Показательные неравенства и способы их решения: Показательные неравенства | ЮКлэва

Содержание

Решение показательных неравенств

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. {n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. {5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

  1. Простейшие показательные уравнения
  2. Преобразование показательных уравнений
  3. Сравнение дробей
  4. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
  5. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
  6. Задача B4: строительные бригады

Показательные неравенства. Как решать показательные неравенства?

Примеры:

\(4^{x}\geq32\)

\(5^{2x-1}-5^{2x-3}≤4,8\)

\((\sqrt{7})^{2x+2}-50(\sqrt{7})^{x}+7>0\)

Как решать показательные неравенства?

Нужно стремиться свести неравенство к виду: \(a^{f(x)}\) \(˅\) \(a^{g(x)}\) (\(˅\) означает любой из

знаков сравнения) – это позволяет избавиться от оснований и сделать переход к виду \(f(x) ˅ g(x)\). {\log_{0,2}{4}}\)

 

Избавимся от оснований с переменой знака т.к. \(0,2<1\)

\(-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}\)

 

\(\log_{0,2}{⁡4}\) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство.
Будем выражать \(x\), для этого перенесем \(4\) в правую часть

\(-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4\)

 

Поделим обе части на \(-7\)

\(x≥\) \(\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)

Ответ: \(x∈\)\([\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)\(;∞)\) 
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают. x>-5\) будет любое число: \(x∈(-∞;∞)\).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства

Урок 23. показательные неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №23. Показательные неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • простейшие показательные неравенства;
  • решение показательных неравенств замена переменной, разложение на множители;
  • метод рационализации при решении показательных неравенств;
  • метод интервалов при решении показательных неравенств;
  • графический метод решения показательных неравенств.

Глоссарий по теме

Показательным называется неравенство, в котором переменная входит только в показатели степеней, при постоянном основании.

Неравенства вида , называются простейшими показательными неравенствами.

Метод рационализации для решения показательных неравенств – переход от неравенства, содержащего показательные выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных неравенств).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е.,  Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 216220, 223-230.

Дополнительная литература:

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.

Открытые электронные ресурсы:

https://ege. sdamgia.ru/ — решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам

http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Рассмотрим показательные неравенства.

Показательным называется неравенство, в котором переменная входит только в показатели степеней, при постоянном основании.

Неравенства вида , называются простейшими показательными неравенствами.

В самом простом случае неравенство принимает вид: . Очевидно, что знак неравенства может быть любым (<, >, , ).

Множество решения неравенства будет зависеть и от знака неравенства, и от основания степени, и от значения b.

Так как множество значений показательной функции – множество положительных чисел, то при неравенства: и решений не имеют, независимо от значения основания а. В то же время множеством решения неравенств и является все множество действительных чисел, независимо от значения основания а (см. Рисунок 1).

Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства при b<0

Теперь рассмотрим случай b>0, a>1.

В том случае, когда основание степени a>1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства не изменяется (см. Рисунки 2 и 3).

Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства или при b>0, a>1.

Рисунок 3 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства или при b>0, a>1.

Теперь рассмотрим случай b>0, 0<a<1.

В том случае, когда основание степени 0<a<1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства изменяется на противоположный (см. Рисунки 4 и 5).

Рисунок 4 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства или при b>0, 0<a<1.

Рисунок 5 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства илипри b>0, 0<a<1.

Для того чтобы решить простейшее показательное неравенство , нужно число b представить в виде степени числа a.

Рассмотрим пример: .

Представим в виде степени числа 5: .

Теперь перепишем данное неравенство в виде: .

Так как основание степени больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется, поэтому x>3/7.

Ответ: x>3/7.

Рассмотрим еще один пример: .

Перепишем его в виде

.

Так как основание степени меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства изменяется на противоположный:

,

,

.

Ответ: .

2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных неравенств.

2.1) Рассмотрим пример: .

Преобразуем показатель первого слагаемого: .

Теперь в левой части вынесем за скобку общий множитель: .

Разделим обе части неравенства на 4: . Получили простейшее показательное неравенство. Так как основание степени больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется, получаем: . Решение этого неравенства является полуинтервал (0; 1].

Ответ: (0; 1].

2.2) Рассмотрим еще один пример: .

Заметим, что , поэтому введем новую переменную . Получим вспомогательное неравенство: .

Решим его:

.

Вернемся к исходной переменной:

, .

Так как основание степени меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства изменится на противоположный:

.

Ответ: .

2.3) Рассмотрим еще одной показательное неравенство, которое решается методом замены переменной.

.

Видим, что неравенство зависит от выражения , поэтому введем новую переменную и запишем вспомогательное неравенство: .

Преобразуем полученное неравенство к виду: F(t)<0.

, приведем левую часть к общему знаменателю:

, . Так как , то , поэтому решение полученного неравенства сводится к: , то есть . ((x+5)/(x+2))

Решение:

Используем метод рационализации и перепишем неравенство в виде:

,

.

Получили неравенство: .

Упростим его и решим методом интервалов:

,

.

Запишем ответ: .

Ответ: .

Сложные показательные неравенства и способы их решения. Решение показательных уравнений и неравенств

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = а b , где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а х 1 = а х 2 , то х 1 = х 2 .

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х 1 = х 2 не выполняется, т.е. х 1 1, то показательная функция у = а х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а х 1 а х 2 . В обоих случаях мы получили противоречие условию а х 1 = а х 2 .

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение 4 ∙ 2 х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 , откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Решить уравнение 2 3х ∙ 3 х = 576.

Решение.

Так как 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 х ∙ 3 х = 24 2 или в виде 24 х = 24 2 .

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Решить уравнение 3 х+1 – 2∙3 х — 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 х — 2 ∙ 25 = 25,

откуда 3 х — 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Решить уравнение 3 х = 7 х.

Решение.

Так как 7 х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3 х /7 х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Решить уравнение 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3 х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а 2 – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а 1 = 9, а 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.

Уравнение 3 х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а х > а b или а х показательной функции.

Рассмотрим некоторые задачи.

Решить неравенство 3 х

Решение.

Запишем неравенство в виде 3 х 1, то функция у = 3 х является возрастающей.

Следовательно, при х

Таким образом, при х 3 х

Ответ. х

Решить неравенство 16 х +4 х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4 х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t 1.

Так как t = 4 х, то получим два неравенства 4 х 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4 х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4 х > 4 0 , откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Графически решить уравнение (1/3) х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х 1 и х

Ответ. х = 1.

Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х 1.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств

1. Определение и свойства показательной функции

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция — это функция вида , где основание степени и Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:

Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни:

Ветви параболы направлены вверх.

Таким образом, имеем решение неравенства:

Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:

Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:

Напомним методику решения таких неравенств.

Рассматриваем дробно-рациональную функцию:

Находим область определения:

Находим корни функции:

Функция имеет единственный корень,

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Таким образом, получили ответ.

Ответ:

3. Решение типовых показательных неравенств

Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.

Одно из свойств показательной функции — она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

Проиллюстрируем решение:

На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:

Приведем подобные члены:

Разделим обе части на :

Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

4. Графическое решение показательных неравенств

Пример 6 — решить неравенство графически:

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.

Функция — экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Функция — линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()

Несложно заметить, что корнем данной системы является :

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Просвещение.

Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство.

а x = b — простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.

Решение показательных уравнений

Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b

Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a x = a c .

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.

Представим 25 как 5 2 , получим:

5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .

Или что равносильно:

x 2 — 2*x — 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:

t 2 — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)

Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)

Получим: 7 — 3*x>-2.

Отсюда: х

Ответ: х

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

основные способы. Определение показательных уравнений

На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств

1. Определение и свойства показательной функции

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция — это функция вида , где основание степени и Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:

Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни:

Ветви параболы направлены вверх.

Таким образом, имеем решение неравенства:

Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:

Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:

Напомним методику решения таких неравенств.

Рассматриваем дробно-рациональную функцию:

Находим область определения:

Находим корни функции:

Функция имеет единственный корень,

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Таким образом, получили ответ.

Ответ:

3. Решение типовых показательных неравенств

Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.

Одно из свойств показательной функции — она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

Проиллюстрируем решение:

На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:

Приведем подобные члены:

Разделим обе части на :

Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

4. Графическое решение показательных неравенств

Пример 6 — решить неравенство графически:

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.

Функция — экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Функция — линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()

Несложно заметить, что корнем данной системы является :

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Просвещение.

Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство.

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .

Основные свойства показательной функции y = a x :

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента :

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: x = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 a a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

t , находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.


Сергей Валерьевич

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

Что является обязательным при решении системы показательных уравнений ? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений.

Примеры.

Решить системы уравнений:

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2 х +2 x +2 =10, применяем формулу: a x + y =a x a y .

2 x +2 x ∙2 2 =10, вынесем общий множитель 2 х за скобки:

2 х (1+2 2)=10 или 2 х ∙5=10, отсюда 2 х =2.

2 х =2 1 , отсюда х=1 . Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

Решение.

Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2 , а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5 .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5 .

Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.

Находим у .

Ответ: (2; 1,5).

Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v .

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v 2 +63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v 1 +v 2 =-63; v 1 ∙v 2 =-64.

Получаем: v 1 =-64, v 2 =1. Возвращаемся к системе, находим u.

Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4 x =-1 и 4 y =-64 решений не имеют.

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

    Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

    Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

    Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

    Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах. {\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\}

Показательные уравнения и неравенства — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете
  • Зачем показательная функция смотрится в зеркало?
  • Возможна ли дружба в математике?
  • Как поменять знак неравенства всего одним действием?

Оценка за тест зависит от набранных баллов, а они зависят от количества и качества ответов. Цена билета в развлекательный центр может меняться от времени суток или дня недели. Погода в городе напрямую связана со временем года, географическим положением, температурой воздуха, влажностью, осадками и  многими другими факторами. Функция в математике показывает нам зависимость одной переменной от другой. Об этом подробнее поговорим в статье.

Показательная функция и её основные свойства

Что же нам дает знание о характере этой зависимости?

Показательная функция — это функция, у которой неизвестная находится в показателе.

 Она выглядит следующим образом:

y=ax, где 

a > 0 и a ≠ 1

Посмотрим на обозначения элементов в показательной функции:

Зачем показательная функция смотрится в зеркало?

Рассмотрим промежутки, которым может принадлежать a.
При 0 < a < 1 и a > 1 показательные функции отличаются. Графики функций выглядят зеркально друг другу, если основание степени одной из них b, а второй

\frac{1}{b}
Например:

Рассмотрим функции с разными основаниями подробней.

Функция y=ax, при a >1

Основные свойства функции:
1) Область определения
D(y)=(-∞;+∞)
2) Множество значений функции
Е(y)=(0;+∞)
3) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
4) Функция возрастает.
5) Функция непрерывна.

Рассмотрим функции с разными основаниями подробней.

Функция y=ax, при 0 < a < 1

Основные свойства функции:
1) Область определения
D(y)=(-∞;+∞)
2) Множество значений функции
Е(y)=(0;+∞)
3) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
4) Функция убывает.
5) Функция непрерывна.

Повторение свойств степеней

Прежде чем переходить к показательным уравнениям, давайте вспомним свойства степеней. Их можно применять для преобразований во время решения.

Методы решения показательных уравнений

Показательное уравнение – это уравнение, где неизвестная находится в показателе степени. 

