Поиск обратной матрицы онлайн: Обратная матрица онлайн

Содержание

Калькулятор обратной матрицы

Это калькулятор шаблонов для обратной матрицы. Шаблон, который может использоваться LibreOffice онлайн, OpenOffice, офисным пакетом Microsoft (Word, Excel, Powerpoint) или Office 365.

Что такое калькулятор обратной матрицы?

В OffiDocs у нас есть полный офисный пакет, который включает в себя полезные шаблоны, подходящие для всех типов корпоративной работы. Кроме того, вы также можете использовать эти шаблоны в программе по вашему выбору. Итак, у нас есть онлайн-калькулятор обратной матрицы, который доступен для LibreOffice онлайн, OpenOffice и MS Office Suite.

Этот шаблон позволяет вычислять обратную матрицу прямо в удобной для вас программе. Кроме того, вы можете отредактировать шаблон для расчета обратной матрицы. Это дает множество преимуществ, которые помогут вам сэкономить время. Какое бы поле ни требовалось, матрицы могут использовать наш шаблон для мгновенного расчета своих ответов.

Наш шаблон абсолютно бесплатен для использования на платформе OffiDocs. Вам не нужно отдельно загружать какое-либо настольное приложение. Следовательно, вы можете получить доступ к этому замечательному шаблону, если у вас есть Интернет и веб-браузер.

Есть много полезных преимуществ вычисления обратных матриц. Одно из самых больших применений — компьютерная 3D-графика и преобразования. Обратная матрица используется для соединения ряда матриц. Связывание матриц является подходящим и может быть представлено в одном переводе. Кроме того, он также должен быть в состоянии представлять с правильным вращением, перекосом и масштабированием. Все должно присутствовать в одной точке пространства относительно происхождения.

В частности, для трехмерных игр матрицы используются для идентификации точек или треугольников в трехмерном пространстве. В результате все точки будут координироваться в трехмерном пространстве с помощью матрицы. Другими словами, вы применяете матрицу к каждой из точек для перемещения ваших объектов. Мало того, вы можете вращаться, кувыркаться, катиться и делать миллиарды других вещей, которые вы видели в видеоиграх. В заключение, эти комплексные числа — это способ идентифицировать матрицу и создать работающую 3D-анимацию.

Обратная матрица играет решающую роль в обращении или отмене операций, выполняемых матрицами. Это особенно полезно в 3D-анимации, где у вас есть базовая точка. Анимация применяет прямое преобразование к сетке объекта. В результате вы получаете новое положение в трехмерном пространстве, вызванное обратной матрицей.

Особенности и функции

Этот шаблон легко доступен, и вы можете сразу же выполнять свои расчеты. Это один из самых надежных источников для расчета матриц всего за несколько секунд. Ознакомьтесь с его возможностями и функциями, чтобы лучше ознакомиться с шаблоном.

● Шаблон разработан, чтобы помочь пользователям вычислить обратную матрицу. Это полезно для вычислений, связанных с линейной алгеброй.

● Обеспечивает быстрый доступ к добавлению чисел и мгновенному вычислению обратной матрицы.

● Калькулятор обратной матрицы доступен для LibreOffice и OpenOffice непосредственно на сайте OffiDocs.

● Вы можете загрузить этот шаблон, чтобы использовать его в настольной версии Microsoft Excel.

● Доступно все, от пользовательского интерфейса, примера матриц и описания шаблона.

● LibreOffice поддерживает все вычисления, которые вы выполняете с помощью этого шаблона.

● Вы можете найти обратную матрицу с помощью алгоритма Гаусса и сводного поиска в строке.

● Этот шаблон от OffiDocs полезен для разработчиков, специалистов по данным, специалистов в области оптики и даже студентов.

Как скачать шаблон для Excel?

Наша программа доступна бесплатно, и вы можете использовать ее в любое время. Однако есть одна загвоздка: вы должны посетить веб-сайт OffiDoc, чтобы использовать его. Например, если вы работаете над связанным проектом, который требует вычисления обратной матрицы, OffiDoc здесь для вас. Теперь давайте поговорим о том, как вы можете скачать и использовать его.

