Правила крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

как методом крамера решить систему уравнений

как методом крамера решить систему уравнений

Вы искали как методом крамера решить систему уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти дискриминант матрицы по методу крамера, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как методом крамера решить систему уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как методом крамера решить систему уравнений,как найти дискриминант матрицы по методу крамера,как решать линейные уравнения методом крамера,как решать матрицу методом крамера,как решать матрицы методом крамера,как решать метод крамера,как решать методом крамера,как решать методом крамера линейные уравнения,как решать методом крамера матрицы,как решать систему уравнений методом крамера,как решить матрицу методом крамера,как решить методом крамера систему,как решить методом крамера систему уравнений,как решить систему линейных уравнений методом крамера,как решить систему методом крамера,как решить систему уравнений методом крамера,крамер матрица,крамер метод,крамер формулы,крамера,крамера матрица,крамера метод пример,крамера метод это,линейные уравнения методом крамера,матрица крамер,матрица крамера,матрица метод крамера,матрица методом крамера,матрицу решить методом крамера,матрицы метод крамера,матрицы метод крамера примеры,матрицы примеры метод крамера,матрицы теорема крамера,метод гаусса и крамера,метод гаусса и метод крамера,метод гаусса крамера и,метод гаусса крамера и матричный метод,метод гаусса метод крамера матричный метод,метод крамер,метод крамера,метод крамера 4 на 4,метод крамера 4х4,метод крамера гаусса и,метод крамера для матрицы 4 порядка,метод крамера для решения систем линейных уравнений,метод крамера для чайников,метод крамера и гаусса,метод крамера и матричный метод,метод крамера и метод гаусса,метод крамера и метод гаусса решения систем линейных уравнений,метод крамера как решать,метод крамера матрица,метод крамера матрицы,метод крамера матрицы примеры,метод крамера метод гаусса,метод крамера метод гаусса и,метод крамера метод гаусса матричный метод,метод крамера пример,метод крамера примеры,метод крамера примеры с решением,метод крамера решение,метод крамера решение матриц,метод крамера решение систем линейных уравнений,метод крамера решения,метод крамера решения систем линейных уравнений,метод крамера система линейных уравнений,метод крамера системы линейных уравнений,метод крамера слау,метод крамера теория,метод крамера формула,метод крамера формулы,метод крамера это,метод обратной матрицы метод крамера,метод решение крамера,метод решения крамера,метод слау крамера,метода крамера,методом крамера,методом крамера как решать,методом крамера матрица,методом крамера решить,методом крамера решить матрицу,методом крамера решить системы уравнений,методом крамера решить уравнение,по крамеру решение,по формулам крамера,по формулам крамера решить систему,по формулам крамера решить систему линейных уравнений,по формулам крамера решить систему уравнений,по формуле крамера решить систему,по формуле крамера решить систему линейных уравнений,по формуле крамера решить систему уравнений,правила крамера,правило крамера,правило крамера решения систем,правило крамера решения систем линейных уравнений,пример метод крамера,примеры линейных уравнений решение методом крамера,примеры метод крамера,примеры решение линейных уравнений методом крамера,примеры формула крамера,решение линейных систем уравнений по формулам крамера,решение линейных уравнений методом крамера,решение линейных уравнений методом крамера примеры,решение матриц метод крамера,решение матриц методом крамера,решение матриц по методу крамера,решение матрицы методом крамера,решение метод крамера,решение методом крамера,решение по крамеру,решение по формуле крамера,решение систем линейных уравнений метод крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера методом гаусса,решение систем линейных уравнений по формулам крамера,решение систем методом крамера,решение систем по формулам крамера,решение систем уравнений методом крамера,решение систем уравнений методом крамера примеры с решением,решение систем уравнений по формулам крамера,решение системных уравнений методом крамера,решение системы линейных уравнений методом крамера,решение системы методом крамера,решение системы по формулам крамера,решение системы уравнений методом крамера,решение слау методом крамера,решение уравнений методом крамера,решение уравнений по формулам крамера,решение уравнения методом крамера,решения метод крамера,решите систему линейных уравнений методом крамера,решите систему уравнений методом крамера,решите систему уравнений по формулам крамера,решить матрицу методом крамера,решить методом крамера,решить методом крамера системы уравнений,решить методом крамера слау,решить методом крамера уравнение,решить по правилу крамера систему,решить по правилу крамера систему уравнений,решить по формулам крамера систему,решить по формулам крамера систему уравнений,решить по формуле крамера систему,решить по формуле крамера систему уравнений,решить систему алгебраических линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений по формулам крамера,решить систему линейных уравнений по формуле крамера,решить систему методом гаусса и методом крамера,решить систему методом крамера,решить систему методом крамера и методом гаусса,решить систему по правилу крамера,решить систему по формулам крамера,решить систему по формуле крамера,решить систему уравнений методом крамера,решить систему уравнений по правилу крамера,решить систему уравнений по формулам крамера,решить систему уравнений по формуле крамера,решить системы уравнений методом крамера,решить слау методом крамера,решить уравнение методом крамера,система крамера,система линейных уравнений метод крамера,система линейных уравнений методом крамера,система уравнений методом крамера,систему линейных уравнений решить по формулам крамера,систему уравнений решить по правилу крамера,системы линейных уравнений метод крамера,слау метод крамера,слау методом крамера,способ крамера,теорема крамера матрицы,теория крамера,теория метод крамера,уравнение крамера,уравнение методом крамера,формула крамера,формула крамера для решения,формула крамера для решения системы,формула крамера для решения системы линейных уравнений,формула крамера примеры,формула метод крамера,формулам крамера,формулы крамер,формулы крамера,формулы крамера для решения систем,формулы крамера для решения систем линейных уравнений,формулы метод крамера.
На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как методом крамера решить систему уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать линейные уравнения методом крамера).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как методом крамера решить систему уравнений Онлайн?

Решить задачу как методом крамера решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Mathway | Популярные задачи

1 Упростить квадратный корень из s квадратный корень из s^7
2 Упростить кубический корень из 8x^7y^9z^3
3 Упростить arccos(( квадратный корень из 3)/2)
4 Risolvere per ? sin(x)=1/2
5 Упростить квадратный корень из s квадратный корень из s^3
6 Risolvere per ? cos(x)=1/2
7 Risolvere per x sin(x)=-1/2
8 Преобразовать из градусов в радианы 225
9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень из 2)/2
10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень из 3)/2
11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень из 3)/2
12 График g(x)=3/4* корень пятой степени из x
13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9
14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Метод Крамера — правило и примеры решения систем линейных уравнений » Kupuk.net

Распространённый в математике метод Крамера отлично себя зарекомендовал как способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Но использовать этот подход можно только тогда, когда число искомых значений эквивалентно реальному количеству алгебраических уравнений. Формируемая в системе основная матрица обязательно должна быть квадратной, наличие нулевых строчек просто недопустимо.

Краткое описание

Широко востребованный метод Крамера активно используется специалистами для решения распространённых алгебраических уравнений (СЛАУ). Итоговая точность полученного результата обусловлена применением определённой математической матрицы, а также некоторыми вспомогательными ограничениями, которые неизбежно накладываются во время доказательства конкретной теоремы.

Набором выражений вида yr 2 x1+ yr 2 x2 +… yr n xn = b r при r =1, 2,…, m принято называть универсальную систему линейных алгебраических уравнений. В этом случае также присутствуют определённые коэффициенты, которые могут принадлежать множеству W -действительных чисел, от неизвестных x 1… xn.

Чаще всего в роли действенных чисел выступают yr и br. Каждое из представленных значений называется линейным уравнением. Элементарные коэффициенты при неизвестных — это yr, а вот bi — свободные коэффициенты уравнений. Стандартный n -мерный вектор k ° = (k 1°, k 2°,…, k n°) называют решением системы. При правильной подстановке в систему вместо неизвестных элементов каждая из строчек становится верным равенством.

Если у системы присутствует минимум одно решение, то она называется совместной. Речь касается несовместного примера только в том случае, если многочисленные алгоритмы решения совпадают с пустым множеством. Классическая формула Крамера используется в том случае, если необходимо отыскать верное решение для линейных уравнений. Для получения достоверного результата матрицы должны быть исключительно квадратными. А на практике такой подход означает одинаковое количество уравнений и неизвестных в системе.

Ключевые нюансы

Востребованный в математике метод Крамера для решения систем линейных уравнений можно успешно использовать только в том случае, если ученик хорошо понимает, что такое матрица алгебраических примеров и каким образом она выписывается. В противном случае будет сложно избежать распространённых ошибок. Если необходимые навыки имеются, то в итоге остаётся только правильно запомнить формулы, которые определяют метод Крамера. Чтобы лучше усвоить все тонкости этой темы, необходимо воспользоваться следующими обозначениями:

  • Главный определитель совместности матрицы системы — Det.
  • Определитель матрицы, который получен из основного элемента — deti. Если ученик попробует заменить последний столбец матрицы, задействовав для этого первые части линейных алгебраических уравнений, тогда следует использовать понятие deti.
  • Для количества неизвестных и уравнений в системе используется символ n.

Если учесть все перечисленные нюансы, то в итоге правило Крамера для вычисления компонентов n -мерного вектора можно записать в следующей формулировке: xi = deti / Det. В этом случае DET максимально отличен от нуля.

Практическое применение

Для решения многих математических задач принято использовать теорему Кронекера — Капелли. Если основной определитель G главной матрицы, которая была составлена за счёт коэффициентов уравнений, не равен нулю, тогда система уравнений будет совместна. Но такое решение является единственным. Для поиска верного результата принято вычислять систему через формулу Крамера для линейных уравнений: x i = D i / D.

Метод Крамера основан на нескольких основных нюансах, которые в сочетании друг с другом дают отличный результат:

  • Если решено найти правильное исчисление системы по методике талантливого учёного, тогда первым делом обязательно вычисляют главный определитель обращения матрицы (J). Если при подсчёте детерминант основной матрицы оказался равен нулю, то такая система просто не имеет решения, либо речь касается нескончаемого количества решений. В такой ситуации получить достоверный результат можно только благодаря универсальному методу Гаусса.
  • На втором этапе ученику нужно постараться заменить крайний столбец главной матрицы столбцом свободных членов, чтобы отыскать определитель (J 1).
  • Остаётся повторить аналогичные действия для всех оставшихся столбцов. За счёт этого можно получить определители от J 1 до J n. В этом случае символ n указывает на номер последнего справа столбца.
  • Как только будут найдены абсолютно все детерминанты, нужно постараться высчитать неизвестные переменные по элементарной формуле: х i = B i / B.

