Построить график сложной функции – Построение графиков сложных функций

Контрольная точка 5. Представьте преподавателю результаты работы.

Приложение 8.

5.2. Построение четырехлепестковой розы

Задание 5. Построить график четырехлепестковой розы r=sin 2a, для этого необходимо заполнить столбец х=r*cos a, у=r*sin a. Осуществить переход от градусной меры в радианную по формуле =ПИ()/180*ячейку с градусной мерой. Перейти на Лист 6 и переменуйте в “График 6”.

Контрольная точка 6. Представьте преподавателю результаты работы

Приложение 9.

6. Проверка работы учащихся.

Учащиеся демонстрируют подготовленные файлы выполненной работы.

7. Подведение итогов урока.

Научились строить графики сложных функций, получили практические навыки работы с большими таблицами.

Подводятся итоги урока, выставляются оценки с аргументацией (используются контрольные точки). Постановка задач для следующего урока.

8. Домашнее задание.

Повторить материал по теме “Построение графиков в электронных таблицах”.

5.05.2012

urok.1sept.ru

3.2. Построение графика сложной функции.

В данном задании предлагается построить график сложной функции, заданной в виде массива точек, используя два подхода: аппроксимацию и сглаживание.

1. Откройте новый файл в Origin.

2. Импортируйте файл ASCIIm_t.dat, находящийся в папкеLab1. Файл содержит набор данных сложной функции.Важно:При импорте используйте команду менюFile/Import/Single ASCII. В окне диалога установить указанный разделитель числа (рис. 17) (запятая). После этого импорт осуществится корректно.

3. Для построения графика данной функции используйте два похода:

а) Постройте график, используя нелинейную функцию для аппроксимации. Для этого отобразите зависимость в виде Plot, Scatterи, затем, вAnalysisзадайте функцию Гаусса (см. рис.10). Удалите появившееся окно подписи данной функции;

б) Постройте график, используя сглаживание. Для этого отобразите зависимость в виде Plot, Line/Spline. Удалите элементGap to Symbol(см. рис.14).

4. Нанесите подписи осей и поясняющие подписи. Для поясняющих подписей используйте следующий шаблон: функция М,функция ГауссаиСплайн. Для подписи осей используйте следующий шаблон: ось ординатфункция М, ось абсциссПараметр Т. Итоговые графики должны выглядеть, как на рис. 18.

5. Вставьте графики как рис. 3а,б и данные в таблицу 3 файла отчета <фамилия>_0.doc.

6. Сохраните файл отчета.

7. Сохраните файл обработки (файл ORIGIN). Для этого откройте меню<File> и выберете команду<Save Project>. В появившемся окне сохранения в верхней левой части укажите рабочую папкуМиЭЭТ/<Номер группы>, а внизу введите название файла <фамилия И.О.>_0. Тип файла оставьте без изменения (OPJ). Нажмите кнопку<Сохранить>.

Рис. 17. Диалоговое окно импорта файлаASCII

Рис. 18. Итоговое окно графика функции М(T)

В заключении, напишите выводы по проделанной работе в поле Вывод:отчета. Сохраните и распечатайте отчет.

Лабораторная работа №1

Исследование электропроводности

ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

1. Цель работы

Изучение электропроводности твердых диэлектриков:

1. Определение удельного поверхностного сопротивления и удельного объемного сопротивления твердых диэлектриков в зависимости от температуры.

2. Определение энергии активации носителей заряда в диэлектрике.

2. Теоретическое введение

2.1. Основные определения и формулы

По своему назначению электроизоляционные материалы под воздействием постоянного напряжения совершенно не должны пропускать электрический ток, т. е. должны быть непроводящими. Иными словами, удельное сопротивление электроизоляционных материалов в идеальном случае должно быть бесконечно большим.

Однако все практически применяемые электроизоляционные материалы при приложении постоянного напряжения пропускают некоторый, обычно очень незначительный, ток, называемый током утечки. Поэтому, чем больше удельное сопротивление электроизоляционного материала, тем выше его качество как изолятора, так как более незначительным будет ток утечки.