Если неизвестная содержится и в показателе степени, и в основании, уравнение также считается показательным.

Пример показательного уравнения: 54x-2 = 25.

Методы решения показательных уравнений:

  • графический метод;
  • метод уравнивания показателей;
  • метод введения новой переменной; 
  • метод вынесения общего множителя;
  • метод группировки;
  • метод умножения/деления на показательную функцию.
  1. Графический метод

Этот метод заключается в рассмотрении левой и правой частей уравнения, как отдельных функций, и изображении их на плоскости. Данный метод в некоторых случаях может оказаться неточным. Поэтому его лучше использовать для нахождения количества решений, а сами значения находить другим методом. 

Решим следующее уравнение:

0,5x+2 = x+5

Разделим его на отдельные функции: 

Изобразим их на плоскости и найдем точку пересечения, именно она и будет решением данного уравнения.

Точка пересечения имеет координаты (-1;4). В ответ выпишем х=-1.

  1. Метод уравнивания показателей

Этот метод заключается в представлении обеих частей уравнения в виде степени с одинаковыми основаниями и приравниванию показателей степеней

Рассмотрим на примере:

2x⋅3x = 36

Воспользуемся свойством степеней для левой части и приведем к такому виду:

6x = 36

Запишем левую часть как степень с основанием 6:

6x = 62

Перейдем к равенству степеней и найдем х:

x = 2

  1. Метод введения новой переменной

Чтобы решить уравнение данным методом, нужно принять повторяющееся выражение за переменную и решить относительно нее, а после сделать обратную замену. Нельзя забывать про обратную замену, потому что значение введенной переменной не равно значению изначальной переменной.

Возможна ли дружба в математике? 

Можно представить, что повторяющееся выражение и новая переменная – это лучшие друзья . Когда появляются затруднения с решением уравнения, подружка повторяющегося выражения прибегает и заменяет его до того момента, пока у уравнения не будут найдены корни. Затем они снова меняются.

Решим следующее уравнение:

22x-2⋅2x+6 = 5

Соберем все слагаемые слева

22x-2⋅2x+1 = 0

Разложим каждое слагаемое на множители:

2x⋅2x-2⋅2x+1 = 0

Заметим, что 2x можно заменить. Пусть t = 2x, t > 0, тогда уравнение можно записать следующим образом:

t2-2t+1 = 0

Решим его относительно новой переменной:

(t-1)2 = 0

t = 1

Найденное значение подходит под условие t > 0, сделаем обратную замену:

2x = 1

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

2x = 20

 Приравняем показатели степеней и найдем х:

x = 0

  1. Метод вынесения общего множителя

Этот метод заключается в вынесение общего множителя за скобку.

Рассмотрим на примере:

6x-3x = 0

Разложим первое слагаемое на множители:

3x⋅2x-3x = 0

Вынесем общий множитель за скобку:

3x(2x-1) = 0

Так как произведение равно нулю, один из множителей должен равняться нулю. Перейдем к совокупности уравнений:

Так как показательная функция всегда больше 0, то у первого уравнения не будет решений. Из второго уравнения х = 0, значит, единственным решением данного уравнения будет х = 0.

  1. Метод группировки 

Заключается этот метод во взятии слагаемых в скобки с последующим упрощением.

Давай решим такое уравнение:

x⋅5x-5x-3⋅5x+15 = 0

Заметим, что, сгруппировав 1 и 3 слагаемые и 2 и 4 слагаемые и вынося общий множитель за скобки, получаем одинаковые скобки:

(x⋅5x-3⋅5x)-(5x-15) = 0

5x(x-3)-5(x-3) = 0

Вынесем за скобку общий множитель (х — 3):

(5x-5)(x-3) = 0

Перейдем к совокупности уравнений:

Решим уравнения и получим х = 1 и х = 3. x} = 0

Для упрощения уравнения умножим каждое слагаемое на 5x и получим:

2x⋅5x-1 = 0

Воспользуемся свойством степеней для первого слагаемого, а второе перенесем вправо:

10x = 1

Представим справа степень с основанием 10:

10x = 100

Приравняем степени и получим ответ:

x = 0

Также можно делить все слагаемые на показательную функцию для упрощения уравнения. Это допустимо, только если эта функция точно не равна нулю, так как на ноль делить нельзя.

Показательные неравенства и методы их решения

Показательное неравенство – это неравенство, у которого переменная находится в показателе степени.

Самый простой вид показательного неравенства: 

ax > y , где a и y – числа

Неравенства видов  af(x) > y и af(x) > ag(x) называются простейшими показательными неравенствами.

Особые случаи:
  • af(x) < y при y ≤ 0 не имеет решений, так как число больше нуля в степени всегда больше 0;
  • af(x)>y при y ≤ 0, в таком неравенстве множеством решений является множество действительных чисел, так как:
    • число больше нуля в степени всегда положительное, 
    • положительное число больше отрицательного.

Давайте вспомним, как сравниваются показатели степеней с основаниями от 0 до 1 и основаниями больше 1.

Если основание от 0 до 1, то при переходе к неравенству степеней знак меняется на противоположный, а если основание больше 1, тогда при переходе знак остается прежним.

Как поменять знак неравенства всего одним действием?

При делении или умножении каждой части неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Например: 
2x-1 > -3 | : (-1) 
-2x+1 < 3

Методы решения показательных неравенств

Для решения показательных неравенств можно использовать те же методы, что и для решения уравнений, но с некоторыми изменениями. Они коснутся графического метода, метода уравнивания показателей и метода умножения/деления на показательную функцию.

  1. Графический метод

Теперь используя этот метод нужно закрашивать нужную область.

Рассмотрим такое неравенство:

2x ≥ -x+3

Запишем функции:

y = 2x

y = -x+3

Изобразим их на графике:

Так как первая функция больше или равна второй, выделим промежуток на графике, где график первой функции выше графика второй

В ответ получим промежуток [1;+∞).

  1. Метод уравнивания показателей 

Данный метод будет записан по-разному для возрастающей и убывающей показательных функций.

af(x) < ag(x), где a > 1   ⬄   f(x) < g(x)
af(x) < ag(x), где 0 < a < 1   ⬄   f(x) > g(x)

     3, 4, 5 методы работают без изменений. {-2}

  1. Перейдем к неравенству степеней, поменяем знак уравнения, так как основание принадлежит промежутку от 0 до 1 

x ≤ -2

Ответ: (-∞; -2].

Фактчек
  • Вид показательной функции  y=ax, где a > 0 и a ≠ 1.
  • При 0 < a < 1 показательная функция убывает, а при a > 1 показательная функция возрастает.
  • Показательное уравнение или неравенство – это уравнение или неравенство, где неизвестная находится в показателе степени.
  • Методы решения показательных уравнений и неравенств: 
    • графический метод;
    • метод уравнивания показателей;
    • метод введения новой переменной;
    • метод вынесения общего множителя; 
    • метод группировки;
    • метод умножения/деления на показательную функцию.
  • Если основание степени в неравенстве от 0 до 1, то при переходе к неравенству степеней знак меняется на противоположный.
  • При умножении/делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. x ≤ 8
    1. -3
    2. (-3; 3)
    3. (-∞; -3]
    4. [-3; +∞)

    Задание 5.

    Решите неравенство 3x+2-9x ≥ 0

    1. [2; +∞)
    2. (-∞; 2)
    3. (-∞; 2]
    4. 2

    Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 4; 5. — 3.

    Использование логарифмов для решения показательных уравнений и неравенств

    Использование логарифмов для решения показательных уравнений и неравенств — Precalculus

    —>

    • Войти
    • Биографии репетитора
    • Подготовка к тесту
      СРЕДНЯЯ ШКОЛА
      • ACT Репетиторство
      • SAT Репетиторство
      • Репетиторство PSAT
      • ASPIRE Репетиторство
      • ШСАТ Репетиторство
      • Репетиторство STAAR
      ВЫСШАЯ ШКОЛА
      • Репетиторство MCAT
      • Репетиторство GRE
      • Репетиторство по LSAT
      • Репетиторство по GMAT
      К-8
      • Репетиторство AIMS
      • Репетиторство по HSPT
      • Репетиторство ISEE
      • Репетиторство ISAT
      • Репетиторство по SSAT
      • Репетиторство STAAR
      Поиск 50+ тестов
    • Академическое обучение
      репетиторство по математике
      • Алгебра
      • Исчисление
      • Элементарная математика
      • Геометрия
      • Предварительный расчет
      • Статистика
      • Тригонометрия
      Репетиторство по естественным наукам
      • Анатомия
      • Биология
      • Химия
      • Физика
      • Физиология
      иностранные языки
      • французский
      • немецкий
      • Латинский
      • Китайский мандарин
      • Испанский
      начальное обучение
      • Чтение
      • Акустика
      • Элементарная математика
      прочие
      • Бухгалтерский учет
      • Информатика
      • Экономика
      • Английский
      • Финансы
      • История
      • Письмо
      • Лето
      Поиск по 350+ темам
    • О
      • Обзор видео
      • Процесс выбора наставника
      • Онлайн-репетиторство
      • Мобильное обучение
      • Мгновенное обучение
      • Как мы работаем
      • Наша гарантия
      • Влияние репетиторства
      • Обзоры и отзывы
      • Освещение в СМИ
      • О преподавателях университета

    Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

    (888) 888-0446

    Все ресурсы Precalculus

    12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    Precalculus Помощь » Экспоненциальные и логарифмические функции » Экспоненциальные уравнения и неравенства » Использование логарифмов для решения экспоненциальных уравнений и неравенств

    Решение показательного уравнения.

    Найдите ,

    .

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Пояснение:

    Вспоминаем свойство:

    Теперь, .

    Итак,

    .

    Сообщить об ошибке

    Решение экспоненциального уравнения.

    Решить

    возможных ответов:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Используйте  (по соглашению просто ) для решения.

    .

    Сообщить об ошибке

    Решите уравнение для  используя правила логарифмирования.

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Преобразование логарифмов в суммы логарифмов аннулирует первые два члена x, что приведет к уравнению:

     

    Объединение первого и второго членов, а затем вычитание нового члена позволит вам изолировать переменный член.

    Разделите обе части уравнения на 2, затем возведите в степень 3.

    Численная оценка этого члена даст правильный ответ.

    Сообщить об ошибке

    Решите следующее уравнение:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Чтобы решить это уравнение, напомним следующее свойство:

    можно переписать как

    Оценка с вашим калькулятором, чтобы получить

    Отчет о ошибке

    Solve

    .

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    После использования правила деления для упрощения левой части вы можете взять натуральный логарифм с обеих сторон.

    Если вы затем объедините одинаковые члены, вы получите квадратное уравнение, которое делит на

     .

    Приравняв каждый бином к нулю и найдя , мы получим решение .

    Сообщить об ошибке

    Решить для x: 

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Сообщить об ошибке

    Найдите x в следующем уравнении:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    3 Объяснение:

    Сообщить об ошибке

    Найдите x, используя правила логарифмирования: 

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Сообщить об ошибке

    Найти x: 

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    3

    43

    3 Объяснение:

    Отчет о ошибке

    Упростите выражение журнала:

    Возможные ответы:

    Нельзя упростить. 0195 Правильный ответ:

    Дальнейшее упрощение невозможно

    Объяснение:

    Логарифмическое выражение максимально упрощено.

     

    Сообщить об ошибке.