1. Посетите официальный сайт OffiDocs или нажмите здесь, чтобы перейти на страницу.

2. Если вы находитесь на главной странице, вверху вы увидите строку поиска. Нажмите на нее и введите название шаблона. Убедитесь, что вы вводите правильное имя.

3. Нажмите Enter, и вы увидите шаблон в первом результате.

4. Просто нажмите на него.

5. Теперь вы увидите три варианта использования шаблона. Во-первых, будет возможность скачать шаблон. Скачав шаблон, вы сможете использовать его в электронной таблице Excel за пределами OffiDocs. Во-вторых, есть возможность редактирования с помощью LibreOffice Online. Наконец, это редактирование с опцией OpenOffice Online.

Нажмите на нужный вариант, и сервер OffiDoc откроет шаблон для выбранной вами программы. С другой стороны, если вы выберете вариант загрузки, он просто загрузит шаблон в папку загрузки.

Используйте с LibreOffice

Этот шаблон предлагает возможность вычислить обратную матрицу, используемую в линейной алгебре. Он использует шаблон LibreOffice-CALC с макросом.

Используйте с OpenOffice.

org

Этот шаблон предлагает возможность вычислить обратную матрицу непосредственно из OpenOffice.

Линейная алгебра. Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Поиск обратной матрицы

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Линейная алгебра

Матрицы. Основные понятия.
Действия над матрицами
Поиск обратной матрицы

2. Матрицы. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная
из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.

Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические
выражения, функции и т.д.
a11
a 21
A
a
m1
a12
a 22
am 2
a1n
… a 2n
… amn
…
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,
элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
dim A m n
количество
количество
строк столбцов

3. Матрицы. Основные понятия

Если m n , то матрица называется прямоугольной.
Если m n
порядка).
, то матрица называется
квадратной (n — ного
Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого
порядка, размерностью 1 1 .
Матрица типа 1 n называется матрица-строка:
a
11
a12 a13 … a1n
Матрица типа m 1 называется матрица-столбец:
a11
a 21
…
a
m1

4. Матрицы. Основные понятия

Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы,
расположенные на главной диагонали, равны единице,
остальные – нулю (обозначается буквой Е):
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она
называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.

0 0 0
O 0 0 0
0 0 0

5. Матрицы. Основные понятия

Для каждой квадратной матрицы n — ного порядка существует
определитель n — ного порядка, элементы которого равны
соответствующим элементам матрицы.
a11 a12
A a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
a11
a12
a13
det A a 21 a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
Определитель любой единичной матрицы равен единице.
Если определитель матрицы равен нулю, то
называется вырожденной, в противном случае
невырожденная.
матрица
матрица

6. Действия над матрицами

Равенство матриц
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их
соответствующие элементы равны.
A B
dim A dimB;
1
7
81, 2
3
A
16
3
0
sin(2 1) 45 53
aij bij
1
7
81, 2
3
B
16
3
0
sin(2 1) 45 53

7. Действия над матрицами

Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц
одинакового размера, при этом соответствующие элементы
матриц складываются или вычитаются.

C A B
dim A dimB dimC
c ij aij bij
7 4 1
2 0 1
A 4 3 0 B 1 2 7
3 2 8
4 4 3
9 4 0
C 5 5 7
1 6 5

8. Действия над матрицами

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же
размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.
B k A
dim A dimB; bij aij k
Найти значение выражения: C A 5 B
1 3 2
A
0 1 4
2 4 1
B
5 0 2
3 5 ( 4) 2 5 1 11 17 7
1 5 2
C
0 5 ( 5) 1 5 0 4 5 2 25 1 14

9. Действия над матрицами

Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в
противном случае произведение не существует.
dim A m n
dim B n k
C A B существует
dimC m k
Произведением матрицы A размера [m n] с элементами aij
на матрицу B размера [n k ] с элементами bjq называется
матрица C размера [m k ] с элементами:
n
c iq aij b jq
j 1

10.