Разнообразие математических подходов

Немного иные приёмы используются в том случае, когда предстоит работать с определителем матрицы. Если нужно рассчитать правильные данные на основе конструкции с соразмерностью больше чем 2 на 2, тогда можно использовать сразу несколько проверенных временем способов:

  • Метод Гаусса. Некоторые специалисты привыкли называть это математическое направление понижением порядка основного определителя. Несколько простых действий помогают преобразить матрицу и привести её к треугольному виду. Все комплексные числа, которые расположены на основной диагонали, перемножаются. Но при таком поиске определителя запрещено выполнять арифметические действия со строчками или столбцами без предварительного вынесения чисел как множителя/делителя. Предварительно умножают вычитаемую строку на нулевой множитель, а уже потом вычитают и складывают все элементы между собой. Конечный знак у обратной матрицы подвергают изменениям только в том случае, когда происходит перестановка столбцов или строчек.
  • Правило Саррюса. Суть метода треугольников в том, чтобы ученик мог при вычислении дискриминанта и определителя произведения всех чисел, которые были соединены одной линией, записывать примеры только с положительным значением. Это утверждение идеально подходит для матриц размером 3х3. Но если следовать всем нормам правила Саррюса, то первым делом переписывают саму матрицу, а рядом с ней располагают первый и второй столбец. В итоге через сформированную конструкцию проводятся диагональные линии. Члены матрицы, которые расположены на основной диагонали или на параллельной ей плоскости всегда записываются со знаком +, а вот элементы, лежащие на побочной диагонали, имеют знак -.
  • Если ученик решит использовать универсальный метод Крамера СЛАУ, для которого свойственно присутствие сразу четырёх неизвестных, тогда лучше всего выполнить комбинацию с технологией Гаусса. В этом случае можно гарантированно отыскать детерминант через поиск миноров.

Для каждого направления свойственны свои нюансы и правила теории, которые должен знать каждый ученик. В противном случае решить правильно поставленную задачу практически невозможно.

Помощь онлайн-калькуляторов

Созданные программистами программы пользуются огромным спросом даже среди опытных математиков, так как всего за несколько минут можно правильно решить задачу. Многофункциональные онлайн-калькуляторы с подробным решением по методу Крамера позволяют быстро и качественно решить целую систему различных уравнений. Для этого пользователю необходимо правильно указать количество неизвестных величин.

Для быстрого переключения в уравнении с положительных знаков на отрицательные нужно вводить соответствующие числа. Если в задаче отсутствует коэффициент, то на его место в калькулятор вводят ноль. Указывать можно не только числа, но и дроби. К примеру: 4,7 или 1/5.

На специальных сайтах можно решать различные системы уравнений по методу талантливого учёного Крамера в режиме онлайн. Решение будет отображено на экране моментально, к тому же его можно расширить. При решении системы уравнений крайне важно найти определители и присоединить сразу несколько разных матриц. Для существенного сокращения решения эта математическая операция упрощена, что существенно облегчает работу учеников.

Актуальные примеры решения

Единственность арифметических действий с системой при её совместимости обеспечивает условие неравенства нулю основного определителя. Но если сумма точек, которые были возведены в квадрат, строго положительна, то полученный СЛАУ будет несовместим с квадратной матрицей. Такая ситуация может произойти тогда, когда минимум один из присутствующих элементов deti отличён от нуля.

В качестве примера можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо решить трёхмерную систему ЛАУ, используя для этого формулы Крамера:

  • x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31.
  • 5 x1 + x2 + 2 x3 = 29.
  • 3 x1 — x2 + x3 =10.

Для решения следует выписать матрицу системы построчно. Строку матрицы принято обозначать символом i. После этого можно получить формулу A1=(1 2 4), A2=(5 1 2), A3=(3 -1 1). Существование значения b = (31 29 10) помогает отобразить столбец свободных коэффициентов. Основной определитель Det будет соответствовать следующим данным: a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 — a13 a22 a31 — a11 a32 a23 — a33 a21 a12 = 1—20 + 12 — 12 + 2—10 = -27.

В соответствии с формулой Крамера можно найти: x1 = -81/(-27) = 3, x2 = -108/(-27) = 4, x3 = -135/(-27) = 5. Если всё сделать правильно, то можно получить следующий ответ: x° = (3,4,5). Если руководствоваться базовыми понятиями, то многочисленные средства Крамера для решения сложных линейных уравнений можно использовать опосредованно.

Нелишним также будет рассмотреть следующий пример, где ученику нужно определить то, при каких показателях параметра F неравенство формулы | F x — y — 4|+|x + F y + 4|<=0 будет иметь ровно одно логическое решение. В силу определения модуля функции представленное неравенство может быть выполнено только в том случае, если оба выражения равны нулю. Именно поэтому рассматриваемая задача сводится только к нахождению решения линейной системы алгебраических уравнений. Соблюдаемый принцип действий должен соответствовать двум следующим формулам:

  • F x — y = 4.
  • x + F y = -4.

Для этого примера свойственно единственное решение, но только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Это условие выполняется абсолютно для всех действительных значений параметра F. Стоит отметить, что к математическим задачам этого типа могут быть сведены многочисленные практические примеры из области физики, математики и даже химии.

Присутствующая вычислительная сложность

Рассматриваемый метод решения задач требует стандартного вычисления определителей размерности. Если практиковать использование метода Гаусса для поиска всех необходимых определителей, то возникшие в итоге сложности будут связаны с электронными операциями порядка сложения-умножения. В этом случае придётся столкнуться с более сложными формулами, нежели с методом Гаусса.

Именно поэтому, с точки зрения затрат времени на вычисления, метод Гаусса является непрактичным. Специалистами в 2010 году было доказано, что метод Крамера вполне может быть реализован со сложностью O (n 3), а это очень важно в математике.

В распространённых задачах на системы линейных уравнений обязательно встречаются и такие, в которых помимо букв существуют ещё и другие символы. Они обозначают некоторое число (чаще всего действительное). Математики к таким задачам и системам уравнений приводят примеры, которые основаны на поиске общих свойств каких-либо явлений и предметов. Это очень удобно в том случае, если учёными был изобретён какой-либо агрегат или материал, а для описания всех его свойств необходимо решить целую систему линейных уравнений, где вместо коэффициентов используются буквы.

Решение матрицы по правилу крамера.

Линейные уравнения

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Решить систему линейных уравнений методом крамера. Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .


А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Решение по формуле крамера примеры. Метод крамера решения систем линейных уравнений. Примеры решения систем уравнений методом Крамера

В нашем калькуляторе вы бесплатно найдете решение системы линейных уравнений методом Крамера онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами . Каждый определитель, использованный в расчетах, можно просмотреть отдельно, а также проверить точный вид системы уравнений, если вдруг определитель основной матрицы оказался равен нулю.

Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн калькулятором, вы можете прочитать в инструкции .

О методе

При решении системы линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Находим определитель основной (квадратной) матрицы.
  3. Для нахождения i-ого корня подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-ое место и находим ее определитель. Далее находим отношение полученного определителя к основному, это и есть очередное решение. Проделываем данную операцию для каждой переменной.
  4. В случае, если основной определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений. К сожалению метод Крамера не позволяет более точно ответить на этот вопрос. Тут вам поможет

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2. 5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

9.

8: Решение систем с правилом Крамера
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    1390
    • OpenStax
    • OpenStax
    Цели обучения
    • Оценить определители 2 × 2.
    • Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
    • Оценить 3 × 3 определителя.
    • Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
    • Знать свойства определителей.

    Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

    Вычисление определителя матрицы 2 × 2

    Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

    НАЙТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2 × 2

    Определитель матрицы 2 × 2,

    \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

    равен определяется как

    Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, в том числе \(\det(A)\) и замена скобок в матрице прямыми, \(| A |\).

    Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение определителя матрицы \(2 × 2\)

    Найдите определитель данной матрицы.

    \(A=\begin{bmatrix}5&2\\−6&3\end{bmatrix}\)

    Решение

    \[\begin{align*} \det(A)&= \begin{vmatrix} 5&2\\-6&3\end{vmatrix}\\ &= 5(3)-(-6)(2)\\ &= 27 \end{align*}\]

    Использование правила Крамера для решения системы двойки Уравнения с двумя переменными

    Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в . Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

    Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

    Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

    \[\begin{align} a_1x+b_1y&= c_1 (1) \label{eq1}\\ a_2x+b_2y&= c_2 (2) \label{eq2}\\ \end{align}\]

    Исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решить для другой. Скажем, что мы хотим найти \(x\). Если уравнение \ref{eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \(y\) в уравнении \ref{eq1}, уравнение \ref{eq1} умножается на коэффициент \(y\) в уравнении \ref {eq2}, и мы добавим два уравнения, переменная \(y\) будет исключена.

    \[\begin{align*} &b_2a_1x+b_2b_1y = b_2c_1 & \text{Умножить }R_1 \text{ на }b_2 \\ -&\underline{b_1a_2x-b_1b_2y=-b_1c_2} & \text{Умножить }R_2 \ text{ by }−b_1 \\ & b_2a_1x−b_1a_2x=b_2c_1−b_1c_2 \end{align*}\]

    Теперь найдите \(x\).

    \[\begin{align*} b_2a_1x−b_1a_2x &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x(b_2a_1−b_1a_2) &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x &= \dfrac{b_2c_1−b_1c_2}{b_2a_1−b_1a_2}=\ dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

    Аналогично, чтобы найти \(y\), мы исключим \(x\).

    \[\begin{align*} & a_2a_1x+a_2b_1y = a_2c_1 & \text{Multiply }R_1 \text{ by }a_2 \\ -& \underline{a_1a_2x−a_1b_2y=-a_1c_2} & \text{Multiply }R_2 \text{ by }-a_1 \\ & a_2b_1y-a_1b_2y =a_2c_1-a_1c_2 \end{align*}\]

    Решение для \(y\) дает

    \[ \begin{align*} a_2b_1y-a_1b_2y &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y(a_2b_1−a_1b_2) &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y &= \dfrac{a_2c_1−a_1c_2}{a_2b_1−a_1b_2}=\dfrac{a_1c_2−a_2c_1}{a_1b_2−a_2b_1}=\dfrac{ \begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

    Обратите внимание, что знаменатель для \(x\) и \(y\) является определителем матрицы коэффициентов.

