Или продолжайте читать.
.
.
«Все будет хорошо, если ты будешь использовать свой разум для принятия решений, и думать только о своих решениях». С 2007 года я посвятил свою жизнь разделению радости теории игр и математики. MindYourDecisions теперь имеет более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к сообщениям с обещанием на Patreon.
..
.
.
.
.
M
I
N
D
.
Y
O
U
R
.
D
E
C
I
S
I
O
N
S
.
P
U
Z
Z
L
E
.
.
.
.
Ответ на Четыре пи для представления любого числа
(Практически все сообщения быстро расшифровываются после того, как я делаю для них видео — пожалуйста, дайте мне знать, если есть какие-либо опечатки / ошибки, и я исправлю их, спасибо).
Начнем со связанной проблемы. Используя три двойки, как можно представить любое целое число n ? Нобелевский лауреат физик Поль Дирак описал следующую формулу для положительных целых чисел n .
Мы можем изменить формулу для π, используя 2 = -cos π — cos π и сделав основания повторяющегося радикала и второго логарифма равными π, что даст:
Однако стандартные калькуляторы не будут имеют логарифмы по основанию 2 или по основанию π. Но не волнуйтесь! Мы можем использовать изменение базовой формулы:
log 2 x = (ln x ) / (ln 2)
log π y = (ln y ) / (ln π)
Мы можем исключить главный член, взяв обратную величину одному из аргументов, потому что:
log π (1/ y ) = -log π (1/ y )
Таким образом, мы можем представить положительные целые числа знаком + в начале, а целые отрицательные числа — знаком -.И формула также работает для n = 0, что означает взять 0 квадратных корней.
Итак, наша окончательная формула выглядит так:
И все! Просто итерация квадратного корня | n | раз, и поставьте соответствующий знак + или -, и вы получите выражение, в котором π используется ровно 4 раза и равно n . Удивительный!
Новое решение, использующее только один пи!
После того, как я разместил видео в День Пи 2020, Ханнес В. прокомментировал мое видео формулой, которая работает только с одним π, а именно:
-log (√ ((- cos π)%%…%)) = n
В формуле используется логарифм с основанием 10 и символ процента%, который умножает число на 1% = 1/100 = 10 -2 .Таким образом, применение символа процента два раза к 1 дает 1 %% = 1/10000 = 10 -4 . И повторение символа процента n раз до 1 даст результат 10 -2n .
Итак, вот почему формула работает:
-log (√ ((- cos π)%%…%))
= -log (√ (1%%…%))
= -log (√ (10 -2n ))
= -log 10 -n
= — (- n )
= n
Мы можем легко обобщить формулу на любое число! Для 0 обратите внимание на cos (0) = 1, поэтому у нас есть формула:
-log (√ ((cos 0)%…%)) = n
Для любого другого числа x мы можем всегда находите формулу, используя x два раза, потому что x / x = 1, поэтому мы имеем:
-log (√ (( x / x )%%…%)) = n
Таким образом, мы всегда можем найти формулу не более чем в 2 экземплярах x , а для некоторых специальных значений, таких как x = 0 или π, у нас даже есть формула, которая использует x только один раз.Просто удивительно!
Ссылки
Решение Пола Дирака:
https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/funny/Dirac.shtml#solution
Книга Грэма Фармело The Strangest Man также упоминает формулу из Поль Дирак. См .:
https://stoove.wordpress.com/2012/04/15/dirac-ruined-everyones-fun/amp/
Puzzling StackExchange post
https://puzzling.stackexchange.com/questions/94116/four -pis-to-make-any-integer
Ханнес В. Комментарий к моему видео «Вызов четырех пи»:
МОИ КНИГИ
Если вы совершите покупку по этим ссылкам, я могу получить компенсацию за покупки, сделанные на Amazon.Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Это не влияет на цену, которую вы платите.