Действия над матрицами1 0 2
A
3 1 4
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
1 0 2
A
3 1 4
6 9 1
14 24 4
Найти С = A * B
dim A 2 3
dimB 3 3
c12 1 5 0 1 2 2
c11 1 0 0 2 2 3
c13 1 1 0 1 2 0
6 9 1
C
14 24 4
cc22 33 5 1 11 1
44 20
1
c 21 3 023 1 2 4 3

11. Действия над матрицами

Свойства операции произведения матриц:
A BC AB C ;
2) AB A B ;
3) A B C AC BC ;
1)
4) В общем случае для произведения матриц не действует
переместительный закон: A B B A
иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда
АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными.
5) Единичная матрица является коммутативной для любой
квадратной матрицы того же порядка:
EA AE A
6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение
определителей равно определителю произведения .
det A det B det AB

12. Действия над матрицами

Нахождение обратной матрицы
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n — ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.

Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами

13. Действия над матрицами

0 3 1
0 3 1
0 3 1
2 1
4
(
1
)
2
2
1
0
det
A
2
4
1
A 2 4 1
2 2

2 2 0
2 2 0
2 2 0
0 2 2 Из второй -2
T
A 2
A 3 4 строки
2 вычтем
строку
1 1 первую
0
-4
2 -1
Разложим
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца
6 -6
4 2
A 11 3 2
( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20 ( 1) 2
2 23
2 2 ( 4 1( 4) (
A 21 A
)14)2 1
0
A
2
1 0( 1)5 6
1
A
13
0
2
AA
(
1
)
4
1 320.

5
11) 1 62 1
12 101 (21
31 22
A
(
1
)
6
3 2
1 4331 2 03 4
1
1
A 2 2
2 1 1
2
2
3
3
4
6
6

English Русский Правила

Поиск обратной матрицы – интерактивные инструменты для работы с числами

Создание номеров Numberwang

Создание списка номеров Numberwang.

Создание магических чисел

Создание списка аккуратно выглядящих чисел.

Нарисовать магический квадрат

Создать матрицу чисел, в которой строки и столбцы имеют одинаковую сумму.

Переписать числа

Учитывая числа и грамматику, рекурсивно переписать их.

Создание числа с плавающей запятой

Создание числа из мантиссы, основания и экспоненты.

Визуализация числа с плавающей запятой

Показать, как число fp представляется в компьютере.

Преобразование числа в экспоненциальную запись

Преобразование числа в формат a×10^b.

Преобразование научной записи в число

Преобразование числа в научной записи в обычное число.

Создать унарную нумерацию

Создать список унарных чисел (1, 11, 111, 1111, …).

Создать символьную нумерацию

Создать список буквенных чисел (a, b, c, …, z, aa, ab, …).

Создать римскую нумерацию

Создать список римских цифр (i, ii, iii, iv, v…).

Создать нумерацию Брайля

Создать список цифр Брайля (⠂, ⠆, ⠒, ⠲, ⠢, …).

Создание случайных двоичных чисел

Создание списка случайных двоичных чисел.

Создание случайных восьмеричных чисел

Создание списка случайных восьмеричных чисел.

Генерация случайных десятичных чисел

Создать список случайных десятичных чисел.

Создание случайных шестнадцатеричных чисел

Создание списка случайных шестнадцатеричных чисел.

Вычислить текущую сумму

Вычислить кумулятивную сумму списка чисел.

Вычислить текущую разницу

Вычислить кумулятивную разницу списка чисел.

Вычисление текущего произведения

Вычисление кумулятивного произведения списка чисел.

Расчет числового коэффициента

Разделите два числа и найдите их частное.

Вычислить числовое частное

Разделить цифры заданного числа.

Вычислить факториал

Найти факториал числа.

Создание числовых анаграмм

Создание одной или нескольких числовых анаграмм.

Создание числовых биграмм

Создание списка цифровых биграмм из числа.

Создание числовых триграмм

Создание списка цифровых триграмм из числа.

Генерация числовых N-грамм

Создание списка цифровых nграмм из числа.