    Мы можем использовать эти формулы для нахождения \(x\) и \(y\), но правило Крамера также вводит новые обозначения: детерминанты. Тогда мы можем выразить \(x\) и \(y\) как частное двух определителей.

    ПРАВИЛО КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \(2×2\)

    Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

    Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

    \[\begin{align*} a_1x+b_1y&= c_1\\ a_2x+b_2y&= c_2 \end{align*}\]

    Решение с использованием правила Крамера дается как

    \[\begin{align} x& = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\; , D\neq 0\\ y&= \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix }}\; , D\neq 0 \end{align}\]

    Если мы находим \(x\), столбец \(x\) заменяется столбцом констант. Если мы ищем \(y\), столбец \(y\) заменяется постоянным столбцом.

    Пример \(\PageIndex{2}\): использование правила Крамера для решения системы \(2 × 2\)

    Решите следующую систему \(2 × 2\), используя правило Крамера.

    \[\begin{align*} 12x+3y&= 15\\ 2x-3y&= 13 \end{align*}\]

    Решение

    Найдите \(x\).

    \[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}15&3\\13&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 12&3\\2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{-45-39}{-36-6}\\ &= \dfrac{-84}{-42}\\ &= 2 \end{align*}\]

    Найдите \(y\).

    \[\begin{align*} y&= \dfrac{D_y}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}12&15\\2&13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}12&3\ \2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{156-30}{-36-6}\\ &= -\dfrac{126}{42}\\ &= -3 \end{align *}\]

    Решение: \((2,−3)\).

    Упражнение \(\PageIndex{1}\)

    Используйте правило Крамера для решения системы \(2 × 2\) уравнений.

    \[\begin{align*} x+2y&= -11\\ -2x+y&= -13 \end{align*}\]

    Ответ

    \((3,−7)\)

    Вычисление определителя матрицы 3 × 3

    Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

    Найдите определитель матрицы 3×3.

    \(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\)

    1. Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

      \(\det(A)=\left| \begin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1\\a_2&b_2&c_2&a_2&b_2\\a_3&b_3&c_3&a_3&b_3\end{array} \right|\)

    2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
    3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

    Алгебра выглядит следующим образом:

    \(| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1\)

    Пример определения {3} × 3 Matrix

    Найдите определитель матрицы \(3 × 3\) по данным

    \(A=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&−1&1\\4&0&1\end{bmatrix}\)

    Решение

    Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

    \[\begin{align*} | А | &= \влево| \begin{массив}{ccc|cc}0&2&1&0&2\\3&-1&1&3&-1\\4&0&1&4&0\end{массив}\right| \\ &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) \\ &=0+8+0+4−0−6 \\ &= 6 \end{align*}\]

    Упражнение \(\PageIndex{2}\)

    Найдите определитель Матрица 3 × 3.

    \(\det(A)=\begin{vmatrix}1&−3&7\\1&1&1\\1&−2&3\end{vmatrix}\)

    Ответ

    \(−10\)

    Вопросы и ответы: Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?

    Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

    Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

    Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \(3 × 3\), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменные. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц \(2 × 2\). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \(3 × 3\) требуется гораздо больше вычислений.

    Когда мы вычисляем определитель равным нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

    Рассмотрим систему уравнений \(3 × 3\).

    \[\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= \color{blue}d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= \color{blue}d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= \color{blue }d_3 \\ \end{align}\]

    \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\), \(z=\dfrac{ D_z}{D}\), \(D≠0\)

    где

    \[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_x = \begin{vmatrix} \color{blue}d_1 & b_1 & c_1\\ \color{blue}d_2 & b_2 & c_2\\ \color{blue}d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_y = \begin{vmatrix} a_1 & \color{blue}d_1 & c_1\\ a_2 & \color{blue}d_2 & c_2\\ a_3 & \color{blue}d_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \color{blue}d_1\\ a_2 & b_2 & \color{blue}d_2\\ a_3 & b_3 & \color{blue}d_3 \end{vmatrix}\]

    Если мы записываем определитель \(D_x\), мы заменяем столбец \(x\) постоянным столбцом. Если мы записываем определитель \(D_y\), мы заменяем их столбец y на постоянный столбец. Если мы записываем определитель \(D_z\), мы заменяем столбец \(z\) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

    Пример \(\PageIndex{4}\): решение системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера

    Найдите решение данной системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера.

    \[\begin{align*} x+y-z&= 6\\ 3x-2y+z&= -5\\ x+3y-2z&= 14 \end{align*}\]

    Решение

    Используйте правило Крамера.

    \(D=\begin{vmatrix}1&1&−1\\3&−2&1\\1&3&−2\end{vmatrix}\), \(D_x=\begin{vmatrix}6&1&−1\\−5&−2&1 \\14&3&-2\end{vmatrix}\), \(D_y=\begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&1\\1&14&-2\end{vmatrix}\), \(D_z=\begin{ vmatrix}1&1&6\\3&-2&-5\\1&3&14\end{vmatrix}\)

    Затем

    \[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}&= \dfrac{- 3}{-3}&= 1\\ y&= \dfrac{D_y}{D}&= \dfrac{-9}{-3}&= 3\\ z&= \dfrac{D_z}{D}&= \dfrac{6}{-3}&= -2\\ \end{align*}\]

    Решение: \((1,3,−2)\).

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Используйте правило Крамера для решения матрицы \(3 × 3\).

    \[\begin{align*} x-3y+7z&= 13\\ x+y+z&= 1\\ x-2y+3z&= 4 \end{align*}\]

    Ответ

    \(\влево(−2,\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5}\вправо)\)

    Пример \(\PageIndex{5A}\): использование правила Крамера для решения несогласованной системы

    Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

    \[\begin{align} 3x-2y&= 4 \label{eq3}\\ 6x-4y&= 0 \label{eq4}\end{align}\]

    Решение

    Начнем с нахождения определители \(D\), \(D_x\) и \(D_y\).

    \(D=\begin{vmatrix}3&-2\\6&-4\end{vmatrix}=3(-4)−6(-2)=0\)

    Мы знаем, что определитель нуля означает либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

    1. Умножить уравнение \ref{eq3} на \(−2\).
    2. Добавьте результат к уравнению \ref{eq4}.

    \[\begin{align*} &−6x+4y=−8 \\ &\;\;\;\underline{6x−4y=0} \\ &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\; 0=−8 \end{align*}\]

    Получаем уравнение \(0=−8\), которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. рисунок \(\PageIndex{1}\).

    Рисунок \(\PageIndex{1}\)
    Пример \(\PageIndex{5B}\): использование правила Крамера для решения зависимой системы

    Решите систему с бесконечным числом решений.

    \[\begin{align} x-2y+3z&= 0 \label{eq5}\\ 3x+y-2z&= 0 \label{eq6}\\ 2x-4y+6z&= 0 \label{eq7} \ end{align}\]

    Решение

    Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

    \(\left| \begin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-2\\3&1&−2&3&1\\2&−4&6&2&-4\end{array}\right|\)

    Затем

    \(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=0\)

    Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

    1. Умножьте уравнение \ref{eq5} на \(−2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq7}:

    \[\begin{align*} &−2x+4y−6x=0 \ \ &\;\;\underline{2x−4y+6z=0} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;0=0 \end{align*}\]

    2. Получение ответа \(0=0\), утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рисунок \(\PageIndex{2}\).

    Рисунок \(\PageIndex{2}\)

    Понимание свойств определителей

    У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

    СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
    1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
    2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
    3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
    4. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.
    Пример \(\PageIndex{6}\): Иллюстрация свойств определителей

    Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

    Решение

    Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.

    \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\)

    Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

    \(A=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2\\0&2&1&0&2\\0&0&−1&0&0\end{array}\right]\)

    Затем

    \[\begin{align* } \det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0(1)(1)+1 (0)(2)\\ &= -2 \end{align*}\]

    Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

    \[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}-1&5\\4&-3\end{bmatrix}\\ \det(A)&= (-1)(-3)-(4) (5)\\ &= 3-20\\ &= -17 \end{align*}\]

    \[\begin{align*} B&= \begin{bmatrix}4&-3\\-1&5\end {bmatrix}\\ \det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3)\\ &= 20-3\\ &= 17 \end{align*}\]

    Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

    \[\begin{align*} A&=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&2\\2&2&2&2&2\\-1&2&2&-1&2\end{массив}\right]\\ \det(A) &=1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) \\ &=4-4+8+4-4-8\\ &=0 \end{align*}\] 9{-1})&=-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{2}(1)\\ &=-\dfrac{1}{2} \ end{align*}\]

    Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

    \[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(A)&=1(4)-2(3)\\ &= -2 \end{align*}\]

    \[\begin{align*} B&=\begin{bmatrix}2(1)&2(2)\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(B) &=2(4)-3(4)\\ &=-4 \end{align*}\]

    Пример \(\PageIndex{7}\): использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

    Найдите решение заданной системы \(3 × 3\).

    \[\begin{align} 2x+4y+4z&=2 \label{eq8}\\ 3x+7y+7z&=-5 \label{eq9}\\ x+2y+2z&=4 \label{eq10} \end{align}\]

    Решение

    Используя правило Крамера, мы имеем

    \(D=\begin{bmatrix}2&4&4\\3&7&7\\1&2&2\end{bmatrix}\)

    Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

    1. Умножьте уравнение \ref{eq10} на \(–2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq8}.

    \[\begin{align*} -2x-4y-4x&=-8\\ 2x+4y+4z&=2\\ 0&=-6 \end{align*}\]

    Получение оператора, который является Противоречие означает, что система не имеет решения.

    Медиа

    Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по правилу Крамера.

    • Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
    • Решите систему из трех уравнений, используя правило Крамера

    Ключевые понятия

    • Определитель для \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) равен \(ad-bc\). См. пример \(\PageIndex{1}\).
    • Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\). См. пример \(\PageIndex{2}\).
    • Чтобы найти определитель матрицы \(3×3\), увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. пример \(\PageIndex{3}\).
    • Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{ D_y}{D}\), \(z=\dfrac{D_z}{D}\). См. пример \(\PageIndex{4}\).
    • Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).
    • Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например: 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
    • Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\).

    Эта страница под названием 9.8: Решающие системы с правилом Крамера распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или Страница
      Автор
      ОпенСтакс
      Лицензия
      СС BY
      Версия лицензии
      4,0
      Программа OER или Publisher
      ОпенСтакс
      Показать страницу TOC
      нет
      Включено
      да
    2. Теги
      1. Правило Крамера
      2. Детерминанты
      3. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

    7.8 Решающие системы с правилом Крамера — Колледжская алгебра 2e

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Оцените  2 × 2  определителей.
    • Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
    • Оценить  3 × 3  определителей.
    • Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
    • Знать свойства определителей.

    Мы научились решать системы уравнений с двумя и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

    Вычисление определителя матрицы 2×2

    Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

    Найдите определитель матрицы 2 × 2

    Определитель матрицы 2×22×2, заданный

    A=[abcd]A=[abcd]

    определяется как

    Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая det(A)det(A) и замену скобок в матрице прямыми линиями |A|.|A|.

    Пример 1

    Нахождение определителя матрицы 2 × 2

    Нахождение определителя заданной матрицы.

    А=[52-63]А=[52-63]

    Решение

    det(A)=|52−63|=5(3)−(−6)(2)=27det(A)=|52−63|=5(3)−(−6)(2)=27

    Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

    Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

    Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

    Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

    a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)

    Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим найти x.x. Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный коэффициенту yy в уравнении (1), уравнение (1) умножить на коэффициент yy в уравнении (2), и мы сложим два уравнения, переменная yy будет устранено.

    b2a1x+b2b1y=b2c1Multiply R1by b2−b1a2x−b1b2y=−b1c2Multiply R2by−b1________________________________________________________ b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2b2a1x+b2b1y=b2c1Multiply R1by b2−b1a2x−b1b2y=−b1c2Multiply R2by−b1________________________________________________________ b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2

    Теперь найдите х.х.

    B2A1X -B1A2X = B2C1 -B1C2X (B2A1 -B1A2) = B2C1 -B1C1C1C1 -B2 -B2C1 -B2A2B2A1 -B2A2 = | C1B1C2B2 || A1B1A2B2 | B2A1X-B1A2X = B2C1 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2B1X2B2 −b1c2b2a1−b1a2=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|

    Аналогично, чтобы найти y,y, мы исключим x. x.

    a2a1x+a2b1y=a2c1Multiply R1by a2−a1a2x−a1b2y=−a1c2Multiply R2by−a1________________________________________________________a2b1y−a1b2y=a2c1−a1c2a2a1x+a2b1y=a2c1Multiply R1by a2−a1a2x−a1b2y=−a1c2Multiply R2by−a1________________________________________________________a2b1y−a1b2y=a2c1−a1c2

    Решение для YY дает

    A2B1Y -A1B2Y = A2C1 -A1C2Y (A2B1 — A1B2) = A2C1 -A1C2 Y = A2C1 -A1C2A2B1 — A1B2 = A1C2-A2C1A1B2 — A2B1B1 -A1B2 = A1C2-A2C1A1B2 — A2B1 = | a1c2y(a2b1−a1b2)=a2c1−a1c2                      y=a2c1−a1c2a2b1−a1b2=a1c2−a2c1a1b2−a2b1=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|

    Обратите внимание, что знаменатель для xx и yy является определителем матрицы коэффициентов.

    Мы можем использовать эти формулы для решения xx и y,y, но правило Крамера также вводит новое обозначение:

    • D:D: определитель матрицы коэффициентов
    • Dx:Dx: определитель числителя в решении xx

      x=DxDx=DxD

    • Dy:Dy: определитель числителя в решении yy

      y=DyDy=DyD

    Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Тогда мы можем выразить xx и yy как частное двух определителей.

    Правило Крамера для систем 2×2

    Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

    Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

    a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

    Решение с использованием правила Крамера дается как

    x=DxD=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|,D≠0;​​y= DyD=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|,D≠0.x=DxD=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|,D≠0;​​y=DyD=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|,D≠0.

    Если мы находим x,x, столбец xx заменяется столбцом констант. Если мы ищем y, y, столбец yy заменяется столбцом констант.

    Пример 2

    Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

    Решите следующую систему 2 × 22 × 2, используя правило Крамера.

    12x+3y=15 2x−3y=1312x+3y=15 2x−3y=13

    Решение

    Решите для х. х.

    x=DxD=|15313−3||1232−3|=−45−39−36−6=−84−42=2x=DxD=|15313−3||1232−3|=−45−39 −36−6=−84−42=2

    Решите для y.y.

    y=DyD=|1215213||1232−3|=156−30−36−6=−12642=−3y=DyD=|1215213||1232−3|=156−30−36−6=−12642 =−3

    Решение (2,−3).(2,−3).

    Попытайся #1

    Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

      х+2у=-11-2х+у=-13 х+2у=-11-2х+у=-13

    Вычисление определителя матрицы 3 × 3

    Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

    Найдите определитель матрицы 3×3.

    А=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]А=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

    1. Дополнить AA первыми двумя столбцами.

      det(A)=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|a1a2a3b1b2b3|det(A)=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|a1a2a3b1b2b3|

    2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
    3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

    Алгебра выглядит следующим образом:

    |A|=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1|A|=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1

    Пример 3

    Нахождение определителя матрицы 3 × 3

    Нахождение определителя заданной матрицы 3 × 3

    A=[0213−11401]A=[0213−11401]

    Решение

    Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

    |A|=|0213−11401|0342−10|=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6|A|=|0213−11401|0342−10|=0(−1) (1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0 +4−0−6=6

    Попытайся #2

    Найдите определитель матрицы 3 × 3.

    det(A)=|1−371111−23|det(A)=|1−371111−23|

    вопросы и ответы

    Можно ли использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

    Нет, этот метод работает только для матриц 2×22×2 и 3×33×3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

    Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

    Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

    Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

    Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

    х=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0

    где

    Если мы записываем определитель Dx,Dx, мы заменяем столбец xx столбцом констант. Если мы записываем определитель Dy,Dy, мы заменяем столбец yy столбцом констант. Если мы записываем определитель Dz,Dz, мы заменяем столбец zz столбцом констант. Всегда проверяйте ответ.

    Пример 4

    Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

    Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

    x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14

    Решение

    Используйте правило Крамера.

    D=|11−13−2113−2|,Dx=|61−1−5−21143−2|,Dy=|16−13−51114−2|,Dz=|1163−2−51314|D =|11−13−2113−2|,Dx=|61−1−5−21143−2|,Dy=|16−13−51114−2|,Dz=|1163−2−51314|

    Тогда

    x=DxD=-3-3=1y=DyD=-9-3=3z=DzD=6-3=-2x=DxD=-3-3=1y=DyD=-9-3 =3z=DzD=6−3=−2

    Решение: (1,3,−2).(1,3,−2).

    Попытайся #3

    Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

    x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4

    Пример 5

    Использование правила Крамера для решения противоречивой системы

    Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

    3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)

    Решение

    Начнем с нахождения определителей D,Dx и Dy.D,Dx и Dy.

    D=|3−26−4|=3(−4)−6(−2)=0D=|3−26−4|=3(−4)−6(−2)=0

    Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

    1. Умножить уравнение (1) на −2,−2.
    2. Добавьте результат к уравнению (2).(2).

    −6x+4y=−86x−4y=0_______________0=−8−6x+4y=−86x−4y=0_______________0=−8

    Получаем уравнение 0=−8,0=−8, которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. рис. 1.

    Рисунок 1

    Пример 6

    Использование правила Крамера для решения зависимой системы

    Решите систему с бесконечным числом решений.

    x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0( 2)2x−4y+6z=0(3)

    Решение

    Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

    |1−2331−22−46  | 1−2312−4||1−2331−22−46  | 1−2312−4|

    Затем

    1(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3)(-4)-2(1)(3)-(-4)(-2)(1)- 6(3)(-2)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3)(-4)-2(1)(3)-(-4) (−2)(1)−6(3)(−2)=0

    Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

    1. Умножьте уравнение (1) на −2−2 и добавьте результат к уравнению (3):

      −2x+4y−6z=02x−4y+6z=00=0−2x+4y−6z=02x−4y+6z=00=0

    2. Получение ответа 0=0,0=0, утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рис. 2.

    Рисунок 2

    Понимание свойств определителей

    У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

    Свойства определителей

    1. Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
    2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
    3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
    4. Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
    5. Определитель обратной матрицы A−1A−1 является обратной величиной определителя матрицы A.A.
    6. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

    Пример 7

    Иллюстрация свойств определителей

    Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

    Решение

    Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.

    A=[12302100−1]A=[12302100−1]

    Дополнить AA первыми двумя столбцами.

    A=[12302100−1|100220]A=[12302100−1|100220]

    Тогда

    det(A)=1(2)(−1)+2(1)(0)+3(0 )(0)−0(2)(3)−0(1)(1)+1(0)(2)=−2det(A)=1(2)(−1)+2(1)(0 )+3(0)(0)−0(2)(3)−0(1)(1)+1(0)(2)=−2

    Свойство 2 указывает, что при перестановке строк меняется знак. Учитывая

    A=[−154−3],det(A)=(−1)(−3)−(4)(5)=3−20=−17B=[4−3−15],det( B)=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17A=[−154−3],det(A)=(−1)(−3)−(4)( 5)=3−20=−17B=[4−3−15],det(B)=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17

    Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца совпадают, определитель равен нулю.

