Уравнения с заменой как решать: Методы решения уравнений: замены, подстановки, примеры, тесты

Замена переменной в уравнениях. Мини — курс. 8 видео уроков. — Math

Замена переменной в уравнениях. Мини — курс. 8 видео уроков.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Уравнения, приводящиеся к квадратным путем замены переменной. Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 2. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Биквадратные уравнения. Уравнения 4-й степени. Замена переменной в уравнениях. Решение уравнений, приводящихся к квадратным, путем замены переменной. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

 

Урок 3. Замена переменной. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Алгебра 8 класс.

 

Урок 4. Замена переменной в уравнениях, приводящихся к квадратным. 

Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.

Пример 1: Решите уравнение методом замены переменной:

• 1) (x — 2)(x — 4)(x — 6)(x — 8) = 9
• 2) x(x +2)(x +3)(x +5) = 27

Если необходимо решить уравнение вида (x+A)(x+B)(x+C)(x+D) = m где А, В, С, D и m — некоторые константы, то группируем попарно скобки таким образом, чтобы была равна сумма констант, входящих в эти скобки.

Например, если А+D = В+C, то записываем: (x+A)(x+D)(x+B)(x+C) = m

• Попарно раскрываем скобки: (x2+Ax+Dх + AD)(x2+Bx+Cх +DC) = m (x2+(A+D)х + AD)(x2+(B+C)х + DC) = m
• Делаем замену x2+(A+D)х = t Получаем уравнение (t + AD)(t + DC) = m
• После раскрытия скобок получим обычное квадратное уравнение.

 Урок 5. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Решение рационального уравнения заменой. Обратные числа. Какие числа называются взаимно обратными? Взаимно-обратные дроби. Как правильно сделать замену взаимно-обратных дробей. Примеры с решением. Задания с объяснением.

 

Урок 6. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной. Алгебра 8 класс.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Как правильно возвести в квадрат при замене переменной. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 7. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в рациональном уравнении? Уравнения 4-й степени. Понизить степень уравнения, сделав замену. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

 

 Урок 8. Замена переменной. Решение уравнений. Однородные уравнения.

Однородные уравнения второй степени. Определение однородного уравнения. Методы решения однородных уравнений. Как понять, что уравнение однородное. Решение однородных уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом замены переменной. Решить уравнение. Решить заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Алгебра 8 класс.

 

Полезные материалы:

Теорема Виета. Мини — курс. 9 видео уроков.

Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к квадратным. Мини-курс. 9 видео уроков.

Алгебра 8 класс. Тест.

Информация о материале

Автор: Math

Категория: Алгебра 8 класс.

• Назад
• Вперед

Добавить комментарий

Показательные уравнения. Решения

Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения a^x=b решают логарифмированием x=log[a](b).

При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .

Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
При этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.
Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.

На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.

Пример 1.Решить показательное уравнение

Решение. Перепишем уравнение к следующему виду

Второе слагаемое распишем как произведение

и сделаем замену в уравнении

Исходное уравнение преобразуем к следующему

Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону

Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения

Возвращаемся к замене и находим решения


Выполняем проверку


Итак оба решения удовлетворяют уравнению.

 

Пример 2. Решить показательное уравнение

Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде

Приравнивая показатели находим

 

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.


Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант

Корни уравнения приобретут значения



Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.

 

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение

Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим

Выполняем замену

Уравнение превратится к квадратному


Вычисляем дискриминант

Найденное значение подставляем в формулу корней


Возвращаемся к замене и находим


Задача решена.

 

Пример 5.Решить уравнение

Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный вид
Рассмотрим оба метода.
1. Прологарифмируем обе части равенства

Раскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестных


Такой интересный результат.

2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9

Группируя слагаемые содержащие переменную получим


Оба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.

 

Пример 6.Решить уравнение

Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к виду

Все слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному виду

После этого выполняем замену

Уравнение переписываем в виде

Умножаем на переменную и решаем квадратное уравнение


Дискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадают

Возвращаемся к замене и решаем


Итак x=2 — единственное решение.
Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразования

Нужно это уравнение преобразовать к квадратному



Выполним замену

и перепишем уравнение в виде следуещого

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Возвращаемся к совершенной замене

Такое уравнение сводим к квадратному, выполнив замену

В результате получим

Решаем через дискриминант


Возвращаемся к замене и определяем переменную x

Второе значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция всюду положительная.
Решаем вторую половину задачи

Используя предыдущую замену получим

Дискриминант примет значение

Находим корни уравнения

Первый корень имеет место бить, второй — отрицательный и не подходит.

Получили два решения показательного уравнения

Хорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.

Похожие материалы:

• Решение показательных уравнений
• Показательные уравнения на примерах

Задача 13 (С1). Методы решения уравнений. — Математика

Методы решения уравнений.

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения, однако на ЕГЭ часто можно встретить уравнение или неравенство, сводимое к квадратному. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным или понизить их степень, используя разложение на множители. Основные методы, которые мы сегодня рассмотрим, понадобятся нам при решении задач 13 и 15 подготовки к ЕГЭ. Методов решения уравнений гораздо больше, мы рассмотрим только те, которые могут встретиться на ЕГЭ при решении задач части С.

Методы решения уравнений:

а) метод разложения на множители;

б) метод введения новой переменной;

в) графический метод;

г) метод оценки области значений.

Разложение на множители важный метод, и часто он встречается в паре с заменой переменной. Сегодня мы рассмотрим этот метод на обычных уравнениях, на следующем занятии мы посмотрим, как этот метод применяется с тригонометрическими формулами. Также рассмотрим метод замены переменной и все, что с ним связано.

Метод разложения на множители.

Пусть дан многочлен P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …+a₁x + a₀ , где a_n ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a_n = 1, то целые корни уравнения P_n(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a₀. Например, x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P₄(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P₄(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P₄(x) = (x – 1)(x³ + 3x² + x – 5).

Аналогично, P₃(1) = 0, тогда P₄(x) = (x – 1)(x – 1)(x² + 4x +5), т.е. уравнение P₄(x) = 0 имеет корни x₁ = x₂ = 1. Два корня найдены, остается рассмотреть, есть ли решения у квадратного трехчлена в скобках.

Уравнения высших степеней.

1) биквадратное уравнение ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2 – вводится замена   

Пример:

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты  a b c b a или

ax⁴ + bx³ + cx²  – bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a 

Т. к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x², тогда получаем: .

Произведя замену  решаем квадратное уравнение a(t² – 2) + bt + c = 0

Пример:

Решить уравнение x⁴ –  2x³ – x² – 2x + 1 = 0.

