Площадь четырехугольника с разными сторонами формула: Площадь четырехугольника — формулы, примеры расчета

Расчёт и формулы площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами, помощь рисунка в вычислениях

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

Содержание:

• Определения и соглашения
• Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами
• Заключение
• Видео

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

1. Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r. 2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

   Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

   Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

   Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

   S = ((a + b+ c + d)/2)*r

   Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

   S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

   Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

   S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. 2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d);

8. S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра

​.

Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

Видео

Разобраться в этой теме вам поможет видео.

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2012-11-13

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге. В статье «Нахождение площади треугольника» я обещал рассмотреть задачи на вычисление площади четырёхугольника, построенного на листе в клетку. Как вы знаете, к четырёхугольникам относятся: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, трапеция, ромб, а также произвольный четырёхугольник (выпуклый или вогнутый).

Мы с вами  рассмотрим единый подход к решению всех типов таких заданий. Вот примеры рисунков из интересующих нас задач:

Фигуры построенные на листе в клетку (1×1 см)

 

 

Фигуры построенные на координатной плоскости

Запомните! Вокруг любого выпуклого четырёхугольника мы можем описать прямоугольник. А далее для решения необходимо воспользоваться всего двумя формулами: площади прямоугольника и  площади треугольника.

Рассмотрим примеры:

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Около данного четырёхугольника описываем прямоугольник:

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников:

Ответ: 51

Рассмотрим пример вогнутого четырёхугольника:

 

Найдите площадь четырёхугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Также описываем прямоугольник, но здесь ещё строим дополнительный отрезок, соединяющий левый верхний угол прямоугольника  с вогнутым углом данного четырёхугольника:

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх треугольников:

Ответ: 31

Если четырёхугольник задан на координатной плоскости, то его легко можно построить на листе в клетку по заданным координатам вершин и применить изложенный выше подход к решению.

Конечно, данный способ нерационален абсолютно для всех задач. Но в вашем арсенале он быть должен, и им владеть необходимо, его удобно использовать во многих задачах

Например, для нахождения представленного четырёхугольника 

целесообразно воспользоваться формулой площади параллелограмма, где основание будет равно 2, а высота 7. Но и представленным способом её также решать можно. 

Напомню формулы площадей фигур, которые необходимо знать:

 

На этом всё. Надеюсь, информация была полезной. В будущем рассмотрим с вами задачи на нахождение площади круга, площади части круга и другие, где используются формулы площади круга и окружности. Также есть ещё один интересный приём, который целесообразно использовать для  нахождение площади четырёхугольников вида (взяты из прототипов задач):

Мы его тоже рассмотрим, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Площади фигур | ЕГЭ-№1Площадь

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Как найти площадь четырехугольника? Определение, примеры, факты

Четырехугольник — это многоугольник, который получается путем соединения четырех вершин, и он имеет четыре стороны и четыре угла. Есть два типа четырехугольников⁠ — правильные и неправильные четырехугольники. Некоторыми примерами четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция и параллелограмм. Площадь многоугольника относится к пространству, занимаемому плоской формой. Это сумма площадей правильного и неправильного треугольников внутри.

Чтобы оценить площадь четырехугольника, мы разделим его на две основные геометрические фигуры, например треугольники. Затем мы находим площади двух отдельных треугольников, используя формулу, и складываем эти площади, чтобы найти площадь четырехугольника.

Мы можем вычислить площади различных типов четырехугольников, используя данную формулу. Для четырехугольника ABCD, если мы используем сантиметр в качестве единицы измерения, единицей измерения площади будет см ²  .

Чтобы вычислить площадь параллелограмма, проведите перпендикуляр из одной из вершин к основанию. Этот перпендикуляр и есть высота. Таким образом, площадь будет произведением основания и высоты.

Чтобы найти площадь ромба, мы разделим четырехугольник на два равных равнобедренных треугольника, используя две диагонали. В данном ромбе ABCD точкой пересечения этих диагоналей является E. Таким образом, площадь ромба равна:

 Площадь прямоугольника с использованием приведенной выше формулы даст произведение двух его смежных сторон, основания и высоты. Мы представляем это как:

Реальное применение четырехугольников и их площади очень полезно в области дизайна, сельского хозяйства и архитектуры. Эта концепция очень полезна при расширенном проектировании навигационных карт, масштабированных с точностью до фактических расстояний и областей.