    А=[122222−122 | 12−1 222]det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2)(2)+1(2)(2)−2(2)(1) −2(2)(2)=4−4+8+4−4−8=0A=[122222−122 | 12−1 222]det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2)(2)+1(2)(2)−2(2)(1) −2(2)(2)=4−4+8+4−4−8=0

    Свойство 4 гласит, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,

    A=[1200],det(A)=1(0)−2(0)=0A=[1200],det(A)=1(0)−2(0)=0

    Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы A-1A-1 является обратной величиной определителя A.A. Таким образом,

    A=[1234],det(A)=1(4)−3(2)=−2A−1=[−2132−12],det(A−1)=−2(−12) −(32)(1)=−12A=[1234],det(A)=1(4)−3(2)=−2A−1=[−2132−12],det(A−1)=− 2(−12)−(32)(1)=−12

    Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

    A=[1234],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)2(2)34],det(B)=2(4)−3( 4)=−4A=[1234],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)2(2)34],det(B)=2(4)− 3(4)=−4

    Пример 8

    Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

    Найдите решение данной системы 3 × 3.

    2x+4y+4z=2(1)3x+7y+7z=−5(2) x+2y+2z=4(3)2x+4y+4z=2(1)3x+7y+7z=− 5(2) x+2y+2z=4(3)

    Решение

    Используя правило Крамера, мы имеем

    D=|244377122|D=|244377122|

    Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

    1. Умножьте уравнение (3) на –2 и добавьте результат к уравнению (1).

      −2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=20=−6−2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=20=−6

    Получение утверждения, являющегося противоречием, означает, что система не имеет решения.

    7.8 Секционные упражнения

    Устный

    1.

    Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

    2.

    Изучая правило Крамера, объясните, почему нет единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу 2×22×2.

    3.

    Объясните, что в терминах обратной матрицы означает наличие определителя, равного 0.

    4.

    Определитель матрицы AA 2×22×2 равен 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6, а вторую строку на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.

    Алгебраический

    Для следующих упражнений найдите определитель.

    5.

    |1234||1234|

    6.

    |−123−4||−123−4|

    7.

    |2−5−16||2−5−16|

    8.

    |−84−15||−84−15|

    9.

    |103−4||103−4|

    10.

    |10200-10||10200-10|

    11.

    |100.250.1||100.250.1|

    12.

    |6−384||6−384|

    13.

    |−2−33,14 000||−2−33,14 000|

    14.

    |−1.10.67.2−0,5||−1.10.67.2−0,5|

    15.

    |−10001000−3||−10001000−3|

    16.

    |−14002300−3||−14002300−3|

    17.

    |101010100||101010100|

    18.

    |2-313-41-561||2-313-41-561|

    19.

    |−214−42−82−8−3||−214−42−82−8−3|

    20.

    |6-12-4-3519-1||6-12-4-3519−1|

    21.

    |51−12313−6−3||51−12313−6−3|

    22.

    |1,12-1-4004,1-0,42,5||1,12-1-4004,1-0,42,5|

    23.

    |2-1.63.11.13-8-9.302||2-1.63.11.13-8-9.302|

    24.

    |−12131415−16170018||−12131415−16170018|

    Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

    25.

    2x−3y=−14x+5y=92x−3y=−14x+5y=9

    26.

    5x−4y=2−4x+7y=65x−4y=2−4x+7y=6

    27.

    6x−3y=2−8x+9y=−16x−3y=2−8x+9y=−1

    28.

    2x+6y=125x−2y=132x+6y=125x−2y=13

    29.

    4x+3y=232x-y=-14x+3y=232x-y=-1

    30.

    10x−6y=2−5x+8y=−110x−6y=2−5x+8y=−1

    31.

    4x−3y=−32x+6y=−44x−3y=−32x+6y=−4

    32.

    4x−5y=7−3x+9y=04x−5y=7−3x+9y=0

    33.

    4x+10y=180-3x-5y=-1054x+10y=180-3x-5y=-105

    34.

    8x−2y=−3−4x+6y=48x−2y=−3−4x+6y=4

    Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

    35.

    x+2y-4z=-17x+3y+5z=26-2x-6y+7z=-6x+2y-4z=-17x+3y+5z=26-2x-6y+7z=-6

    36.

    −5x+2y−4z=−474x−3y−z=−943x−3y+2z=94−5x+2y−4z=−474x−3y−z=−943x−3y+2z=94

    37.

    4x+5y-z=-7-2x-9y+2z=85y+7z=214x+5y-z=-7-2x-9y+2z=85y+7z=21

    38.

    4x−3y+4z=105x−2z=−23x+2y−5z=−94x−3y+4z=105x−2z=−23x+2y−5z=−9

    39.

    4x-2y+3z=6-6x+y=-22x+7y+8z=244x-2y+3z=6-6x+y=-22x+7y+8z=24

    40.

    5x+2y-z=1-7x-8y+3z=1,56x-12y+z=75x+2y-z=1-7x-8y+3z=1,56x-12y+z=7

    41.

    13x-17y+16z=73-11x+15y+17z=6146x+10y-30z=-1813x-17y+16z=73-11x+15y+17z=6146x+10y-30z=-18

    42.

    −4x−3y−8z=−72x−9y+5z=0,55x−6y−5z=−2−4x−3y−8z=−72x−9y+5z=0,55x−6y−5z=−2

    43.

    4x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-5x+y+z=14x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-5x+y+z=1

    44.

    4x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-512x+18y-24z=-304x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-512x+18y-24z=-30

    Технология

    В следующих упражнениях используйте функцию определителя в графической утилите.

    45.

    |108

    10300243||108
    10300243|

    46.

    |10210--2-1011-2||10210--2-1011-2|

    47.

    |1217401210050022,0000002||1217401210050022,0000002|

    48.

    |1000230045607890||1000230045607890|

    Реальные приложения

    Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислить определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, то найти единственное решение.

    49.

    Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

    50.

    Два числа в сумме дают 104. Если вы дважды сложите первое число и два раза второе число, получится 208

    51.

    Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго числа. Третье число на 4 больше первого числа.

    52.

    Три числа в сумме дают 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше первых двух вместе взятых.

    Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

    53.

    Вы инвестируете 10 000 долларов на два счета, на которые начисляются 8% и 5% годовых. В конце года на ваших объединенных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждый счет?

    54.

    Вы инвестируете 80 000 долларов США в два счета, 22 000 долларов США в один счет и 58 000 долларов США в другой счет. В конце года, при условии простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Каковы процентные ставки для ваших счетов?

    55.

    Театру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детские билеты стоят 5,95 долл. США, билеты для взрослых — 11,15 долл. США, а общая сумма выручки составила 12 756 долл. США, сколько было продано детских билетов и билетов для взрослых?

    56.

    Концертный зал продает одиночные билеты по 40 долларов США каждый и билеты для пар по 65 долларов США. Если общий доход составил 18 090 долларов США и был продан 321 билет, то сколько было продано одиночных билетов и сколько билетов для пар?

    57.

    Вы решили покрасить кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски. Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета вошло в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого цвета стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

    58.

    Вы продали два вида шарфов на фермерском рынке и хотели бы знать, какой из них более популярен. Всего было продано 56 шарфов, желтый шарф стоил 10 долларов, фиолетовый — 11 долларов. Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых шарфов и сколько фиолетовых шарфов было продано?

    59.

    В вашем саду выращивают два вида помидоров, один зеленый и один красный. Красный весит 10 унций, а зеленый весит 4 унции. У вас есть 30 помидоров общим весом 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

    60.

    На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, продажи которой на 5% выше, чем у лука. Какую долю рынка занимает каждый овощ?

    61.

    На том же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества продаваемых фруктов. Клубники продают вдвое больше, чем апельсинов, а киви продают на один процент больше, чем апельсинов. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

    62.

    Три артиста выступили на концертной площадке. Первый стоил 15 долларов за билет, второй артист — 45 долларов за билет, а последний — 22 доллара за билет. Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй группы, сколько билетов было продано на каждую группу?

    63.

    Кинотеатр продал билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а на третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Общее количество проданных билетов составило 642, а общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

    Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает приготовить пищевую смесь из миндаля, сушеной клюквы и орехов кешью в шоколаде. Информация о пищевой ценности этих продуктов представлена ​​в Таблице 1.

    Жир (г) Белок (г) Углеводы (г)
    Миндаль (10) 6 2 3
    Клюква (10) 0,02 0 8
    Кешью (10) 7 3,5 5,5

    Стол 1

    64.

    Для специальной «низкоуглеводной» трейловой смеси имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов 425 г, общее количество жиров 570,2 г. Если орехов кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько штук каждого предмета будет в смеси?

    65.

    Для смеси «походной» в составе смеси 1000 шт., содержащих 390,8 г жира, 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько орехов кешью, то сколько каждого элемента содержится в смеси?

    66.

    Для смеси «Энергия-бустер» в упаковке 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью в сумме равно количеству клюквы, сколько каждого элемента содержится в смеси?

    Правило Крамера | GyanGossip

    Опубликовано: 14 фев 2022 г.

    Что такое правило Крамера и как решать задачи линейного уравнения с помощью правила Крамера?

    В математике для решения линейных уравнений используется матричная форма. Матрица представляет собой прямоугольный массив элементов, заключенных в квадратные скобки «[]». Есть некоторые методы и правила матрицы, используемые для решения линейных уравнений. Правило Кримера — одно из них.

    В этом правиле также используются определители. В этом посте мы изучим основную концепцию этого правила и используем несколько примеров, чтобы понять, как решать задачи линейных уравнений с помощью правила Крамера.

    Что такое правило Крамера?

    В матрицах правило Крамера используется для нахождения значений неизвестных переменных, присутствующих в линейных уравнениях. Для нахождения системы уравнений используется правило Крамера, и уравнения должны быть линейными.

    В этом методе все расчеты основаны на определителях, поэтому этот метод также называется методом определителей. Прямоугольный массив матриц не используется в правиле Крамера, поэтому мы используем форму квадратной матрицы. В квадратной матрице присутствует равное количество строк и столбцов.

    Поскольку определение матрицы гласит, что прямоугольный массив матрицы, то у ума должен возникнуть вопрос, почему мы используем квадратную матрицу для правила Крамера? Ответ заключается в том, что все квадратные матрицы в общем случае являются прямоугольными матрицами. Итак, мы всегда делаем вывод, что квадратная матрица прямоугольная.

    Формула правила Крамера

    Правило Крамера соответствует следующему уравнению:

    Ax = b

    -сторона линейного уравнения, а X — неизвестные переменные, которые необходимо найти.

    Уравнения принимаются в общем виде.

