Приведение матрицы к треугольному виду онлайн
Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн
Исходная матрица:
|
|
или |
|
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
Выберите размерность матрицы
234567
x
234567
Пример №1.
Привести матрицу к треугольному виду.
Решение:. Запишем матрицу в виде:
| 2 | 6 | -1 |
| 0 | 2 | 1 |
| 2 | -1 | 0 |
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 2 | 6 | -1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 2 | -1 | 0 |
| 2 | 6 | -1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 0 | -2 | -1 |
| 2 | 6 | -1 |
| 0 | -5 | 2 |
| 0 | -2 | -1 |
Умножим 2-ую строку на (k = -2 / 5 = -2/5) и добавим к 3-ой:
| 2 | 6 | -1 |
| 0 | -5 | 2 |
| 0 | -9/5 |
Пример №2.
Преобразовать матрицу к ступенчатому виду.
Запишем матрицу в виде:
| 3 | 0 | 6 |
| 4 | 2 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
| 0 | -6 | -3 |
| 4 | 2 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
| 0 | -6 | -3 |
| 0 | 14 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
| 0 | 0 | 12 |
| 0 | 14 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Элементарные преобразования матрицы.
Элементарные преобразования матрицы.Навигация по странице:
- Элементарные преобразования матрицы
- Эквивалентные матрицы
- Примеры на элементарные преобразования матрицы
Определение.
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Элементарными преобразованиями строк называют:
перестановку местами любых двух строк матрицы;
умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Определение.
Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обозначают A ~ B.
Примеры на элементарные преобразования матрицы
Пример 1.
Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где
| A = | 4 | 2 | 0 | ||
| 1 | 3 | 2 | |||
| -1 | 3 | 10 |
Решение:
поменяем первую и вторую строку местами
| 4 | 2 | 0 | ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | ||||
| 1 | 3 | 2 | 4 | 2 | 0 | ||||||
| -1 | 3 | 10 | -1 | 3 | 10 |
ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую
| ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | ||||
| 4 + (-4)·1 | 2 + (-4)·3 | 0 + (-4)·2 | 0 | -10 | -8 | |||||||
| -1 + 1 | 3 + 3 | 10 + 2 | 0 | 6 | 12 |
2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6
| ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | ||||
| 0 | -10/(-2) | -8/(-2) | 0 | 5 | 4 | |||||||
| 0 | 6/6 | 12/6 | 0 | 1 | 2 |
поменяем вторую и третью строку местами
| ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | ||
| 0 | 1 | 2 | ||||
| 0 | 5 | 4 |
к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5
| ~ | 1 | 3 | 2 | ~ | 1 | 3 | 2 | ||||
| 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | ||||||
| 0 | 5 + (-5)·1 | 4 + (-5)·2 | 0 | 0 | -6 |
Онлайн калькуляторы с матрицами.
Упражнения с матрицами.
Объяснение урока: Элементарные операции со строками
В этом объяснении мы узнаем, как выполнять элементарные операции со строками над матрицей и как представлять систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.
Одна из роскошей при работе с линейной алгеброй — огромное разнообразие методов, которые часто доступны для решения
задача или завершение расчета. Возможно, наиболее показательным из них является исключение Гаусса-Жордана.
где можно использовать любую комбинацию допустимых операций над строками, чтобы привести матрицу в сокращенную ступенчатую форму,
который часто используется для решения системы линейных уравнений. Исключение Гаусса-Жордана также можно использовать для
вычислить обратную квадратную матрицу (если она существует), как и сопряженный метод. Принципы сопряжения
метод также может быть использован для вычисления определителя матрицы, который также может быть найден с помощью
расширение по любой строке или столбцу и объединение с соответствующими минорами матрицы.