(ссылки для США и других стран)https://mindyourdecisions.com/blog/my-books
Mind Your Decisions — это сборник из 5 книг:
(1) The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Мышление.The Joy of Game Theory показывает, как можно использовать математику, чтобы перехитрить своих конкурентов.(рейтинг 4,2 / 5 звезд в 194 отзывах)
40 Paradoxes in Logic, Probability and Game Theory содержит наводящие на размышления и противоречащие интуиции результаты. (рейтинг 4/5 звезд в 29 обзорах)
Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость — это руководство, в котором объясняются многие способы предвзятого отношения к принятию решений и предлагаются методы для принятия разумных решений. (рейтинг 3,9 / 5 звезд в 16 отзывах)
Лучшие уловки в области ментальной математики учит, как можно выглядеть гением математики, решая задачи в уме (оценка 4.2/5 звезд в 54 обзорах)
Умножение чисел на рисование линий Эта книга представляет собой справочное руководство для моего видео, которое набрало более 1 миллиона просмотров о геометрическом методе умножения чисел. (рейтинг 4.1 / 5 звезд в 22 обзорах)
Mind Your Puzzles — это сборник из трех книг «Математические головоломки», тома 1, 2 и 3. Темы головоломок включают математические предметы, включая геометрию, вероятность и т. д. логика и теория игр.
Math Puzzles Volume 1 содержит классические головоломки и загадки с полными решениями задач счета, геометрии, вероятности и теории игр.Том 1 получил оценку 4,4 / 5 звезд в 72 отзывах.
Math Puzzles Volume 2 — это продолжение книги с более серьезными задачами. (рейтинг 4,2 / 5 звезд в 20 отзывах)
Math Puzzles Volume 3 — третий в серии. (рейтинг 4,2 / 5 звезд по 16 отзывам)
KINDLE UNLIMITED
Учителя и студенты со всего мира часто пишут мне о книгах. Поскольку образование может иметь огромное влияние, я стараюсь сделать электронные книги доступными как можно шире по как можно более низкой цене.
В настоящее время вы можете читать большинство моих электронных книг с помощью программы Amazon Kindle Unlimited. Включив подписку, вы получите доступ к миллионам электронных книг. Вам не нужно устройство Kindle: вы можете установить приложение Kindle на любой смартфон / планшет / компьютер и т. Д. Ниже я собрал ссылки на программы в некоторых странах. Пожалуйста, проверьте свой местный веб-сайт Amazon, чтобы узнать о доступности и условиях программы.
США, список моих книг (США)Великобритания, список моих книг (Великобритания)
Канада, результаты книги (CA)
Германия, список моих книг (DE)
Франция, список моих книг (FR)
Индия , список моих книг (IN)
Австралия, результаты книг (AU)
Италия, список моих книг (IT)
Испания, список моих книг (ES)
Япония, список моих книг (JP)
Бразилия, книга results (BR)
Мексика, книга результатов (MX)
MERCHANDISE
Купите кружку, футболку и многое другое на официальном сайте для товаров: Mind Your Decisions at Teespring .
6 вещей, которые вы, возможно, не знали о Пи
Сегодня день Пи. Знаете, 14 марта. 14 марта это что-то вроде 3.14. Возьми? Хорошо, это немного натянуто, потому что 3/14 выглядит дробью, а не числом Пи. Что бы ни. Мы до сих пор называем это Днем Пи.
Даже если дата Дня Пи немного странная, Пи по-прежнему довольно крутой. Вот некоторые вещи, которые вы могли не знать о Пи.
Есть много приближений для Pi
Если у вас есть круг, вы можете измерить две вещи: расстояние по периметру круга (окружность) и расстояние по самой широкой части круга (диаметр).Независимо от того, насколько велик ваш круг, отношение длины окружности к диаметру равно числу Пи. Пи — иррациональное число — его нельзя записать в виде небесконечной десятичной дроби. Это означает, что вам нужно приблизительное значение Pi.
Простейшее приближение для числа Пи — всего 3. Да, мы все знаем, что это неверно, но оно, по крайней мере, может помочь вам начать, если вы хотите что-то сделать с кругами. Раньше во многих книгах по математике Пи указывалось как 22/7. Опять же, это всего лишь приближение, но оно лучше, чем значение 3 (на самом деле 22/7 ближе к Пи, чем просто запись 3.14).
Ранняя история математики охватывает множество приближений значения Пи. Наиболее распространенный метод — построить многогранный многоугольник и использовать его для вычисления периметра и диаметра в качестве оценки Pi. В других культурах были найдены способы записать Пи в виде бесконечного ряда, но без компьютера это может быть трудно вычислить очень далеко.