I

I_абс

I_см I_скв

0 t

Рис 1. Зависимость тока через диэлектрик от времени при постоянном напряжении

До момента установления равновесного состояния в диэлектрике протекают процессы смещения связанных зарядов, создавая поляризационные токи, или токи смещения. Токи смещения упругосвязанных зарядов при электронной и ионной поляризациях столь кратковременны, что их обычно не удается зафиксировать. Токи смещения различных видов замедленной поляризации называют абсорбционными токами. При постоянном напряжении абсорбционные токи протекают только в момент включения и выключения напряжения, при переменном напряжении — в течение всего времени нахождения материала в электрическом поле.

Сопротивление участка изоляции R_изравно отношению приложенного к этому участку изоляции постоянного напряженияUк сквозному токуI_изчерез этот участок

R_из = U/I_из, Ом. (1)

Проводимость изоляции G_из– величина, обратнаяR_из:

. (2)

Помимо объемной проводимости изоляции G_v, количественно определяющей возможность прохождения тока через толщу изоляции, следует учитывать также поверхностную проводимость изоляцииG_s, характеризующую наличие повышенной электропроводности на поверхности раздела твердого диэлектрика с окружающей средой. Этот слой создается вследствие неизбежных загрязнений, увлажнения и т.п.

Соответственно вводятся понятия объемного R_vи поверхностногоR_s сопротивлений изоляции и объемногоIи поверхностногоI_s токов:

;. (3)

Очевидно (рис. 2), что , так что,

(4)

или

, (5)

т.е. сопротивление изоляции определяется как результирующее двух сопротивлений — объемного и поверхностного, включенных параллельно друг другу между электродами.

I_s

I_из I I_из

Рис. 2. Объемный и поверхностный токи утечки через участок изоляции

Для участка изоляции с постоянным поперечным сечением Sи толщинойh(форма плоского конденсатора) объемное сопротивление рассчитывается по формуле

, (6)

где — характеризующая материал величина, называемая удельным объемным сопротивлением (иногда обозначается также). Отсюда

. (7)

Если R_vвыражено в Омах,h– в метрах иS– в квадратных метрах, то единица измерения_v– Ом•м.

Для определения удельного поверхностного сопротивления плоского образца на поверхности диэлектрика помещаются два электрода с правильными прямыми кромками длинойв, находящиеся на расстоянииадруг от друга (рис. 3,а). Сопротивлениеучастка поверхности между электродами равно

, (8)

где коэффициент пропорциональности и есть удельное поверхностное сопротивление. Отсюда

, Ом (9)

Очевидно, что при в=а, формула (9) дает, т. е. можно сказать, что– сопротивление квадрата любой величины на поверхности диэлектрика, если ток идет от одной стороны квадрата к противоположной стороне; единица измерения для– Ом.

Для более точного определения величины может быть измерено поверхностное сопротивлениемежду помещенными на поверхности диэлектрика электродами в виде двух коаксиальных колец (рис. 3,б).

В этом случае связь между иопределяется уравнением

, (10)

где – диаметр внутреннего электрода,– внутренний диаметр кольцевого электрода. Отсюда:

. (11)

Величина удельного поверхностного сопротивления очень сильно зависит от условий измерения и состояния поверхности диэлектрика.

1

d₂

2 d₁

в

а

а

б

Рис. 3. Расположение электродов на поверхности диэлектрика при

определении поверхностного сопротивления R_s: а – для электродов

прямоугольной формы; б – для круглых электродов: 1 – диэлектрик,

2 – электроды

studfiles.net

Выступление на НПК по теме «Построение графиков сложных функций»

Исследовательская работа по теме:

«Построение графиков сложных функций»

Выполнила:

Ганиева Айгуль Азатовна

9 б класс

МБОУ СОШ №3

Руководитель: Гайнутдинова

Ольга Николаевна

Проблемный вопрос:

Как можно построить графики сложных функций?

Цели и задачи

• Овладеть умением представлять сложную функцию в виде композиции двух функций

• Освоить приём построения эскиза графика функции без применения производной

• Показать возможность использования схемы построения графиков сложных функций вида y=f(φ(x))

• изучить области, в которых применяется функция и её свойства

Введение

Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения.

Построение графика сложной функции вида y = f(φ(x)) без использования производной можно осуществлять элементарными способами по некоторой схеме.