    A 1 x + B 1 y = C 1

    A 2 x + B 2 90 -матрица и y-матрица задаются как

    Первым шагом правила Крамера является преобразование матрицы в матричную форму. А затем найти определитель всех квадратных матриц, которые мы составили. Согласно правилу Крамера, если определитель квадратной матрицы равен нулю, то это правило неприменимо.

    Следующие формы используются для вычисления неизвестных переменных x и y линейных уравнений.

    Для определения значения x

    X = det[x]/det

    Для определения значения y

    y = det[y]/det

    Как решать линейные уравнения по правилу Крамера?

    Чтобы решить задачи линейного уравнения, вы должны быть знакомы с основной формулой и правилом Крамера. В правиле Крамера используются определители, определители должны быть рассчитаны с применением «||» для матриц вместо скобок [].

    Существует онлайн-калькулятор правила Крамера, который используется для таких вычислений, чтобы уменьшить сложность больших вычислений.

    Шаги для определения определителя для матриц 2×2 очень просты, просто следуйте данному методу.

    a b c d = (a x d) – (b x c)

    Шаги для определения определителя для матриц 3×3 довольно сложны и длительны, просто следуйте данному методу.

    Пример 1

    Найдите неизвестные линейного уравнения, используя правило Крамера.

    5x + 3y = 6

    x + 3y = 2

    Решение

    Шаг 1: Сначала напишите в форме AX = B.

    5 3 1 3 x y = 6 2

    Step 2: Find the determinant of square matrix A.

    A = 5 3 1 3

    Step 3: Write the formula to determine the determinant of square matrix A.

    a b c d = (a x d) – (b x c)

    Шаг 4: Поместите значения каждого члена в приведенную выше формулу.

    5 3 1 3 = (5 x 3) – (3 x 1)

    5 3 1 3 = 15 — 3

    5 3 1 3 = 12

    DET A = 12

    = 12

    DET A = 12

    . первый столбец матрицы A и дайте имя значения x.

    Значения X = 6 3 2 3

    Шаг 6: Найдите определитель приведенной выше матрицы.

    6 3 2 3 = (6 x 3) – (3 x 2)

    6 3 2 3 = 18 – 6

    6 3 2 3 = 12

    det x = 12

    Шаг 7: Теперь возьмите значения b во втором столбце матрицы A и назовите значение y.

    Значения X = 5 6 1 2

    Шаг 8: Найдите определитель приведенной выше матрицы.

    5 6 1 2 = (5 x 2) — (6 x 1)

    5 6 1 2 = 10. 100055 59546956956 400546 40046 40046 40046 40046 400546 400546 40046 40046 4. 6 400546 400546 400546 400546 400546 40054 40054 2 . 6 1 2 = 4

    det y = 4

    Шаг 9 : По формуле правила Крамера для нахождения неизвестных переменных имеем.

    X = det x /det

    Y = det y /det

    Шаг 10: Подставьте значения рассчитанных определителей в приведенные выше формулы.

    Х = 12/12 = 1

    Y = 4/12 = 1/3 = 0,3333

    Пример 2

    5x – 4y = 6

    3x + 9y = 2

    Решение

    Шаг 1: Сначала запишите в форме AX = B.

    5 -4 3 9 x y = 6 2

    Step 2: Find the determinant of square matrix A.

    A = 5 -4 3 9

    Шаг 3: Напишите формулу для определения определения квадратной матрицы A.

    A B C D = (a x D) — (B x C)

    D = (A X D) — (B x C)

    4. 4: 4: 4:

    4:

    4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 9: 9: . Поместите значения каждого члена в приведенную выше формулу.

    5 -4 3 9 = (5 x 9) – (3 x (-4))

    5 -4 3 9 = 45 – ( -12)

    5 -4 3 9 = 45 + 12

    5 -4 3 9 = 57

    Det A = 57

    Step 5 : Теперь возьмите значения b в первом столбце матрицы A и назовите значение x.

    Значения X = 6 -4 2 9

    Шаг 6: Найдите определитель приведенной выше матрицы.

    6 -4 2 9 = (6 x 9) – (-4 x 2)

    6 -4 2 9 = 54 – (-8 )

    6 -4 2 9 = 54 + 8

    6 -4 2 9 = 62

    det x = 62

    Шаг 7: Теперь возьмите значения b во втором столбце матрицы A и назовите значение y.

    Значения X = 5 6 3 2

    Шаг 8: Найдите определитель приведенной выше матрицы.

    5 6 3 2 = (5 x 2) – (6 x 3)

    5 6 3 2 = 10 – 18

    5 6 3 2 = -8

    det y = -8

    Step 9 : By the formula of Cramer’s rule чтобы найти неизвестные переменные, мы имеем.

    X = det x /det

    Y = det y /det

    Шаг 10: Подставьте значения рассчитанных определителей в приведенные выше формулы.

    X = 62/57 = 1,0877

    Y = -8/57 = -0,1404

    Резюме

    Теперь вы усвоили все основы правила Крамера. Работать по этому правилу очень просто, требуется лишь некоторая практика, это правило также определено в ведической математике. Из приведенных примеров вы также можете решить правило Крамера для матриц 3×3, выполнив те же действия.

    Калькулятор правила Крамера

    • Выражение
    • Уравнение
    • Неравенство
    • Связаться с нами
    • Упростить
    • Коэффициент
    • Расширение
    • GCF
    • LCM
    • Решение
    • График
    • Система
    • Решайте
    • График
    • Система
    • Math Solver Solver
    • Math Solver Solver
    • Math Solver Solver
    • Math Solver на сайте
    • 9003

      Наши пользователи:

      Я впечатлен! В свои 64 иногда ненавижу перемены, но это точно к лучшему.
      Алекс Старке, ИЛИ

      Мой муж пользуется этим программным обеспечением с тех пор, как несколько месяцев назад вернулся в школу. Он не учился в колледже более 10 лет, так что его математические навыки были очень заржаветы. Наша подруга-учительница предложила эту программу, так как она использует ее для обучения своих учеников дробям. Майк хорошо успевает на двух уроках математики. Благодарю вас!
      К.Т., Огайо

      Честно говоря, сначала я немного скептически относился к тому, насколько простым будет Алгебратор. Но это действительно самая простая программа для запуска и запуска. Я изучал алгебру в течение нескольких минут после загрузки программного обеспечения.
      Тайсон Уэйн, SD

      Какой замечательный дружественный интерфейс, полный цветов, делает программное обеспечение Algebrator простой программой для работы, а также с ним так легко работать, вам не нужно прерывать поток своих мыслей каждый раз, когда вам нужно взаимодействовать с программой.
      Эд Карли, IN


      Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?


      Поисковые фразы, использованные 25 сентября 2010 г.:
      • сложение и умножение отрицательных чисел
      • премьер
      • комбинированная перестановочная деятельность
      • сложение/вычитание положительных и отрицательных чисел
      • Скотт Форман Предварительная алгебра Математика Печать листов 8 класс
      • математические стихи алгебра
      • задачи на квадратное уравнение
      • бесплатно алгебра гленко 2 ответы
      • исследование задач по алгебре
      • планы уроков квадратное уравнение
      • исследовательский проект по математике
      • бесплатный обозреватель gmat
      • по математике как разделить мили на милю в час
      • Вопросы о Java Apptitude
      • бесплатно скачать тестовые листы с ответами
      • веб-сайт решателя общих множителей
      • Примеры вопросов для проверки способностей GMAT
      • вычислений)
      • калькулятор общего знаменателя дроби
      • как делать дроби на ти-83 плюс
      • алгебра для чайников рабочие листы
      • glencoe /mcgraw-hill заменяет десятичные дроби
      • ti 84 скачать ром
      • как решить квадратное уравнение с помощью TI-83 плюс
      • планы уроков по математике в пятом классе наименьшее общее кратное
      • решения по алгебре шаг за шагом
      • Калькулятор кубического корня vba
      • учебник по математике для 8 класса
      • ti-84 rom скачать
      • онлайн-решатель пределов
      • Калькулятор
      • , решающий умножение подобных слагаемых
      • десятичных порядка
      • Калькулятор упрощающих выражений
      • определение буквального коэффициента в алгебре
      • перемножение матриц
      • алгебра 2 подкоренных выражения упрости калькулятор
      • вычитание целых дробей
      • попрактиковаться в задачах линейной модели перед расчетом
      • матлаб 2-го порядка ода
      • как написать 50 тысячный десятичный
      • java преобразовать длинное число в десятичное
      • решать одновременные квадратные уравнения
      • лестничный метод
      • выражения с рабочими листами степени
      • математические мелочи с простыми ответами
      • кубических корня из дробей
      • экзамен по математике для чайников
      • дистрибутивность в предалгебре
      • решать сложные рациональные выражения
      • вопроса из учебника по математике до алгебры
      • скачать калькулятор ti 84
      • домен CD 1
      • алгебра 2 треугольники и многочлены
      • уравнение с несколькими переменными
      • задачи по математике для 9 класса 20010
      • алгебраическое сложение
      • СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТОВАРЫ И ФАКТОРИНГ
      • графические эллипсы с 3 переменными
      • Рабочий лист решения уравнений
      • предварительная алгебра переход к алгебре один предварительный курс навыков
      • линейные полиномиальные радикалы
      • Правила решетки факторов
      • для 6-го класса
      • сколько стоит погонный метр
      • текстовые задачи по алгебре в колледже для тестов
      • Извлечение квадратных корней пример
      • Рабочий лист простого уравнения
      • алгебраическая интерполяция и экстраполяция
      • преобразование процентов в слова
      • решение взаимосвязей переменных уравнений
      • Java-код для вычисления абсолютного значения
      • Литтел Алгебра 2 Ключ ответа стр. 105
      • обман с наименьшим общим знаменателем
      • изменение разницы
      • как решать иррациональные уравнения
      • шпаргалки по алгебре
      • клен решить два уравнения
      • решение полиномиального уравнения третьего порядка
      • словесные задачи по алгебре в колледже
      • легкая алгебра
      • бесплатный графический онлайн калькулятор ti 74
      • Устройство для перестановки тестов
      • тригонометрия для идиотов
      • как преподавать задачи по алгебре в начальной школе
      • бесплатных загрузок программного обеспечения Intermid и Elementary алгебры
      • математических символов для PowerPoint бесплатно
      • Тест готовности образца
      • для 1 класса
      • бесплатные экзаменационные работы по естественным наукам для 6 класса
      • предварительные алгебраические выводы
      • предварительная алгебра с пиццей для девятого класса от Creative Publications
      • квадратный корень / четырехкратный корень
      • дробь квадратный корень
      • Калькулятор радикального упрощения
      • «Абстрактная алгебра» Герштейн глава 1 ответ
      • умножить целое число рабочий лист
      • прентис холл математика алгебра 1 рабочая тетрадь ответы
      • конверт(%, радикал) клен
      • Одношаговое уравнение для печати
      • решить дифференциальные уравнения ti-89
      Предыдущая Далее

      Правило Крамера – объяснение и примеры

      Для решения системы уравнений мы в основном используем метод подстановки , метод исключения, или метод построения графиков. Мы также можем использовать матричную алгебру для решения системы уравнений. Такие процессы, как исключение Гаусса (также известное как исключение Гаусса-Джордана), могут помочь решить систему уравнений с $3$ или более неизвестными. Мы также можем использовать правило Крамера для решения системы.