    Посмотреть репетиторов по математике

    Нандан Мукеш
    Сертифицированный репетитор

    Технологический университет Гуджарата, бакалавр наук, приборостроение. Техасский университет в Арлингтоне, штат Массачусетс…

    Посмотреть Преподаватели математического анализа

    Джибан
    Сертифицированный преподаватель

    Университет Трибхуван, бакалавр наук, математика.

    Все ресурсы Precalculus

    12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    основных методов. Определение показательных уравнений

    В этом уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать на основе метода решения простейших показательных неравенств

    1. Определение и свойства показательной функции

    Напомним определение и основные свойства экспоненциальной функции. Именно от свойств зависит решение всех показательных уравнений и неравенств.

    Экспоненциальная функция — функция вида , где основание — степень, а Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

    Рис. 1. График экспоненциальной функции

    На графике показаны возрастающая и убывающая экспонента, иллюстрирующие экспоненциальную функцию с основанием больше единицы и меньше единицы, но больше нуля соответственно.

    Обе кривые проходят через точку (0;1)

    Свойства показательной функции :

    Домен: ;

    Диапазон значений: ;

    Функция монотонна, возрастает как , убывает как .

    Монотонная функция принимает каждое из своих значений с одним значением аргумента.

    При , при увеличении аргумента от минус до плюс бесконечности функция возрастает от нуля, не включительно, до плюс бесконечности, т. е. при заданных значениях аргумента имеем монотонно возрастающую функцию (). Когда же, наоборот, при возрастании аргумента от минус до плюс бесконечности функция убывает от бесконечности до нуля включительно, т. е. при заданных значениях аргумента имеем монотонно убывающую функцию ().

    2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

    На основании изложенного приведем способ решения простейших показательных неравенств:

    Способ решения неравенств:

    Приравнять основания степеней;

    Сравнить показатели, сохранив или изменив знак неравенства на противоположный.

    Решение сложных показательных неравенств состоит, как правило, в сведении их к простейшим показательным неравенствам.

    Основание степеней больше единицы, поэтому знак неравенства сохраняется:

    Преобразуем правую часть в соответствии со свойствами степени:

    9002 меньше единицы, знак неравенства нужно поменять местами:

    Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

    По теореме Виета найдем корни:

    Ветви параболы направлены вверх.

    Таким образом, мы имеем решение неравенства:

    Нетрудно догадаться, что правую часть можно представить в виде степени с нулевым показателем:

    Основание степени больше единицы, знак неравенства не не меняем, получаем:

    Напомним процедуру решения таких неравенств.

    Рассмотрим дробную рациональную функцию:

    Нахождение области определения:

    Находим корни функции:

    Функция имеет единственный корень,

    Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

    Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

    Итак, мы получили ответ.

    Ответ:

    3. Решение типичных показательных неравенств

    Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но с разными основаниями.

    Одним из свойств экспоненциальной функции является то, что она принимает строго положительные значения при любых значениях аргумента, а это значит, что ее можно разделить на показательную функцию. Разделим данное неравенство на его правую часть:

    Основание степени больше единицы, знак неравенства сохранен.

    Проиллюстрируем решение:

    На рис. 6.3 представлены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции располагается выше, эта функция больше. При отрицательных значениях аргумента функция проходит ниже, меньше. Когда значение аргумента функции равно, то данная точка также является решением данного неравенства.

    Рис. 3. Иллюстрация на примере 4

    Преобразуем данное неравенство по свойствам степени:

    Здесь подобные члены:

    Разобьем обе части на:

    Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, делим обе части на:

    Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

    4. Графическое решение показательных неравенств

    Пример 6. Решите неравенство графически:

    Рассмотрим функции слева и справа и построим график каждой из них.

    Функция является показателем степени, она возрастает по всей своей области определения, то есть при всех действительных значениях аргумента.

    Функция линейная, убывающая по всей своей области определения, то есть при всех действительных значениях аргумента.

    Если эти функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственно и его легко угадать. Для этого перебираем целые числа ()

    Легко видеть, что корень этой системы равен:

    Таким образом, графики функции пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

    Теперь нам нужно получить ответ. Смысл данного неравенства в том, что показатель степени должен быть больше или равен линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Ответ очевиден: (рис. 6.4)

    Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

    Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

    Библиография

    Мордкович А. Г. Алгебра и начало математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начало математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начало математического анализа. — М.: Просвещение.

    Мат. мкр. Математика-повторение. ком. Диффер. кемсу. RU.

    Домашнее задание

    1. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы (Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.) 1990, № 472, 473;

    2. Решить неравенство:

    3. Решить неравенство.

    Решение большинства математических задач, так или иначе связанных с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Особенно это относится к раствору. В вариантах ЕГЭ по математике к этому типу заданий относится, в частности, задание С3. Научиться решать задачи С3 важно не только для успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что этот навык пригодится при изучении курса математики в вузе.

    Выполняя задания С3, вам предстоит решать различного рода уравнения и неравенства. Среди них есть рациональные, иррациональные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (по модулю), а также комбинированные. В данной статье рассматриваются основные виды показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решения. О решении других типов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач С3 из вариантов ЕГЭ по математике.

    Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти часть теоретического материала, который нам понадобится.

    Показательная функция

    Что такое показательная функция?

    Функция просмотра y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называемая экспоненциальной функцией .

    Основные свойства экспоненциальной функции y = a x :

    Graph of an exponential function

    The graph of the exponential function is exhibitor :

    Graphs of exponential functions (exponents)

    Solution of exponential equations

    indicative called уравнения, в которых неизвестная переменная входит только в показатели любых степеней.

    Для решения показательных уравнений необходимо знать и уметь пользоваться следующей простой теоремой:

    Теорема 1. Экспоненциальное уравнение A F ( x ) = A G ( x ) (где A > 0, A ). уравнение f ( x ) = г ( x ).

    Кроме того, полезно запомнить основные формулы и действия со степенями:

    Title=»(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

    Пример 1 Решить уравнение:

    Решение: используйте приведенные выше формулы и подстановку:

    Уравнение примет следующий вид:

    Полученное положительное дискриминантное квадратное уравнение:

    Title=»(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

    Это означает что это уравнение имеет два корня.Находим их:

    Возвращаясь к подстановке, получаем:

    Второе уравнение не имеет корней, так как показательная функция строго положительна во всей области определения. Решим второй:

    Учитывая сказанное в теореме 1, переходим к эквивалентному уравнению: х = 3. Это и будет ответом на задачу.

    Ответ: х = 3.

    Пример 2 Решите уравнение: (показательная функция y = 9 4 -x положительная и не равная нулю).

    Решим уравнение эквивалентными преобразованиями с использованием правил умножения и деления степеней:

    Последний переход осуществлен в соответствии с теоремой 1.

    Ответ: х = 6 .

    Пример 3 Решите уравнение:

    Решение: обе части исходного уравнения можно разделить на 0,2 x . Этот переход будет эквивалентен, так как это выражение больше нуля для любого значения x (экспоненциальная функция строго положительна в своей области определения). Тогда уравнение примет вид:

    Ответ: х = 0.

    правила деления и умножения полномочий, приведенные в начале статьи:

    Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является эквивалентным преобразованием, так как данное выражение не равно нулю ни при каком значении x .

    Ответ: x = 0.

    Пример 5 Решение уравнения:

    Решение: Функция y = 3 x . увеличение. Функция y = — х -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций и пересекаются, то не более чем в одной точке. В этом случае несложно догадаться, что графики пересекаются в точке х = -1. Других корней не будет.

    Ответ: х = -1.

    Пример 6 Решим уравнение:

    Решение: упростим уравнение эквивалентными преобразованиями, памятуя всюду, что экспоненциальная функция строго больше нуля при любом значении х и пользуясь правилами вычисления произведение и частичные мощности, указанные в начале статьи:

    Ответ: х = 2.

    Решение показательных неравенств

    показательных называются неравенствами, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях некоторых степеней.

    для решений Экспоненциальные неравенства Знание следующей теоремы требуется:

    Теорема 2. , если A > 1, то неравенство A F ( X )> F ( x )> F ( x )> F ( x )> F ( x )> F ( x )> F . ( х ) эквивалентно неравенству того же смысла: f ( x ) > g ( x ). Если 0a a f ( x ) > a g ( x ) эквивалентно неравенству обратного смысла: f ( x ) g ( x 9 ).

    Пример 7 Решить неравенство:

    Решение: представить исходное неравенство в виде:

    Разделить обе части этого неравенства на 3 2 x , и (в силу положительности функции y = 3 2 x ) знак неравенства не изменится:

    Произведем замену:

    Тогда неравенство примет вид:

    3

    2 Итак, решением неравенства является интервал:

    переходя к обратной подстановке, получаем:

    Левое неравенство в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Используя известное свойство логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

    Поскольку основанием степени является число больше единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

    Таким образом, окончательно получаем ответ:

    Пример 8 Решим неравенство:

    Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

    Введем новую переменную:

    При такой подстановке неравенство принимает вид:

    Умножая числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее эквивалентное неравенство:

    Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения ) переменной t :

    Тогда, возвращаясь к подстановке, получаем:

    Поскольку основание степени здесь больше единицы, то эквивалентно (по теореме 2) перейти к неравенство:

    Наконец, мы получаем Ответ:

    Пример Решение неравенства:

    Решение:

    Мы разделяем обе стороны от неравенства на выражение:

    . (поскольку экспоненциальная функция положительна), поэтому знак неравенства менять не нужно. Получаем:

    t , которые находятся в промежутке:

    Переходя к обратной подстановке, находим, что исходное неравенство распадается на два случая:

    Первое неравенство не имеет решений из-за положительности показательной функции. Решим второе:

    Пример 10 Решим неравенство:

    Решение:

    Ветви параболы y = 2 x +2- x 900 выше на величину, которой она достигает в своей вершине:

    ветви параболы y = x 2 -2 х +2, которые есть в индикаторе, направлены вверх, а значит, он ограничен снизу тем значением, которого достигает в своей вершине:

    При этом функция оказывается ограниченной от ниже y = 3 x 2 -2 x +2 в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола в показателе степени, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может быть верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают значение 3 в одной точке (пересечением диапазонов этих функций является только это число). Это условие выполняется в одной точке х = 1.

    Ответ: х = 1.

    Чтобы научиться решать показательных уравнений и неравенств, нужно постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле пригодятся различные учебные пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.


    Сергей Валерьевич

    П.С. Дорогие гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях просьбы о решении ваших уравнений. К сожалению, у меня совсем нет на это времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, прочитайте статью. Возможно, в ней вы найдете ответы на вопросы, которые не позволили решить вашу задачу самостоятельно.

    То есть обязательно при решении системы показательных уравнений ? Конечно, трансформация эту систему в систему простых уравнений.

    Примеры.

    Решите системы уравнений:

    Выразите через X из (2)-го уравнения системы и подставьте это значение в (1)-е уравнение системы.

    Решаем (2)-е уравнение полученной системы:

    2 х +2 х +2 =10, применяем формулу: а х + у = а х и .

    2 х +2 х ∙2 2 = 10, общий множитель 2 х выносим за скобки:

    2 х (1+2 2)=10 или 2 х ∙5=10, отсюда 2 х = 2.

    2 х = 2 1, отсюда х=1 . Вернемся к системе уравнений.

    Ответ: (1; 2).