Площадь четырехугольника, образованного соединением четырех различных точек на карте

1 Площадь параллелограмма с основанием в 5 единиц равна 30 квадратных единиц. Какова высота параллелограмма? 3 единицы 6 единиц 10 единиц 12 единиц Правильный ответ: 6 единиц Площадь параллелограмма равна основанию ✕ высоте. Итак, высота параллелограмма = площадь/основание, т.е. 30 квадратных единиц/5 единиц или 6 единиц. 2 Площадь ромба с диагональю 8 см равна 24 кв.см. Какова длина другой диагонали? 2 см 3 см 4 см 6 см Правильный ответ: 6 см Площадь ромба равна 1/2 ✕ произведения диагоналей. Значит, длина другой диагонали = (2 ✕ площади)/первой диагонали, т. е. (2 ✕ 24 квадратных см)/8 см = 6 см. 3 Какова площадь параллелограмма с основанием 7 см и высотой 8 см? 15 кв. см 28 кв. см 30 кв. см 56 кв. см Правильный ответ: 56 кв. см Площадь параллелограмма равна основанию ✕ высоте, т. е. 7 см ✕ 8 см или 56 квадратных см. 4 Какова площадь ромба с диагоналями 6 единиц и 9 единиц? 15 квадратных единиц 27 квадратных единиц 30 квадратных единиц 54 квадратных единиц Правильный ответ: 27 квадратных единиц Площадь ромба равна 1/2 ✕ произведения диагоналей, /2 ✕ 6 единиц ✕ 9 единиц или 27 квадратных единиц.

Как найти площадь четырехугольника?

Чтобы найти площадь четырехугольника, разделите его диагональю на два треугольника. Затем вычислите площадь каждого треугольника и сложите их.

По какой формуле найти площадь четырехугольника?

Площадь четырехугольника = (1/2) × d × (h2 + h3). Здесь d = диагональ четырехугольника, h2, h3 = высоты треугольников, образованных по обе стороны от диагонали (d)

Какова единица площади четырехугольника?

Единица площади четырехугольника такая же, как и у других фигур, т. е. квадратные единицы длины (квадратный метр, квадратный дюйм и т. д.)

По какой формуле найти площадь особых четырехугольников?

Вот формулы для нахождения площади особых четырехугольников: – Площадь квадрата = сторона × сторона – Площадь прямоугольника = длина × ширина – Площадь параллелограмма = основание × высота – Площадь трапеции = 1/ 2 × (основание1 + основание2) × высота – Площадь ромба = 1/2 × диагональ1 × диагональ2 – Площадь воздушного змея = 1/2 × диагональ1 × диагональ2

Правильные и неправильные четырехугольники.

Определение, примеры

В зависимости от сторон все четырехугольники можно разделить на две группы: правильные и неправильные.

Правильный и неправильный четырехугольник

Что такое правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это тип четырехугольника с четырьмя сторонами одинаковой длины и четырьмя углами равной величины.

Пример : Квадрат — единственный правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник

Что такое неправильный четырехугольник

Неправильный четырехугольник — это тип четырехугольника, имеющий одну или несколько сторон неравной длины и один или несколько углов неравной величины.

Примеры : Прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и воздушный змей являются неправильными четырехугольниками.

Неправильный четырехугольник

Формулы

Площадь правильного четырехугольника

Квадрат — единственный известный нам правильный четырехугольник. Таким образом, для нахождения площади правильного четырехугольника воспользуемся формулой определения площади квадрата. Формула приведена ниже:

Формула

Площадь (A) = a ² , здесь a = сторона

правильный четырехугольник ABCD, длина стороны которого равна 12 м.

Решение:

Как мы знаем,
Область ( A ) = A ² , здесь A = 12 M
= 12 x 12 M ² = 12 M
= 12 X 12 M ² = 2

Площадь неправильного четырехугольника

Поскольку все неправильные четырехугольники различны по форме, мы не можем применить формулу какого-либо конкретного четырехугольника, чтобы найти площадь всех неправильных четырехугольников. Другими словами, у нас нет фиксированной общей формулы, которую можно использовать для всех из них. В таких случаях выполняются следующие шаги:

• Четырехугольник разделен на два треугольника путем проведения диагонали
• Найдите площадь каждого треугольника, используя различные формулы, как описано в нашей статье треугольников
• Добавьте площади двух треугольников

Шаги, хотя и кажутся простыми, иногда могут быть весьма сложными. Давайте возьмем пример, чтобы лучше понять концепции.