      Что такое правило Крамера?

      Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.

      В этом уроке мы рассмотрим, что такое правило Крамера и как решить систему уравнений. Ниже приведены некоторые примеры и практические задачи.

      Что такое правило Крамера?

      Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей. Это и есть красота правила Крамера. Мы можем найти значение одной переменной без решения всей системы (или других переменных).

      Помните определители?

      Рассмотрим матрицу размера $ 2 \times 2 $, показанную ниже:

      $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $

      Определитель этой матрицы определяется выражением:

      $ det( A ) = | А | = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $

      Примечание. Мы использовали обозначения $ 3 $ для обозначения определителя.

      Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \times 3 $, показанную ниже:

      $ B = \begin{bmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \end {bmatrix} $

      Определитель этой матрицы равен:

      $ det( B ) = | Б | = \begin{vmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \ end {vmatrix} =  a \begin {vmatrix} { e }  & f \\ h & i  \end {vmatrix} – b \begin{vmatrix} d  & f \\ g & i  \end {vmatrix} + c \begin{vmatrix} d  & e \\ g & h  \end {vmatrix} $

      Обратите внимание, что мы разбили матрицу $3\x 3$ на более мелкие матрицы $2\x 2$. Вертикальные черточки за пределами матриц $ 2 \times 2 $ указывают на то, что мы должны взять определитель. Зная определитель $ 2 \times 2 $ матриц, мы можем дополнительно упростить формулу:

      $ det(B)=| Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $

      Рассмотрим систему уравнений, показанную ниже:

      $ \begin{align*} { 2x } + 3y &= \ , { 7 } \\ { – 3x } + 4y  &= { 15 }  \end{align*} $

      Теперь мы назовем некоторые матрицы, которые помогут нам в дальнейшем использовать правило Крамера для решения этой системы.

      • Следуя формуле определителя $ 2 \times 2 $, мы можем записать определяющую матрицу как:

      $ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix }  $

      Мы назвали его «D».

      • Подставив постоянные коэффициенты из системы в первый столбец (вместо $ x $s), можно написать другую матрицу:

      $  D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ { 15 } & 4 \end{vmatrix}  $

      Мы назвали его «$ D_{ x } $» и назвали его x -матрица .

      • Аналогично, подставив константы из системы во второй столбец (вместо $y$s), можно написать другую матрицу:

      $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & 7 \ \ { – 3 } & 15 \end{vmatrix}  $

      Мы обозначили его как «$ D_{ y } $» и назвали его y-матрицей .

      Теперь формула правила Крамера для решения переменных $ x $ и $ y $ показана ниже:

      $ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ \begin {vmatrix} 7 и 3 \\ { 15 } & 4 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix} } $

      $ y = \frac { D_{ y } }{ D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 и 7 \\ { – 3 } & 15 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix} } $

      В следующем разделе мы покажем, как на самом деле использовать правило и решить систему! Обратите внимание, что мы не может использовать правило Крамера, когда определитель матрицы равен $ 0 $! Нулевой определитель может означать:

      • Система несовместна (не имеет решения)
      • Система зависима (имеет бесконечные решения)

      В этом случае приходится полагаться на другие методы в решение системы, такой как метод замены/исключения или метод исключения Гаусса.

      Как использовать правило Крамера?

      Давайте решим систему уравнений ( переменные $ 2 $ ), используя правило Крамера, чтобы увидеть концепцию в прямом эфире в действии!

      Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

      $ \begin{align*} { 2x } + y &= \, { 7 } \\ {  3x } – 2y  &= { – 7 } \end{align*} $

      Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определителя ( $ D $ ), определителя $ x – $ ( $ D_ { x } ) и определителя $ y – $ ($D_{у}). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

      $  D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ {  3 } &  { – 2 } \end{vmatrix}  $

      $  D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ { – 7 } & { – 2 } \end{vmatrix}  $

      $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & { 7 } \\ { 3 } & { – 7 } \end{vmatrix}  $

      Вспомните формулу для вычисления определителя $ 2 \times 2 $:

      Для матрицы $ 2 \times 2 $ — 

      $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $

      Определитель вычисляется как —

      $ det( A ) = | А | = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $

      Вычислим определители:

      $  D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ {  3 } &  { – 2 } \end{vmatrix} = ( 2 )( – 2 ) – ( ​​1 )( 3 ) = – 4 – 3 = – 7   $

      $  D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ { – 7 } & { – 2 } \end{vmatrix} = ( 7 )( – 2 ) – ( 1 )( – 7 ) = – 14 – ( – 7 ) = – 14 + 7 = – 7   $

      $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & { 7 } \\ { 3 } & { – 7 } \end{vmatrix} = ( 2 )( – 7 ) – ( ​​7 )( 3 ) = -14 – 21 = – 35   $

      Теперь мы можем использовать формулы и, таким образом, Правило Крамера , чтобы найти переменные $ x $ и $ y $. Ниже показано:

      $ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \ frac{ – 7 }{ – 7 } = 1 $

      $ y = \ frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ – 35 }{ – 7 } = 5 $

      набор решений системы равен (1, 5) .

      Вы можете заметить, что если бы мы хотели решить только переменные $ 1 $ без решения всей системы, мы могли бы легко использовать формулу для одной переменной, чтобы найти ее. Правило Крамера — довольно изящный инструмент для поиска решений системы уравнений. Мы увидим несколько примеров, а также один с переменными $3$.

      Пример 1

      Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

      $ \begin{align*} { – x } – y &= \, { 5 } \\ { 2x } + y  &= { 4 }  \end{align*} $

      Решение

      Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ( $ D $ ), $ x – $ определитель ( $ D_ { x } ) и определитель $ y – $ ( $ D_{ y } ). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

      $  D = \begin{vmatrix} – 1 & – 1 \\ {  2 } &  { 1 } \end{vmatrix}  $

      $  D_{ x } = \begin{vmatrix} 5 & – 1 \\ { 4 } & { 1 } \end{vmatrix}  $

      $  D_{ y } = \begin{vmatrix} – 1 & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } \end{vmatrix}  $

      Мы используйте формулу для вычисления определителей матриц $2\times 2$ для вычисления матриц $D$, $D_{x}$ и $D_{y}$.

      $  D = \begin{vmatrix} – 1 & – 1 \\ {  2 } &  { 1 } \end{vmatrix}  = (– 1 )( 1 ) – ( ​​– 1 )( 2 ) = – 1 + 2 = 1   9 долларов США0046

      $  D_{ x } = \begin{vmatrix} 5 & – 1 \\ { 4 } & { 1 } \end{vmatrix} = ( 5 )( 1 ) – ( ​​– 1 )( 4 ) = 5 + 4 = 9  $

      $  D_{ y } = \begin{vmatrix} – 1 & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } \end{vmatrix}  = ( – 1 )( 4 ) – ( ​​5 )( 2 ) = – 4 – 10 = – 14    $

      Теперь воспользуемся формулами, изученными в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

      $ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ 9 }{ 1 } = 9 $

      $ y = \frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ – 14 }{ 1 } = – 14 $

      Набор решений системы стоит $ (9, – 14) $ .

      Рассмотрим пример с переменными $3$.

       
      Пример 2

      Решите приведенную ниже систему уравнений с помощью правила Крамера: – c  &= 5  \\ a – 2b + 3c = 6 \end{align*} $


      Решение

      Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ($D$), $a – $детерминант ($D_{a}), $b–$ определитель ($D_{b}) и $c–$ определитель ($D_{c}). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

      $  D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}  $

      $  D_{ a } = \begin{ vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix}  $

      $  D_{ b } = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \end{vmatrix}  $

      $  D_{ c } = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \end{vmatrix}  $

      Для матрицы вида:

      $ B = \begin{bmatrix} {a}  & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i  \end {bmatrix} $

      Определитель вычисляется как :

      $ | Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $

      Теперь воспользуемся правилом Крамера и вычислим значения переменных $a $, $b$ и $c$ . Шаги показаны ниже (мы не показывали подробные шаги нахождения определителей $ 3 \times 3 $ матриц):

      $ a = \frac{ D_{ a } }{ D } = \frac{ \ begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{-26}{-26} =1 $

      $ b = \frac{D_{ b } }{D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \end{ vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{26}{-26} = — 1 $

      $ c = \frac{D_{c} }{D} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{-26}{-26 } = 1$

      Набор решений системы равен $ (1, – 1,1) $.

      Практические вопросы

      1. Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера: &= { 20 }  \end{align*} $

      2. Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

        $ \begin{align*} 3x – 4y + z &= \, -5 \ \ x – y – z  &= – 10  \\ 6x – 8y + 2z = 10 \end{align*} $

      Ответы

      1. Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определителя ( $ D $ ), определителя $ x – $ ( $ D_{ x } $ ) и $ y – $ определитель ($D_{y}$). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

        $  D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {  – 1 } &  { 4 } \end{vmatrix}  $

        $  D_{ x } = \begin {vmatrix} 10 & 2 \\ { 20 } & { 4 } \end{vmatrix}  $

        $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 5 & { 10 } \\ { – 1 } & { 20 } \ конец{vmatrix}  $

        Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_{ x } $ и $ D_ { y } $.