    Раствор.

    Представим левую и правую части (1)-го уравнения в виде степеней с основанием 2 , а правая часть (2)-го уравнения как нулевая степень числа 5 .

    Если две степени с одинаковыми основаниями равны, то и степени этих степеней равны — приравниваем степени к основаниям 2 и экспоненты с основаниями 5 .

    Полученную систему линейных уравнений с двумя переменными решим методом сложения.

    Находим x=2 и подставляем это значение вместо X во второе уравнение системы.

    Находим по адресу .

    Ответ: (2; 1,5).

    Раствор.

    Если в предыдущих двух примерах мы перешли к более простой системе, приравняв показатели двух степеней по одним и тем же основаниям, то в 3-м примере эта операция невозможна. Такие системы удобно решать, вводя новые переменные. Введем переменные u И v, и затем выразим переменную u через v и получим уравнение для переменной в .

    Решаем (2) -е уравнение системы.

    v 2 +63v-64=0. Выбираем корни по теореме Виета, зная, что: v 1 + v 2 =-63; v 1 ∙ v 2 = -64.

    Получаем: v 1 = -64, v 2 = 1. Возвращаемся в систему, находим u.

    Поскольку значения показательной функции всегда положительны, уравнения 4 x = -1 и 4у = -64 не имеют решений.

    Способы решения систем уравнений

    Для начала кратко напомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

    Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

      Метод подстановки: взять любое из этих уравнений и выразить $y$ через $x$, затем $y$ подставить в уравнение системы, откуда находится переменная $x.$. После этого мы можем легко вычислить переменную $y.$

      Метод сложения: в этом методе необходимо умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении обоих одна из переменных «исчезла».

      Графический метод: оба уравнения системы изображают на координатной плоскости и находят точку их пересечения.

      Метод введения новых переменных: в этом методе мы делаем замену некоторых выражений для упрощения системы, а затем применяем один из вышеперечисленных методов.

    Системы показательных уравнений

    Определение 1

    Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системами показательных уравнений.

    Решение систем показательных уравнений рассмотрим на примерах.

    Пример 1

    Решить систему уравнений

    Рисунок 1.

    Решение.

    Мы будем использовать первый метод для решения этой системы. Сначала выразим $y$ в первом уравнении через $x$.

    Рис. 2.

    Подставим $y$ во второе уравнение:

    \ \ \[-2-x=2\] \ \

    Ответ: $(-4,6)$. 9y=v\ (v >0)$, получаем:

    Рисунок 5

    Решаем полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

    \\

    Тогда из второго уравнения получаем, что

    Возвращаясь к замене, я получил новую систему показательных уравнений:

    Рисунок 6

    Получаем:

    Рисунок 7

    Ответ: $( 0,1)$.

    Системы показательных неравенств

    Определение 2

    Системы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системами показательных неравенств.

    Решение систем показательных неравенств рассмотрим на примерах.

    Пример 3

    Решите систему неравенств

    Рисунок 8

    Решение:

    Эта система неравенств эквивалентна системе

    Рисунок

    . Для решения первого неравенства, Наз. следующую теорему эквивалентности для экспоненциальных неравенств: 9(\varphi (x)) $, где $a >0,a\ne 1$ эквивалентно множеству двух систем

    \}

    Экспоненциальные уравнения | Колледж Алгебра

    Результаты обучения

    • Решите показательное уравнение с общим основанием.
    • Перепишите экспоненциальное уравнение так, чтобы все члены имели общую основу, а затем решите.
    • Распознать, когда показательное уравнение не имеет решения.
    • Используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.

    Экспоненциальные уравнения 9{T}[/latex] тогда и только тогда, когда

    = T .

    Другими словами, когда экспоненциальное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, показатели степени должны быть равны. Это также применимо, когда показатели степени являются алгебраическими выражениями. Следовательно, мы можем решить многие экспоненциальные уравнения, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с одним и тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции являются взаимно однозначными, чтобы установить показатели степени равными друг другу и найти неизвестное. 9{2x — 1}\hfill & \text{Использовать свойство деления показателей степени}\text{.}\hfill \\ 4x — 7\hfill & =2x — 1\text{ }\hfill & \text{Применить один свойство экспоненты -к-одному}\text{.}\hfill \\ 2x\hfill & =6\hfill & \text{Вычесть 2}x\text{ и добавить 7 к обеим сторонам}\text{.}\hfill \\ x\hfill & =3\hfill & \text{Divide by 3}\text{.}\hfill \end{array}[/latex]

    Общее примечание: использование свойства экспоненты «один к одному» Функции для решения экспоненциальных уравнений

    Для любых алгебраических выражений 9{2x — 10}\hfill & \text{Чтобы взять степень степени, умножьте показатели степени}. {T}[/латекс]. 9{x}=-100[/латекс].

    Показать решение

    Использование логарифмов для решения экспоненциальных уравнений

    Иногда члены экспоненциального уравнения нельзя переписать с помощью общего основания. В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону. Напомним, что поскольку [латекс]\mathrm{log}\left(a\right)=\mathrm{log}\left(b\right)[/latex] равен = b ,   , мы можем применять логарифмы с одинаковым основанием к обеим частям экспоненциального уравнения.

    Как: Имея экспоненциальное уравнение Если не удается найти общее основание, найдите неизвестное

    1. Примените логарифм к обеим частям уравнения.
      • Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
      • Если ни один из членов уравнения не имеет основание 10, используйте натуральный логарифм.
    2. Используйте правила логарифмирования, чтобы найти неизвестное. {кт}[/латекс], решить для [латекс]t[/латекс]

    1. Разделите обе части уравнения на A .
    2. Примените натуральный логарифм к обеим частям уравнения.
    3. Разделите обе части уравнения на k .

    СОВЕТЫ для достижения успеха

    Как и при решении различных типов уравнений, изолируйте член, содержащий переменную, для которой вы решаете, прежде чем применять какие-либо свойства равенства или обратные операции. Вот почему в приведенном выше примере вы должны сначала разделить [латекс]А[/латекс]. 9{2t}[/латекс].

    Показать решение

    Посторонние решения

    Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение , которое является решением, правильным алгебраически, но не удовлетворяющим условиям исходного уравнения. Одна такая ситуация возникает при решении при логарифмировании обеих частей уравнения. В таких случаях помните, что аргумент логарифма должен быть положительным. Если число, которое мы оцениваем в логарифмической функции, отрицательное, выходных данных нет. 9{x}+2[/латекс].

    Показать решение

    Вопросы и ответы

    Каждое ли логарифмическое уравнение имеет решение?

    Нет. Имейте в виду, что мы можем применить логарифм только к положительному числу. Всегда проверяйте наличие посторонних решений.

    Поддержите!

    У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    2.7 Линейные неравенства и абсолютные неравенства — Колледжская алгебра 2e

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Использовать обозначение интервалов
    • Использовать свойства неравенств.
    • Алгебраически решать неравенства с одной переменной.
    • Решение абсолютных неравенств.

    Рисунок 1

    Нелегко попасть в список лучших университетов. Предположим, что студенты должны были нести нагрузку по курсу не менее 12 кредитных часов и поддерживать средний балл 3,5 или выше. Как можно математически выразить эти требования к спискам почета? В этом разделе мы рассмотрим различные способы выражения различных наборов чисел, неравенств и неравенств с абсолютными значениями.

    Использование записи интервалов

    Указание решения неравенства, такого как x≥4x≥4, может быть достигнуто несколькими способами.

    Мы можем использовать числовую линию, как показано на рисунке 2 . Синий луч начинается в точке x=4x=4 и, как показано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.

    Рисунок 2

    Мы можем использовать нотацию построителя множеств: {x|x≥4}, {x|x≥4}, что переводится как «все действительные числа x , так что x больше или равно 4». Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения набора.

    Третий метод — интервальная запись, в которой наборы решений обозначаются скобками или квадратными скобками. Решения x≥4x≥4 представлены в виде [4,∞).[4,∞). Это, пожалуй, самый полезный метод, так как он применяется к понятиям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим математическим курсам более высокого уровня.

    Основная концепция, которую следует помнить, заключается в том, что круглые скобки представляют решения, большие или меньшие, чем число, а скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу. Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервала или набора чисел, в которые попадает решение: [−2,6],[−2,6) или все числа от −2−2 до 6,6, включая −2, −2, но не включая 6;6;(−1,0),(−1,0), все действительные числа между, но не включая −1−1 и 0;0; и (−∞,1],(−∞,1], все действительные числа меньше 1. 1 включительно. В таблице 1 приведены возможные варианты.

    Набор указан Обозначение Set-Builder Обозначение интервала
    Все действительные числа между a и b , кроме a или b {х|а<х (а,б)(а,б)
    Все действительные числа больше a , но не включая a {х|х>а}{х|х>а} (а,∞)(а,∞)
    Все действительные числа меньше b , но не включая b {х|х (-∞,б)(-∞,б)
    Все действительные числа больше a , включая a {х|х≥а}{х|х≥а} [а,∞)[а,∞)
    Все действительные числа меньше b , включая b {х|х≤b}{х|х≤b} (-∞,б](-∞,б]
    Все действительные числа между a и b , включая a {х|а≤х [а,б)[а,б)
    Все действительные числа между a и b , включая b {х|а<х≤b}{х|а<х≤b} (а,б](а,б]
    Все действительные числа между a и b , включая а и б {x|a≤x≤b}{x|a≤x≤b} [а,б][а,б]
    Все действительные числа меньше a или больше b {x|xb}{x|xb} (-∞,а)∪(б,∞)(-∞,а)∪(б,∞)
    Все действительные числа {x|xis все действительные числа}{x|xis все действительные числа} (-∞,∞)(-∞,∞)

    Стол 1

    Пример 1

    Использование интервальной записи для выражения всех действительных чисел, больших или равных
    a

    Используйте интервальную запись для обозначения всех действительных чисел, больших или равных -2. -2.

    Решение

    Используйте квадратную скобку слева от −2−2 и круглые скобки после бесконечности: [−2,∞).[−2,∞). Скобка указывает, что -2-2 включено в набор со всеми действительными числами, большими чем -2-2 до бесконечности.

    Попытайся #1

    Используйте интервальную нотацию для обозначения всех действительных чисел от −3−3 до 5,5 включительно.

    Пример 2

    Использование записи интервалов для выражения всех действительных чисел, меньших или равных
    a или больших или равных b

    Запишите интервал, выражающий все действительные числа, меньшие или равные -1-1 или большие или равные до 1.1.

    Решение

    В этом примере мы должны написать два интервала. Первый интервал должен указывать все действительные числа, меньшие или равные 1. Итак, этот интервал начинается с −∞−∞ и заканчивается −1,−1, что записывается как (−∞,−1].(−∞, −1].

    Второй интервал должен отображать все действительные числа, большие или равные 1,1, что записывается как [1,∞).[1,∞). Однако мы хотим объединить эти два набора. Мы делаем это, вставляя символ объединения ∪,∪ между двумя интервалами.

    (−∞,−1]∪[1,∞)(−∞,−1]∪[1,∞)

    Попытайся #2

    Выразите все действительные числа, меньшие −2−2 или большие или равные 3, в интервальной записи.

    Использование свойств неравенств

    Когда мы работаем с неравенствами, мы обычно можем обращаться с ними так же, как и с равенствами, но не совсем так. Мы можем использовать свойство сложения и свойство умножения, чтобы решить их. Единственное исключение — когда мы умножаем или делим на отрицательное число; при этом символ неравенства переворачивается.