Часто при вычислении определителя матрицы мы использовали бы один из двух методов, упомянутых выше. Однако есть один метод, который используется нечасто по сравнению с ним, несмотря на то, что он универсальный и якобы
аналогично процессу исключения Гаусса-Жордана. Наша цель будет состоять в том, чтобы использовать элементарные операции над строками для манипулирования
матрицу в верхнетреугольную форму, отслеживая любое влияние на определитель, а затем используйте эту форму для быстрого
рассчитать окончательный ответ. Для этого нам нужно будет сначала повторить элементарные операции со строками для матриц.
Определение: элементарные операции со строками
Рассмотрим матрицу 𝐴 порядка 𝑚×𝑛, строки которой помечены 𝑟,𝑟,…,𝑟. Тогда мы можем выполнить следующие три элементарные операции со строками:
- Перестановка строки 𝑖 на строку 𝑗, обозначенная 𝑟↔𝑟;
- Масштабирование строки 𝑖 ненулевой константой 𝑐, обозначаемой 𝑟→𝑐𝑟;
- Добавление масштабированной версии строки 𝑗 в строку 𝑖, обозначенное 𝑟→𝑟+𝑐𝑟.
Если элементарная операция строки используется для преобразования матрицы 𝐴 в новую матрицу 𝐴, то следует сказать, что эти две матрицы «эквивалентны по строкам».
Чтобы продемонстрировать эффект этих операций со строками, рассмотрим матрицу 𝐴=12610301102−2012.
Операцию с первой элементарной строкой описать проще всего, так как она просто включает переключение двух строк,
без изменения их записей. Например, операция строки 𝑟↔𝑟
меняет местами первую и третью строку, оставляя все остальные строки без изменений:
2−20123011012610.
Мы также можем взять целую строку и умножить ее на ненулевую константу. Предположим, что мы хотели умножьте каждую запись во второй строке этой новой матрицы на масштабный коэффициент 3. Мы будем использовать элементарная операция строки 𝑟→3𝑟 на матрице непосредственно выше, что дает 2−20129033012610.
Как видим, изменение произошло только во второй строке. Для демонстрации третьего типа операции с элементарной строкой выберем пример 𝑟→𝑟−2𝑟. Это занимает каждый элемент в первой строке, удваивает его, а затем вычитает из записи в том же столбце третий ряд. Это изменяет только третью строку матрицы, давая 2−201290330−366−1−4.
Приведенные выше матрицы эквивалентны по строкам, потому что мы можем преобразовать одну из них в другую только с помощью
используя элементарные операции со строками. Если бы мы работали с квадратной матрицей, мы могли бы
интересует, как определитель меняется между рядом матриц, эквивалентных строкам.
С рядом
операции настолько полезны при работе с матрицами, что понятно, что мы хотели бы
классифицировать влияние на понятие, столь же повсеместное, как и детерминант. Результаты приятно
просто, как описано в следующей теореме.
Теорема: элементарные операции над строками и определитель
Рассмотрим квадратную матрицу 𝐴 порядка 𝑛×𝑛. Тогда предположим, что элементарный операция строки используется для создания эквивалентной строки матрицы 𝐴. Тогда эффект каждой операции с элементарной строкой следующий:
- Для 𝑟↔𝑟, где 𝑖≠𝑗, имеем |𝐴|=−|𝐴|.
- Для 𝑟→𝑐𝑟, где 𝑐≠0, имеем |𝐴|=𝑐|𝐴|.
- Для 𝑟→𝑟+𝑐𝑟 имеем |𝐴|=|𝐴|.
Первая элементарная операция над строкой оказывает простое влияние на определитель, внося только изменение знака. Вторая операция строки включает масштабирование всей строки с помощью ненулевой константы, и это соответствует масштабированию
определитель на то же число.
Третья элементарная операция строки является самой сложной и, тем не менее,
нет общего влияния на определитель. Последний результат особенно удобен, поскольку
мы будем использовать элементарные операции со строками, чтобы привести квадратные матрицы к верхнему треугольному виду. Если мы будем использовать третий тип операции с элементарной строкой, то не нужно будет модифицировать
определитель вообще, что, безусловно, будет преимуществом. В следующих двух примерах мы
продемонстрировать, как реализовать элементарные операции над строками и отследить общее влияние на определитель.
