Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
08.09.2019, 23:07
Заслуженный участник
15/10/08
10479
Однажды мне понадобилось аналитически сосчитать определитель матрицы, слабо отличающейся от единичной. И сочинил я следующее представление где величины вычисляются рекуррентно Ряд на самом деле содержит конечное число слагаемых, так как для произвольной матрицы размера все -шки обнуляются начиная по крайней мере с (или ещё раньше). При этом сама матрица наверняка удовлетворяет уравнению или ещё какому-то, меньшей степени, из списка Доказывать всё это я тогда не стал. Так, проверил правильность для разумных размеров и зафиксировал в памяти как «рецепт». Не то чтобы была какая-то реальная надобность в доказательстве для произвольных (при ручном труде терпение лопается уже на вполне скромных габаритах), но может есть элементарно простой способ это сделать? Я бы лучше запомнил такой способ, вместо «рецепта».
ozheredov
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
08. 09.2019, 23:27
10/03/16 2729 Aeroport
Утундрий
Нереально круто!!! А можете сказать, из каких предварительных соображений вы это получили? И ещё вопрос: там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?
Утундрий
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09. 09.2019, 00:24
Заслуженный участник
15/10/08 10479
ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):
там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?
Следы степеней матриц.
ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):
из каких предварительных соображений вы это получили?
Сначала для двойки-тройки попытался подобрать коэффициенты в линейной комбинации произведений следов с одинаковой суммарной степенью. Получилось.
Повторил для 4 и 5 (уже в пакете). Обратно получилось. Потом подумалось, что без теоремы Гамильтона-Кэли тут не обошлось. Записал вон ту последнюю серию, ошпурил и вуаля.
arseniiv
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09.09.2019, 00:38
Заслуженный участник
27/04/09 28128
Faddeev–LeVerrier algorithm Другая формулировка, если читать весь раздел «Linear algebra» здесь (Ваше выражение — одно из значений характеристического многочлена . )
— Пн сен 09, 2019 02:44:50 —
Более подробное изложение можно найти в Winitzki Sergei. Linear algebra via exterior products, 4.2.3 (алгоритм), 3.9 (связь с характеристическим многочленом), 3.8 (след), 3.7 (действия операторов на внешних степенях), 3.3 (определитель и верхняя внешняя степень).
Утундрий
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09.09.2019, 01:04
Заслуженный участник
15/10/08 10479
То есть это широко известный в узких кругах (и многократно доказанный) алгоритм Фаддеева – ЛеВерье.
Но всё же любопытно было бы взглянуть на доказательство Хоу [7].
Евгений Машеров
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09.09.2019, 10:55
Заслуженный участник
11/03/08 8588 Москва
Что-то мне последовательность коэффициентов напоминает ряд для логарифма. А след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы…
Утундрий
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09.09.2019, 17:32
Заслуженный участник
15/10/08 10479
Евгений Машеров в сообщении #1414205 писал(а):
след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы. ..
Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы…
Евгений Машеров
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09.09.2019, 18:43
Заслуженный участник
11/03/08 8588 Москва
http://scask. ru/f_book_sm_math42.php?id=94
Утундрий
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
09.09.2019, 19:16
Заслуженный участник
15/10/08 10479
Какое-то немое кино. .. В общем, по ссылке выше просматривается матричный степенной ряд, иногда сходящийся к матричному логарифму.
ewert
Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
И сочинил я следующее представление
09.2019, 23:27 
09.2019, 00:24 
)
А след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы…
..
ru/f_book_sm_math42.php?id=94
.. В общем, по ссылке выше просматривается матричный степенной ряд, иногда сходящийся к матричному логарифму.