    Свойства неравенств

    AdditionPropertyIf a MultiplicationPropertyIf a0, then acbc.AdditionPropertyIf a0, то acbc.

    Эти свойства также применимы к a≤b,a≤b,a>b,a>b и a≥b.a≥b.

    Пример 3

    Демонстрация свойства сложения

    Проиллюстрируйте свойство сложения для неравенств, решая каждое из следующих действий:

    1. ⓐ х-15<4х-15<4
    2. ⓑ 6≥x−16≥x−1
    3. ⓒ х+7>9х+7>9
    Решение

    Свойство сложения для неравенств гласит, что если неравенство существует, добавление или вычитание одного и того же числа с обеих сторон не меняет неравенства.


    1. x−15<4x−15+15<4+15Добавить по 15 с обеих сторон.x<19x−15<4x−15+15<4+15Добавить по 15 с обеих сторон.x<19

    2. 6≥x−16+1≥x−1+1Добавить 1 к обеим сторонам.7≥x6≥x−16+1≥x−1+1Добавить 1 к обеим сторонам. 7≥x

    3. x+7>9x+7−7>9−7Вычесть 7 с обеих сторон.x>2x+7>9x+7−7>9−7Вычесть 7 с обеих сторон.x>2

    Попытайся #3

    Решите: 3x−2<1,3x−2<1.

    Пример 4

    Демонстрация свойства умножения

    Проиллюстрируйте свойство умножения для неравенств, решая каждое из следующих действий:

    1. ⓐ 3x<63x<6
    2. ⓑ −2x−1≥5−2x−1≥5
    3. ⓒ 5−x>105−x>10
    Решение

    1. 3x<613(3x)<(6)13x<23x<613(3x)<(6)13x<2

    2. −2x−1≥5−2x≥6(−12)(−2x)≥(6)(−12)Умножить на −12.x≤−3 Обратное неравенство.−2x−1≥5−2x≥ 6(−12)(−2x)≥(6)(−12)Умножить на −12.x≤−3 Обратное неравенство.

    3. 5−x>10−x>5(−1)(−x)>(5)(−1)Умножить на −1.x<−5 Обратное неравенство.5−x>10−x>5( −1)(−x)>(5)(−1) Умножить на −1.x<−5 Обратное неравенство.

    г.

    Попытайся #4

    Решите: 4x+7≥2x−3,4x+7≥2x−3.

    Алгебраическое решение неравенств с одной переменной

    Как показали примеры, мы можем производить одни и те же операции с обеих сторон неравенства, как и с уравнениями; мы объединяем подобные термины и выполняем операции. Чтобы решить, мы изолируем переменную.

    Пример 5

    Алгебраическое решение неравенства

    Решите неравенство: 13−7x≥10x−4,13−7x≥10x−4.

    Решение

    Решение этого неравенства аналогично решению уравнения до последнего шага.

    13−7x≥10x−413−17x≥−4 Переместите переменные члены в одну сторону неравенства. −17x≥−4Переместите переменные члены в одну сторону неравенства.−17x≥−17Изолируйте переменный член.x≤1Деление обеих частей на −17обратит неравенство.

    Набор решений задается интервалом (−∞,1],(−∞,1] или всеми действительными числами меньше 1,9 включительно0003

    Попытайся #5

    Решите неравенство и запишите ответ, используя интервальную запись: −x+4<12x+1. −x+4<12x+1.

    Пример 6

    Решение неравенства с дробями

    Решите следующее неравенство и запишите ответ в интервальной записи: −34x≥−58+23x.−34x≥−58+23x.

    Решение

    Мы начинаем решать так же, как и при решении уравнения.

    −34x≥−58+23x−34x−23x≥−58Поместите переменные члены на одну сторону.−912x−812x≥−58Запиши дроби с общим знаменателем.−1712x≥−58x≤−58(−1217)Умножение на отрицательное число обращает неравенство слагаемые с одной стороны.−912x−812x≥−58Запиши дроби с общим знаменателем.−1712x≥−58x≤−58(−1217)Умножение на отрицательное число меняет неравенство на противоположное.x≤1534

    Набор решений представляет собой интервал ( −∞,1534].(−∞,1534].

    Попытайся #6

    Решите неравенство и запишите ответ в интервальной записи: −56x≤34+83x.−56x≤34+83x.

    Понимание сложных неравенств

    Составное неравенство включает два неравенства в одном выражении. Такой оператор, как 4

    Пример 7

    Решение сложного неравенства

    Решите составное неравенство: 3≤2x+2<6,3≤2x+2<6.

    Решение

    Первый способ заключается в написании двух отдельных неравенств: 3≤2x+23≤2x+2 и 2x+2<6,2x+2<6. Мы решаем их самостоятельно.

    3≤2x+2and2x+2<61≤2x2x<412≤xx<23≤2x+2and2x+2<61≤2x2x<412≤xx<2

    Тогда мы можем переписать решение в виде составного неравенства, так же проблема началась.

    12≤x<212≤x<2

    В интервальной записи решение записывается как [12,2).[12,2).

    Второй метод заключается в том, чтобы оставить составное неравенство нетронутым и выполнить процедуры решения трех частей одновременно.

    3≤2x+2<61≤2x<4Выделить переменный член и вычесть 2 из всех трех частей.12≤x<2Разделить все три части на 2,3≤2x+2<61≤2x<4Выделить переменный член, и вычесть 2 из всех трех частей.12≤x<2Разделим все три части на 2.

    Получим то же решение: [12,2].[12,2).

    Попытайся #7

    Решите составное неравенство: 4<2x−8≤10,4<2x−8≤10.

    Пример 8

    Решение сложного неравенства с переменной во всех трех частях

    Решить сложное неравенство с переменными во всех трех частях: 3+x>7x−2>5x−10,3+x>7x−2>5x−10.

    Решение

    Попробуем первый способ. Запишите два неравенства :

    3+x>7x−2and7x−2>5x−103>6x−22x−2>−105>6x2x>−856>xx>−4x<56−47x −2and7x−2>5x−103>6x−22x−2>−105>6x2x>−856>xx>−4x<56−4

    Набор решений равен −4 Мы читаем интервалы слева направо, как они появляются на числовой прямой. См. рис. 3 .

    Рисунок 3

    Попытайся #8

    Решите составное неравенство: 3y<4−5y<5+3y.3y<4−5y<5+3y.

    Решение абсолютных неравенств

    Как мы знаем, абсолютное значение величины есть положительное число или нуль. Из начала координат точка, расположенная в точке (−x,0)(−x,0), имеет абсолютное значение x,x, так как она равна x единиц. Рассмотрим абсолютное значение как расстояние от одной точки до другой точки. Независимо от направления, положительного или отрицательного, расстояние между двумя точками представляется как положительное число или ноль.

    Абсолютное неравенство представляет собой уравнение вида

    |A|B, или |A|≥B,|A|B или |A|≥B,

    Где A , а иногда B представляет собой алгебраическое выражение, зависящее от переменной х. Решить неравенство означает найти множество всех xx значений, удовлетворяющих задаче. Обычно этот набор будет интервалом или объединением двух интервалов и будет включать диапазон значений.

    Существует два основных подхода к решению абсолютных неравенств: графический и алгебраический. Преимущество графического подхода в том, что мы можем прочитать решение, интерпретируя графики двух уравнений. Преимущество алгебраического подхода в том, что решения являются точными, поскольку точные решения иногда трудно прочитать на графике.

    Предположим, мы хотим знать все возможные доходы от инвестиций, если бы мы могли заработать некоторую сумму денег в пределах от 200 до 600 долларов. Мы можем решить алгебраически для набора из x- значений, таких что расстояние между xx и 600 меньше или равно 200. Мы представляем расстояние между xx и 600 как |x−600|,|x−600|, и, следовательно, |x−600|≤200|x−600|≤200 или

    −200≤x−600≤200−200+600≤x−600+600≤200+600400≤x≤800−200≤x −600≤200−200+600≤x−600+600≤200+600400≤x≤800

    Это означает, что наша прибыль составит от 400 до 800 долларов.

    Для решения абсолютных неравенств, как и в случае с абсолютными уравнениями, мы записываем два неравенства, а затем решаем их независимо друг от друга.

    Неравенства абсолютного значения

    Для алгебраического выражения X, и k>0,k>0 абсолютным неравенством является неравенство вида

    |X|ki эквивалентно на X<−kor X>k|X|ki эквивалентно X<-kor X>k

    Эти утверждения также применимы к |X|≤k|X|≤k и |X|≥k.|X|≥k.

    Пример 9

    Определение числа на заданном расстоянии

    Описать все значения xx на расстоянии 4 от числа 5.

    Решение

    Мы хотим, чтобы расстояние между xx и 5 было меньше или равно 4. Мы можем провести числовую линию, например, как на рисунке 4 , , чтобы представить условие, которое должно быть выполнено.

    Рисунок 4

    Расстояние от xx до 5 может быть представлено с помощью символа абсолютного значения |x−5|.|x−5|. Запишите значения xx, удовлетворяющие условию, в виде абсолютного неравенства.

    |x−5|≤4|x−5|≤4

    Нам нужно написать два неравенства, так как всегда есть два решения уравнения модуля.

    x−5≤4andx−5≥−4x≤9x≥1x−5≤4andx−5≥−4x≤9x≥1

    Если набор решений равен x≤9x≤9 и x≥1,x≥1, тогда набор решений представляет собой интервал, включающий все действительные числа от 1 до 9 включительно..

    Итак, |x−5|≤4|x−5|≤4 эквивалентно [1,9][1,9] в записи интервалов.

    Попытайся #9

    Опишите все x- значений на расстоянии 3 от числа 2.

    Пример 10

    Решение абсолютного неравенства

    Решить |x−1|≤3|x−1|≤3 .

    Решение

    |x−1|≤3−3≤x−1≤3−2≤x≤4[−2,4]|x−1|≤3−3≤x−1≤3−2≤x≤4[ −2,4]

    Пример 11

    Использование графического подхода для решения абсолютных неравенств

    Учитывая уравнение y=−12|4x−5|+3,y=−12|4x−5|+3, определите x -значений, для которых y -значения отрицательны.

    Решение

    Мы пытаемся определить, где y<0,y<0, то есть когда −12|4x−5|+3<0,−12|4x−5|+3<0. Начнем с выделения абсолютного значения.

    −12|4x−5|<−3Умножьте обе части на –2 и измените неравенство.|4x−5|>6−12|4x−5|<−3Умножьте обе части на –2 и измените неравенство .|4x−5|>6

    Далее находим равенство |4x−5|=6.|4x−5|=6.

    4x−5=64x−5=−64x=11or4x=−1x=114x=−144x−5=64x−5=−64x=11or4x=−1x=114x=−14

    Теперь мы можем изучить график чтобы наблюдать, где значения y- являются отрицательными. Мы наблюдаем, где ветви находятся ниже оси x-. Обратите внимание, что не важно, как именно выглядит график, если мы знаем, что он пересекает горизонтальную ось в точках x=-14x=-14 и x=114,x=114, и что график открывается вниз. См. рис. 5 .

    Рисунок 5

    Попытайся #10

    Решите −2|k−4|≤−6.−2|k−4|≤−6.