Пример 1. Элементарные операции со строками и определитель матрицы 2 × 2
Рассмотрим матрицу 𝐴=263−1.
После получения эквивалентной по строкам матрицы 𝐴 путем выполнения следующих элементарных операций со строками по порядку: 𝑟→12𝑟, 𝑟↔𝑟, 𝑟→𝑟−2𝑟, и 𝑟→𝑟−𝑟, чему равен определитель 𝐴 через определитель эквивалентной по строкам матрицы 𝐴?
Ответ
Мы применяем операцию первой строки 𝑟→12𝑟, чтобы получить матрицу, эквивалентную строке
𝐴=133−1.
Учитывая, что мы использовали элементарную операцию со строками, мы должны отслеживать влияние на определитель. Мы реализовали 𝑟→12𝑟, что означает, что определитель должен масштабироваться на одно и то же число. Другими словами, |𝐴|=12|𝐴|. Далее мы выполняем операцию замены строк 𝑟↔𝑟, присваивая эту матрицу предыдущей переменной 𝐴, давая 𝐴=3−113.
(Хотя перезапись такой переменной является несколько неправильным обозначением, она очень удобна для отслеживания общего влияния на определитель, поэтому мы допускаем его в этой ситуации.)
Мы использовали операцию замены строк, и это означает, что в определителе происходит смена знака,
что дает |𝐴|=−12|𝐴|. Элементарная операция строки 𝑟→𝑟−2𝑟
не претерпевает никаких изменений в определителе. Следовательно, матрица
𝐴=1−713
имеет предыдущее детерминантное соотношение 𝐴=−12|𝐴|. Так же,
элементарная операция строки 𝑟→𝑟−𝑟 также не действует
на определитель, несмотря на возвращение матрицы
𝐴=1−7010.
В целом соотношение между определителями двух матриц равно |𝐴|=−12|𝐴|. Преобразование этого уравнения дает |𝐴|=−2|𝐴|.
Мы можем проверить правильность ответа в предыдущем примере, изучив определители обеих матриц: 𝐴=263−1, 𝐴=1−7010.
Для исходной матрицы 𝐴 мы могли бы использовать стандартную формулу для определителя матрицы 2×2 для вычисления |𝐴|=||263−1||=2×(−1)−6×3=−20.
Применение того же метода к эквивалентной по строкам матрице 𝐴 дает |𝐴|=||1−7010||=1×10−(−7)×0=10.
Это подтверждает отношение, которое мы нашли в предыдущем примере между определителями: |𝐴|=−2|𝐴|.
Пример 2. Элементарные операции над строками и определитель матрицы 3 × 3
Рассмотрим матрицу 𝐴=15−2201−120.
После получения эквивалентной по строкам матрицы 𝐴 путем выполнения следующих элементарных операций со строками по порядку: 𝑟→3𝑟, 𝑟→−2𝑟, 𝑟→𝑟+𝑟, 𝑟↔𝑟, и 𝑟→𝑟−2𝑟, каков определитель 𝐴 с точки зрения определитель эквивалентной по строкам матрицы 𝐴?
Ответ
Первая операция со строками, которую нам нужно выполнить, — это масштабирование строк 𝑟→3𝑟.
Это дает эквивалентную по строкам матрицу
𝐴=15−2603−120.
Учитывая, что мы масштабировали одну из строк на константу 3,
мы должны помнить, что |𝐴|=3|𝐴|. Затем нас просят выполнить еще одно масштабирование строки
операция: 𝑟→−2𝑟. Новая матрица
𝐴=−2−104603−120
и мы должны обновить отношения между детерминантами, и теперь дело в том, что
|𝐴|=(−2)×3|𝐴|=−6|𝐴|. Следующая элементарная операция строки
𝑟→𝑟+𝑟,
которая относится к третьему типу операций со строками и поэтому не влияет на определитель. Матрица, эквивалентная строкам
𝐴=−2−104603523
поэтому поддерживает детерминантное отношение |𝐴|=−6|𝐴|. Операция замены строк приводит к изменению знака в определителе. Использование 𝑟↔𝑟 для получения матрицы
𝐴=523603−2−104
означает, что детерминантное отношение должно быть изменено, чтобы включить изменение знака,
это означает, что |𝐴|=6|𝐴|.