Создание полиномиальной последовательности

Создание списка чисел полиномиальной прогрессии.

Создание префиксов СИ

Создание списка префиксов метрик.

Анализ числа

Сообщить, сколько цифр встречается сколько раз.

Преобразование числа в порядковое

Преобразование количественного числительного в порядковое.

Преобразование порядкового номера в число

Преобразование порядкового числа в кардинальное.

Преобразование числа в римское число

Преобразование арабских цифр в римские.

Преобразование римских чисел в обычные числа

Преобразование римских цифр в арабские.

Создание чисел Негафибоначчи

Вычисление серии расширенных чисел Фибоначчи.

Генерация простых чисел Фибоначчи

Поиск чисел, которые являются одновременно числами Фибоначчи и простыми числами.

Тест числа Фибоначчи

Проверить, является ли число числом Фибоначчи.

Проверка простых чисел Фибоначчи

Проверяет, является ли число одновременно числом Фибоначчи и простым числом.

Построить слова Фибоначчи

Создать последовательность слов Фибоначчи.

Создать слова Трибоначчи

Создать последовательность слов Трибоначчи.

Создать слова Тетраначчи

Создать последовательность слов Тетраначчи.

Создать слова Пентаначчи

Создать последовательность слов Пентаначчи.

Генерировать числа Негалука

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Генерировать простые числа Лукаса

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Lucas Prime Test

Проверить, является ли число одновременно числом Лукаса и простым числом.

Генерация чисел Мозера де Брюйна

Вычисление последовательности чисел Мозера-Брейна.

Сгенерировать числа Колакоски

Вычислить последовательность чисел Ольденбургера-Колакоски.

Сгенерировать числа Стэнли

Вычислить последовательность чисел Стэнли.

Генерировать числа Гийсвейта

Вычислить последовательность самоописывающих чисел Гийсвейта.

Сгенерировать числа Рудина-Шапиро

Вычислить последовательность чисел Русина-Шапиро.

Генерация чисел Баума-Свита

Вычисление последовательности чисел Баума-Свита.

Генерация последовательности Туэ-Морса

Вычисление членов ряда чисел Туэ-Морса.

Создание идеальных чисел

Создание списка совершенных чисел.

Создание почти идеальных чисел

Создание списка почти идеальных чисел.

Создать последовательность избыточных чисел

Вычислить последовательность избыточных чисел.

Создать последовательность неполных чисел

Вычислить последовательность неполных чисел.

Вычислить числа Dragon Curve

Сгенерировать список порядковых номеров складывания бумаги.

Создать составные числа

Создать список чисел, которые не являются простыми.

Нарисовать число на ЖК-дисплее

Создать ЖК-дисплей, отображающий заданное число.

Нарисовать таблицу чисел

Создать таблицу чисел.

Проверить, является ли число совершенным

Проверить, является ли заданное число совершенным числом.

Проверить, является ли число обильным

Проверить, является ли данное число обильным числом.

Проверить, является ли число недостаточным

Проверить, является ли данное число недостаточным.

Вычислить модуль

Найти модуль числа.

Группировка цифр числа

Группировка цифр числа.

Разделить число на цифры

Создать список цифр из числа.

Printf Numbers

Применение функций sprintf или printf к числам.

Создайте номера Zalgo

Позвольте Zalgo уничтожить ваши номера.

Повторить цифру

Повторить число несколько раз.

Зеркальное отображение номера

Создание зеркальной копии номера.

Дополнение числа нулями

Добавление нулей к числу.

Пользовательское дополнение числа

Добавление пользовательских символов к числу.

Обратный порядок цифр

Обратный порядок цифр в числе.

Поворот числа

Циклический поворот цифр числа влево или вправо.

Увеличение числа

Добавить единицу к заданному числу.

Увеличить все цифры в числе

Добавить единицу к каждой цифре в числе.

Уменьшить число

Вычесть единицу из заданного числа.

Уменьшить все цифры в числе

Вычесть единицу из каждой цифры в числе.

Находить закономерности в числах

Находить закономерности в последовательностях чисел.

