Плоскости построение: Как построить плоскость?

alexxlab / / Разное

Содержание

Как построить плоскость?



Несмотря на обилие программ и онлайн сервисов, ручное построение чертежей сохранит актуальность и через много лет, хотя бы потому, что позволит учащимся качественно усвоить материал. Что нужно знать и уметь в самых суровых условиях?

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно обозначают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как  параллелограммы. Размеры выбираем разумные, при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:

! Все помнят неформальный смысл этих уравнений?

Повторим заодно и неравенства:

– неравенство  (левый чертёж) задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;
– неравенство  

(чертёж посередине) задаёт правое полупространство, включая плоскость ;
– двойное неравенство  (правый чертёж) задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Задача 124

Изобразить тело, ограниченное плоскостями , составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Это задание для самостоятельного решения. Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед. Не забывайте, что невидимые рёбра и грани следует прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце книги.

НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами!
Особенно, если они кажутся простыми

А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Причём, несложный.

Следующую группу плоскостей  условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

1) уравнение вида  (здесь и далее ) задаёт плоскость, проходящую через ось ;
2) уравнение вида  задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида  задаёт плоскость, проходящую через ось .

Задача 125

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения  задают пространственную прямую, лежащую в этой плоскости. Данная прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку  и проводим прямую:

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости  прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой  откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм.

И ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку  из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

 – получено верное неравенство, значит, неравенство  задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Задача 126

Построить плоскости
а) ,        б) .

Это задания для самостоятельного решения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце книги.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Задача 127

Построить плоскость

Решение: в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат.

Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде , из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем  и в «родной» плоскости  начертим обычную «плоскую» прямую .  Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины.

5.1.5. Уравнение плоскости в отрезках

5.1.3. Линейные неравенства в пространстве

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин


Построение плоскости

Зная уравнение плоскости, легко построить саму плоскость. Для этого достаточно найти три какие-либо ее точки, не лежащие на одной прямой. Для того чтобы найти какую-либо точку на плоскости достаточно задать произвольно значения двух координат, а третью найти из уравнения плоскости.

Проще всего определять точки пересечения плоскости с осями координат.

Пусть точки M1, M2, M3 не лежат на одной прямой. Как известно, три такие точки однозначно определяют некоторую плоскость р (рис. 199).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда векторы  M1M>, M1M2>, M1M3>компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (§ 23*, теорема 2). Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, может быть записано следующим образом:

(M1M>, M1M2>, M1M3>) = 0.            (1)

Если точки M1, M2 и M3 заданы координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, то уравнение (1) можно записать в координатах.  Пусть M1(x1; y1; z1), M2(х2; у2; z2), M3(х3; у3; z3) — данные точки. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Найдем координаты векторов, входящих в уравнение (1):

M1M>

 = (х — х1; у — у1; z — z1),

M1M2> = (x2 — x1 ; y2 — y1; z2 — z1),

M1M3> = (x3 — x1; у3 — y1; z3 — z1).

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты векторов . Следовательно, уравнение (1) в координатах имеет вид

        

Уравнение плоскости в отрезках 

где a, b, c

 — величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(Mx, My, Mz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

d = 

|A·Mx + B·My + C·Mz + D|

√A2 + B2 + C2

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

 Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l1 и l2, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Формула для вычисления угла между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α = 

|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|

√A12 + B12 + C1

2√A22 + B22 + C22

Условия перпендикулярности 2х плоскостей.  Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или.

Таким образом, .

Условия параллельности 2х плоскостей. Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы ипараллельны, а значит

Геометрические построения на плоскости — РЦ Гильдия наук

Геометрические построения

  • Post category: