Ранг матрицы
Каталин Дэвид
Рангом матрицы из m строк и n столбцов называется число r, обладающее следующими свойствами:
- r меньше или равно наименьшему из чисел m и n.
- r равно наивысшему из порядков ненулевых миноров этой матрицы.
- Выбираем ненулевой элемент матрицы.
- Перебираем миноры второго порядка, содержащие этот элемент, пока не найдем минор, отличный от нуля.
- Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 1.
- Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, перебираем «содержащие» его миноры третьего порядка (окаймляющие миноры), пока не будет найден хотя бы один ненулевой минор.
- Если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2.
- Если существует хотя бы один ненулевой минор третьего порядка, перебираем окаймляющие его миноры четвертого порядка, пока не будет найден хотя бы один ненулевой минор.
- Продолжаем этот процесс, пока порядок миноров не достигнет наименьшего из чисел m и n.
Пример 42
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$
Матрица имеет 2 строки и 3 столбца, следовательно, ее наибольший возможный ранг равен 2. Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$
Составляем минор второго порядка, содержащий 1.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} & 5 \end{pmatrix}$
Вычисляем этот минор.
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} \end{vmatrix}=6 — 6 = 0$
Составляем другой минор второго порядка, содержащий 1. $A=\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5} \end{pmatrix}$
Вычисляем этот минор.
$\begin{vmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & \color{blue}{5} \end{vmatrix}= 5 — 12 = -7 \neq 0.
Ранг равен 2.
Пример 43
$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}$
Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$
Вычисляем миноры второго порядка, содержащие этот элемент. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (поскольку он имеет две одинаковых строки)
Все остальные миноры второго порядка равны нулю, так как они все идентичны. В данном случае ранг матрицы равен 1.
Пример 44
$B=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$
Матрица имеет 4 строки и 3 столбца, следовательно, ее наибольший возможный ранг равен 3.
Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$
Вычисляем минор второго порядка, содержащий 4.
$ \begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ 5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 — 3 = 1$
Составляем минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор. $\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}$
Вычисляем этот минор.
$\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}=0 $ because $ R_{1}+R_{2}=R_{3}$
Вычисляем другой минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $
Пример 45
$D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$
D — матрица из 3 строк и 4 столбцов, так что ее наибольший возможный ранг равен 3.
Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$
Составляем минор второго порядка, содержащий 5.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 — 10 = -7 \neq 0$
Составляем минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (поскольку два столбца равны)
Тогда составляем другой минор третьего порядка, окаймляющий ненулевой минор второго порядка.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0, $ потому что $ C_{1} + C_{2}=C_{3}$
Поскольку все миноры третьего порядка равны нулю, ранг матрицы D равен 2.
Матрицы Умножение матриц Определитель Обратные матрицы Матричные уравнения Системы уравнений Калькуляторы для матриц
Ранг матрицы
Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минораэлемента. Напомним, что так был назван определитель порядка, полученный из определителявычеркиванием-й строки и-го столбца.
Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудьномеров строкиномеров столбцов.
Определение. Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число
.
Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строки столбцов.
Определение.
В матрице
размеровминор порядканазываетсябазисным,
если он отличен от нуля, а все миноры
порядка
равны нулю или миноров порядкау матрицывообще нет.
Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка, а, следовательно, и всех бόльших порядков.
Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.
Ранг матрицы будем обозначать символом. Из определения ранга следует, что для матрицыразмеровсправедливо соотношение.
Два способа вычисления ранга матрицы
а) Метод окаймляющих миноров
Пусть
в матрице найден минор
-го
порядка, отличный от нуля. Рассмотрим
лишь те миноры-го
порядка, которые содержат в себе
(окаймляют) минор:
если все они равны нулю, то ранг матрицы
равен.
В противном случае среди окаймляющих
миноров найдется ненулевой минор-го
порядка, и вся процедура повторяется.
Выберем минор второго порядка . Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор. Вычислим его.
Значит, минор базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е.
Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.
б) Метод элементарных преобразований
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другой строки;
такие же преобразования столбцов.
Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.
Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
(Без доказательства)
Идея практического метода вычисления ранга матрицы
заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду
, (5)
в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицутакого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной или лестничной). После приведения матрицык треугольному виду можно сразу записать, что.
В
самом деле,
(т.к. элементарные преобразования не
меняют ранга).
Но у матрицысуществует отличный от нуля минор
порядка:
,
а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.
Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицыследует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Тогда ранг матрицыбудет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.
Пример 10. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований
Решение.
Поменяем местами первую и вторую строку (т.к. первый элемент второй строки −1 и с ней будет удобно выполнять преобразования). В результате получим матрицу, эквивалентную данной.