Последняя операция строки 𝑟→𝑟−2𝑟
снова имеет тип, который не меняет определитель. Таким образом, эквивалентная строкам матрица
𝐴=523−4−4−3−2−104
имеет определяющую связь
|𝐴|=6|𝐴|. Преобразование уравнения дает
|𝐴|=16|𝐴|.
Как и в предыдущем вопросе о матрице 2×2, мы также можем проверить пример выше путем ручного вычисления определителя. Для этого воспользуемся правилом Сарруса для обеих матриц: 𝐴=15−2201−120,𝐴=523−4−4−3−2−104.
Для исходной матрицы 𝐴 находим |𝐴|=(1)×||0120||−(5)×||21−10||+(−2)×||20−12||=+(1)×(−2)−( 5)×(1)+(−2)×(4)=−15.
Тогда для эквивалентной по строкам матрицы 𝐴 правило Сарруса дает |𝐴|=(5)×||−4−3−104||−(2)×||−4−3−24||+(3)×||−4−4−2−10| |=+(5)×(−46)−(2)×(−22)+(3)×(32)=−90.
Как и ожидалось, мы подтвердили связь, указанную в конце предыдущего вопроса, а именно, что |𝐴|=16|𝐴|.
До сих пор наша работа была полезна тем, что позволяла нам использовать операции со строками (одна из наиболее часто используемых операций).
используемые инструменты линейной алгебры) для упрощения вычисления определителей (один из наиболее часто используемых
расчетные величины в линейной алгебре). Несмотря на очевидные преимущества такого инструментария, у нас есть
еще не использовали его в полной мере. В приведенных выше примерах операции со строками использовались для установления
отношения между матрицами, эквивалентными строкам, что позволит упростить подход к
вычисление определителя. Однако мы еще не показали, как этот метод можно использовать для реального
самостоятельно вычислить определитель матрицы. Для этого нам понадобится только еще один результат
поразительной элегантности, которая связывает верхнетреугольные матрицы с определителем.
Теорема: верхнетреугольная форма и определитель
Для квадратной матрицы 𝐴 в верхнетреугольной форме определитель |𝐴| является произведением диагональных элементов.
Эту теорему можно объединить с нашим пониманием того, как будут выполняться элементарные операции со строками. влияют на определитель матрицы, и это в равной степени относится к нижнетреугольным матрицам
(которые здесь бесполезны, но встречаются во многих контекстах, таких как декомпозиция LU и PLU). Еще более полезно то, что этот подход использует почти идентичные методы и тактики для
при выполнении исключения Гаусса – Жордана для нахождения ступенчатой формы матрицы. как мы будем
см. в следующих примерах, можно радикально сократить вычисление
определитель, можно ли быстро использовать операции со строками для преобразования матрицы в матрицу, эквивалентную строкам, которая также имеет верхнетреугольную форму. Любая матрица в этой форме может быть вычислена по приведенной выше теореме.
Пример 3. Вычисление определителя матрицы 2 × 2 с использованием элементарных операций над строками
Рассмотрим матрицу 𝐴=243−1.
- Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнему треугольному виду.
- Вычислить определитель матрицы 𝐴.
Ответ
Прежде чем использовать какие-либо операции со строками, мы выделяем опорные точки в каждой строке, которые являются первыми ненулевыми элементами: 𝐴=243−1.
Существует бесконечно много способов превратить эту матрицу в верхнетреугольную. формируются с помощью элементарных операций над строками. Ниже приведен один из таких методов, где мы стремимся удалить опорную точку во второй строке, используя операции со строками, тем самым придавая матрице верхнетреугольную форму. Мы выберем подход который использует операции со строками, чтобы присвоить опорным точкам одинаковое значение. Операция масштабирования строки 𝑟→3𝑟 возвращает эквивалентную по строкам матрицу 𝐴=6123−1.