Делим обе части на x²,

, после замены  получаем уравнение t² – 2t – 3 = 0

 – уравнение не имеет корней.

Ответ: 

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = A, коэффициенты a+b = c+d

Вводится замена

5) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax², коэффициенты ab = cd решается группировкой и делением на х², после чего подбирается замена.

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x². Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x² + 14x + 24)(x² +11x + 24) = 4x², разделим обе части уравнения на x², получим:

 имеем  (t + 14)(t + 11 ) = 4.

6) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Пример:

Ответ: -2; -0,5; 0

Задачи к уроку:

1. Решите уравнение методом разложения на множители: 

2. Решите уравнение методом разложения на множители: 

3. Решить уравнение x⁴ –  2x³ – x² – 2x + 1 = 0.

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Решить уравнение:

7. Решите уравнение методом замены переменной:

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Сведите к квадратному уравнение:

4. Сведите к квадратному уравнение:

5. Сведите к квадратному, сделав замену:

6. Решить уравнение:

7. Сведите к квадратному, сделав замену:

8. Сведите к квадратному, сделав замену:

9. Приведите уравнение к квадратному:

Нестандартные методы решения:

1. Решить уравнение, предварительно учтя ОДЗ:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение, оценив область значений:

4. Найдите количество корней уравнения

5. Решить уравнение

Тригонометрические уравнения

Материал к уроку 4. 12.16.

Решите уравнения, используя разложение на множители, замену переменной, введение вспомогательного угла или универсальную тригонометрическую подстановку:

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение .

3. Решите уравнение:

4. Решить уравнение Найти все корни, принадлежащие промежутку .

5. Решить уравнение .

6. Решить уравнение .

7. Решить уравнение .

Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
• Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
• Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
• Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Задание 1.

Представьте в виде произведения:

Решение:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Задание 2.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

Ответ: 0,25

Задание 3.

Проверьте равенство:

Решение:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Теорема

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Пример3.

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Рассмотрим пример.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Решите уравнение:

Решение:

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Решите уравнение:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Получим, что

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что,  .

Ответ: ,  .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Решение:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

A=1

подсказка

B=2

замена

C=6

Период

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

a=1 ВАРИАНТ

b=7 МНОЖИТЕЛЬ

c=7 СЛАГАЕМОЕ

Ответ:

Материал для подготовки к заданию номер 12 из ЕГЭ по профильной математике — Егор Бородин на vc.ru

Все уравнения можно разделить на несколько групп:

698 просмотров

— Целые рациональные уравнения

— Дробно-рациональные уравнения

— Иррациональные уравнения

— Тригонометрические уравнения

— Показательные уравнения

Каждая группа уравнений имеет свои особенности. На первый взгляд может показаться, что это очень большой материал и на его изучение понадобится много времени, однако на самом деле для подготовки в экзамену и выполнению задания номер 12 можно подготовиться достаточно быстро, используя верно подобранные материалы и разбирая примеры заданий

Комбинируя все представленные в данных материалах способы и обладая базовыми знаниями математики, можно успешно решить большинство уравнений, которые могут встретиться учащимся во время обучения в средней и старшей школе а так же успешно решить задания на данную тему в контрольно-измерительных материалах

СОВЕТ: после прохождения какой-либо темы в моём пособии, необходимо прорешать похожие уравнения (этой же группы) на одном из подобранных мной сайтов (смотрите ниже)

Часть I. Способы решения уравнений. Метод “Замена переменной”

Уравнение вида af²(x)+bf (x)+c=0 Такие уравнения (их иногда называют трехчленными) являются одними из наиболее распространенных. Скорее всего, самый известный и яркий пример этого типа уравнений — биквадратное уравнение ax⁴ + bx2 + c = 0 (здесь f (x) = x 2 ). Заменой переменной t = f (x) трехчленное уравнение сводится к квадратному относительно переменной t уравнению at² + bt + c = 0

Решить уравнение (2x² – 3x + 1) = 22x² – 33x + 1.

Решение:

Пример1

Перепишем уравнение в виде

(2x² – 3x + 1)² = 11(2x² – 3x) + 1. Произведем замену. Пусть 2x² – 3x = a, тогда уравнение примет вид:

(a + 1)² = 11a + 1.

a² + 2a + 1 = 11a + 1;

a² – 9a = 0.

В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки и получим следующее:

a(a – 9) = 0;

a= 0 или a= 9 (записывается как система).

2x² – 3x = 0 или 2x² – 3x = 9

x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2

Ответ: x=0, x=3, x=+-3/2

Пример 2

Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297

Решение: Попытаемся перемножить между собой множители и получим

((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;

(x² + 5x – x – 5)(x² + 7x – 3x – 21) = 297;

(x² + 4x – 5)(x² + 4x – 21) = 297.

Замечаем замену x² + 4x = a, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

(a – 5)(a – 21) = 297.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

a² – 21a – 5a + 105 = 297;

a² – 26t – 192 = 0.

По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.

После обратной замены будем иметь:

x² + 4x = -6 или x² + 4x = 32

x² + 4x + 6 = 0 x² + 4x – 32 = 0

D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0

Нет корней x1 = -8; x2 = 4

Ответ: x=-8; x=4

Метод “Применение свойств функции”

Некоторые (не обязательно целые) уравнения могут быть решены с помощью таких свойств функций, как монотонность и ограниченность. Приведем простой пример решения уравнения таким методом

Решим данное нам уравнение:

Решение.

Каждая из корней в правой части уравнения — возрастающая функция, которая при любом x будет принимать только положительные значения. Значит и их сумму тоже будет принимать значение больше или равные нулю. Значение в правой части уравнения меньше 0, из этого следует, что уравнение не будет иметь решения

Ответ: нет корней

Для дробно-рациональных уравнений метод “применения свойств” функции также будет очень эффективным

Алгебраические преобразования для решения уравнений

Одним из основных способов сведения уравнения к одному или нескольким простейшим являются алгебраические преобразования одной или обеих его частей, позволяющие свести дробно-рациональное уравнение к целому. В некоторых случаях для решения рациональных уравнений приходится применять искусственные приемы: добавление и вычитание одного и того же числа и т. п.