    2.7 Секционные упражнения

    Вербальный

    1.

    При решении неравенства объясните, что произошло с шага 1 по шаг 2:

    Шаг 1-2x>6Шаг 2x<-3Шаг 1-2x>6Шаг 2x<-3

    2.

    При решении неравенства получаем:

    x+2

    Объясните, какое у нас множество решений.

    3.

    Записывая наше решение в интервальной записи, как мы представим все действительные числа?

    4.

    Решая неравенство, получаем:

    x+2>x+32>3x+2>x+32>3

    Объясните, какое у нас множество решений.

    5.

    Опишите, как построить график y=|x−3|y=|x−3|

    Алгебраический

    Для следующих упражнений решите неравенство. Запишите окончательный ответ в интервальной записи.

    6.

    4x−7≤94x−7≤9

    7.

    3x+2≥7x−13x+2≥7x−1

    8.

    −2x+3>x−5−2x+3>x−5

    9.

    4(х+3)≥2х-14(х+3)≥2х-1

    10.

    −12x≤−54+25x−12x≤−54+25x

    11.

    −5(x−1)+3>3x−4−4x−5(x−1)+3>3x−4−4x

    12.

    −3(2x+1)>−2(x+4)−3(2x+1)>−2(x+4)

    13.

    х+38-х+55≥310х+38-х+55≥310

    14.

    х-13+х+25≤35х-13+х+25≤35

    Для следующих упражнений решите неравенство с абсолютной величиной. Запишите окончательный ответ в интервальной записи.

    15.

    |x+9|≥−6|x+9|≥−6

    16.

    |2x+3|<7|2x+3|<7

    17.

    |3x−1|>11|3x−1|>11

    18.

    |2x+1|+1≤6|2x+1|+1≤6

    19.

    |x−2|+4≥10|x−2|+4≥10

    20.

    |−2x+7|≤13|−2x+7|≤13

    21.

    |x−7|<−4|x−7|<−4

    22.

    |x−20|>−1|x−20|>−1

    23.

    |x−34|<2|x−34|<2

    Для следующих упражнений опишите все значения x в пределах или включая расстояние от заданных значений.

    24.

    Расстояние 5 единиц от числа 7

    25.

    Расстояние 3 единицы от числа 9

    26.

    Расстояние 10 единиц от числа 4

    27.

    Расстояние 11 единиц от числа 1

    Для следующих упражнений решите составное неравенство. Выразите ответ, используя знаки неравенства, а затем запишите ответ, используя интервальную запись.

    28.

    −4<3x+2≤18−4<3x+2≤18

    29.

    3x+1>2x−5>x−73x+1>2x−5>x−7

    30.

    3г<5-2г<7+г3г<5-2г<7+г

    31.

    2x−5<−11или 5x+1≥62x−5<−11или 5x+1≥6

    32.

    х+7<х+2х+7<х+2

    Графический

    Для следующих упражнений постройте график функции. Обратите внимание на точки пересечения и заштрихуйте ось x , представляющую набор решений неравенства. Покажите свой график и запишите окончательный ответ в интервальной записи.

    33.

    |x−1|>2|x−1|>2

    34.

    |х+3|≥5|х+3|≥5

    35.

    |x+7|≤4|x+7|≤4

    36.

    |x−2|<7|x−2|<7

    37.

    |х-2|<0|х-2|<0

    Для следующих упражнений начертите обе прямые линии (левая сторона — y1, а правая — y2) на одних и тех же осях. Найдите точку пересечения и решите неравенство, наблюдая, где оно истинно, сравнивая и -значения линий.

    38.

    х+3<3х-4х+3<3х-4

    39.

    х-2>2х+1х-2>2х+1

    40.

    х+1>х+4х+1>х+4

    41.

    12x+1>12x−512x+1>12x−5

    42.

    4x+1<12x+34x+1<12x+3

    Цифровой

    Для следующих упражнений запишите набор в виде интервалов.

    43.

    {х|-1<х<3}{х|-1<х<3}

    44.

    {х|х≥7}{х|х≥7}

    45.

    {х|х<4}{х|х<4}

    46.

    {x|xis все действительные числа}{x|xis все действительные числа}

    Для следующих упражнений запишите интервал в нотации построителя наборов.

    47.

    (-∞,6)(-∞,6)

    48.

    (4,∞)(4,∞)

    49.

    [−3,5)[−3,5)

    50.

    [−4,1]∪[9,∞)[−4,1]∪[9,∞)

    Для следующих упражнений запишите набор чисел, представленных на числовой прямой в интервальной записи.

    51.

    52.

    53.

    Технология

    Для следующих упражнений введите левую часть неравенства в виде графика Y1 в графическую утилиту. Введите y2 = правая часть. Ввод абсолютного значения выражения находится в меню MATH, Num, 1:abs(. Найдите точки пересечения, вызовите (2 nd CALC 5:intersection, 1 st кривая, введите, 2 nd кривая, введите, угадайте, введите). Скопируйте набросок графика и заштрихуйте x — ось для вашего решения, установленного для неравенства. Запишите окончательные ответы в интервальной записи.

    54.

    |x+2|−5<2|x+2|−5<2

    55.

    −12|x+2|<4−12|x+2|<4

    56.

    |4x+1|−3>2|4x+1|−3>2

    57.

    |x−4|<3|x−4|<3

    58.

    |х+2|≥5|х+2|≥5

    Расширения

    59.

    Решить |3x+1|=|2x+3||3x+1|=|2x+3|

    60.

    Решить x2-x>12×2-x>12

    61.

    х-5х+7≤0,х-5х+7≤0,х≠-7х≠-7

    62.

    p=-x2+130x-3000p=-x2+130x-3000 — это формула прибыли для малого бизнеса. Найдите набор значений x , при которых эта прибыль будет оставаться положительной.

    Реальные приложения

    63.

    В химии объем определенного газа определяется выражением V=20T, V=20T, где V измеряется в кубических сантиметрах, а T – температура в ºC. Если температура колеблется между 80ºC и 120ºC, найдите набор объемных значений.

    64.

    Базовый пакет сотовой связи стоит 20 долларов США в месяц. за 60 минут разговора с дополнительной оплатой в размере 0,30 доллара США за минуту сверх этого времени. Формула стоимости будет C = 20 + 0,30 (x−60). C = 20 + 0,30 (x−60). Если ваш счет не превышает 50 долларов, какое максимальное количество минут для звонков вы можете использовать?

    Math Tutor — Extra — Уравнения и неравенства

    Math Tutor — Extra — Уравнения и неравенства

    В этом разделе мы кратко рассмотрим элементарные методы, используемые для решения уравнения и неравенства. Мы сосредоточимся на проблемах, которые могут проявиться, читатель может быть удивлен, увидев, как свойства функций вступают в игру в этой секции. Этот раздел состоит из частей Уравнения, Неравенства, Знаковые неравенства, Двойные неравенства, Разделение реальной линии и (Не)равенства с триггерными функциями.

    Уравнения

    Рассмотрим уравнение, в котором есть неизвестное x . Обычный способ решение уравнений состоит в том, чтобы изолировать x с одной стороны. В общем продолжаем применяя некоторые операции к обеим частям уравнения, что работает во многих случаях, но иногда мы должны быть осторожны, что как раз и является темой этой части. Всем известно, что мы можем добавить или вычесть с обеих сторон свободно, но при делении или умножении уравнения мы должны быть более осторожно, так как это работает только в том случае, если мы не используем ноль для деление/умножение.

    Что не так широко понято, так это еще один трюк, который часто используется. Во многих уравнений у нас есть функция, от которой мы хотим избавиться, например, уравнение ln( x ) = 2 относится к этому типу. Большинство Эффективный трюк состоит в том, чтобы применить (к обеим сторонам) обратную функцию к одной которую мы хотим заставить исчезнуть, функция и ее обратная функция затем отменяются друг друга. Функция, обратная логарифму, является экспоненциальной, поэтому мы делаем

    e ln( x )  =  e 2 ,
    x  =  e 2 .

    Однако это не всегда так просто. Рассмотрим следующие два примера.

    Пример: Рассмотрим уравнение arcsin( x ) = π/2. Мы применяем обратное функция.

    sin[arcsin( x )] = sin[π/2],
    x  = 1,

    Теперь рассмотрим это уравнение: sin( x ) = 1. Если мы проделайте аналогичную процедуру,

    arcsin[sin( x )] = arcsin[1],
    x  = π/2,

    получаем неверный ответ. Как это возможно? Какой тогда правильный ответ?

    Ключом к этому трюку является понятие обратной функции. Во-первых Например, синус является функцией, обратной арксинусу на интервале [−1,1]. х реально из этого интервала? В этом случае да, так как arcsin делает не принимает никакого другого значения, поэтому само данное уравнение уже ограничивает x в правую область. Поэтому мы имеем дело с arcsin в области где оно обратимо и формула работает.

    С другой стороны, арксинус не является обратной функцией синуса, а только синус ограничен . Теперь нет гарантии, что x в уравнении из того региона, а для х из других регионов у нас разные обратные функции. Таким образом, поиск решения становится более сложным и на самом деле существует бесконечно много правильных решений форма π/2+2 k π, где k — любое целое число.

    У нас похожая проблема с корнями. Одним способом мы получаем все решения:

    = 3,
    [] 2  = 3 2 ,
    x  = 9,

    Это сработало, потому что квадрат — это функция, обратная квадратному корню. интервал [0,∞) и нет другие x разрешены в данном уравнении. По-другому это происходит не работа.

    x 2  = 16,
    [ x 2 ] 1/2  = 16 1/2 ,
    x  = 4.

    Опять же, проблема в том, что для получения обратного квадрата нам нужно ограничить его до [0,∞), но теперь у нас нет гарантии, что x в уравнении из этого область, край. Правильный ответ здесь -4 и 4.

    До сих пор у нас были проблемы с отсутствующими решениями. Также можно получить ложные решения. На самом деле это снова связано с проблемой с обратными. Мы меняем уравнение и находим решение нового, но как мы знаете, что это также решение исходного уравнения? Это верно, если мы также можно вернуться от последней формы к первой (данной) форме уравнение. Поэтому операции, которые мы делаем, также должны работать в противоположное направление. Другими словами, если у нас есть две функции, которые являются взаимными инверсия только где-то, то у нас проблемы с движением в одну сторону и либо всплывает на пути к решению, или может укусить нас на обратном пути. смотреть на этот пример.

    (2- x 2 ) 1/2 = x ,
    [(2- x 2 ) 1/2 ] 2 ) 1/2 ] 2 = 1/2 ] 2 = 1/2 ] 2 ) 1/2 ] 2 ) 1/2 ] 2 ) 2- x 2 = x 2 ,
    2 x 2 = 2,
    x 2 = 1,
    x 2 = 1,
    x 2 = 1,
    x 2 .

    Кажется, что у нас есть два решения, но работает только одно, а именно x  = 1. Обратите внимание, что при работе с логарифмом и экспонентой, нам также будет хорошо с кубическим корнем и кубическим мощность и любая другая пара взаимно обратных функций, не требующая ограничение. В других случаях мы должны быть очень осторожны, в частности, это крайне важно всегда проверять, что полученные нами решения действительно удовлетворяют уравнение, которое нам дали, в исходной форме.