Вы можете вычислить несколько цифр числа Пи
Существует множество методов вычисления числа Пи, но я остановлюсь на самых простых для понимания.Он начинается с функции обратной тангенса. Мы знаем, что арктангенс 1 равен π / 4, и мы можем использовать это для вычисления Pi. Нет, вы не можете просто подключить его к своему калькулятору и получить Пи — это предполагает, что вы уже знаете Пи. Вместо этого нам нужно выполнить разложение обратной касательной в ряд Тейлора.
Основная идея, лежащая в основе серии Тейлора, заключается в том, что любая функция выглядит как степенной ряд, если вы просто сосредоточитесь на одной части этой функции. Используя это, я могу представить арктангенс некоторого значения (x) в виде бесконечного ряда:
Расширение этой функции вокруг точки x = 1 должно быть равно π / 4.Это означает, что для π мы получаем следующее: (примечание: фиксированное уравнение 14.03.16)
Вот и все. Теперь вы можете просто подключиться к этой формуле столько, сколько захотите — или вы можете попросить компьютер сделать это. Вот программа, которая вычисляет первые 10 000 членов ряда (просто нажмите кнопку воспроизведения, чтобы запустить ее):
Видите, это не так уж и сложно для компьютера. Однако вы можете видеть, что даже после 10 000 терминов вычисленное значение по-прежнему отличается от принятого.Это не лучший ряд для вычисления Пи, но я уже говорил об этом ранее.
Вы можете вычислить Пи со случайными числами
Это мое любимое занятие с Пи. Вот идея. Сгенерируйте пары случайных чисел от 0 до 1, чтобы создать случайные координаты x, y. Постройте эти точки на сетке 1 на 1 и вычислите их расстояние до начала координат. Некоторые из них будут иметь исходное расстояние меньше 1, а некоторые больше 1. Точки с расстоянием меньше единицы находятся «внутри круга» — на самом деле это четверть круга.4} xdx} = \ frac {{3 \ pi — 8}} {{32}} \\ \ end {gather} \]
Раздел 4.4: Базовые углы | Precalculus
Опорные уголки
Базовый угол угла является мерой наименьшего положительного острого угла [латекс] t [/ латекс], образованного конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. Таким образом, положительные опорные углы имеют концевые стороны, которые лежат в первом квадранте, и могут использоваться в качестве моделей для углов в других квадрантах.\ circ [/ латекс]
Попробуйте
Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].
Показать решение[латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]
Использование опорных углов
Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.Мы можем найти точное значение триггера для любого угла в любом квадранте, если применим триггерная функция к опорному углу. Знак зависит от квадранта исходного угла.
Значения тригонометрической функции для исходного угла будут такими же, как и для исходного угла, за исключением положительного или отрицательного знака, который определяется значениями x и y в исходном квадранте. На рисунке 3 показано, какие функции в каком квадранте положительны.
Чтобы помочь нам запомнить, какие из шести тригонометрических функций положительны в каждом квадранте, мы можем использовать мнемоническую фразу «Все учащиеся выполняют исчисление». Каждое из четырех слов во фразе соответствует одному из четырех квадрантов, начиная с квадранта I и вращается против часовой стрелки.В квадранте I, который равен « A », ll из шести тригонометрических функций положительны. В квадранте II « S учеников» только s и его реципрокная функция, косеканс, положительны. В квадранте III, « T ake», только угол t и его обратная функция, котангенс, являются положительными. Наконец, в квадранте IV « C alculus» положительны только c осин и его реципрокная функция, секанс.
Рисунок 3
Как: найти тригонометрическое значение для любого угла
- Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
- Примените функцию триггера к опорному углу.
- Установите соответствующий знак, используя приведенную выше таблицу.
Пример 2: Использование опорных углов для поиска синуса и косинуса
- Используя опорный угол, найдите точное значение [латекс] \ cos \ left (150 ^ \ circ \ right) [/ latex] и [latex] \ text {sin} \ left (150 ^ \ circ \ right) [/латекс]. \ circ \ right) [/ latex ].\ circ \ right) = — 2 [/ латекс]
- [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ latex] находится во втором квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ pi- \ frac {3 \ pi} {4} = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Секанс и косеканс [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] равны [latex] \ frac {2} {\ sqrt {2}} = \ sqrt {2} [/ latex]. Во втором квадранте [latex] x [/ latex] отрицательно, а [latex] y [/ latex] положительно, поэтому:
[латекс] \ sec \ frac {3 \ pi} {4} = — \ sqrt {2} \ text {и} \ csc \ frac {3 \ pi} {4} = \ sqrt {2} [/ latex]
Попробуйте
а.\ circ \ right) = — 1 [/ латекс]
б. [латекс] \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) = — \ frac {1} {2}, \ cot \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс]
Пример 5: Использование опорных углов для поиска тригонометрических функций
Используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций [latex] — \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex].