Тригонометрические уравнения

Основной идеей при решении тригонометрических уравнений является сведение большого многочлена к простейшему уравнению вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. А потом они уже решаются при помощи числовой окружности. Но при этом для решения этого типа уравнений так же подходят изученные нами ранее способы: замена переменной, алгебраические преобразования и, конечно, применение свойств функции

Представленный выше пример является простейшим тригонометрическим уравнением вида tg x = a, который мы решали используя тригонометрический круг

Теперь рассмотрим пример уравнения, где необходимо выполнить преобразования для того, чтобы прийти к простейшему тригонометрическому уравнению

Теперь предлагаю разобрать одно из самых сложных заданий на эту тему по данным сайта Решуегэ. РФ

Логарифмические уравнения

Основная идея решения любого логарифмического уравнения —

сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, а ос-

новными средствами реализации этой идеи являются следующие:

• равносильные преобразования,

• переход к уравнению-следствию,

• разложение на множители,

• замена переменной,

• применение свойств функций.

Решение большинства логарифмических уравнений после некото-

рых преобразований сводится к решению логарифмического уравне-

ния вида logh(x)

f (x)=logh(x)

g(x) или совокупности таких уравнений.

Приведем соответствующее равносильное преобразование:

Часть II. Решение систем уравнений. Системы целых алгебраических уравнений

Основными методами решения систем, содержащих нелинейные урав-

нения, являются следующие:

• подстановка,

• замена переменной,

• алгебраическое сложение,

• разложение на множители.

Рассмотрим пример решения систем целых алгебраических уравнений:

При возможности, нужно решать по одному уравнению день за днём. Причём я рекомендую делать так: 2 дня решать тригонометрические уравнения, 1 день показательные и 1 день логарифмические. Это будет наиболее эффективный метод подготовки к решению задания номер 12 из егэ по профильной математике

Ссылки для тренировки:

Тригонометрические уравнения

Иррациональные уравнения

Показательные уравнения

Уравнения смешанного типа

Банк заданий с уравнениями от ФИПИ

Дифференциальное уравнение Бернулли | Математика

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

   

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

   

в линейное уравнение

   

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли  с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения —  как и при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: [u’x+u]v+v’ux=-xu²v²   (I)          (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

   

   

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем [u’x+u]=0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на  v²≠0:

   

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

   

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: [2u’+2u]+2v’u=xu²v² (II).

  Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

   

3) Подставляем во (II) [2u’+2u]=0 и

   

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

   

Интегрируем:

   

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

   

   

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

   

А так как

   

Сделаем С=-С:

   

   

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

   

Это — уравнение Бернулли,

   

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

[x²(x-1)u’-x(x-2)u]v+x²(x-1)v’u=u²v²      (III).    Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках:  x²(x-1)u’-x(x-2)u=0,  отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

   

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

   

При x=1:  1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0:  0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

   

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем [x²(x-1)u’-x(x-2)u]=0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

   

v’=dv/dx, подставляем:

   

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

   

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

   

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

   

Ответ:

   

Примеры для самопроверки:

   

   

Показать решение

 

Решение простых уравнений

Решая простое уравнение, думайте об уравнении как о балансе, где знак равенства (=) является точкой опоры или центром. Таким образом, если вы делаете что-то с одной частью уравнения, вы должны сделать то же самое с другой стороной. Выполняя одно и то же действие с обеими сторонами уравнения (скажем, прибавляя по 3 к каждой стороне), уравнение остается сбалансированным.

Решение уравнения – это процесс получения искомого или решения по одну сторону знака равенства, а всего остального по другую. Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете для x , вы должны получить x  с одной стороны.

Уравнения сложения и вычитания

Некоторые уравнения включают только сложение и/или вычитание.

Пример 1

Найдите x .

x + 8 = 12

Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x отдельно с одной стороны. Следовательно, вычтите 8 с обеих сторон.

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте его в уравнение:

 

Пример 2

Найдите y .

г  – 9 = 25

Чтобы решить это уравнение, вы должны получить y отдельно с одной стороны. Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.

Для проверки просто замените y на 34:

 

Пример 3

Найдите x .

x  + 15 = 6

Чтобы решить, вычтите 15 с обеих сторон.

Для проверки просто замените x на –9 :

.

 

Обратите внимание, что в каждом случае выше используются противоположные операции  ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете из каждой стороны.

Уравнения умножения и деления

Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится в одной части уравнения, но имеется более одной переменной, например 2  x или часть переменной, например

или

Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число  , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.

Пример 4

Найдите x .

3 x = 9

Разделите каждую часть уравнения на 3.

Для проверки замените x на 3:

 

Пример 5

Найдите y .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.

Для проверки замените y на 35:

 

Пример 6

Найдите x .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на .

Или без отмены

 

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1  x или x .

Комбинации операций

Иногда для решения уравнения приходится использовать более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните шаг сложения или вычитания. Затем, после того как вы отсортировали переменные с одной стороны, а числа с другой, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней:  x , а не 2 x ).

Пример 7

Решите для х .

2 x + 4 = 10

Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x отдельно с одной стороны.

Затем разделите обе части на 2, чтобы получить x .

Для проверки подставьте свой ответ в исходное уравнение:

 

Пример 8

Найдите x .

5x  – 11 = 29

Добавьте 11 с обеих сторон.

Разделите каждую сторону на 5.

Для проверки замените x на 8:

 

Пример 9

Найдите x .

Вычтите 6 с каждой стороны.

Умножить каждую сторону на .

Для проверки замените x на 9:

Пример 10

Найдите y .

Добавьте 8 с обеих сторон.

Умножить каждую сторону на .

Для проверки замените y на -25:

Пример 11

Найдите x .

3 x + 2 = x + 4

Вычесть 2 с обеих сторон (то же самое, что добавить -2).

Вычтите x  с обеих сторон.

Обратите внимание, что 3  x  –  x  равно 3  x  – 1  x .

Разделите обе части на 2.

Для проверки замените x на 1:

 

Пример 12

Найдите y .

5 у + 3 = 2 у + 9

Вычесть 3 с обеих сторон.

Вычтите 2  y  с обеих сторон.

Разделите обе части на 3.

Для проверки замените y на 2:

 

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед тем, как начать процесс сортировки.

Пример 13

 Найти x .

3 x + 4 + 2 = 12 + 3

Во-первых, упростите каждую сторону.

Вычесть 6 с обеих сторон.

Разделите обе части на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 14

Найдите x .

4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11

Упростите каждую сторону.

6 x + 4 = 5 x + 14

Вычесть 4 с обеих сторон.

Вычтите 5 x с обеих сторон.

Для проверки замените x на 10:

Методы подстановки и сложения

Результаты обучения

• Используйте метод подстановки, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.
• Используйте метод сложения, чтобы найти решение(я) системы линейных уравнений.