Масштабируя каждую запись в одной из строк на ненулевую константу, мы повлияли на определитель
матрицы такой, что |𝐴|=3|𝐴|. Теперь мы будем использовать операцию строки
𝑟→2𝑟, чтобы две опорные точки имели одинаковое значение:
𝐴=6126−2.
Мы снова изменили определитель так, что |𝐴|=2×3|𝐴|=6|𝐴|. Теперь несложно преобразовать эту матрицу в верхнетреугольную форму с операция строки 𝑟→𝑟−𝑟. Этот тип операции строки не изменяется определитель, что означает, что выходная матрица 𝐴=6120−14 и детерминантное отношение |𝐴|=6|𝐴| не меняется. В качестве альтернативы (и с большей пользой) мы можем эквивалентно сказать, что |𝐴|=16|𝐴|.
Теперь, когда 𝐴 — верхнетреугольная матрица, определитель |𝐴| просто произведение диагональных элементов. Другими словами, мы имеем |𝐴|=6×(−14)=−84. Учитывая, что |𝐴|=16|𝐴|, имеем |𝐴|=16×(−84)=−14. Это можно проверить, непосредственно вычислив определитель 𝐴 любым допустимым методом.
Мы не можем делать вид, что описанный выше метод проще, чем стандартный метод вычисления определителя
матрицы 2×2. Трудно представить себе ситуацию, когда использование операций со строками было бы
предпочтительнее для вычисления определителя матриц с таким порядком, хотя достоинства быстро становятся
ясно при работе с матрицами порядка 3×3 или больше.
Это определенно не так
что метод, представленный в этом объяснении, превосходен в любой ситуации, хотя в следующем
примеров видно, что использование строковых операций даст быстрый ответ по сравнению с более грубым инструментом
как правление Сарруса. Как правило, чем ближе матрица к форме верхнего треугольника, тем полезнее наш метод.
Также стоит иметь в виду, что третий тип операции строки 𝑟→𝑟+𝑐𝑟 не влияет на определитель. Обычно мы выбираем эту операцию со строками, если она не привести к получению слишком большого количества фракций (что может загрязнить последующую работу с повторяющиеся ошибки). Ключевым навыком этого метода является способность понимать ситуации. в котором представленный нами метод наиболее подходит, с принципом работы, что по возможности следует использовать третий тип операции строки.
Пример 4. Вычисление определителя матрицы 3 × 3 с использованием элементарных операций над строками
Рассмотрим матрицу
𝐴=13−6021142.
- Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнему треугольному виду.
- Вычислить определитель матрицы 𝐴.
Ответ
Сначала мы выделяем опорную точку в каждой из строк. Это первые ненулевые записи каждой строки: 𝐴=13−6021142.
Для получения верхнетреугольной формы сначала необходимо заменить шкворень в третьем ряду с нулевой записью. Одним из вариантов достижения этого является операция строки 𝑟→𝑟−𝑟, что дает эквивалентную по строкам матрицу 𝐴=13−6021018.
Мы использовали третий тип операции со строками, который не изменяет определитель и, следовательно, |𝐴|=|𝐴|. Мы добьемся верхнетреугольного форме, если ось в третьем ряду можно переместить вправо, заменив эта запись с нулем. Операция 𝑟→𝑟−12𝑟 предоставляет матрицу, эквивалентную строке 𝐴=⎛⎜⎜⎝13−602100152⎞⎟⎟⎠.
Этот тип операции со строками не изменил определителя 𝐴.
Теперь, когда 𝐴 находится в верхнетреугольной форме, вычисляется определитель
взяв произведение диагональных элементов. Это дает
|𝐴|=1×2×152=15. Поскольку |𝐴|=|𝐴|,
мы заключаем, что |𝐴|=15. Этот результат можно проверить по правилу Сарруса или любым другим допустимым методом.