Все указанные операции можно проводить непосредственно над графиками основных элементарных функций (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами), поскольку эти графики известны. Как правило, график функции y = f(φ(x)) трудно, а порой и просто невозможно построить, используя общую схему исследования функции.

Формула для задания сложной функции

y=f(g(x)) –

– сложная функция

g(x) – внутренняя функция

Пример.

g(x) = х² — 4 – внутренняя функция

f(t) = – внешняя функция

f(t) – внешняя функция

Мы предположили, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека. Сейчас мы попытаемся это доказать.

Основная часть

Схема построения графика сложной функции

Построение графиков функций вида

Построение графиков функций вида

Построение графиков функций вида

Схема построения графика сложной функции у = f(φ(x))

• Найти область определения исследуемой сложной функции, а также граничные значения функции.

• Построить график внешней и внутренней функции.

• Построить график функции у₁ = φ(х). Отметить на этом графике характерные точки, т. е. нули и точки разрыва, найти граничные точки, одну — две промежуточные точки;

• Произвести заданные операции над ординатами выбранных точек.

• Нанести полученные точки и предельные значения на рисунок, помещённый под графиком функции у₁ = φ(х) так, чтобы у₁ была продолжением оси у.

• Соединить полученные точки сплошной линией в тех промежутках, в которых функция непрерывна, и учесть (если она имеется) симметрию графика относительно точки или прямой.

Построение графиков функций вида

Сначала надо построить график линейной функции (внутренней функции)

Найти точки пересечения графика с осью x и y.

Затем в той системе координат надо построить график внешней функции, используя точки пересечения первого графика.

Построение графиков функций вида

Применение функций в точных науках

• Графики зависимости физических величин,

• параболоиды,

• отображение звуковых волн с помощью периодической функции

Периодическая функция

F(x)=F(x±nT) 

Звук, колебания за просторами Земли.

Фазы звуковой волны

Для описания относительных временных свойств двух звуковых волн (или разных частей одной волны) вводится понятие фазы звуковой волны.

Графики пословиц

«Посев хуже недосева», «Каши маслом не испортишь»,

«Чем дальше в лес, тем больше дров», «Горяч на почине, да скоро остыл»

Дни солнцестояния

• С помощью графика мы можем увидеть, что точки, где график, похожий на график синуса, пересекает ось времени соответствуют 23 сентября и 21 марта 

Основные результаты

• Для построения графика функции любой сложности необходимо знать и применять свойства элементарных функций (область определения, нули функции, четность и нечетность, периодичность и т. д.).

• График сложной функции y = f(φ(x)) можно построить с помощью упрощенной схемы, если использовать операции над графиками (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами).

• Я надеюсь, что мои исследования убедили Вас в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом.

• Эта работа может быть предложена в качестве развивающего компонента на уроках алгебры (демонстрация презентации при изучении темы «Исследование функции» и в рамках предметной недели).

Рене Декарта сказал:

“Прямая – есть кратчайшее расстояние между двумя точками”.

И следуя этому правилу, я призываю вас в своем развитии по восходящей линии, не страшась усталости, не обходя трудностей, идти по прямой от точки не знания к точке знания.

Список ресурсов:

• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1988

• Гурский И. П. Графики сложных функций

• Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности. Журнал «Математика в школе»

• Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1972

• Костюкова Н.К. Научно-исследовательская работа учащихся. – М.: Математика в школе №5, 1999

• Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа — Пресс, 1997

• Рывкин А.А. Справочник по математике – М.: Высшая школа, 1987

• Факультативный курс по математике — М.: Просвещение, 1991

• http://mathem.by.ru/index.html

infourok.ru

Методы построения графиков функций | Обучонок

Автор публикации: 

ЧПОУ Красноярский кооперативный техникум экономики, коммерции и права

В данном методическом материале по математике на тему «Методы построения графиков функций» дается определение функции, рассматриваются способы задания функций: табличный, словесный, графический и аналитический.

В методическом материале по математике (алгебре) «Методы построения графиков функций» проводится разбор методов построения графиков функций: параллельный перенос, отражение, выполняется построение графиков четной и нечетной функций.