Решение систем уравнений путем подстановки

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые являются более точными, чем построение графика. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.

Как: Дана система из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.

1. Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
4. Проверьте решение обоих уравнений.

Пример.

Решение системы уравнений с двумя переменными путем замены

Решите следующую систему уравнений путем замены.

[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Вы можете использовать онлайн-инструмент для построения графиков, который поможет вам решить систему уравнений путем подстановки. Мы будем использовать следующую систему, чтобы показать вам, как это сделать:

[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]

Сначала решите оба уравнения для y:

[latex]\begin{align}y&=x-3 \\ y&=\frac{3}{2}x — 2 \end{align}[/latex]

Теперь введите [latex]x-3=\frac{3}{2}x — 2[/latex] в Desmos. Вы увидите, что Desmos предоставил вам [latex]x = -2[/latex].

Теперь вы можете подставить [латекс]х = -2[/латекс] в оба уравнения. Если вы получите одинаковый результат для обоих, вы нашли решение упорядоченной пары. Попробуйте.

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится около 10 минут и содержит мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений. Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения. В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.

Как: Имея систему уравнений, решить ее методом сложения.

1. Напишите оба уравнения с x – и y – переменными слева от знака равенства и константами справа.
2. Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]

Показать решение

Ключевые выводы

Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]

Показать раствор

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=8\\ 3x+5y&=10\end{align}[/latex]

Показать решение

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Дифференциальные уравнения — Подстановки

Онлайн-заметки Пола
Дом / Дифференциальные уравнения / DE первого порядка / Замены

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Замена

9{1 — п}}\). Используя эту замену, мы смогли преобразовать дифференциальное уравнение в форму, с которой мы могли иметь дело (линейную в данном случае). В этом разделе мы хотим рассмотреть пару других замен, которые можно использовать для приведения некоторых дифференциальных уравнений к разрешимой форме.

Первая подстановка, которую мы рассмотрим, потребует, чтобы дифференциальное уравнение имело вид

. \[у’ = F\влево ({\ гидроразрыва {у} {х}} \вправо)\]

Дифференциальные уравнения первого порядка, которые могут быть записаны в этой форме, называются однородными дифференциальными уравнениями. Заметьте, что обычно нам придется немного переписать, чтобы привести дифференциальное уравнение в правильную форму.

После того, как мы убедились, что дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, и записали его в правильной форме, мы используем следующую замену.

\[v\влево( х \вправо) = \frac{y}{x}\]

Затем мы можем переписать это как

. \[у = хв\]

, а затем, вспомнив, что и \(y\), и \(v\) являются функциями \(x\), мы можем использовать правило произведения (напомним, что это неявное дифференцирование из Исчисления I) для вычисления,

\[у’ = v + xv’\]

При этой замене дифференциальное уравнение будет таким:

\[\begin{align*}v + xv’ & = F\left( v \right)\\ x v’ & = F\left( v \right) — v\hspace{0. 25in} \Rightarrow \hspace{0.25 in}\frac{{dv}}{{F\left( v \right) — v}} = \frac{{dx}}{x}\end{align*}\] 92}}}\end{выравнивание*}\]

В этот момент, вероятно, будет лучше продолжить и применить начальное условие. Выполнение этого дает,

\[49 = \frac{{c — 4\left( {16} \right)}}{{2\left( 4 \right)}}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}c = 456\]

Обратите внимание, что мы могли бы также преобразовать исходное начальное условие в условие с точки зрения \(v\), а затем применить его при решении разделимого дифференциального уравнения. Однако в данном случае, вероятно, было немного проще сделать это в терминах \(y\), учитывая все логарифмы в решении разделимого дифференциального уравнения. 94} & \le 114\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} — 3.2676 \le x \le 3.2676\end{align*}\]

Итак, у нас есть два возможных интервала действия,

\[ — 3,2676 \le x < 0\hspace{0,25in}0 < x \le 3,2676\]

, и начальное условие говорит нам, что оно должно быть \(0 < x \le 3,2676\).

График решения,

Пример 2. Решите следующую IVP и найдите интервал действия решения. \[x\,y’ = y\left( {\ln x — \ln y} \right)\hspace{0.25in}y\left(1\right) = 4,\hspace{0.25in}x > 0 \]

Показать решение

На первый взгляд это дифференциальное уравнение выглядит неоднородным. Однако с помощью свойства быстрого логарифмирования мы можем переписать это как

. \[y’ = \frac{y}{x}\ln \left( {\frac{x}{y}} \right)\]

Очевидно, что в этой форме дифференциальное уравнение является однородным. Применение замены и разделения дает,

\[\ begin{align*}v + xv’ & = v\ln \left( {\frac{1}{v}} \right)\\ xv’ & = v\left({\ln \left({ \frac{1}{v}} \right) — 1} \right)\\ \frac{{dv}}{{v\left( {\ln \left( {\frac{1}{v}} \ справа) — 1} \справа)}} & = \frac{{dx}}{x}\end{align*}\]

Интегрируйте обе стороны и немного перепишите, чтобы получить

\[\begin{align*} — \ln \left( {\ln \left({\frac{1}{v}} \right) — 1} \right) & = \ln x + c\\ \ln \left( {\ln \left({\frac{1}{v}} \right) — 1} \right) & = c — \ln x\end{align*}\]

Вы смогли сделать интеграл слева направо? В нем использовалась замена \(u = \ln \left({\frac{1}{v}} \right) — 1\).

Теперь найдите \(v\) и обратите внимание, что нам нужно несколько раз возвести в степень обе части и снова играть быстро и без ошибок с константами. 9{\,\frac{{1 + \ln 4}}{x}\, — \,1}}\]

Нам явно нужно избегать \(x = 0\), чтобы избежать деления на ноль, и поэтому с начальным условием мы можем видеть, что интервал действия равен \(x > 0\).