Показать решениеЧтобы найти опорный угол для отрицательного угла, добавляйте [latex] 2 \ pi [/ latex], пока угол не станет положительным: [latex] — \ frac {5 \ pi} {6} +2 \ pi = \ гидроразрыв {7 \ pi} {6} [/ латекс].Этот угол находится в третьем квадранте, поэтому исходный угол равен: [latex] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]. Поскольку [latex] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, синус, косеканс, косинус и секанс будут отрицательными, а тангенс и котангенс положительными.
[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \\ \ tan \ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {3} \\ \ sec \ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ csc \ left ( — \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = — 2 \\ \ cot \ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = \ sqrt {3} \ end {gather} [ / латекс]
Попробуйте
Используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций [latex] — \ frac {7 \ pi} {4} [/ latex]. \ circ [/ latex].\ circ \ right) = \ sqrt {2} \ end {собрано} [/ latex]
Пример 7: Использование единичной окружности для поиска координат
Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [latex] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].
Показать решениеМы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс] находится в третьем квадранте.
Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x . Чтобы найти опорный угол для угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].
[латекс] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]
Затем находим косинус и синус опорного угла:
[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ end {gather} [/ latex]
Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте. Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.
[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \ end {gather} [/ latex]
Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].
Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.
Попробуйте
Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [latex] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].
Показать решение[латекс] \ left (\ frac {1} {2}, — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) [/ latex]
Пример 8: Нахождение точного значения с использованием тангенса
Учитывая, что [латекс] \ tan \ theta = — \ frac {3} {4} [/ latex] и [latex] \ theta [/ latex] находится во втором квадранте, найдите следующее:
- [латекс] \ sin \ left (\ theta \ right) [/ латекс]
- [латекс] \ csc \ left (\ theta \ right) [/ латекс]
- [латекс] \ cos \ left (\ theta \ right) [/ латекс]
- [латекс] \ сек \ влево (\ тета \ вправо) [/ латекс]
- [латекс] \ cot \ left (\ theta \ right) [/ latex]
Если мы нарисуем треугольник, чтобы отразить данную информацию, мы сможем найти значения, необходимые для решения проблем на изображении.{2} \\ c & = 5 \ end {align} [/ latex]
Теперь мы можем нарисовать треугольник, подобный изображенному на рисунке 4.
Рисунок 4
Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, мы можем использовать определения тригонометрии прямоугольного треугольника, чтобы найти ответы:
[латекс] \ begin {gather} \ sin \ left (\ theta \ right) = \ frac {3} {5} \\ \ csc \ left (\ theta \ right) = \ frac {5} {3} \ \ \ cos \ left (\ theta \ right) = — \ frac {4} {5} \\ \ sec \ left (\ theta \ right) = — \ frac {5} {4} \\ \ cot \ left ( \ theta \ right) = — \ frac {4} {3} \ end {gather} [/ latex]
Попробуйте
Учитывая, что [латекс] \ tan \ theta = \ frac {5} {12} [/ latex] и [latex] \ theta [/ latex] находится в квадранте III, найдите следующее:
- [латекс] \ sin \ left (\ theta \ right) [/ латекс]
- [латекс] \ csc \ left (\ theta \ right) [/ латекс]
- [латекс] \ cos \ left (\ theta \ right) [/ латекс]
- [латекс] \ сек \ влево (\ тета \ вправо) [/ латекс]
- [латекс] \ cot \ left (\ theta \ right) [/ latex]
[латекс] \ sin \ left (\ theta \ right) = — \ frac {5} {13}, \ csc \ left (\ theta \ right) = — \ frac {13} {5}, \ cot \ left (\ theta \ right) = \ frac {12} {5} [/ latex],
[латекс] \ cos \ left (\ theta \ right) = — \ frac {12} {13}, \ sec \ left ( \ theta \ right) = — \ frac {13} {12} [/ latex]