        $  D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {  – 1 } &  { 4 } \end{vmatrix}  = ( 5 )( 4 ) – ( ​​2 )( -1 ) = 20 + 2 = 22   $

        $  D_{x} = \begin{vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \end{vmatrix} = (10)(4) – (2)(20) = 40 – 40 = 0 $

        $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 5 & {10} \\ {– 1} & {20} \end{vmatrix} = (5)(20) – (10)(-1) = 100 + 10 = 110   9 долл. США0046

        Теперь воспользуемся формулами, изученными в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

        $ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ 0 }{ 22 } = 0 $

        $ y = \frac{D_{ y } }{D } = \frac{ 110 }{ 22 } = 5 $

        Набор из решений системы равен $ (0, 5) $.

      2. Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ($D$), $x – определитель $ ($D_{x} ), $y – определитель $ ($D_{y}) $,  и определитель $ z – $ ( $ D_{ z } ) $. Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

        $  D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \end{vmatrix}  $

        $  D_{ x } = \begin{ vmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -10 & -1 & -1 \\ 10 & -8 & 2 \end{vmatrix}  $

        $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -10 & -1 \\ 6 & 10 & 2 \end{vmatrix}  $

        $  D_{ z } = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & -1 & -10 \\ 6 & -8 & 10 \end{vmatrix}  $

        Напомним, что $ 3 \times 3 $ матрица вида:

        $ B = \begin{bmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \end {bmatrix} $

        Имеет определитель, равный:

        $ | Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $

        Сначала найдем значение определителя, $D$,

        $ D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \end{vmatrix} = 3(-2-8) +4(2+6) +1(-8+6) = 3(-10) + 4(8) +1(-2) = 0 $

        Определитель этой матрицы равен $ 0 $; таким образом, мы не можем решить систему, используя правило Крамера!!

      Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

      Введение в линейную алгебру, 5-е издание

      Введение в линейную алгебру, 5-е издание

      Гилберт Странг   ([email protected] com)     ISBN : 978-09802327-7-6

      Wellesley-Cambridge Press

      Заказ книги в Wellesley-Cambridge Press 9Заказ книги 1900 года для членов SIAM

      Заказ книги Американского математического общества

      Заказ книги издательства Кембриджского университета (за пределами Северной Америки)

      Введение в линейную алгебру, индийское издание, доступно в издательстве Wellesley Publishers

      Обзор 5-го издания Профессор Фареник для Международного общества линейной алгебры

      Рецензия на книгу InsideBIGDATA (2016)

      Связанные веб-сайты:
      Линейная алгебра для всех (новый учебник, сентябрь 2020 г.)   СМ. ПРИМ. НИЖЕ
      Другие книги Гилберта Стрэнга
      OpenCourseWare
      Домашняя страница Гилберта Стрэнга

      Я надеюсь, что этот сайт станет ценным ресурсом для всех изучение и выполнение линейной алгебры. Вот основные ссылки:

      • Содержание
      • Предисловие
      • Раздел 1. 3 книги: Матрицы
      • Раздел 2.5 книги: Обратные матрицы
      • Раздел 3.5 книги: Измерения четырех подпространств
      • Раздел 6.1 книги: Введение в собственные значения
      • Раздел 7.1 книги: Обработка изображений с помощью линейной алгебры
      • Раздел 12.1 книги: Среднее значение, дисперсия и вероятность
      • Матричные факторизации
      • Индекс
      • 6 великих теорем
      • Транспонирование производной
      • Eigshow в MATLAB
      • 18.06 Сайт OpenCourseWare с видеолекциями 18.06 по OCW
      • Сайт издателя учебника www.wellesleycambridge.com

      • Руководство по решению для учебника (обновлено в сентябре 2020 г.)
        • Глава 1
        • Глава 2
        • Глава 3
        • Глава 4
        • Глава 5
        • Глава 6
        • Глава 7
        • Глава 8
        • Глава 9
        • Глава 10
        • Глава 11
        • Глава 12

      • Мир матриц: картина всех матриц, Кендзи Хиранабэ
      • LU и CR Исключение (появится в разделе «Образование» SIAM Review)

      ** Каждый раздел в оглавлении содержит ссылки на наборы задач, решения,
      ** другие веб-сайты и все материалы, относящиеся к теме этого раздела.
      ** Читателям предлагается предлагать возможные ссылки.

      Оглавление для введения в линейную алгебру (5-е издание, 2016 г.)

      • 1 Введение в векторы
        • 1.1 Векторы и линейные комбинации
        • 1.2 Длины и скалярные произведения
        • 1.3 Матрицы
      • 2 Решение линейных уравнений
        • 2.1 Векторы и линейные уравнения
        • 2.2 Идея ликвидации
        • 2.3 Исключение с использованием матриц
        • 2.4 Правила матричных операций
        • 2.5 Обратные матрицы
        • 2.6 Исключение = Факторизация: A = ЛЕ
        • 2.7 Транспонирование и перестановки
      • 3 векторных пространства и подпространства
        • 3. 1 Пространства векторов
        • 3.2 Нуль-пространство A : Решение Ax = 0 и Rx = 0
        • 3.3 Полное решение для Ax = b
        • 3.4 Независимость, основа и измерение
        • 3.5 Измерения четырех подпространств
      • 4 Ортогональность
        • 4.1 Ортогональность четырех подпространств
        • 4.2 Выступы
        • 4.3 Метод наименьших квадратов
        • 4.4 Ортонормированные базисы и Грам-Шмидт
      • 5 Детерминанты
        • 5.1 Свойства определителей
        • 5.2 Перестановки и кофакторы
        • 5.3 Правило Крамера, инверсии и объемы
      • 6 Собственные значения и собственные векторы
        • 6. 1 Введение в собственные значения
        • 6.2 Диагонализация матрицы
        • 6.3 Системы дифференциальных уравнений
        • 6.4 Симметричные матрицы
        • 6.5 Положительно определенные матрицы
      • 7 Разложение по сингулярным числам (SVD)
        • 7.1 Обработка изображений с помощью линейной алгебры
        • 7.2 Базы и матрицы в СВД
        • 7.3 Анализ главных компонентов (PCA по SVD)
        • 7.4 Геометрия СВД
      • 8 линейных преобразований
        • 8.1 Идея линейного преобразования
        • 8.2 Матрица линейного преобразования
        • 8.3 Поиск хорошей основы
      • 9 Комплексные векторы и матрицы
        • 9. 1 Комплексные числа
        • 9.2 Эрмитовы и унитарные матрицы
        • 9.3 Быстрое преобразование Фурье
      • 10 приложений
        • 10.1 Графики и сети
        • 10.2 Матрицы в технике
        • 10.3 Марковские матрицы, население и экономика
        • 10.4 Линейное программирование
        • 10.5 Ряды Фурье: линейная алгебра функций
        • 10.6 Компьютерная графика
        • 10.7 Линейная алгебра для криптографии
      • 11 Числовая линейная алгебра
        • 11.1 Исключение Гаусса на практике
        • 11.2 Номера норм и условий
        • 11.3 Итерационные методы и предварительные условия
      • 12 Линейная алгебра в теории вероятностей и статистике
        • 12. 1 Среднее значение, дисперсия и вероятность
        • 12.2 Ковариационные матрицы и совместные вероятности
        • 12.3 Многомерный метод Гаусса и взвешенный метод наименьших квадратов
      • Матричные факторизации
      • Индекс
      • Шесть великих теорем / Линейная алгебра в двух словах

      [верх]

      В каждом разделе книги есть набор задач.

      В следующих видеороликах щелкните значок «Воспроизвести» ►
      Во время воспроизведения щелкните слово «YouTube»
      , чтобы просмотреть увеличенное видео на отдельной вкладке

      Загрузка выбранных решений (небольшие отличия от приведенных выше решений)

      Вопросы к практическому экзамену

      • Экзамен 1 (1997-2009)
      • Экзамен 1 (2010-2015)
      • Экзамен 2 (1997-2009)
      • Экзамен 2 (2010-2015)
      • Экзамен 3 (1997-2009)
      • Экзамен 3 (2010-2015)
      • Финал (1998-2009)
      • Финал (2010-2015)

      Задачи по линейной алгебре в лемме

      Мой друг Павел Гринфельд из Drexel прислал мне подборку интересных задач — в основном элементарных, но каждая с небольшим поворотом. Они являются частью его более крупного обучающего сайта под названием LEM.MA, и он создал страницу http://lem.ma/LAProb/ специально для этого веб-сайта, связанного с 5-м изданием.

      Видеостандарт H.264 (обещан в разделе 7.1 книги)

      Этот видеостандарт описывает систему кодирования и декодирования («Кодек»), которую инженеры определили для таких приложений, как ТВ высокой четкости. Не ожидается, что вы будете знать значение каждого слова — этого не знает и автор вашей книги. Суть в том, чтобы увидеть важный пример «стандарта», созданного отраслью после многих лет разработки, чтобы все компании знали, какой системе кодирования должна соответствовать их продукция.

      Слова «компенсация движения» относятся к способу оценки каждого видеоизображения по сравнению с предыдущим. Проще всего было бы предположить, что последовательные видеоизображения одинаковы. Тогда нам понадобятся только изменения между кадрами — надеюсь, небольшие. Но если камера следит за действием, вся сцена немного сдвинется и потребует коррекции. Идея получше — увидеть, в каком направлении движется сцена, и встроить это изменение в следующую сцену. Это КОМПЕНСАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ. На самом деле движение может быть разным в разных частях экрана.

      Именно такие идеи, о которых легко говорить, но для совершенствования которых требуются годы усилий, делают видеотехнологии и другие технологии возможными и успешными. Инженеры делают свою работу. Я надеюсь, что эти ссылки дают представление о необходимых деталях.

      • http://www.h364info.com/h364.html
      • http://en.wikipedia.org/wiki/H.264/MPEG-4_AVC
      • http://www.axis.com/files/whitepaper/wp_h364_31669_en_0803_lo.pdf

        Заметки по линейной алгебре

        Доказательство теоремы Шура

        Разложение вещественных матриц по сингулярным числам (проф. Джугал Верма, ИИТ Бомбея, март 2020 г.)

        Наш последний учебник «Линейная алгебра для всех» начинается с идеи независимых столбцов

        .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.