График решения:

Для следующей подстановки, которую мы рассмотрим, нам понадобится дифференциальное уравнение в форме

. \[y’ = G\влево( {ax + by} \вправо)\]

В этих случаях мы будем использовать замену

\[v = ax + by\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v’ = a + by’\]

Подстановка этого в дифференциальное уравнение дает

\[\begin{align*}\frac{1}{b}\left( {v’ — a} \right) & = G\left( v \right)\\ v’ & = a + bG\left( v \right)\hspace{0. 25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\frac{{dv}}{{a + bG\left( v \right)}} = dx\end{align*}\]

Таким образом, с помощью этой замены мы сможем переписать исходное дифференциальное уравнение в виде нового разделимого дифференциального уравнения, которое мы сможем решить. 92} = 0\hspace{0,25 дюйма}y\влево(0\вправо) = 2\]

Показать решение

В этом случае мы будем использовать замену.

\[v = 4x — y\hspace{0.25in}v’ = 4 — y’\]

Обратите внимание, что мы не включили «+1» в нашу замену. Обычно в замену включается только часть \(ax + by\). Бывают случаи, когда включение дополнительной константы может изменить сложность процесса решения, сделать ее проще или сложнее, однако в этом случае это не имеет большого значения, поэтому мы не будем включать ее в нашу замену. 92} — 4}} & = — dx\end{align*}\]

Как мы показали выше, мы определенно имеем разделимое дифференциальное уравнение. Также обратите внимание, что для облегчения процесса решения мы оставили знак минус справа. Нам нужно будет интегрировать обе части, и для того, чтобы сделать интеграл слева, нам нужно будет использовать частичные дроби. Мы предоставим вам заполнить недостающие детали, и, учитывая, что в нескольких главах мы будем выполнять довольно много работы с неполными дробями, вы действительно должны убедиться, что вы можете сделать недостающие детали. 92} + 2v — 3}}}} = \int{{\frac{{dv}}{{\left({v + 3} \right)\left({v — 1} \right)}}}} & = \int{{ — dx}}\\ \frac{1}{4}\int{{\frac{1}{{v — 1}} — \frac{1}{{v + 3}}dv }} & = \int{{ — dx}}\\ \frac{1}{4}\left( {\ln \left( {v — 1} \right) — \ln \left( {v + 3} \right)} \right) & = — x + c\\ \ln \left( {\frac {{v — 1}}{{v + 3}}} \right) & = c — 4x\end{align *}\]

Обратите внимание, что мы играли немного быстро и лузово с константами выше. Следующий шаг довольно запутанный, но его необходимо выполнить, и он состоит в том, чтобы найти \(v\) и отметить, что мы снова будем играть быстро и свободно с константами, где нам это сойдет с рук, и мы будем пропускать несколько шагов, которые у вас не должно возникнуть проблем с проверкой. 9{ — 4x\,}}\end{выравнивание*}\]

На этом этапе мы должны немного отступить и отметить, что мы больше не можем играть быстро и свободно с константами. Мы смогли сделать это на первом шаге, потому что \(c\) появился в уравнении только один раз. Однако в этот момент \(c\) появляется дважды, поэтому мы должны сохранить их. Если бы мы «поглотили» 3 в \(c\) справа, «новый» \(c\) отличался бы от \(c\) слева, потому что \(c\) слева не 3 тоже нет. 9{ — 4x\,}}}}\]

Обратите внимание, что, поскольку экспоненты существуют везде, а знаменатель второго члена всегда положителен (поскольку экспоненты всегда положительны, и добавление к ним положительной единицы не изменит того факта, что она положительна), интервал достоверности для этого решения будет все действительные числа.

Вот график решения.

Пример 4. Решите следующую IVP и найдите интервал достоверности решения. \[y’ = {{\bf{e}}^{9x} < \frac{9}{8}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}x < \ln \frac{9}{8} = 0,1178\]

Вот график решения.

Как в этом, так и в предыдущем разделе мы видели, что иногда подстановка берет дифференциальное уравнение, которое мы не можем решить, и превращаем его в такое, которое мы можем решить. Эта идея замен является важной идеей, и ее не следует забывать. Не каждое дифференциальное уравнение можно упростить с помощью замены, и нет способа показать каждую возможную замену, но помнить, что замена может работать, полезно. Если вы застряли на дифференциальном уравнении, вы можете попробовать посмотреть, сработает ли какая-то замена.

Перестановка уравнений

Уравнения как важный геологический инструмент

Показать титры

Скрыть

Профессор говорит на «Математике», что может показаться другим языком! фото Дженнифер М. Веннер.

Иногда может показаться, что ваш инструктор по геофизике говорит на другом языке, когда говорит об уравнениях или формулах. Особенно, если он/она ожидает, что вы «манипулируете» ими или переставите их! Но уравнения могут предоставить мощные инструменты для описания мира природы. В науках о земле мы можем описать поведение многих природных явлений, написав уравнение для линии ( y = mx + b ), или с экспоненциальными функциями ( y = e ^xt ). И с помощью небольшой алгебры мы можем изменить эти уравнения, чтобы решить ЛЮБУЮ из переменных в них.

Хотя это может показаться магией, для этого не нужно быть «математиком». Эта страница предназначена для того, чтобы дать вам некоторые инструменты, которые помогут вам изучить некоторые простые шаги, которые помогут вам решить уравнение для любой из переменных (буквы, которые представляют интересующий элемент или количество).

Зачем мне манипулировать уравнениями?

Показать титры

Скрыть

Фотография жонглирования Кена Эндрюса (ученый из Лаборатории реактивного движения). Изменено Джен Веннер.

Хотите верьте, хотите нет, но есть много веских причин, чтобы развить способность переставлять уравнения, важные для наук о Земле. Это может сэкономить время, помочь вам с единицами и сэкономить место в мозгу! Вот несколько причин для развития навыков работы с уравнениями (в произвольном порядке):

• С уравнениями работать проще до вставка цифр! И если вы можете изолировать переменную в одной части уравнения, оно применимо к любой подобной задаче, которую вам нужно решить для этой переменной!
• Если вы знаете, как манипулировать уравнениями, вам нужно запомнить только одно уравнение, в котором есть все интересующие вас переменные — вы можете манипулировать им, чтобы решить любую другую переменную! Это означает меньше запоминания!
• Работа с уравнениями может помочь вам отслеживать (или вычислять) единицы измерения числа. Поскольку единицы определяются уравнениями, если вы манипулируете, подставляете числа и отменяете единицы измерения, вы получите в точности правильные единицы измерения (для данной переменной)!

Где это используется в науках о Земле?

 

Честно говоря, манипуляции с уравнениями происходят почти во всех аспектах наук о Земле. Каждый раз, когда вы видите P или T, ρ или x (или даже =), есть уравнение, которым вы можете манипулировать. Поскольку уравнения могут использоваться для описания многих важных природных явлений, возможность манипулировать ими дает вам мощный инструмент для понимания окружающего мира!

Несколько примеров см. на странице Практика манипулирования уравнениями.

Обзор важных правил преобразования уравнений

Показать титры

Скрыть

Решение для y Дженнифер М. Веннер.