Найдите площадь неправильного четырехугольника ABCD, если стороны BC = 6 см, CD = 8 см, DA = 10 см, AB = 12 см и ∠BCD = 120°.

Решение:

Разделим неправильный четырехугольник ABCD на △BCD и △DAB, проведя диагональ BD
Так как мы не знаем высоты ни одного из треугольников BCD и DAB, мы не можем использовать общую формулу ½ x основание x высота , для определения площади треугольников.
Использование закона сторона-угол-сторона (SAS)
Здесь мы будем использовать тригонометрическую функцию ( A ) = ½ x BC x CD x sin C , чтобы вычислить площадь △BCD
A = ½ x 6 x 8 x sin 120°
= ½ x 48 x √3/2 см

2
= 20,78 см ²
Используя закон косинусов
Теперь мы знаем площадь △ BCD, но все еще знаем неизвестна длина диагонали BD. Для этого мы будем использовать Закон косинусов :
c ² = a ² + b ² – 2ab cos C
В △BCD пусть BC = h, CD = a, и BD = t закон
Тогда Косинусов можно записать как
t ² = a ² + h ² – 2ah cos T
t ² = (8 x 8) + (6 x 6) – 2 x 8 x 6 cos см
т ² = 148 см
t = 12,165 см
Теперь мы имеем приблизительную длину диагонали BD, равную 12,165 см неправильного четырехугольника ABCD.
Используя формулу Герона
Зная диагональ четырехугольника ABCD, мы можем теперь вычислить площадь другого сечения четырехугольника, используя формулу Герона.
Поскольку формула Герона зависит от знания полупериметра, для △DAB три стороны равны:
DA = 10 см, AB = 12 см и BD = 12,165 см
Как мы знаем, полупериметр ( с ) = ½ (10 + 12 + 12,165)
= 34,165/2 см
= 17,08 см
Теперь, применяя формулу Герона для расчета площади △DAB,
A = √s (s – a) (s – b) (s – c) , здесь s = 17,08 см, a = 10 см, b = 12,165 см, c = 12 см
= √17,08 x (17,08 – 10) x (17,08 – 12,165) x (17,08 — 12) CM ²
= √17,08 x 7,08 x 4. 915 x 5,08 см ²
= √3019.314 CM ²
= 54,948 см ²
Теперь, чтобы получить область, чтобы получить область, чтобы добраться в зоне. четырехугольника ABCD, нам нужно прибавить площади треугольников BCD и DAB
Следовательно, площадь неправильного четырехугольника ABCD = площадь △BCD + площадь △DAB
= (20,78 + 54,948) см

2
= 75,728 см Назовите четырехугольник с четырьмя равными сторонами, который не является правильным?

Ответ . Не существует такого четырехугольника, у которого четыре равные стороны, но который является неправильным, потому что единственный четырехугольник, у которого четыре равные стороны, — это квадрат, который является правильным четырехугольником.

Q2. Назовите равносторонний четырехугольник, не являющийся правильным?

Ответ . Ромб

Q3. Является ли трапеция правильным четырехугольником?

Ответ . Все четыре стороны трапеции не равны, следовательно, это неправильный четырехугольник.

Q4. Как по-другому называется правильный четырехугольник?

Ответ . Мы обычно называем правильный четырехугольник квадратом.

Q5. Какой четырехугольник является правильным многоугольником?

Ответ . Квадрат

Q6. Сколько осей симметрии имеет правильный четырехугольник?

Ответ . Квадрат, являющийся единственным правильным четырехугольником, имеет четыре оси симметрии.

Q7. Сколько сторон у правильного четырехугольника?

Ответ . Правильный четырехугольник имеет четыре стороны.

Q8. Является ли прямоугольник правильным четырехугольником?

Ответ . Поскольку у прямоугольника равны только противоположные стороны, он не является правильным четырехугольником.

Q9. Является ли ромб правильным четырехугольником?

Ответ . Поскольку у ромба не все четыре угла равны, он не является правильным четырехугольником.