Подсчет числа вхождений

Узнайте, как часто появляются числовые значения.

Расчет процентов

Найти x% числа.

Создание пользовательских номеров

Создание номеров произвольной длины и свойств.

Распечатать Google

Распечатать номер Google/Google, равный 10¹⁰⁰.

Создание больших чисел

Создание списка больших чисел.

Создание малых чисел

Создание списка малых чисел.

Создание натуральных чисел

Создание списка натуральных чисел.

Создание рациональных чисел

Создать список рациональных чисел.

Создать последовательность констант

Создать серию чисел, в которой все термины одинаковы.

Создание действительных чисел

Создание последовательности действительных чисел.

Создание комплексных чисел

Создание списка комплексных чисел.

Создание двоичных чисел

Создание последовательности двоичных чисел.

Создание пар чисел

Создание последовательности пар чисел.

Создание троек чисел

Создание последовательности троек чисел.

Создание кортежей чисел

Создание последовательности n-кортежей чисел.

Создать короткий номер

Создать номер с небольшим количеством цифр.

Создать длинный номер

Создать номер с большим количеством цифр.

Переплетение чисел

Переплетение двух или более чисел поразрядно.

Найти десятичное расширение числа

Переписать число в десятичном представлении.

Преобразование дроби в десятичную

Преобразование дроби в десятичное число.

Преобразование десятичного числа в дробь

Преобразование десятичного числа в дробь.

Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием восемь.

Преобразование двоичного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием два в число с основанием десять.

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное число

Преобразование числа с основанием два в число с основанием шестнадцать.

Преобразование восьмеричного числа в двоичное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием два.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием десять.

Преобразование восьмеричного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием шестнадцать.

Преобразование десятичного числа в двоичное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием два.

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Преобразование десятичного числа в восьмеричное.

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием шестнадцать.

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием два.

Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием восемь.

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием десять.

Преобразование любого числа в любое основание

Преобразование любого числа в любом основании в любое другое основание.

Изменение мантиссы числа

Изменение значения числа.

Изменить показатель степени числа

Изменить степень числа.

Замена цифр буквами

Замена цифр в числе буквами алфавита.

Создание спирали чисел

Создание спирали из цифр числа.

Создать числовой круг

Сформировать круг из цифр числа.

Создать числовое дерево

Сформировать дерево из заданных чисел.

Создание дерева цифр числа

Создание дерева из цифр числа.

Удалить десятичную точку

Удалить десятичный разделитель из десятичного числа.

Добавить ошибки в числа

Изменить числа, чтобы они были почти одинаковыми, но содержали ошибки.

Изменить шрифт номера

Пишите числа другим шрифтом.

Генерация жирных чисел

Пишите числа жирным шрифтом.

Создание подчеркнутых чисел

Запись чисел с подчеркиванием под ними.

Генерация зачеркнутых чисел

Напишите зачеркнутые числа.

Создание надстрочных чисел

Запись чисел надстрочным шрифтом.

Генерировать подстрочные номера

Пишите числа подстрочным шрифтом.

Создать поддельные номера

Заменить цифры в номере на двойники Unicode.

Возмущенные числа

Немного измените данные числа.

Возмущенные цифры числа

Немного измените цифры данных чисел.

Найти энтропию числа

Вычислить сложность (энтропию) числа.

Проверка числа Numberwang

Проверка, является ли данный номер числом numberwang.

Найти обратную матрицу

В этом уроке мы опишем метод нахождения обратный любого квадрата матрица; и мы демонстрируем метод шаг за шагом с примерами.

Предпосылки : Этот материал предполагает знакомство с элементарные матричные операции и ступенчатые преобразования.

Как найти обратное число

n x n Матрица

Пусть A будет n x n матрица. Чтобы найти обратной матрицы A , мы выполняем следующие шаги:

Используя элементарные операторы, преобразовать матрицу A в ее эшелонированная форма уменьшенного ряда, A _rref .
Осмотрите A _rref, чтобы определить, матрица A имеет обратную.
- Если A _rref равно единичная матрица, затем матрица А есть полный ранг; а матрица A
  имеет обратную.
- Если последняя строка A _rref все нули, то матрица А не является полный ранг; и матрица A не имеет обратной.
Если A имеет полный ранг, то обратная матрица A равно произведению элементарных операторов что произвело A _rref, как показано ниже.