Вы, вероятно, изучили ряд правил работы с уравнениями на предыдущем курсе алгебры. Никогда не помешает напомнить себе о правилах. Итак, давайте повторим:

• ПРАВИЛО № 1: вы можете складывать, вычитать, умножать и делить на что угодно, , если вы делаете то же самое с обеими сторонами знака равенства. В уравнении знак равенства действует как точка опоры весов: если вы прибавляете 5 чего-то к одной чаше весов, вы должны прибавить такое же количество к другой стороне, чтобы равновесие оставалось устойчивым. То же самое относится и к уравнению — выполнение одной и той же операции с обеими сторонами сохраняет значение уравнения от изменения.

  Покажите мне пример

  Скрыть

  Давайте используем уравнение для линии, чтобы проиллюстрировать пример того, как использовать Правило № 1. Общее уравнение для линии:

  
  

  Если мы хотим найти b в этом уравнении, мы должны вычесть mx из обеих частей.

  
  

  Если мы выполним математические действия с каждой стороны (т. е. вычтем mx из mx справа), то получим следующее уравнение:

  
  

  Это уравнение также можно записать в виде b = y — mx, если вы предпочитаете иметь решаемую переменную слева.

• ПРАВИЛО №2: чтобы переместить или отменить величину или переменную в одной части уравнения, выполните с ней «противоположную» операцию в обе части уравнения. Например, если у вас есть g-1=w и вы хотите изолировать g, добавьте 1 к обеим сторонам (g-1+1 = w+1). Упростите (потому что (-1+1)=0) и в итоге получите g = w+1.
  

  Покажите мне более сложный пример

  Скрыть

  Давайте воспользуемся более сложным уравнением, которое геологи могут использовать для определения отношения толщины к плотности плавающих веществ (например, коры в мантии, айсбергов в воде):

  
  

  где H _выше = высота объекта над поверхностью жидкости, в которой он плавает,
  H _всего = общая высота (или толщина) плавающего объекта
  ρ _объект = плотность объект
  и ρ _{жидкость} = плотность жидкости
  Давайте представим, что мы изучаем айсберг и хотим знать, какова плотность этого айсберга. Как нам изменить уравнение для решения этой переменной? Потребуется несколько шагов, чтобы изолировать ρ _объект на одной стороне уравнения. С чего начать?

  1. Начнем с выделения той части уравнения, которая заключена в скобки. Для этого нам нужно разделить обе части на H _итого :

     Покажите мне, как выделить эту часть уравнения

     Скрыть

     
     

     Сущность, разделенная сама на себя, равна 1:

     
     

     и, поскольку 1, умноженная на что-то, равно этому чему-то, мы можем упростить, чтобы получить:

     
     
  2. Мы еще не совсем там. Что еще нужно передвинуть, чтобы изолировать ρ _объект ? Давайте выделим дробь, содержащую его, поэтому мы хотим вычесть 1 с обеих сторон:

     Покажите мне, как выделить эту часть уравнения

     Скрыть

     
     

     и, 1 минус 1 равно 0, поэтому мы можем избавиться от единиц с левой стороны.

  3. Нам еще нужно сделать еще несколько операций, чтобы изолировать ρ _объект . Сначала умножьте обе части на ρ _{жидкости} , чтобы очистить дробь:

     Покажи мне, как очищать дроби

     Скрыть

     
     

     Мы можем отменить ρ _{жидкости} с каждой стороны:

  4. Затем нам нужно избавиться от отрицательного знака:

     Покажите мне, как избавиться от отрицательного знака

     Скрыть

     Умножьте обе части на -1, чтобы сделать -ρ _жидким положительным:

     
     

     Отрицательное число (или символ), умноженное на отрицательное число, является положительным числом. Поскольку мы умножаем на -1, мы просто меняем знак у всех чисел и символов с обеих сторон и в итоге получаем:

  5. Немного изменив правую часть уравнения, мы получим уравнение, которое нужно решить для плотности айсберга!

     Покажи мне, что у нас получится

     Скрыть

  Несколько простых шагов для работы с уравнениями

  
  

  Вот несколько простых шагов для работы с уравнениями. Под каждым шагом вы найдете пример того, как это сделать, с примером, который использует геологический контекст плотности (мера массы на единицу объема).

  1. Оцените, что у вас есть (для каких переменных у вас есть значения? Какие единицы измерения присутствуют? и т. д.). Пока НЕ ​​вставляйте номера!

     Покажи мне, как это сделать

     Скрыть

     Например: у вас есть куб пирита размером 3 см х 3 см х 3 см. Вы знаете, что плотность пирита составляет 5,02 г/см 9 .0816 3 . Сможете ли вы вычислить, сколько весит этот куб пирита (без использования весов)?

     Во-первых, вам нужно знать, что плотность (ρ) равна массе (m), деленной на объем (v). Мы можем записать это как математическое выражение (или уравнение, если хотите):

     
     

     Какое из этих значений у вас есть в вопросе выше? У вас плотность (5,02 г/см ³ ). И с информацией вы можете определить объем (длина х ширина х высота).

  2. Определите, какую из переменных вы хотите использовать в качестве ответа. (Какой вопрос вам нужно рассчитать? Что такое неизвестная переменная?)

     Покажи мне, как это сделать

     Скрыть

     В приведенном выше вопросе вам предлагается определить массу куба пирита (не взвешивая его/используя данные, данные в задаче). Итак, в уравнении для плотности вы хотите определить «массу». Помните, пока ничего не подключайте.

  3. Перестройте уравнение так, чтобы неизвестная переменная находилась по одну сторону от знака равенства (=), а все остальные переменные — по другую. ПРАВИЛО № 1: вы можете складывать, вычитать, умножать и делить на что угодно, до тех пор, пока вы делаете то же самое с обеими сторонами знака равенства.

     Покажи мне, как это сделать

     Скрыть

     Возьмем уравнение плотности:

     
     

     и перестроим его. Мы хотим изолировать переменную для массы (m). Для этого мы сначала умножаем обе части уравнения на объем (v).

     Показать умножение на v

     Скрыть

     Тогда мы можем отменить объем в правой части уравнения (объем х объем = 1).

     Показать отмену

     Скрыть

     
     

     Обратите внимание, что эти первые два шага аналогичны перекрестному умножению. Если вы более знакомы с этим методом, вы также можете сделать это. Так или иначе…

     Мы приходим к уравнению, в котором масса изолирована с одной стороны уравнения!

     Покажите мне уравнение массы

     Скрыть

  4. ТЕПЕРЬ подставьте числа! Заменить известные переменные их значениями и не забывайте следить за юнитами!