Оглавление

Введение
Глава 1. Определение функций.
Глава 2. Способы задания функций
Глава 3. Методы построения графиков функций
3.1. Параллельный перенос.
3.2. Отражение.
3.3. Построение графиков четной и нечетной функций.
Список источников

Введение

Изучение действий функций и построение их графиков является важным разделом математики.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения.

Кроме того, умение строить графики функций представляет собой большой самостоятельный интерес.

Глава 1. Определение функций

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади.

В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (е часто обозначают буквой у), а другую — аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х).

Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f (x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у, то такая функция называется многозначной.

Переменная величина у есть функция аргумента х, то есть y=f (x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f (x).

Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу — осью ординат.

Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую — функцией.

Глава 2. Способы задания функций

Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2). Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х — рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х — иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю.

Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким — либо способом установить, рационально или иррационально число х0.

3). Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x).

Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций.

Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Глава 3. Методы построения графиков функций

Однако при рассмотрении графиков многих функций часто можно избежать проведения подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика.

Изложению именно таких методов посвящается эта глава, которая может служить практическим руководством при построении многих функций.

Параллельный перенос

Перенос вдоль оси ординат.

f (x) => f (x) — b

Пусть требуется построить график функции у = f (х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на ЅbЅ единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f (х) при b>0 и на ЅbЅ единиц больше — при b

Следовательно, график функции у = y (х) — b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции у = f (х) на ЅbЅ единиц вниз при b>0 или вверх при b

Перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на ЅbЅ единиц вниз или вверх вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему противоположному переносу оси абсцисс настолько же единиц.

Именно этим способом мы будем пользоваться. Тогда представив исходную функцию в виде у + b = f (х), сформулируем следующее правило.

Для построения графика функции y + b = f (x) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось абсцисс на ЅbЅ единиц вверх при b>0 или наЅbЅ единиц вниз при b

Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x) — b.

Перенос вдоль оси абсцисс.

f (x) => f (x + a)

Пусть требуется построить график функции у = f (x + a). Рассмотрим функцию y = f (x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f (x1).

Очевидно, функция у = f (x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции.

Следовательно, график функции у = f (x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс влево наЅaЅ единиц при a>0 или вправо на ЅaЅ единиц при a

Для построения графика функции y = f (x + a) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось ординат на ЅaЅ единиц вправо при a>0 или наЅaЅ единиц влево при a

Отражение

Иначе говоря, ординаты графика функции y = f (-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f (x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х.

Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f (-x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f (-x)

Построение графика функции вида y = — f (x).
f (x) => — f (x)

Ординаты графика функции y = — f (x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f (x) при тех же значениях аргумента.

Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = — f (x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Построение графиков четной и нечетной функций.

Как уже отмечалось, для четной функции y = f (x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f (x) = f (-x).

Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика четной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.

Для нечетной функции y = f (x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f (-x) = — f (x).

Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечетной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0).

График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.

Список источников

1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / под редакцией А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд; 23-изд.-М.: Просвещение, 2014 -384с.

obuchonok.ru

Табличный процессор Мicrosoft Еxcel: построение графиков сложной функции

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный торный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра информатики и компьютерных технологий

Расчётно-графическая работа 2

Тема:   ТАБЛИЧНЫЙ ПРОЦЕССОР MICROSOFT EXCEL

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Функция ЕСЛИ

Функция ПИ

Выполнил: студент группы ТО-07          ________________   /Гориченко А.М./

ОЦЕНКА: ___________

Дата: _____________

Проверила: ст. преп. каф. ИиКТ              _________________ /Онушкина И.О./

Санкт-Петербург

2007

Задание

Построить график функции

; шаг изменения x принять равным 0,1.

Результат работы в Microsoft Excel оформить в Microsoft Word:

1)  в режиме отображения данных;

2)  в режиме отображения формул.

Результаты вычислений в Microsoft Excel в режиме отображения данных

Рис. 1. Результаты вычислений в Microsoft Excel в режиме отображения данных

График сложной функции

Результаты вычисления в Microsoft Excel в режиме отображения формул

Рис. 2. Результаты вычисления в Microsoft Excel в режиме отображения формул

Содержание

Задание. 2

Результаты вычислений в Microsoft Excel в режиме отображения данных. 2

Результаты вычисления в Microsoft Excel в режиме отображения формул. 3

vunivere.ru