В примерах, с которыми мы работали до сих пор, все определители были отличны от нуля, что означает, что матрица будет обратимой. Мы видели, что определитель верхнетреугольная матрица вычисляется произведением диагональных элементов. Должен ли какой-либо из этих элементов равны нулю, определитель матрицы также будет равен нулю. В следующем примере мы будем использовать элементарные операции со строками для управления квадратом. матрицу в верхнетреугольный вид, после чего найдем, что один из диагональных элементов равен нулю, а это означает, что определитель будет равен нулю и, следовательно, матрица не будет обратимой.
Пример 5. Вычисление определителя матрицы 3 × 3 с использованием элементарных операций со строками
Рассмотрим матрицу
𝐴=−26−1−13−1−26−7.
- Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнему треугольному виду.
- Вычислить определитель матрицы 𝐴.
Ответ
Сначала мы выделяем все опорные элементы в матрице 𝐴: 𝐴=−26−1−13−1−26−7.
Чтобы преобразовать эту матрицу в верхнетреугольную форму, используя операции со строками, обычно выгодно создавать значение «1» в верхней левой записи матрицы, чтобы остальные элементы в этом столбце можно было легко найти. удаленный. Один из способов добиться этого — использовать сводную запись во второй строке, поместив это в первую строку с операцией замены 𝑟↔𝑟. Это дает эквивалентную по строкам матрицу 𝐴=−13−1−26−1−26−7.
Учитывая, что мы однажды использовали операцию замены строк, мы изменили знак определителя,
это означает, что |𝐴|=−|𝐴|. Теперь опорной точке в верхней левой записи можно присвоить значение 1 с помощью операции масштабирования строк.
𝑟→−𝑟, давая
𝐴=1−31−26−1−26−7.
Мы масштабировали одну из строк матрицы на константу, в данном случае на константу −1. Мы просто корректируем знак определителя, что означает, что |𝐴|=−(−|𝐴|)=|𝐴|. Теперь мы можем использовать третий тип операции со строками, чтобы начать переходя к верхнетреугольной форме. Сводные записи во втором и третьи строки могут быть превращены в нулевые записи с помощью параллельных операций со строками 𝑟→𝑟+2𝑟 и 𝑟→𝑟+2𝑟. Это дает матрицу 𝐴=1−3100100−5.
Третий тип операций со строками не приводит к изменению определителя, т. е. мы сохраняем соотношение |𝐴|=|𝐴|. Мы также можем заметить, что теперь матрица 𝐴 на самом деле имеет верхнетреугольную форму, а это означает, что определитель — это просто произведение диагональных записей. Учитывая, что один из этих элементов равен нулю, находим, что |𝐴|=|𝐴|=0×0×(−5)=0.
Преимущества этого метода можно еще больше оценить при работе с матрицами еще больших порядков.
Для таких матриц стандартный метод вычисления определителя допускает элемент
по выбору, чтобы упростить расчеты. Однако чаще всего нет возможности избежать
большое количество расчетов при использовании стандартного метода, поэтому мы должны быть открыты для
альтернативный подход, который мы разработали в этом объяснителе. Как и в предыдущем примере,
в следующем вопросе мы должны быть мотивированы использовать третий тип операции со строками, чтобы манипулировать матрицей в верхнетреугольную форму.
Пример 6. Вычисление определителя матрицы 4 × 4 с использованием элементарных операций со строками
Рассмотрим матрицу 𝐴=⎛⎜⎜⎝10360−105203−20241⎞⎟⎟⎠.
- Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнему треугольному виду.
- Вычислить определитель матрицы 𝐴.
Ответ
Сначала выделим опорные точки в каждой из строк: 𝐴=⎛⎜⎜⎝10360−105203−20241⎞⎟⎟⎠.
Наша цель будет состоять в том, чтобы использовать операции со строками, чтобы преобразовать эту матрицу в верхнетреугольную форму.