     Покажи мне, как это сделать

     Скрыть

     Наше уравнение такое. Самое приятное в этом уравнении то, что теперь, когда мы его переставили, все наши известные переменные находятся на одной стороне, а неизвестная — на другой. Начните с подстановки того, что мы знаем: ρ (плотность пирита) и V (объем (длина x ширина x высота) куба):

     
     

     Упростите выражение объема, умножив:

     
     

     Отмените одинаковые единицы измерения вверху и внизу (где это возможно), чтобы получить нужные единицы измерения (если вы не понимаете, как это сделать, см. модуль Преобразование единиц измерения):

  5. Определите значение неизвестной переменной, выполнив математические функции. То есть сложите, вычтите, умножьте и разделите в соответствии с уравнением, которое вы написали для шага 2.

     Покажи мне, как это сделать

     Скрыть

     В данном случае это простое умножение:

     
     

     И получаем массу:

  6. Спросите себя, разумен ли ответ в контексте того, что вы знаете о науках о земле и сколько должны весить вещи.

     Покажи мне, как это сделать

     Скрыть

     В основном это требует опыта. Если вы не уверены, вы можете найти баланс и взвесить куб, чтобы убедиться, что вы находитесь на правильном уровне. Если вы держите его в руке, вы можете догадаться, кажется ли это правильным… Что еще более важно, если вы получите число вроде 135 000 г, считаете ли вы это разумным? Это 135 кг (около 300 фунтов!), и это, вероятно, неправильно. А что, если вы получите что-то вроде 0,00135 грамма? Важно уметь различать, находитесь ли вы в правильном диапазоне, а не то, что вы точно правы.

     Еще один способ подумать о том, правы ли вы, — это найти что-то похожее на свой собственный опыт. На что похожи 135 г? Что ж, в фунте около 450 г, поэтому 135 г составляют от 1/4 фунта до 1/3 фунта. Что вы знаете, что имеет аналогичный вес? (Первое, что приходит мне на ум, это гамбургеры…). Есть ли смысл в том, что куб пирита (золотого металлического минерала) со стороной примерно один дюйм с каждой стороны будет весить столько? Используйте свой собственный опыт, чтобы разработать способ оценки весов и других мер.

  Следующие шаги

  • Я готов к практике! (Эти задачи имеют рабочие ответы.)
     
  • Мне все еще нужна помощь! (Дополнительную информацию по уравнениям см. по ссылкам ниже).

  Дополнительная помощь по уравнениям

  На химическом факультете Texas A&M есть страница математического обзора об алгебраических манипуляциях.

  Факультет экономики и бизнеса Сиднейского университета 9У 0416 есть страница, на которой вы можете практиковать свои навыки работы с уравнениями! Возьмите алгебраические викторины манипуляции!

  ---

  _{Эта страница была написана и составлена ​​доктором Дженнифер М. Веннер, факультет геологии, Висконсинский университет в Ошкоше, и доктором Эриком М. Баером, программа геологии, Highline Community College}
   

   

Перестановки и комбинации

Перестановки и комбинации

Перестановки и комбинации
Раздел 2. 4

В предыдущем разделе рассматривался выбор одного элемента для каждого решение. Теперь выбор включает больше чем один элемент, выбранный с заменой или без нее.

С заменой означает, что тот же товар можно выбрать больше чем один раз.

Без замены означает, что тот же элемент нельзя выбрать больше чем единожды.

Пример 1:

PIN-код в вашем банке состоит из 4 цифр, замена. (Одна и та же цифра может быть выбрано более одного раза)

10 х 10 х 10 х 10 = 10 000 возможных комбинаций.

ПИН-код является примером, когда важен порядок. PIN-код 1234 отличается от PIN-кода 4321.

При выборе более одного элемента без замены и порядок важен, это называется Перестановка . Когда порядок не важен, это называется комбинацией .

Пример 2:

В конкурсе 10 заявок. Выиграют только три, 1 ^st , 2 ^nd , или 3 ^nd приз. Каковы возможные полученные результаты?

Порядок имеет значение и замены нет.

10 х 9 х 8 = 720 возможных исходов

Или 720 перестановок из 10 элементов, выбранных по 3 за раз.

Существует формула для перестановок . В последнем примере         

10! =    10! = 720
(10 3)! 7!

    н!      n = общее количество предметов
    (нр)! r = количество выбранных элементов

Представлено:

_н Р _р , Р(г, п) , Р _{н, р}  

Пример 3:

В софтбольной лиге 7 команд, какие возможны способы ранжирования команд?

n = 7, r = 7                 

7!   = 5040
(7 7)! Напомним 0! = 1

Что произойдет, если порядок не важен?

Пример 4:

Из группы из 4 человек (Эйб, Боб, Кэрол, Ди) выбираются 3, чтобы сформировать комитет. Сколько комбинаций здесь?

Если использовать предыдущую формулу: 

         4 ! =   24   
(4-3)!

мы получаем слишком много. Поскольку членство в комитете не ранжировано, порядок не важен. С порядок не важен, мы можем произвольно отсортировать результаты по алфавиту, чтобы получить

ABC, ABD, ACD, BCD.

                                              

  Формула для комбинаций:

         нет!       
(н р)!р!

Представлен

_n C _r , C(r, n) , C _{n , r}

Делим на г! уменьшить количество комбинаций повторяется, так как порядок не важен.

 

Пример 5:  

Группа из 12 женщин и 5 мужчин используется для выбора комитет из 6 человек. Что это возможные результаты, если

а) Выбрано 5 женщин и 1 мужчина

б) любая смесь женщин и мужчин

а) Из FCP мы знаем, что будут приняты два решения, выбирая 5 женщин. из 12 и выбрав 1 человека из 5.  Поскольку порядок не имеет значения и замены нет, используем комбинации.

   12!     Х     5!    = 792 X 5 = 3960   комбинаций 90 561 (12-5)!5! (5-1)!1!

б) Любое сочетание мужчин и женщин означает, что доступен только один выбор или категория. сделано, люди.

  17!     = 17!   =   12 376 90 561 (17-6)!6! 11!6!

Классное упражнение: Найти _n C _r , для

          ₅ C _r ,  n = 5                         ₄ C _{r ,   r ,}  90 0 1        

₃ С _r , n = 3 ₂ С _r , n = 2 ₁ С _r , n = 1

Р = 0 1 1 1 1 1

Р = 1 5 4 3 2

Р = 2 10 6 3 1

Р = 3 10 4 1

Р = 4 5 1

Р = 5 1

Треугольник

Паскалей использует комбинации для нахождения коэффициентов.