Обозначим
-тую
строку матрицы –.
Нам необходимо привести исходную матрицу
к треугольному виду.
Первую строку будем
считать ведущей, она будет участвовать
во всех преобразованиях, но сама остается
без изменений.
На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 , к третьей строке прибавим первую, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой:
.
Так как нам необходимо привести матрицу к виду (5), вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:
.
Получена матрица треугольного вида, и можно сделать вывод, что , т. е. числу ненулевых строк. Коротко решение задачи можно записать следующим образом:
Калькулятор ранга матрицы| Вычислить ранг матрицы
Введение в калькулятор ранга матрицы
Калькулятор ранга матрицы с шагами — это онлайн-инструмент, который помогает определить ранг матрицы онлайн.
секунды.
В то время как вы также можете использовать калькулятор сокращения Гаусса Иордана отдельно для своих матричных запросов.
Чтобы изучить шаги, связанные с определением ранга матриц, этот калькулятор ранга матрицы является наиболее эффективным подходом для расчета онлайн и избавления от ручных шагов для вычисления ранга матрицы.
Калькулятор ранга матрицы с шагами предоставляет вам результат с подробными шагами, предпринятыми для расчета ранга матрицы, которые вы также можете распечатать для вашего удобства.
Ранг матрицы — это максимальное число ее векторов-столбцов и строк, которые линейно независимы. Это довольно сложно при расчете вручную. Но вы можете использовать калькулятор ранга матрицы, который вычисляет ранг матрицы путем приведения матрицы к форме эшелона строк с помощью элементарных операций со строками.
Связанный: Вы также можете использовать калькулятор сложения матриц и калькулятор вычитания матриц для простого сложения и вычитания матриц соответственно.
Калькулятор ранга матрицы с пошаговым вычислением ранга как для столбца, так и для строки матрицы, предоставляя одинаковое значение для них обоих. Выдача результатов всего за несколько секунд. Калькулятор матриц рангов является оптимальным решением для нахождения рангов матриц с подробной процедурой.
Как использовать калькулятор рангов с шагами?
Решение матриц с использованием ранга матричного калькулятора очень просто. Самая простая процедура включает всего два шага, и в результате вы получите ранг матрицы за считанные секунды.
Выполните шаги, указанные ниже, чтобы использовать калькулятор ранга матрицы шаг за шагом для нахождения ранга матрицы онлайн.
Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором обратных матриц и определителей, чтобы взять обратную матрицу и упростить вычисления.
Введите данные
Калькулятор матрицы рангов включает в себя два шага для расчета матрицы.
Выполните следующие шаги, чтобы завершить процедуру расчета ранга матрицы онлайн.
Шаг №1: Сначала введите данные правильно, чтобы получить результат.
Шаг №2: Введите размеры матриц.
Шаг №3: Введите значения матрицы в необходимые таблицы для расчета ранга матрицы.
Входные данные, необходимые калькулятору матриц, включают размерность матриц и значения матриц, известные как элементы.
Давайте подробно рассмотрим описанные выше шаги, чтобы упростить ваши расчеты.
Введите порядок матрицы
Для начала подтвердите порядок матрицы, т.е. mxn матрицы. В этой матрице калькулятора рангов размеры для матриц могут быть выбраны вплоть до 4×4, что делает его полезным и уникальным.
Элементы матрицы
Затем введите значения элементов матрицы. Калькулятор ранга матрицы также предлагает использовать случайный набор чисел из инструмента, если вы хотите изучить процесс вычисления ранга матрицы.
Получение результатов
После ввода необходимых данных результаты будут отображаться в виде единого значения со всеми шагами, предпринятыми для расчета ранга матрицы.
Ранг матрицы
Просто нажмите на опцию ранга, чтобы получить результаты для расчета ранга матрицы. Как только вы выберете опцию, возможные промежуточные шаги будут отображаться вместе с рангом матрицы.
Часто задаваемые вопросы
Может ли матрица иметь ранг больше, чем число ее строк и столбцов?
Следуя правилу по определению, матрица не может иметь ранг больше, чем количество ее строк или столбцов. Таким образом, этот калькулятор ранга матрицы находит ранг матрицы как максимальное количество ее векторов строк и столбцов, которые линейно независимы.
Когда ранг матрицы считается равным нулю?
Нулевая или нулевая матрица также является нулевой при вводе в калькулятор ранга матрицы. Следовательно, ранг матрицы вычисляется как нуль, когда исходная матрица является нулевой матрицей.
Но для вопросов о матрицах вы также можете использовать калькулятор нулевых матриц, чтобы сделать матрицу нулевой, предлагаемой калькулятором матриц.