    Универсального метода решения этих проблем не существует. Для популярных функции, мы помним, что происходит, например, мы должны помнить, что квадратный корень из x 2 не x , а | х |. Иногда, если мы имеем существование обратных функций только на частях реальная линия, это помогает разделить область, где мы решаем соответствующие частей, см. соответствующий раздел ниже.

    Неравенства

    С неравенствами мы можем иметь все проблемы, описанные выше, и некоторые другие. Опять же, мы можем прибавлять/вычитать из обеих частей неравенства без проблема, и все мы знаем, что при умножении/делении неравенства мы имеем чтобы узнать о знаке числа, на которое мы умножаем/делим. Если это число положительное, то сохраняем направление неравенства, но если оно отрицательно, мы должны обратить его. Если этот термин включает в себя неизвестное, то мы действительно не знаем знака и нам приходится решать неравенство несколько раз, чтобы охватить все возможные ситуации, см. часть Разделение реальной линии.

    При применении некоторой функции к неравенству возникают две проблемы. Один о отмена обратных функций, что вызывает те же проблемы, что и раньше. Однако здесь мы должны быть осторожны уже при применении функции к объекту. неравенство, потому что не всякая функция может быть применена к неравенствам. состояние простое. Могут применяться только монотонные функции; если функция, которую мы применяем, возрастает, мы сохраняем неравенство как было; если функция, которую мы применяем, уменьшается, то мы должны переключить направление неравенство. И опять же, иногда функция, которую мы применяем, является только монотонной где-то и все становится еще интереснее.

    Например, и логарифм, и экспонента являются возрастающими функциями. везде. Таким образом, мы можем решить неравенство e x  < 5 применяя логарифмирование к обеим сторонам без переключения направления, получаем ln( e x ) < ln(5), то есть x  < ln(5). С другой стороны, x 2 не является монотонно, поэтому в общем случае мы не можем возвести в квадрат обе части неравенства, только при некоторых особых обстоятельствах (например, если мы каким-то образом знаем, что оба стороны положительны, так как на положительной полуоси квадрат возрастает).

    Для популярных функций у нас есть приемы решения неравенств. Если многочлены вовлечены, мы можем использовать подход с помощью графиков или прием, описанный в части Знаковые неравенства. Картинки помогают и при работе с тригонометрическими функции, другой подход показан в последнем часть здесь.

    Знаковые неравенства

    Под знаковыми неравенствами мы понимаем неравенства, в которых одна сторона равна 0, тогда точное значение выражения на другой стороне не важно, важен только его знак. Эти неравенства могут быть решены довольно легко, если эта другая сторона может быть выражается в виде произведения и/или отношения простых членов, потому что знак произведение/отношение можно легко вывести из знаков его частей. Таким образом, это достаточно исследовать признаки отдельных факторов и потом ставить как-то вместе.

    Если повезет, каждое такое простое выражение будет непрерывным и, как таковое, он меняет знаки контролируемым образом. Именно, реальная линия распадается на несколько областей, на каждой из которых это выражение имеет только один знак, а точки расщепления (где меняются знаки) — это как раз те точки, где выражение равно нулю. Так как в каждом регионе знак один и тот же везде, мы учимся этому, просто выбирая оттуда какую-то точку и заменив его.

    Например, x 2  — 1 равно нулю в точках -1 и 1, поэтому реальная линия разбивается на области (−∞,−1),(−1,1) и (1,∞). С первого мы выберите, например, x  = −2, подставьте и получите 3 > 0, поэтому x 2  − 1 положительно на первом области, аналогично узнаем, что это выражение отрицательно на втором область и положительный на последней области.

    Отсюда получаем процедуру решения знаковых неравенств.

    Сначала найдем нулевые точки всех факторов. Затем мы используем их, чтобы разделить реальный линию на регионы. Для каждого региона находим признаки каждого фактора. Это делается путем выбора некоторой точки внутри этой области и подстановки ее в все факторы. Затем в каждом регионе сложим все признаки факторов с помощью алгебры знаков и получить знаки всего выражения. Напоследок на шаге собираем все области, где знак удовлетворяет заданному неравенству. Если неравенство точное, мы используем открытые интервалы. Если оно включает в себя равенство, то мы включать конечные точки, но только если они не вызывают проблем в выражении.

    Для линейных факторов все еще проще, так как линейные факторы меняют знак только один раз, в точке, где они равны нулю, поэтому для конкретного линейного фактора мы просто отметьте точку, где он равен нулю, и тогда везде будет один знак, чтобы справа, а другой слева. Чтобы найти, что есть что (будь то идут знаки — + или + -) мы просто заменить одну точку, кроме нулевой точки.

    Иногда мы разделяем не всю реальную линию, а только ее часть, это происходит, когда некоторые числа запрещены выражениями в неравенстве. Это случается не часто (обычно мы просто работаем с полиномами), но когда бывает, что на самом деле это не проблема, как вы увидите в следующем примере.

    Пример: Рассмотрим неравенство

    У нас есть одна проблема, логарифм принимает только положительные числа. релевантное неравенство равно x  + 2 > 0, поэтому с самого начала мы ограничиваем наши расчеты x  > −2. Теперь начинаем обычное алгоритм. Первые нулевые баллы. Уравнения 3 −  x  = 0, x  + 5 = 0, x  — 1 = 0,2 x  — 1 = 0,ln( x  + 2) = 0 есть решения  x  = 3,  x  = -5,  x  = 1,  x  = 1/2, и x  + 2 = 1, то есть x  = −1.

    Упорядочиваем эти точки и затем проверяем, как они разбивают регион (−2,∞) где мы работающий; в частности мы видим, что x  = −5 не попадает там и так это неактуально. Мы получаем области (−2,−1),(−1,1/2),(1/2,1),(1,3) и (3,∞). К для определения признаков в этих регионах воспользуемся таблицей.

    Мы хотим, чтобы выражение было положительным, поэтому нужные области (−2,−1),(1/2,1) и (1,3). Так как по неравенству допускается и нуль, проверяем какие концы этих трех интервалов не вызывают проблем. Мы видим, что −2 отсутствует из-за логарифма, 1/2 и 1 дают ноль в знаменателе, поэтому работает только пункт 3. Ответ:

    (−2,−1) ∪ (1/2,1) ∪ (1,3].

    Заметим, что это неравенство также можно решить, избавившись сначала от дробь, что означает, что мы хотели бы умножить обе части на знаменатель. Но для этого нам пришлось бы исследовать возможные признаки знаменателя, следовательно, нам пришлось бы разделить реальную прямую и решить несколько неравенств (см. раздел Разделение реальная линия), скорее всего, это было бы намного хуже, чем это решение. Определение признаков обычно является самым быстрым способом. Поэтому мы часто преобразуйте в этот тип и другие неравенства, например вот такие.

    Точки разделения 2 и 7, мы видим, что решение (−∞,2) ∪ (7,∞).

    Двойное неравенство

    Двойные неравенства выглядят как эти два примера.

    Обычно есть два возможных способа решения таких двойных неравенств. Один способ состоит в том, чтобы решить их обе одновременно, применяя операции ко всем трем стороны. Иногда это легко сделать, например, в первом примере.

    Решением является интервал (−3,1). Однако второй пример выглядит не так привлекательно. Первый шаг будет надо умножить все стороны на знаменатель x  + 3, но так как мы не знаем его знак, нам пришлось бы разделить реальную линию и решить всю задачу дважды. Мы покажем эту процедуру в части ниже, посвященной разделению реального линия, вы увидите там, что она немного длиннее.

    Второй возможный способ — просто решить каждое неравенство отдельно и затем пересекаем решения (мы хотим, чтобы оба неравенства были верны). Это часто легче, особенно если мы можем изменить два неравенства на знак неравенства. Это был бы мой предпочтительный способ для этого второго примера. Отзывать что знак «перевернутый V-образный» обозначает логическое «и».

    Разделение реальной линии

    Часто мы оказываемся в ситуации, когда решаем (не)равенство, но шаг, который мы которые мы собираемся сделать, требует определенного знания, которого у нас нет, а именно признак некоторого выражения. На это есть две самые популярные причины: мы хотим умножить/поделить неравенство на какое-то выражение, или мы хотим избавиться от абсолютного значения.

    Если это выражение включает неизвестное x , то мы не знаем его знак. Затем нам нужно исследовать обе возможности для знака, но каждый решение будет работать только на части реальной линии, на той части, где это выражение имеет именно этот знак. Таким образом, мы фактически разделяем реальную линию по нужному нам признаку и решаем задачу в каждой части отдельно, в конце возьмем объединение частных решений. Однако учтите, что любое результат, полученный при решении в одной конкретной области, действителен только в пределах этот регион, то есть все части за пределами этого региона должны быть проигнорированы (иными словами, любое решение, которое мы получаем в том или ином регионе, должно быть пересекается с этой областью, прежде чем мы будем использовать ее дальше).

    В качестве примера вернемся ко второму двойному неравенству выше. Мы хотели бы чтобы умножить все это на x  + 3, но для этого нам нужно знать его знак, чтобы мы знали, следует ли изменить направление неравенство. Есть две возможности, и нам нужно изучить обе. Мы видим что выражение положительно для x  > −3 и отрицательный для x  < −3, что определяет области в который мы разделяем настоящие линия. Затем решаем проблему в каждом регионе отдельно.

    Мы использовали открытые интервалы, поскольку мы не можем умножать (не)равенство на ноль, поэтому −3 отсутствует. Обратите внимание, как мы сначала пересекаем каждый результат с областью, в которой мы его получили. и только потом мы их складываем.

    Если у нас есть более проблемные термины, мы находим точки разделения для всех из них. а затем сделать универсальную разбивку реальной линии, чтобы на каждом участке каждый проблемный термин уже определен.

    Пример: Рассмотрим двойное неравенство

    Нам нужно знать знак х , чтобы избавиться от абсолютного значение, а также нам нужно знать знак x  + 1, чтобы мы можно умножить на него неравенства и избавиться от дробей. Таким образом, у нас есть две разделительные точки, x  = 0 и x  = −1, следовательно, три региона. Обратите внимание, что мы хотим умножить на x  + 1, поэтому этот член не может быть равен нулю, поэтому мы не можем иметь x  = −1, и мы помещаем туда открытые конечные точки. С другой стороны, с 9 проблем нет0014 x равно нулю, поэтому мы используем закрытые конечные точки. Вот так.

    Опять же, обратите внимание, как в каждой области мы пересекали полученное там решение с этим регионом, в конце мы использовали объединение для соединения всех решений.

    (Не)равенства с триггерными функциями

    Здесь мы просто покажем один полезный трюк. Отправная точка здесь проста (не)равенства, такие как sin( x ) = 1 или cos( x ) < 1/2. Лучший способ решить такие (не)равенства использовать соответствующий график. Вероятно, самый простой способ - сначала определить решение в течение одного периода, а затем добавить к нему периодичность.

    Для первого равенства мы сначала пришли бы к выводу, что на первом периоде синусов имеем решение x  = π/2, то добавляем периодичность: x  = π/2 + 2 k π.

    Второй пример работает аналогично. Из рисунка мы видим, что решение описывается неравенствами π/3 <  x  < 4π/3, затем мы добавляем периодичность:

    π/3 + 2 k π < x  < 4π/3 + 2 k π.

    Что делать, если аргумент триггерной функции каким-то образом трансформируется? Рассмотрим неравенство потому что (2 x  + 1) < 1/2. Как мы решаем это? Есть два популярных метода.