Во-первых, мы должны удалить ненулевую запись в третьей строке. Сделать это,
мы можем использовать первую строку следующим образом: 𝑟→𝑟−2𝑟. Это дает матрицу, эквивалентную строкам
𝐴=⎛⎜⎜⎝10360−10500−3−140241⎞⎟⎟⎠.
Детерминант не изменился из-за используемого нами типа операции со строками. Следовательно, |𝐴|=|𝐴|. Теперь мы должны удалить точку опоры в четвертой строке, поэтому мы выбираем операцию строки 𝑟→𝑟+2𝑟, давая 𝐴=⎛⎜⎜⎝10360−10500−3−1400411⎞⎟⎟⎠.
Опять же, мы не изменили определитель и, следовательно, |𝐴|=|𝐴|. Для приведения матрицы к верхнетреугольной форме требуется еще одна операция со строками: 𝑟→𝑟+43𝑟. Результат 𝐴=⎛⎜⎜⎜⎝10360−10500−3−14000−233⎞⎟⎟⎟⎠.
Матрица 𝐴 теперь имеет верхнетреугольную форму, поэтому определитель равен произведению всех диагональных элементов. Это означает, что |𝐴|=|𝐴|=1×(−1)×(−3)×−233=−23.
Этот метод использования операций со строками очень напоминает метод исключения Гаусса–Жордана,
где мы стремились бы получить редуцированную эшелонированную форму матрицы.
На самом деле, многие из
те же стратегии применяются к нашему методу вычисления определителя с использованием операций со строками
чтобы получить эквивалентную по строкам верхнетреугольную матрицу. Эти две техники не идентичны,
и метод, продемонстрированный в этом объяснителе, более тесно связан с идеей LU или
Разложение PLU, при котором матрицы определенной формы используются для упрощения сложных вычислений.
и служить основой многих универсальных и проницательных теорем. Хотя ситуаций много
(например, те, которые мы привели в этом объяснении), где использование операций со строками явно является оптимальным.
метода вычисления определителя, не менее важно ознакомиться с другими доступными
методы, так как всегда будут ситуации, в которых они более применимы.
Ключевые моменты
- Три элементарные операции над строками можно использовать для вычисления определителя квадратной матрицы, преобразуя его в
эквивалентная строкам верхнетреугольная матрица.
- Первый тип операции со строками (𝑟↔𝑟) меняет знак определителя.
- Второй тип операции со строками (𝑟→𝑐𝑟𝑐≠0где) умножает определитель на 𝑐.
- Третий тип операции со строками (𝑟→𝑟+𝑐𝑟) предпочтительнее, так как он не влияет на определитель.
- Чем ближе квадратная матрица к форме верхнего треугольника, тем больше вероятность того, что этот метод будет оптимальным.
линейная алгебра — верхнетреугольной формы недостаточно для определения ранга матрицы
спросил
Изменено 4 года, 8 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Я хотел бы знать, если мы хотим вычислить ранг матрицы:
достаточно ли привести матрицу к верхнему треугольному виду?
Мой учитель сказал, что мы должны привести к верхнему треугольному виду и подсчитать количество ненулевых строк.
Но в приведенном ниже примере это верхняя треугольная матрица, но ее ранг равен 2, однако количество ненулевых строк равно 3!
Я думаю, что мы должны привести матрицу к приведенному ступенчатому виду строки, и этого недостаточно, чтобы получить верхний треугольник!? Каково твое мнение?
Пример $$А= \begin{bmatrix} -4 и 3 и 1\\ 0 и 0 и 4\\ 0 и 0 &- 3 \end{bmatrix}$$
- линейная алгебра
- матрицы
- ранг матрицы
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Ваша матрица должна быть в форме «строка-эшелон» — вы можете еще больше уменьшить матрицу с помощью еще одной элементарной операции со строками. У вас будет одна нулевая строка, и поэтому ваша матрица не имеет полного ранга. «Форма эшелона уменьшенной строки» не требуется для определения ранга. Итак, почитайте о форме рядного эшелона, чтобы понять, что это такое.