А ^-1 = Е _р Е _р-1 . . . E ₂ E ₁

где

A ^-1 = матрица, обратная A
r = Количество элементарных операций над строками, необходимых для преобразовать

A в А _rref
E _i = i оператор элементарной строки используется для преобразования A в A _rref

Обратите внимание, что порядок умножения элементарных операторов строк важно, потому что E _i E _j не обязательно равно E _j E _i .

Пример нахождения обратной матрицы

Воспользуемся описанным выше методом, чтобы найти обратную матрицу A , показанный ниже.

А =

1	2	2
2	2	2
2	2	1

Первым шагом является преобразование матрицы A в ее эшелонированная форма уменьшенного ряда, A _rref , используя ряд элементарные операторы строк Е _я . Мы показываем трансформацию шаги ниже для каждого оператора элементарной строки.

Умножьте строку 1 числа A на -2 и прибавьте результат в строке 2 A . Этого можно добиться путем предварительного умножения на на оператор элементарной строки E ₁ , который производит A ₁ .

E ₁ =

1	0	0
-2	1	0
0	0	1

А ₁ = Е ₁ А =

1	2	2
0	-2	-2
2	2	1

Умножьте строку 1 из A ₁ на -2 и добавьте результат в строке 3 из A ₁ .

E ₂ =

1	0	0
0	1	0
-2	0	1

А ₂ = Е ₂ А ₁ =

1	2	2
0	-2	-2
0	-2	-3

Умножьте строку 3 числа A ₂ на -1 и прибавьте ряд 2 A ₂ по ряд 3 из A ₂ .

E ₃ =

1	0	0
0	1	0
0	1	-1

А ₃ = Е ₃ А ₂ =

1	2	2
0	-2	-2
0	0	1

Добавить строку 2 из A ₃ в ряд 1 из A ₃ .

E ₄ =

1	1	0
0	1	0
0	0	1

A ₄ = E ₄ A ₃ =

1	0	0
0	-2	-2
0	0	1

Умножьте строку 2 из A ₄ на -0,5.

E ₅ =

1	0	0
0	-0,5	0
0	0	1

A ₅ = E ₅ A ₄ =

1	0	0
0	1	1
0	0	1

Умножить строку 3 из A ₅ на -1 и добавьте результат во вторую строку A ₅ .

E ₆ =

1	0	0
0	1	-1
0	0	1

A _rref = E ₆ A ₅ =

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Примечание: Если приведенные выше операции и/или обозначения непонятны, просмотрите элементарные матричные операции и ступенчатые преобразования.

Последняя матрица на шаге 6 приведенной выше таблицы: A _rref , уменьшенная форма эшелона ряда для матрица А . С А _{номер по каталогу} равно единичной матрице, мы знаем, что A есть полный ранг. И поскольку A имеет полный ранг, мы знаем, что A имеет обратную.

Если A меньше полного ранга, _rref будет иметь все нули в последней строке; и У не было бы обратный.

Находим обратную матрицу A путем вычисления произведения элементарных операторов что произвело A _rref, как показано ниже.

А ^-1 = E ₆ E ₅ E ₄ E ₃ E ₂ Е ₁

А ^-1 =

-1	1	0
1	-1,5	1
0	1	-1

В этом примере мы использовали матрицу 3 x 3, чтобы показать, как найти обратную матрицу. Тот же процесс будет работать с квадратной матрицей любого размера.

Проверьте свои знания

Задача

Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.

А =

	1	0
	2	2

Решение

Первым шагом является преобразование матрицы A в ее эшелонированная форма уменьшенного ряда, A _rref , с использованием элементарные операторы строк E _i выполнить элементарные операции со строками, как показано ниже.

Умножьте строку 1 числа A на -2 и прибавьте результат в строке 2 A .