    Один метод напрямую использует изображение, но на этот раз нам нужно нарисовать график. cos(2 x  + 1). Для опытного ученика это нетрудно догадаться (см. Преобразования и график угадывание в функции — Обзор методов — Основные свойства реального функции). Однако это может быть сложно, поэтому некоторые люди (например, я) предпочитаю другой путь.

    Второй метод использует обычный график соответствующей триггерной функции и сначала делаем вид что их всего x в аргументе. Мы находим решение, как и раньше, но вместо x мы ставим выражение в аргументе и решить для x . В нашем примере это будет как это.

    Мы выразили ответ с помощью описания множества, а именно с помощью бесконечного union, но, как видите, когда у вас есть решение, описанное с помощью неравенства, легко перейти к интервалам. Преимущество этого заключается в том, что мы можем использовать его и для более общих преобразований, которые сложно рисовать, например, для решения таких неравенств: 0 ≤ тангенс( x 2 +1) < 1.

    CED.1.1 — Создавайте уравнения и неравенства с одной переменной и используйте их для решения задач. Включите уравнения, возникающие из линейных и квадратичных функций, а также простых рациональных, абсолютных и экспоненциальных функций.

    Экспорт

    Распечатать

    Связанные точки доступа

    Альтернативная версия этого контрольного показателя для учащихся со значительными когнитивными нарушениями.

    Связанные ресурсы

    Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.

    Уроки STEM — Активность по моделированию

    CollegeReview.com:

    Это задание по выявлению моделей, в ходе которого новый веб-сайт CollegeReview.com попросил студентов разработать систему ранжирования различных колледжей по пяти категориям; стоимость обучения, социальная жизнь, спорт, образование, городское население и начальная зарплата по окончании учебы.

    Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для выявления мыслей учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

    Поиск лучшего варианта трудоустройства:

    Учащиеся подтвердят свои знания о линейных уравнениях. Сможете применить концепцию к реальным жизненным ситуациям.

    Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

    Формирующие оценки MFAS

    Follow Me:

    Учащихся просят написать и решить уравнение, моделирующее экспоненциальную зависимость между двумя переменными.

    Музыкальный клуб:

    Ученикам дают реальный контекст и просят смоделировать ситуацию, написав, а затем решив многошаговое неравенство.

    Лоскутные одеяла:

    Учащимся предлагается написать и решить уравнение, моделирующее заданную задачу.

    Решение уравнений с абсолютными значениями:

    Учащимся предлагается решить набор уравнений с абсолютными значениями.

    Решение абсолютных неравенств:

    Учащимся предлагается решить набор абсолютных неравенств.

    Ярмарка штата:

    Учащимся предлагается написать и решить уравнение, моделирующее заданную задачу.

    Написание уравнений абсолютного значения:

    Учащимся предлагается решить набор уравнений абсолютного значения.

    Запись абсолютных неравенств:

    Учащихся просят написать неравенства абсолютных значений, чтобы представить отношения между значениями, описанными в текстовых задачах.

    Оригинальные учебные пособия для учащихся Математика — классы 9-12

    Решение неравенств и построение графиков решений. Часть 2:

    Узнайте, как решать составные неравенства и строить графики, а также определять, являются ли решения жизнеспособными, в части 2 этой серии интерактивных руководств.

    Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 1.

    Решение неравенств и построение графиков. Часть 1:

    Узнайте, как решить и построить график неравенств с одной переменной, включая составные неравенства, в части 1 этой серии интерактивных руководств.

    Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 2.

    Решение рациональных уравнений: перекрестное умножение:

    В этом интерактивном учебном пособии вы узнаете, как решать рациональные линейные и квадратные уравнения с помощью перекрестного умножения.

    Запись неравенств с деньгами, деньгами, деньгами:

    Напишите линейные неравенства для различных денежных ситуаций в этом интерактивном учебном пособии.

    Ресурсы для учащихся

    Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом эталонном тесте.

    Оригинальные учебные пособия для студентов

    Решение рациональных уравнений: перекрестное умножение:

    В этом интерактивном учебном пособии вы узнаете, как решать рациональные линейные и квадратные уравнения с помощью перекрестного умножения.

    Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

    Решение неравенств и построение графиков. Часть 2:

    Узнайте, как решать составные неравенства и строить графики, а также определять, являются ли решения жизнеспособными, в части 2 этой серии интерактивных учебных пособий.

    Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть часть 1.

    Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

    Решение неравенств и построение графиков. Часть 1:

    Узнайте, как решить и построить график неравенств с одной переменной, включая составные неравенства, в части 1 этого руководства. серия интерактивных уроков.

    Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 2.

    Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

    Написание неравенств с деньгами, деньгами, деньгами:

    Напишите линейные неравенства для различных денежных ситуаций в этом интерактивном учебном пособии.

    Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

    Задачи решения проблем

    Касса:

    Приведенные решения для этой задачи включают создание и решение системы двух уравнений и двух неизвестных, с оговоркой, что контекст задачи подразумевает, что нас интересуют только неотрицательные целые решения. Действительно, в первом решении мы должны также ограничиться случаем, когда одна из переменных далее четна. Этот аспект задачи иллюстрирует стандарт математической практики MP4 (Модель с математикой) и имеет решающее значение, поскольку система имеет целочисленное решение для обеих ситуаций, то есть независимо от того, включаем ли мы доллар на полу в кассу или нет. .

    Тип: Задание на решение проблем

    Сбор урожая на полях:

    Это сложная задача, подходящая для продолжительной работы и позволяющая глубже понять юниты. Студентам дается сценарий и предлагается определить количество людей, необходимых для выполнения объема работы в описываемое время. Задание требует от учащихся демонстрации, осмысления проблем и настойчивости в их решении. Алгебраическое решение возможно, но сложно; численное решение одновременно проще и сложнее, требует умелого использования единиц и количественных рассуждений. Таким образом, задача соответствует либо MAFS.912.A-CED.1.1 или MAFS.912.N-Q.1.1, в зависимости от подхода.

    Тип: Задание на решение задач

    Бросание мяча:

    Учащиеся манипулируют заданным уравнением, чтобы найти заданную информацию.

    Тип: Задание на решение задач

    Оплата аренды:

    Учащиеся решают задачи, отслеживая баланс расчетного счета, используемого только для оплаты аренды. Эта простая концептуальная задача фокусируется на том, что значит для числа быть решением уравнения, а не на процессе решения уравнений.

    Тип: Задание по решению проблем

    Покупка автомобиля:

    Учащиеся экстраполируют прейскурантную цену автомобиля, учитывая общую сумму, уплаченную в штатах с разными налоговыми ставками. Акцент в этой задаче делается не на сложных процедурах решения. Скорее, последовательность уравнений от двух, включающих разные значения налога с продаж, к одному, включающему налог с продаж в качестве параметра, предназначена для воспитания привычки искать регулярность в процедурах решения, чтобы учащиеся не приближались к каждое уравнение как новую задачу, но научитесь замечать знакомые типы.

    Тип: Задание по решению проблем

    Самолеты и пшеница:

    В этом ресурсе учащиеся обращаются к данной информации, которая определяет 5 переменных в контексте реальных государственных расходов. Затем их просят написать уравнения, основанные на конкретных известных значениях некоторых переменных. Акцент делается на составлении, а не решении уравнений.

    Тип: задача решения проблем

    Учебники

    Как вычислить выражение с переменными:

    Узнайте, как вычислить выражение с переменными, используя технику подстановки (или «вставки»).

    Тип: Учебник

    Что такое переменная?:

    Здесь мы сосредоточимся на том, чтобы понять, что переменная — это просто буква или символ (обычно строчная буква), который может представлять различные значения в выражении. Мы получили это. Просто смотри.

    Тип: Учебное пособие

    Расчет смесей растворов:

    В этой лекции показано, как алгебра используется для решения задач, связанных со смесями растворов разной концентрации.

    Тип: Учебник

    Видео/аудио/анимация

    Решение задач о смесях с помощью линейных уравнений:

    Задачи о смесях могут включать в себя смеси других вещей, кроме жидкостей. В этом видео показано, как можно использовать алгебру для решения задач, связанных со смешением элементов разных типов.

    Тип: видео/аудио/анимация

    Использование системы уравнений в сравнении с одним уравнением:

    Когда для решения задачи по алгебре следует использовать систему уравнений с несколькими переменными, а не одно уравнение с одной переменной?

    Тип: Видео/Аудио/Анимация

    Усреднение:

    В этом видеоруководстве Академии Хана представлены усреднения и задачи по алгебре, связанные со средними значениями.

    Тип: видео/аудио/анимация

    Родительские ресурсы

    Проверенные ресурсы, которые воспитатели могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте.

    Задачи решения проблем

    Касса:

    Приведенные решения для этой задачи включают создание и решение системы двух уравнений и двух неизвестных, с оговоркой, что контекст задачи подразумевает, что нас интересуют только неотрицательные целые решения. Действительно, в первом решении мы должны также ограничиться случаем, когда одна из переменных далее четна. Этот аспект задачи иллюстрирует стандарт математической практики MP4 (Модель с математикой) и имеет решающее значение, поскольку система имеет целочисленное решение для обеих ситуаций, то есть независимо от того, включаем ли мы доллар на полу в кассу или нет. .

    Тип: Задание на решение задач

    Сумма углов многоугольника:

    Эта задача дает учащимся возможность обнаружить алгебраическую структуру в геометрическом контексте. В частности, учащемуся нужно будет разделить заданные многоугольники на треугольники, а затем использовать тот факт, что сумма углов в каждом треугольнике равна 180 ° .

    Тип: Задание на решение проблем

    Сбор урожая на полях:

    Это сложная задача, подходящая для продолжительной работы и позволяющая глубже понять юниты. Студентам дается сценарий и предлагается определить количество людей, необходимых для выполнения объема работы в описываемое время. Задание требует от учащихся демонстрации, осмысления проблем и настойчивости в их решении. Алгебраическое решение возможно, но сложно; численное решение одновременно проще и сложнее, требует умелого использования единиц и количественных рассуждений. Таким образом, задача соответствует либо MAFS.912.A-CED.1.1 или MAFS.912.N-Q.1.1, в зависимости от подхода.

    Тип: Задание на решение задач

    Бросание мяча:

    Учащиеся манипулируют заданным уравнением, чтобы найти заданную информацию.

    Тип: Задание на решение задач

    Оплата аренды:

    Учащиеся решают задачи, отслеживая баланс расчетного счета, используемого только для оплаты аренды. Эта простая концептуальная задача фокусируется на том, что значит для числа быть решением уравнения, а не на процессе решения уравнений.

    Тип: Задание по решению проблем

    Покупка автомобиля:

    Учащиеся экстраполируют прейскурантную цену автомобиля, учитывая общую сумму, уплаченную в штатах с разными налоговыми ставками. Акцент в этой задаче делается не на сложных процедурах решения. Скорее, последовательность уравнений от двух, включающих разные значения налога с продаж, к одному, включающему налог с продаж в качестве параметра, предназначена для воспитания привычки искать регулярность в процедурах решения, чтобы учащиеся не приближались к каждое уравнение как новую задачу, но научитесь замечать знакомые типы.

    Тип: Задание по решению проблем

    Самолеты и пшеница:

    В этом ресурсе учащиеся обращаются к данной информации, которая определяет 5 переменных в контексте реальных государственных расходов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.