Пример 7:

Сколько пятикарточных комбинаций, содержащих ровно одну пару возможны?

ОБЗОР ЭКЗАМЕНА №2

9,0 А

Экспоненты и логарифмы: обратные друг другу, иррациональное число e, используя калькуляторы, переписывая одно через другое.

9.0В

Свойства логарифмов: обратные свойства для решения уравнения, 3 правила логов.

9.1

Экспоненциальный рост: Средний темп роста, экспоненциальный рост модель, население, оценка недвижимости.

9,2

Exponential Decay: модель экспоненциального распада, радиоуглеродное датирование, период полураспада, радиоактивный распад.

2.1

Наборы и операции с наборами: Определения, обозначения, пустое множество, пересечение, объединение, подмножества.

2,3

Основные принципы счета, комбинации, Перестановки: Комбинаторика. Дерево диаграммы, ярлыки, факториалы.

2,4

Перестановки и комбинации: _н П _{р , н} С _р . Выбор без замена, порядок имеет значение, порядок не имеет значения.

 

---

Назад на главную страницу счета и вероятности

Вернуться к Обзор домашней страницы математических идей

Назад на главную страницу математического факультета

электронная почта Вопросы и предложения

Как решать линейные системы с помощью замены или исключения

При решении линейных систем в вашем распоряжении есть два метода — замена или исключение, и какой из них вы выберете, зависит от задачи. Если коэффициент какой-либо переменной равен 1, а это означает, что вы можете легко решить ее через другую переменную, то подстановка — очень хороший вариант. Если все коэффициенты отличны от 1, то вы можете использовать исключение, но только если уравнения можно сложить вместе, чтобы одна из переменных исчезла.

Как решать линейные системы методом подстановки

В методе подстановки , вы используете одно уравнение для решения одной переменной, а затем подставляете это выражение в другое уравнение для решения другой переменной. Для начала проще всего найти переменную с коэффициентом 1 и решить для нее. Вам просто нужно добавить или вычесть члены, чтобы переместить все на другую сторону знака равенства, как вы обычно делаете, чтобы найти переменные. Таким образом, вам не придется делить на коэффициент при решении, а это значит, что у вас не будет дробей (если только дроби уже не существуют).

Например, предположим, что вы управляете театром и вам нужно знать, сколько взрослых и детей присутствует на спектакле. Аудитория распродана и содержит смесь взрослых и детей. Билеты стоят 23 доллара за взрослого и 15 долларов за ребенка. Если в зрительном зале 250 мест, а общий доход от билетов на мероприятие составляет 4 846,00 долларов США, сколько взрослых и детей присутствует на мероприятии?

Чтобы решить проблему методом подстановки, выполните следующие действия:

1. Представьте слово задача в виде системы уравнений.

   Вы хотите определить, сколько билетов для взрослых ( a ) и детских билетов ( c ) вы продали. Если зрительный зал рассчитан на 250 мест и был распродан, то сумма билетов для взрослых и детей должна быть 250.

   Цены на билеты также приносят вам доход (или заработанные деньги) от мероприятия. Цена билета для взрослых, умноженная на количество присутствующих взрослых, позволяет узнать, сколько денег вы заработали на взрослых. Вы можете сделать тот же расчет с дочерними билетами. Сумма этих двух расчетов должна быть общей выручкой от продажи билетов на мероприятие.

   Вот как написать эту систему уравнений:

2. Найдите одну из переменных.

   Если возможно, выберите переменную с коэффициентом 1, потому что решение для этой переменной будет легким. В этом примере вы можете решить для a в первом уравнении. Для этого вычтите c с обеих сторон: a = 250 – c.

3. Подставьте решаемую переменную в другое уравнение.

   В этом примере вы решаете для в первом уравнении. Вы берете это значение (250 – c ) и подставляете его в другое уравнение для a. (Убедитесь, что вы не подставляете в уравнение, которое использовали на шаге 1, иначе вы будете ходить по кругу.)

   Теперь второе уравнение говорит: 23(250 – c ) + 15 c = 4846.

4. Найдите неизвестную переменную.

   Вы раздаете число 23:

   5,750 – 23 с + 15 с = 4,846

   А потом упрощаешь:

   5,750 – 8 c = 4,846, или –8 c = –904

   Итак, c = 113. Всего в мероприятии приняли участие 113 детей.

5. Подставьте значение неизвестной переменной в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую неизвестную переменную.

   Если вы подставите 113 в первое уравнение для c, , вы получите a + 113 = 250. Решив это уравнение, вы получите a = 137. Всего вы продали 137 билетов для взрослых.

6. Проверьте свое решение.

   Подставив в и в в исходные уравнения, вы должны получить два верных утверждения. 137 + 113 = 250? Да. 23(137) + 15(113) = 4846? Верно.

Как решать линейные системы методом исключения

Если решение системы двух уравнений с помощью метода подстановки оказывается трудным или в системе используются дроби, следующим лучшим вариантом будет метод исключения. В метод исключения, вы заставляете одну из переменных аннулировать себя, добавляя два уравнения.

Иногда вам нужно умножить одно или оба уравнения на константы, чтобы сложить уравнения; такая ситуация возникает, когда вы не можете исключить одну из переменных, просто сложив два уравнения вместе. (Помните, что для исключения одной переменной коэффициенты одной переменной должны быть противоположны.)

Например, следующие шаги показывают, как решить эту систему, используя процесс исключения:

1. При необходимости перепишите уравнения, чтобы одинаковые переменные располагались друг под другом.

   Порядок переменных не имеет значения; просто убедитесь, что похожие термины совпадают с аналогичными терминами сверху вниз. В уравнениях этой системы уже выстроены переменные x и y :

2. Умножьте уравнения на константы, чтобы один набор переменных соответствовал коэффициентам.

   Во-первых, оставьте верхнее уравнение в покое и умножьте нижнее уравнение на 30 (чтобы исключить все знаменатели). (Обязательно распределите это число по каждому члену — даже по другую сторону от знака равенства.) Выполнение этого шага дает следующие уравнения:

3. Сложите два уравнения.

   Теперь у вас есть –24 y = –40.

4. Найдите оставшуюся неизвестную переменную.

5. Подставьте значение найденной переменной в любое уравнение.

   В этом примере используется первое уравнение: 20 x + 24(5/3) = 10.

6. Найдите последнюю неизвестную переменную.

   No related posts.